1.3乘法公式寒假预习讲义-2025-2026学年北师大版七年级下学期数学.（知识点归纳+题型精讲+能力测试）

1.3乘法公式寒假预习讲义（北师大版） ☟ 课前预习目标 ●掌握平方差公式、完全平方公式的推导过程与结构特征，能准确区分公式适用场景； ●初步运用公式进行简单的整式乘法运算，理解公式的几何意义，建立数形结合思维； ●明确乘法公式与多项式乘法的关联，规避公式应用中的常见错误，为课堂深化学习铺垫。 ☘ 重点知识★梳理归纳 【知识点1平方差公式】 （1）平方差公式的推导： （a＋b）（a－b）＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2， （a＋b）（a－b）＝a2－b2． （2）语言叙述： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． （3）公式的特点： ①公式中的a和b可以是实数，也可以是单项式或多项式； ②公式的左边是两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积，公式的右边是这两个数（式）的平方差（先平方后作差）． 【知识点2完全平方公式】 （1）两数和的完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2； 两数差的完全平方公式：（a－b）2＝a2－2ab＋b2． （2）语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． （3）完全平方公式的特征：完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央． ✏ 核心考点★精讲精练 题型1运用平方差公式进行运算 【例1】．下列各式可以利用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式适用于形式为的表达式，即两项中一项相同，另一项互为相反数，据此特点逐一判断即可． 【详解】解：A、，无相同项和相反项，不可用平方差公式计算，不符合题意； B、，不符合题意平方差公式的特点，不可用平方差公式计算，不符合题意； C、，不符合题意平方差公式的特点，不可用平方差公式计算，不符合题意； D、，相同项为和，相反项为和，可用平方差公式计算，符合题意． 故选：D． 【变式1】．计算：，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解决问题的关键．利用平方差公式可知，进而即可求解． 【详解】解：， 又 ， ∴ ，解得 ． 故答案为1． 【变式2】．运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3)2499 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． （1）根据平方差公式直接进行计算即可； （2）将原式变为，再利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式变为，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型2平方差公式与几何图形 【例2】．从前，一位庄园主把一块边长为a米的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加7米，相邻的另一边减少7米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用． 计算原正方形面积和变化后矩形面积，比较大小即可． 【详解】解：原来的土地面积为平方米，第二年的面积为平方米， ， 面积变小了． 故选：C． 【变式1】．长方形的长是，周长是，（其中）则这个长方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，能求出长方形的宽是解此题的关键． 根据长方形的周长公式求出宽，再根据面积公式计算面积，运用平方差公式简化表达式． 【详解】解：设长方形的宽为 cm，由周长公式得：， 两边除以：， 解得：， 这个长方形的面积是：， 故答案为：． 【变式2】．如图1，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式： ； (2)应用以上公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：； 【答案】(1) (2)①15；② 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）分别表示出两图中空白部分的面积，即可得到乘法公式； （2）①根据（1）所得公式求解即可；②根据（1）所得公式求解即可． 【详解】（1）解：图1中空白部分的面积为， 图2中空白部分的面积为， 可以得到乘法公式：， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴； ② ． 题型3运用完全平方公式进行运算 【例3】．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方． 逐一计算后判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误； B．，原计算错误； C．，原计算错误； D．，原计算正确； 故选：D． 【变式1】．计算： ． 【答案】40000 【分析】本题考查了完全平方公式的运算，通过观察表达式，识别其符合完全平方公式的结构，进而简化计算． 【详解】解： ， 故答案为：40000． 【变式2】．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … (1)请你按照上面4个等式的规律写出第5个等式； (2)请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，总结出等式左边的变化规律是解本题的关键． （1）根据规律直接写出第5个等式即可； （2）归纳规律写出第n个等式，检验等式左边等于等式右边恒等，可证明式子成立． 【详解】（1）解：第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 第5个等式： 故答案为： （2）解：由题意得：第n个等式为， 证明：左边， 右边， ∴左边右边， 即． 题型4完全平方公式在几何图形中的应用 【例4】．