精品解析：天津市和平区第十一中学2025-2026学年上学期八年级第二次月考数学试卷

2025-2026学年度第一学期八年级数学学科统练（二） 一、选择题： 1. 下列式子运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用合并同类型法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法分别判断即可． 【详解】解： A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列从左到右的变形，是分解因式的为( ) A. x2－x=x(x－1) B. a(a－b)=a2－ab C. (a+3)(a－3)=a2－9 D. x2－2x+1=x(x－2)+1 【答案】A 【解析】 【详解】解：A. x2－x=x(x－1)，是因式分解，符合题意； B. a(a－b)=a2－ab，是单项式乘多项式，不符合题意； C. (a+3)(a－3)=a2－9，是乘法公式，不符合题意 D. x2－2x+1=x(x－2)+1，没有变成整式的积，不符合题意； 故选：A． 3. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是分式的性质，将负号提出不影响分式的值．利用分式的性质即可求得答案． 【详解】解：， 故选：C． 4. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键． 利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，符合公式，该选项符合题意； B、，不符合公式，该选项不符合题意； C、，是完全平方公式，非平方差，该选项不符合题意； D、∵， ∴，非平方差公式，该选项不符合题意． 故选A． 5. 下列添括号正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式中的添括号，根据添括号法则：括号前是正号，括到括号里的各项不变号；括号前是负号，括到括号里的各项改变符号．逐一验证各选项． 【详解】解：选项A：右边，故错误； 选项B：右边，故错误； 选项C：右边，与左边相等，故正确； 选项D：右边，故错误． 故选C． 6. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的一次项，合并同类项，令含有x的一次项的系数等于0，即可求出结果． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， 解得， 故选：A． 7. 若，则的值为（ ） A. 9 B. 16 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，将变形为，再将整体代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 8. 若，则的值为【 】 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵， ∴; 故选A． 9. 若把分式中的x，y都变为原来的5倍，则分式的值（　　） A. 是原分式值的5倍 B. 是原分式值的 C. 与原分式值相等 D. 是原分式值的 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意把原分式中的x，y都变为原来的5倍，再进行约分即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 分式的值与原分式的值相等， 故选：C． 【点睛】本题考查的是分式的性质，属于基础题． 10. 下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时, 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①根据，得到有意义; ②当时, ，无意义；③若的值为负，则，； ④若有意义，则有意义，三个分母不等于0，,且，． 本题主要考查了分式有意义的条件和分式为0的条件．熟练掌握分式有意义的条件：分母不为0；分式为0的条件：分子为0，分母不为0．是解决问题的关键． 【详解】①∵， ∴， ∴不论a为何值都有意义， 故此结论正确； ②当时，，此时分式无意义， 故此结论不正确； ③若的值为负， ∵， ∴， ∴， 故此结论正确； ④∵有意义， ∴有意义， ∴， 解得，且， 故此结论不正确． 综上所述，其中正确的个数是2． 故选：B． 11. 有两个正方形A、B．现将B放在A的内部得图甲；将A、B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则A、B两个正方形的面积之和为（　　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图形求出a、b的关系式，进而求得二者的面积关系． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由图甲得：，即，即 由图乙得：，整理得， 所以. 即正方形A、B的面积之和为13． 故选D． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，掌握整体代入的数学思想和数形结合思想是解答本题的关键． 12. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用整式混合运算，结合实数满足，将化简为，再由配方法及平方非负性确定，最后由不等式的性质即可得到，从而确定答案． 【详解】解： ， 实数满足， ， ， ， ， ， 综上所述，， 则， 的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法、完全平方公式、平方差公式及整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算法则及配方法恒等变形是解决问题的关键． 二、填空题： 13. 计算：________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查绝对值和零指数幂的运算，准确的计算是解决本题的关键． 先计算绝对值和零指数幂，再计算加法即可求解． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：3． 14. 若分式的值为零，则x的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件，明确分式的值为0时，分子为0，分母不为0是解题的关键； 根据分式的值为0时，分子为0，分母不为0求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：； 故答案为：1． 15. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，掌握相关知识是解题关键． 使用十字相乘法分解二次三项式即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 16. 若是一个完全平方式，则常数________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方式的定义，掌握完全平方式的形式：是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征，直接求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 若，，则与的大小关系为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据作差法比较大小即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，整式的加减，熟练掌握整式的乘法运算是解题的关键． 18. 如图，在中，，，点在边上，、关于直线对称，的角平分线交边于点，连接．，当的值等于______时，为等腰三角形． 【答案】，或 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理， 先根据轴对称得，进而得，再证明，即可得，然后求出，接下来分三种情况讨论解答即可：当时，可求，再根据，可得答案；当时，可求，根据三角形内角和定理得出答案；当时，可求，再根据三角形内角和定理得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∴. ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 当时， ∴. ∵， ∴， 解得； 当时， ∴. ∵， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∴， ∴， 解得. 当，或，为等腰三角形. 故答案为：，或. 