解析几何：圆的公切线问题专项练-2026届高考数学二轮复习

解析几何--圆的公切线问题 典型考点归纳 专项练 2026届高考数学复习备考 一、单选题 1．已知圆与圆有三条公切线，则（   ） A． B． C． D． 2．已知点，到直线的距离分别为和，若这样的直线恰有两条，则的取值范围是（    ） A．（5，9） B． C． D． 3．已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 4．已知圆与圆有且仅有三条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．圆，若两圆的公切线恰有3条，则 （    ） A．4 B．6 C．16 D．36 6．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 7．已知圆，圆，若两圆的公切线恰有四条，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 9．已知，圆 ，圆 ，则“与有且仅有两条公切线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 10．已知圆和圆，点P，Q分别是圆，圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．与圆和圆都相切的直线有三条 B．直线与圆和圆都相切 C．的取值范围是 D．过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则存在点，使得 11．若圆，圆，则（    ） A．当时，若圆与圆有且仅有三条公切线，则 B．当时，若圆与圆有且仅有两条公切线，则 C．当时，存在实数，使得圆与圆无公切线 D．若存在实数，使得圆与圆有且仅有三条公切线，则 12．已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 三、填空题 13．已知圆和，则圆与圆的所有公切线中斜率的最大值为 . 14．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 15．已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为 . 16．如图，半径为1的圆与轴和轴都相切.当圆沿轴向右滚动，圆滚动到与出发位置时的圆相外切时，记此时圆心为；当圆沿轴向上滚动，圆滚动到与出发位置时的圆相外切时，记此时圆心为.若直线与圆和圆都相切，且与圆相离，则直线的方程为 . 17．若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为 ．． 四、解答题 18．已知与只有一条公切线l，且公切点为M，点P是l上异于点M的一点，过点P作的另一条切线，切点为N． (1)求a的值及直线l的方程； (2)若是等腰直角三角形，求直线的方程． 19．已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D D C C D D B BC 题号 11 12 答案 ACD ABD 1．D 根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，利用圆心距等于半径之和即可求解. 由题知，两圆外切，由圆方程得，半径， 由圆方程得，半径，则，解得. 故选：D 2．C 根据给定条件，查得以A为圆心，为半径的圆与以B为圆心，为半径的圆的两圆相交，再借助两点间距离公式列式求解. 恰好存在两条直线，使得点A，B到的距离分别为和， 以A为圆心，为半径的圆，以B为圆心，为半径的圆，这两圆有两条公切线， 因此这两个圆相交，即，而， 则，解得或， 所以的取值范围是. 故选：C 3．D 设两圆心，由圆心到切线距离等于半径求出，再结合求出即可计算. 两圆的一条公切线的方程为 即过点， 不妨设两圆心，则， 则，， 则，故. 故选：D 4．D 根据公切线条数可确定两圆外切，由圆与圆位置关系的判断可构造方程得到，令，代入消元，将问题转化为一元二次方程有解的问题，由此可求得的取值范围. 由圆方程知：圆心，半径； 由圆方程知：圆心，半径； 圆和圆有且仅有三条公切线，两圆外切， ，即， 设，则，， 即，，解得：， 的取值范围为. 故选：D. 5．C 根据有3条公切线，得两圆外切，从而，解出的值即可. 因为是圆，所以， 因为两圆的公切线恰有3条，所以两圆外切， 因为，所以，解得， 故选：C. 6．C 通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 7．D 由题设两圆相离，圆心且半径，圆心且半径，利用求参数范围. 由两圆的公切线恰有四条，即两圆相离， 对于，圆心，半径， 对于，圆心，半径， 所以，则，即或. 故选：D 8．D 利用之间的数量关系确定判断圆与圆的位置关系可判断A；通过两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程即判断B；由结合勾股定理求解可判断C;根据两圆位置关系结合半径大小可知公切线，由此判断D. 解：由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误; 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误; 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误; 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P， 即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确; 故选：D. 9．