如图，把一个边长为a的正方形相邻两边增加b得到一个新的大正方形，则通过新的大正方形的面积表示可以得到等式（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用几何图形验证完全平方公式，解决本题的关键是用不同的方式表示正方形的面积． 【详解】解：大正方形的边长为， 大正方形的面积为， 大正方形是由两个边长分别为、的正方形和个长为宽为的矩形组成， 大正方形的面积还可以表示为， ． 故选：B． 【变式1】．如图，两个正方形的边长分别为，，已知，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．根据代入计算即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：24． 【变式2】．在学习“整式的乘法”时，我们归纳并推导了整式的乘法法则和乘法公式，并借助几何图形的面积关系对法则和公式进行直观解释，感受了代数与几何的内在联系．如图，现有正方形，纸片，将纸片分别放在纸片上（两邻边重合），得到图和图，设正方形的边长为，正方形的边长为，且． (1)请用含，的代数式表示： 图中阴影部分的面积为__________； 图中阴影部分的面积为__________． (2)若图，图中阴影部分的面积分别为和，求与的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了乘法公式与几何图形面积的计算，掌握乘法公式是解题的关键． （1）图中阴影部分是边长为的正方形，图中阴影部分是边长为的大正方形减去边长为的小正方形，然后根据正方形面积公式分别计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式对已知代数式进行变形求解即可． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积为； 图中阴影部分的面积为． 故答案为：；． （2）解：图，图中阴影部分的面积分别为和， ，， ，， ， ， ， ，即， ， ． 题型5整式乘法混合运算 【例5】．三个连续偶数，若中间一个数为n，则它们的积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意另外两个数为，，然后将它们乘起来即可得出答案． 【详解】解：三个连续偶数，若中间一个数为n，那么另外两个数为，， 那么它们的积为：， 故选：C． 【变式1】．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式的乘法，根据去括号法则一步步计算得到答案即可； 【详解】解：； 故答案为： 【变式2】．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【分析】根据整式乘法的混合运算法则进行化简，然后将与的值代入即可求出答案． 【详解】解：原式 当，时， 原式 【点睛】本题考查整式的乘法混合运算，解题的关键是熟练运用整式乘法的混合运算法则，本题属于基础题型． 题型6多项式乘多项式---化简求值 【例6】．若，，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了整式运算的应用，通过展开 M 和 N 的表达式，并计算 M 与 N 的差，从而比较大小关系． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即： ∴ ， 故选择： A． 【变式1】．，则代数式 ． 【答案】1 【分析】本题考查多项式乘法中的化简求值，将代数式展开后利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：1． 【变式2】．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，掌握运算法则是关键． 原式利用完全平方公式及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ， 原式 ． 题型7通过对完全平方公式化简求值 【例7】．已知，则（   ） A．21 B．25 C．19 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式．利用完全平方公式的变形，直接代入已知值计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选：A 【变式1】．若，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查完全平方公式，关键是将代数式利用完全平方公式变形为，再代入数值计算． 【详解】解：先对代数式变形，； 将，代入，得； 因此； 故答案为：． 【变式2】．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．可以得到的等量关系为_____． (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，求和的值． ②已知，求 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能根据完全平方公式的几何背景准确列式，并能运用公式解决相关问题． （1）利用阴影部分直接求和、总面积减去空白部分面积两种方法表示阴影面积，即可得到等量关系； （2）①由（1）知，根据，求出，进而根据计算即可； ②设，，可得，进而得到，根据得到，即，进而得到，即可求出的值． 【详解】（1）解：阴影两部分求和为，用总面积减去空白部分面积为， 则， 故答案为：； （2）解：①， ∵，， ∴， ∴， ； ②设，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由，得： ， ∴， 即， 整理，得，即， ∴． 题型8求完全平方式中的字母系数 【例8】．若是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的结构特征确定一次项系数与常数项的关系是解题的关键． 根据完全平方式的定义，比较对应项的系数即可求出 ． 【详解】解：∵ 是完全平方式，且常数项为， ∴ 该式可设为 ， ∵展开式的一次项系数为，与原式的一次项系数对应， ∴， 解得 ． 故选：B． 【变式1】．如果关于x的整式是某个关于x的整式的平方，那么常数 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式，即可求得一次项系数． 【详解】解：整式是完全平方式，且， ． 故答案为：1或． 【变式2】．