三、解答题： 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，包括完全平方公式、平方差公式、幂的运算和整式的乘除．解题时需熟练掌握相关运算法则，逐步计算． （1）先根据完全平方公式计算，再去括号即可； （2）先算积的乘方，再算单项式的乘法和除法，然后合并同类项即可； （3）先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项； （4）先算括号里，再算除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 分解因式 （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）先用平方差公式分解，再用完全平方公式分解； （3）用十字相乘法分解即可； （4）整理后用完全平方公式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解： ． 21. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先根据分式的混合运算化简，然后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 22. 已知：如图，△ABC中∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC交CB的延长线于点F． （1）求证：AE＝BF； （2）若AC＝24，BC＝10，求AE的长． 【答案】（1）见解析；（2）AE＝7 【解析】 【分析】（1）连接AD，根据垂直平分线的性质和角平分线的性质可得DE=DF，DA=DB，利用HL可证Rt△ADE≌Rt△BDF，从而证出结论； （2）根据角平分线的定义和直角三角形的性质可证∠CDE=∠CDF，然后根据角平分线的性质可证CE=CF，从而得出AC－AE=BC＋BF，代入即可解出结论． 【详解】解：（1）连接AD ∵∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC，DF⊥BC ∴DE=DF，DA=DB ∴Rt△ADE≌Rt△BDF ∴AE＝BF； （2）∵CD平分∠ACB ∴∠ACD=∠BCD ∵DE⊥AC，DF⊥BC ∴∠CED=∠CFD=90° ∴∠CDE=90°－∠ACD=90°－∠BCD=∠CDF ∴CE=CF ∴AC－AE=BC＋BF ∴24－AE=10＋AE 解得：AE=7 【点睛】此题考查的是角平分线的性质、垂直平分线的性质和全等三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质、垂直平分线的性质和全等三角形的判定及性质是解题关键． 23. 学习了完全平方公式后，教师布置了这样一道数学题：已知，求的值．小英同学的作业解答如下： 解：设，，依题意得： ，，第①步 ，第②步 ，第③步 ，第④步 ．第⑤步 （1）你认为小英的解答________正确吗（是、不），若不正确在________步骤出了错误（只填序号）； （2）仿照小英同学的解法，若x满足，求的值； （3）如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是5，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）不，③ （2）2019 （3）21 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，图形的面积，解题的关键是能进行公式的灵活变形． （1）写出正确的步骤与小英的比较即可； （2），则，，然后根据即可求解； （3）由正方形的边长为x，则，，设，， 则，，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：设，，依题意得： ，，第①步 ，第②步 ，第③步 ，第④步 ．第⑤步 ∴小英的解答不正确，在第③步出了错误． 故答案为：不，③； 【小问2详解】 解：设， ∴，， ∵， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：∵正方形的边长为x， ∴，， ∵长方形的面积是5， ∴， 设，， ∴，， ∵四边形和都是正方形，四边形和四边形是长方形， ∴，． ∴，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为21． 24. 阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决： （1）因式分解： （2）因式分解： （3）证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可； （2）设，则原式后，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可； （3）先计算，再利用完全平方公式即可． 【小问1详解】 解：令， ， 将“A”还原，可以得到： 原式； 【小问2详解】 解：令， 则 ， 将“B”还原，可以得到： 原式 ； 【小问3详解】 解： ， ∵n为正整数， ∴正整数． ∴， 即代数式的值一定是某个整数的平方． 【点睛】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期八年级数学学科统练（二） 一、选择题： 1. 下列式子运算正确是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左到右的变形，是分解因式的为( ) A. x2－x=x(x－1) B. a(a－b)=a2－ab C. (a+3)(a－3)=a2－9 D. x2－2x+1=x(x－2)+1 3. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式能用平方差公式计算是（ ） A. B. C. D. 5. 下列添括号正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 1 7. 若，则的值为（ ） A. 9 B. 16 C. 20 D. 25 8. 若，则的值为【 】 A. B. C. D. 9. 若把分式中的x，y都变为原来的5倍，则分式的值（　　） A. 是原分式值5倍 B. 是原分式值的 C. 与原分式值相等 D. 是原分式值的 10. 下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时, 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 有两个正方形A、B．现将B放在A的内部得图甲；将A、B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则A、B两个正方形的面积之和为（　　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 12. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题： 13. 计算：________． 14. 若分式的值为零，则x的值为______． 15. 分解因式：________． 16. 若一个完全平方式，则常数________． 17. 若，，则与的大小关系为__________． 18. 如图，在中，，，点在边上，、关于直线对称，的角平分线交边于点，连接．，当的值等于______时，为等腰三角形． 三、解答题： 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 分解因式 （1）； （2）； （3）； （4） 21. 先化简，再求值：，其中 22. 已知：如图，△ABC中∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC交CB的延长线于点F． （1）求证：AE＝BF； （2）若AC＝24，BC＝10，求AE的长． 23. 学习了完全平方公式后，教师布置了这样一道数学题：已知，求的值．小英同学的作业解答如下： 解：设，，依题意得： ，，第①步 ，第②步 ，第③步 ，第④步 ．第⑤步 （1）你认为小英的解答________正确吗（是、不），若不正确在________步骤出了错误（只填序号）； （2）仿照小英同学的解法，若x满足，求的值； （3）如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是5，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积． 24. 阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决： （1）因式分解： （2）因式分解： （3）证明：若n为正整数，则代数式值一定是某个整数的平方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $