1.5等腰三角形 等边三角形 （基础提升练习）（暑期自学课）2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 1.5等腰三角形 （等边三角形） （基础提升练习）（暑期自学课） 【题型一】等边三角形的性质 【例1】根据下列条件，不能得到等边三角形的是　　 A．有两个角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形 C．有两个角相等的等腰三角形 D．腰长和底边长相等的等腰三角形 【例2】若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能 【例3】已知，，是的三边，且，则是　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【例4】满足下列条件的三角形中，不一定是等边三角形的是（　　　） A.有两个内角是的三角形 B．有两边相等且是轴对称图形的三角形 C．有一个内角是且有两边相等的三角形 D．三边都相等的三角形 【例5】如图，在中，，分别以点A，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D．是的垂直平分线 【例6】已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．    【题型二】利用等边三角形的性质求边长 【例1】在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的各边上，且与E，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【例3】如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（    ）    A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【例4】已知等边三角形的边长为2，则该等边三角形的周长为 ． 【例5】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC．若AB＝5.4，CE＝3，则BE＝　　． 【例6】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E． （1）若AC＝6cm，求CE的长度； （2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由． 【题型三】利用等边三角形的性质求角度 【例1】如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．100° B．90° C．80° D．60° 【例2】如图，已知是等边三角形，点、、、在同一直线上，且，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【例3】如图，若，则的度数为 ． 【例4】如图，，均为等边三角形，连接，交于点，与交于点，则的度数是 ． 【例5】如图，为等边三角形，点、分别为、上一点，且，、相交于点，求的度数． 【例6】如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【题型四】等边三角形的综合证明 【例1】如图，已知为的中点，，，点，为垂足，且，，求证：是等边三角形． 【例2】如图，是等边三角形，点、、分别在、、的延长线上，且． 求证：是等边三角形． 【例3】如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E． （1）求证：△ADE是等边三角形． （2）求证：AEAB． 【例4】如图，在中，，在上取一点，使得，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． (1)求证：； (2)若点为中点，试判断的形状，并说明理由． 【例5】如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是等边三角形． 【例6】综合与实践： (1)问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②线段之间的数量关系为______（直接写出） (2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②证明：线段之间的数量关系；（详细过程） (3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，求四边形的面积．（详细过程） 答案解析 【题型一】等边三角形的性质 【例1】根据下列条件，不能得到等边三角形的是　　 A．有两个角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形 C．有两个角相等的等腰三角形 D．腰长和底边长相等的等腰三角形 【答案】C 【例2】若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能 【答案】C 【例3】已知，，是的三边，且，则是　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【例4】满足下列条件的三角形中，不一定是等边三角形的是（　　　） A.有两个内角是的三角形 B．有两边相等且是轴对称图形的三角形 C．有一个内角是且有两边相等的三角形 D．三边都相等的三角形 【答案】B 【例5】如图，在中，，分别以点A，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D．是的垂直平分线 【答案】D 【例6】已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．    【答案】等边 【题型二】利用等边三角形的性质求边长 【例1】在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【例2】如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的各边上，且与E，若，则的长为（    ） B． B． C． D． 【答案】C 【例3】如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（    ）    A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】B 【例4】已知等边三角形的边长为2，则该等边三角形的周长为 ． 【答案】6 【例5】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC．若AB＝5.4，CE＝3，则BE＝　　． 【答案】7.8 【例6】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E． （1）若AC＝6cm，求CE的长度； （2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明： 连接BE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A＝30°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°， 在Rt△BCE中，BE＝2CE， ∴AE＝2CE， ∵AC＝6cm， ∴CE＝3cm； （2）解：△BCD是等边三角形， 理由如下：连接CD． ∵DE垂直平分AB， ∴D为AB中点， ∵∠ACB＝90°， ∴CD＝BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△BCD是等边三角形． 【题型三】利用等边三角形的性质求角度 【例1】如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．100° B．90° C．80° D．60° 【答案】C 【例2】如图，已知是等边三角形，点、、、在同一直线上，且，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【例3】如图，若，则的度数为 ． 【答案】 【例4】如图，，均为等边三角形，连接，交于点，与交于点，则的度数是 ． 【答案】 【例5】如图，为等边三角形，点、分别为、上一点，且，、相交于点，求的度数． 【答案】是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ． 【例6】如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】（1）证明：是等边三角形， ， 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，连接， ， 为等边三角形， ， 又， ． 【题型四】等边三角形的综合证明 【例1】如图，已知为的中点，，，点，为垂足，且，，求证：是等边三角形． 【答案】证明：是的中点， ， ，， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， （等角对等边）， ，， ， 是等边三角形． 【例2】如图，是等边三角形，点、、分别在、、的延长线上，且． 求证：是等边三角形． 【答案】证明：为等边三角形， ，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 同理可得：， ， ， 为等边三角形． 【例3】如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E． （1）求证：△ADE是等边三角形． （2）求证：AEAB． 【答案】证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°． ∴△ADE是等边三角形． （2）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC． ∵BD平分∠ABC， ∴ADAC． ∵△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD． ∴AEAB． 【例4】如图，在中，，在上取一点，使得，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． (1)求证：； (2)若点为中点，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：，且， ， 在和中， ， ， ， ， ∴垂直平分线段， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ，点为中点， ， ， 是等边三角形． 【例5】如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是等边三角形． 【答案】（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【例6】综合与实践： (1)问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②线段之间的数量关系为______（直接写出） (2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②证明：线段之间的数量关系；（详细过程） (3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，求四边形的面积．（详细过程） 【答案】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：①，② （2）解：同（1）的方法得，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： ②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（2）得： ， ∵均为等腰直角三角形，为中边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积＝的面积+的面积 ； ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$