定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式，理解新定义的法则是解题的关键： （1）根据新定义的法则，列式计算，根据完全平方公式的结构得出的值； （2）根据新定义得出，进而根据，利用完全平方公式变形求值，即可求解． 【详解】（1）解： ． 因为是一个完全平方式， 所以．所以或． （2）因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以 ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．下列各式可以用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，根据判断各选项即可． 【详解】解：A．，为完全平方的相反数，不符合题意； B．，符合题意； C．，无相同项或互为相反数的项，不符合题意； D．，为完全平方的相反数，不符合题意； 故选 ：B． 2．已知，，，若，则的值为（    ） A．20 B．22 C．24 D．27 【答案】D 【分析】由，，，可得, , 代入 即可求解．本题考查了完全平方公式的应用，熟记公式形式是解题关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．已知多项式是一个完全平方式，则m的值是（） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的结构，直接比较系数求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式，且和分别为和的平方， ∴该完全平方式应为． ∴． 故选：C． 4．若，，则代数式的值（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟悉多项式乘法法则是解题关键．将展开并整理为含，的形式，再利用整体代入计算即可． 【详解】解： 原式 故选B． 5．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分组成一个长方形如图，根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 用代数式分别表示图形中阴影部分的面积即可． 【详解】解：根据图可将阴影部分面积看成两个正方形的面积差，即， 根据图可将阴影部分面积看成一个长为，宽为的长方形面积，即． ∵两个图形中阴影部分的面积相等， ． 故选：B． 6．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的面积与完全平方公式，熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积，两数和的完全平方公式是解题的关键．用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】解：设，， ∵长方形的周长是，长方形的面积为 ∴，， ∴， 故选：A． 二、填空题 7．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式，掌握平方差公式是解本题的关键． 识别表达式符合平方差公式的形式，直接应用公式计算． 【详解】解：给定表达式为，符合平方差公式，其中，， 代入公式得， 故答案为：． 8．已知，，计算下列各式的值： （1） ； （2） ． 【答案】 1 12 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形公式，是解题的关键． （1）已知两等式左边利用完全平方公式展开，相减即可求出的值； （2）已知两等式左边利用完全平方公式展开，相加即可求出的值，然后展开，最后将、整体代入即可． 【详解】解：（1）， 得，， ，， ， 解得：， 故答案为：； （2）， 得，， ，， ， 解得：， ，， ∴原式， 故答案为：． 9．一张正方形纸片的边长减少，它的面积就减少，这张正方形纸片的边长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，设原边长为，则减少后边长为，由题意可得，利用完全平方公式计算可得，从而得出，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设原边长为，则减少后边长为． 由题意可得， 展开可得：， 化简可得：， 解得， 故这张正方形纸片的边长是， 故答案为：． 10．已知，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式乘以多项式运算，熟知多项式乘以多项式法则是解题关键． 先计算，再整体代入即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：2 11．若规定，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】先根据新定义将所求式子转化为常规的代数式，再结合已知条件，通过变形或整体代入的方法求出该代数式的值．本题主要考查了新定义运算以及整式的混合运算，同时涉及整体代入的思想，熟练掌握新定义运算规则，以及根据已知条件对代数式进行灵活变形和整体代入是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， 当时，原式 故答案为：． 12．已知，则的值为 ． 【答案】 22 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．根据完全平方公式得出，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 13．若是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 14．如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了利用平方差公式求面积，数形结合，正确表示出阴影部分的面积是解此题的关键．由题意得出，表示出，即可得出答案． 【详解】解：如图， 大正方形与小正方形的面积之差是8， ， 由图可知： ， 故答案为：4． 三、解答题 15．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，； (3)，其中． 【答案】(1)，； (2)，24； (3)，-6． 