B 根据两圆公切线的条数判断两圆的位置关系，求解即可. 的圆心，， ，即的圆心，， 若与有且仅有两条公切线，则圆与圆相交， 则，即， 解得或， 若，则与有且仅有两条公切线， 所以“与有且仅有两条公切线”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 10．BC A项，判断两圆位置关系为相离可得公切线有四条；B项，由圆心到直线距离都等于半径可得；C项，数形结合可得与圆心距及半径的不等关系；D项，由相切性质得垂直关系，求出，结合范围可排除该选项. 选项A，由题意可得，圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则两圆圆心距，所以两圆外离， 故与圆和圆都相切的直线有四条，A错误； 选项B，点到直线的距离， 点与点到直线的距离， 故直线与圆和圆都相切，B正确； 选项C，结合图形，由圆的对称性可知，   ， 如图，当四点共线时，等号成立.    且， 如图，当四点共线时，等号成立.    故， ， C正确： 选项D，如图，若时，由，    则，故， 所以四边形是平行四边形，且为正方形， 所以，而，产生矛盾，D错误. 故选：BC. 11．ACD 根据公切线的条数，确定两圆的位置关系，根据圆与圆的位置关系，列式求解. A，当时，两圆有三条公切线，所以两圆相外切，所以， ，得，故A正确； B，当，若两圆有两条公切线，则两圆相交，所以， 即，解得：或，故B错误； C，当，若两圆无公切线，则两圆内含，所以， 即，解得：，得，故C正确； D，若两圆有三条公切线，则两圆相外切，所以，即， 若存在使两圆有三条公切线，则，即，故D正确. 故选：ACD. 12．ABD 根据圆的方程确定圆心，可求出直线的方程，即可判断A；根据圆和圆外切求出a的值，数形结合，可判断B；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D. 对于A，由圆，， 可知，故直线的方程为， 即，即得直线恒过定点，A正确； 对于B，即， 当圆和圆有三条公切线时，圆和圆外切，则， 解得， 当时，如图示，当共线时,； 同理求得当时，，B正确； 对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交， 则，即，解得，C错误 对于D，当时，两圆相交， ，， 将两方程相减可得公共弦方程， 则到的距离为， 则圆与圆相交弦的弦长为，D正确， 故选：ABD. 13． 根据圆心和半径判断两圆为外切，结合图形可得内公切线时斜率最大，根据垂直关系即可求解. 的圆心和半径分别为，的圆心和半径分别为， 由于，因此两圆外切，有3条公切线， 作出两圆的位置关系图如下： 由图可知：外公切线一条平行于轴，斜率为0，一条斜率为负， 而内公切线的斜率为正，故斜率最大， 由于,故内公切线的斜率为, 故答案为： 14． 利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 15． 先确定两圆的圆心和半径，然后根据条件分析出两圆的位置关系，再由圆心距和半径的数量关系求解出结果. 因为， ∴，半径为， 因为， ∴，半径为， 若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切， ∴， 由于，故， 解得，即的最小值为， 故答案为：. 16． 根据给定条件，求出圆和圆的公切线方程，再确定其中与圆相离的即得答案. 依题意，圆，圆，圆， ，即圆和圆相离，它们有4条公切线，两条内公切线分别为和， 直线和都与圆相切，不符合题意； 由圆和圆是等圆，得圆和圆的两条外公切线都与直线平行， 由，得外公切线的斜率，设方程为， 于是，解得或， 当时，切线，点到此直线距离，直线与圆相离， 当时，切线，点到此直线距离，直线与圆相交， 所以直线的方程为. 故答案为： 17．①②④ ①在和处的切线都是，故有“自公切线”;②此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故有“自公切线”；将③化简为，求出，设切点分别为，，通过，解方程即可判定；④画出图形即可判断. ①，在和处的切线都是，故①有“自公切线”； ②，其中，， 此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合， 故此函数有“自公切线”，即②有“自公切线”； ③，即，则 ， 假设有“自公切线”，设切点分别为，，且， 所以切线的斜率，解得：， 则，故， 化简得：，无解，所以③没有“自公切线”. ④， 当，则，当，则， 表示的图形如下，由于两圆相交，有公切线，所以④有“自公切线”. 故答案为：①②④ 18．(1)， (2)或 （1）问通过公切线的条数判断圆与圆的位置关系； （2）问通过直线的垂直关系求直线的方程． （1）可化为，圆心，半径， 可化为，圆心，半径． 因为与只有一条公切线，所以两圆内切，，即，解得． 两圆相减，得公切线l的方程为，即． （2）由题意，得，若是等腰直角三角形，所以，故，          由（1）可知直线的斜率，所以直线的斜率． 设直线的方程为， 所以点到直线的距离，解得或． 所以直线的方程为或． 19．(1) (2)相交；或 （1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. （1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 学科网（北京）股份有限公司 $