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先通过多项式乘多项式法则，平方差公式进行计算，然后合并同类项，再将的值代入化简后的式子计算即可； （2）先通过平方差公式，完全平方公式进行计算，然后合并同类项，再将、的值代入化简后的式子计算即可； （3）先通过完全平方公式，平方差公式进行计算，然后合并同类项，再通过算术平方根和偶次幂的非负性求出、的值，并将、的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． 当时， 原式．； （2）解：原式 ． 当，时， 原式 ； （3）解：原式 ． ，，， ，， 解得，， ∴原式 ． 16．若，且． (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1)3 (2)10 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，多项式乘多项式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则得，又因为，故，即可作答． （2）把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∵ ∴ ． 17．从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查平方差公式的变形计算，掌握平方差公式是关键． （1）根据图形面积计算即可； （2）运用（1）中的结论计算即可； （3）①运用（1）中的结论计算即可； ②运用（1）中的结论分别计算出每一项，最后再计算乘法即可． 【详解】（1）解：图1的面积为，图2的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：①，，， ， ； ② ． 18．如图，某广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处及中间留三块边长均为米的小正方形空地． (1)用含、的代数式表示绿化部分的总面积； (2)若，，求出绿化部分的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)195平方米 【分析】本题主要考查的是整式的四则混合运算的应用，完全平方公式、代数式求值等知识，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据图形可知，绿化的总面积等于长方形的面积减去三个小正方形的面积，然后再把式子去括号化简即可得出答案； （2）把，代入（1）中进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解： 平方米， 答：绿化部分的总面积为平方米； （2）解：当，时， （平方米）． 答：绿化部分的总面积为195平方米． 19．老张购买了一套新房，其结构如图所示（单位：），他打算除卧室外，其余部分都铺地砖． (1)至少需要多少平方米地砖？（用含的式子表示） (2)若房子总面积为，卧室有平方米，除卧室外，地砖的均价为元，则为多少时，费用最高？最高预计为多少？ 【答案】(1)至少需要平方米地砖； (2)n为33时，费用最高，最高预计1089元． 【分析】本题主要考查了列代数式，完全平方公式的应用，能根据题意表示出需要铺地砖部分的面积是解题的关键． （1）根据题意表示出除卧室外的面积即可； （2）根据题意，表示单价面积总费用，列关系式，然后配方为完全平方公式，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解：由题知，(平方米)， 答：至少需要平方米地砖； （2）解：总费用为， ∴当时，费用最高，最高为元． 20．形如，的代数式叫做完全平方式，我们经常将代数式通过配方得到完全平方式，再利用完全平方式的非负性求代数式的最大值或最小值，这种解题方法叫做配方法． 如：求的最小值． 解：． ∵不论a取何值，总是非负数，即， ∴，即当时，有最小值－4． 根据上述材料，解答下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在三角形中，为边上的高，，，，求三角形面积的最大值． 【答案】(1)9 (2)4 (3)1 【分析】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据完全平方公式的形式求解即可； （2）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （3）首先表示出，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵多项式是一个完全平方式， ∴ ∴； （2）． ∵不论a取何值， ∴，即当时，有最小值4； （3）∵，即， ∵， ∴． ∵，则 ∴，即当时，有最大值为1． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3乘法公式寒假预习讲义（北师大版） ☟ 课前预习目标 ●掌握平方差公式、完全平方公式的推导过程与结构特征，能准确区分公式适用场景； ●初步运用公式进行简单的整式乘法运算，理解公式的几何意义，建立数形结合思维； ●明确乘法公式与多项式乘法的关联，规避公式应用中的常见错误，为课堂深化学习铺垫。 ☘ 重点知识梳理归纳 【知识点1平方差公式】 （1）平方差公式的推导： （a＋b）（a－b）＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2， （a＋b）（a－b）＝a2－b2． （2）语言叙述： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． （3）公式的特点： ①公式中的a和b可以是实数，也可以是单项式或多项式； ②公式的左边是两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积，公式的右边是这两个数（式）的平方差（先平方后作差）． 【知识点2完全平方公式】 （1）两数和的完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2； 两数差的完全平方公式：（a－b）2＝a2－2ab＋b2． （2）语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． （3）完全平方公式的特征：完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央． ✏ 核心考点精讲精练 题型1运用平方差公式进行运算 【例1】．下列各式可以利用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．计算：，则 ． 【变式2】．运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； 题型2平方差公式与几何图形 【例2】．从前，一位庄园主把一块边长为a米的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加7米，相邻的另一边减少7米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 【变式1】．长方形的长是，周长是，（其中）则这个长方形的面积是 ． 【变式2】．如图1，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式： ； (2)应用以上公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：； 题型3运用完全平方公式进行运算 【例3】．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．计算： ． 【变式2】．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … (1)请你按照上面4个等式的规律写出第5个等式； (2)请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明你的猜想． 题型4完全平方公式在几何图形中的应用 【例4】．如图，把一个边长为a的正方形相邻两边增加b得到一个新的大正方形，则通过新的大正方形的面积表示可以得到等式（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，两个正方形的边长分别为，，已知，，则阴影部分的面积为 ． 【变式2】．在学习“整式的乘法”时，我们归纳并推导了整式的乘法法则和乘法公式，并借助几何图形的面积关系对法则和公式进行直观解释，感受了代数与几何的内在联系．如图，现有正方形，纸片，将纸片分别放在纸片上（两邻边重合），得到图和图，设正方形的边长为，正方形的边长为，且． (1)请用含，的代数式表示： 图中阴影部分的面积为__________； 图中阴影部分的面积为__________． (2)若图，图中阴影部分的面积分别为和，求与的值． 题型5整式乘法混合运算 【例5】．三个连续偶数，若中间一个数为n，则它们的积是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．计算： ．【变式2】．先化简，再求值：，其中，． 题型6多项式乘多项式---化简求值 【例6】．若，，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式1】．，则代数式 ． 【变式2】．已知，求代数式的值． 题型7通过对完全平方公式化简求值 【例7】．已知，则（   ） A．21 B．25 C．19 D．5 【变式1】．若，则 ． 【变式2】．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．可以得到的等量关系为_____． (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，求和的值． ②已知，求 题型8求完全平方式中的字母系数 【例8】．若是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如果关于x的整式是某个关于x的整式的平方，那么常数 ． 【变式2】．定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． ✍强化巩固综合测试 一、单选题 1．下列各式可以用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，若，则的值为（    ） A．20 B．22 C．24 D．27 3．已知多项式是一个完全平方式，则m的值是（） A．4 B． C． D．8 4．若，，则代数式的值（   ） A． B．1 C．2 D．3 5．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分组成一个长方形如图，根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是（    ）． A． B． C． D． 6．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．计算的结果为 ． 8．已知，，计算下列各式的值： （1） ； （2） ． 9．一张正方形纸片的边长减少，它的面积就减少，这张正方形纸片的边长是 ． 10．已知，，则 ． 11．若规定，则当时，的值为 ． 12．已知，则的值为 ． 13．若是一个完全平方式，则 ． 14．如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是 ． 三、解答题 15．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，； (3)，其中． 16．若，且． (1)求的值； (2)求的值； 17．从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 18．如图，某广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处及中间留三块边长均为米的小正方形空地． (1)用含、的代数式表示绿化部分的总面积； (2)若，，求出绿化部分的总面积． 19．老张购买了一套新房，其结构如图所示（单位：），他打算除卧室外，其余部分都铺地砖． (1)至少需要多少平方米地砖？（用含的式子表示） (2)若房子总面积为，卧室有平方米，除卧室外，地砖的均价为元，则为多少时，费用最高？最高预计为多少？ 20．形如，的代数式叫做完全平方式，我们经常将代数式通过配方得到完全平方式，再利用完全平方式的非负性求代数式的最大值或最小值，这种解题方法叫做配方法． 如：求的最小值． 解：． ∵不论a取何值，总是非负数，即， ∴，即当时，有最小值－4． 根据上述材料，解答下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在三角形中，为边上的高，，，，求三角形面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $