精品解析：江苏省常州高级中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

江苏省常州高级中学 2025—2026学年第一学期期末质量检查高一年级 数学试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解两个集合中的不等式后得到对应的集合，然后进行并集的运算即可. 【详解】由，解得，所以，由，解得，所以， 因此. 故选：B. 2. 若，且为第四象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系和角的范围得到和. 【详解】由题可知为第四象限角，则， 则， 则. 故选：D. 3. 已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据周长确定扇形半径，再计算面积即可. 【详解】设扇形半径为，则，， 所以. 故选：D. 4. 幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可. 【详解】设， 代入点得 ， 则，令， 函数的值域是. 故选：C. 5. 函数的图象大致为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】讨论、确定对应，结合指数函数的图象及排除法确定函数的图象. 【详解】当时，为减函数，排除C、D， 当时，为增函数，排除B. 故选：A 6. 已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简得到，利用投影向量的公式进行求解. 【详解】因为，所以，化简得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 7. 已知函数（且），若将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，再将函数的图象向下平移2个单位长度，所得图象与的图象重合，则实数（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的变换规则，得到变换后的函数表达式，再结合图象重合的条件建立等式求解. 【详解】由题意可得， 再将函数的图象向下平移2个单位长度，所得图象与的图象重合， 则， 即， 所以， 又因为， 所以. 故选：C. 8. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先判断函数的奇偶性和在上的单调性，再利用诱导公式，结合正切函数的单调性，即可求解. 【详解】由函数， 因为，所以函数为偶函数， 令，其在上为单调递增函数，因为在上为单调递减函数， 所以函数在上为单调递减函数， 令在上为单调递增函数， 当时，可得且， 根据对勾函数的性质，可得函数在上为单调递增函数， 所以函数在上为单调递减函数， 所以函数在上为单调递减函数， 又由， ，，根据单位圆图形易知， 则，所以. 故选：A. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】解出不等式，再逐项判断可得答案. 【详解】对于A，是或的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，既不是或的充分条件也不是必要条件，故B错误； 对于C，或是或的一个充分不必要条件，故C正确； 对于D，既不是或的充分条件也不是必要条件，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，其最小正周期为，则（ ） A. B. C. 的一个单调递增区间为 D. 函数的一条对称轴为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据求出最小正周期；B选项，，求出，；C选项，整体法进行求解，C正确；D选项，求出对称轴方程为，时，D正确. 【详解】A选项，函数的最小正周期为，选项A正确； B选项，由题图可得，所以， 因为，所以，得，选项B错误； C选项，由，得， 取，可得函数的一个单调递增区间为，选项C正确； D选项，，则的对称轴为的对称中心的横坐标， 令，解得，时，D正确. 故选：ACD. 11. 已知连续函数满足：①，则有；②当时，；③，则以下说法中正确的是（ ） A. B. C. 在上的最大值是7 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法计算判断AB；利用函数单调性定义，结合AB中信息确定函数的单调性，再求出指定区间上最大值判断C；利用单调性求解不等式判断D. 【详解】对于A，由，，令，则，解得，A正确； 对于B，令，则， 因此，B错误； 对于C，设任意且，则，而当时，， 于是，， 函数在上单调递减，当时，， 又，，解得，因此，C正确； 对于D，由，，得， 则，即，于是， 即，则，解得，因此原不等式的解集为，D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，若，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，根据向量平行得到方程，求出实数的值. 详解】，， ， 故答案为： 13. 已知函数，若，当时，都有，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】，所以函数在上严格递增，从而得到不等式组，求出的取值范围为. 【详解】因为对于任意，当时，都有， 即， 所以函数在上严格递增， 即在上严格递增， 所以，解得， 即的取值范围为. 故答案为：. 14. 函数恒有，且在上单调递减，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】由已知可得，可得，已知在上单调递减，可得，解得，时时，检验后得到结论 【详解】由已知恒有， 可得，可得， 可得，可得， 已知在上单调递减， 可得，可得，解得， 时时， 时，，符合题意， 时，，符合题意. 故答案为：或. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用对数运算法则计算出答案； （2）平方后得到，从而得到，求出答案. 【详解】（1）原式； （2）因为，所以， 即， ， ，即， ， . 16. 如图，在中，，，，点D，E满足，，AC边上的中线BM与DE交于点O.设，. （1）用向量，表示，； （2）求. 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算即可求解； （2）利用平面向量的数量积公式即可求解. 【小问1详解】 因为为边上的中线， ， 因为，， 所以，， 所以. 小问2详解】 由，得，， 又，所以向量与得夹角， 由图形可知的大小等于向量与的夹角， ， ， ， 所以， 又因为，所以. 17. 已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且过点. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象.若图像的一个对称中心为，求的最小值； （3）当时，，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）求出最小正周期，故，代入得到，得到函数解析式； （2）根据左加右减可得，由对称中心得到方程，求出，由，当时，最小，此时； （3）先根据得到，由同角三角函数关系得到，由诱导公式可得的值. 【小问1详解】 相邻两个交点之间的距离为， ， ， ， ， ， ， ， . 【小问2详解】 由题可知的一个对称中心为， 则， 解得， 由，当时，最小，此时； 【小问3详解】 ， ， ， ， ， . 18. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）已知正实数满足， ①求的值； ②若对任意满足上述条件的正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）①3；② 【解析】 【分析】（1）定义域为R，且，得到为奇函数； （2）①定义法得到在上单调递减，又为R上的奇函数，得到，则； ②由基本不等式“1”的妙用求出最值，得到答案. 【小问1详解】 函数为奇函数， 证明如下：函数， 则， 所以为奇函数； 【小问2详解】 ①任取， 则 ， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以， 即， 所以在上单调递减， 又为R上的奇函数， 所以在上单调递减， 为奇函数，所以， 又在R上单调递减，所以，则； ② ， 由基本不等式（当且仅当，即时取等号）， 故， 若对任意使得恒成立，则， 即的取值范围为. 19. 对于函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的1个“跃点”． （1）求证：函数在上是“1跃点”函数； （2）若函数在上存在2个“1跃点”，求实数的取值范围； （3）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2022个“跃点”？若存在，请求出和满足的条件；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）将要证明问题转化为方程在上有解，构造函数转化为函数零点问题，结合零点存在性定理可证； （2）原问题等价于方程在由两个根，然后构造二次函数，转化为零点分布问题可解； （3）将问题转化为方程在上有2022个实数根，再转化为两个函数交点个数问题，然后可解. 【小问1详解】 因为 整理得，令， 因为，所以在区间有零点，即存在，使得，即存在，使得， 所以，函数在上是“1跃点”函数 【小问2详解】 函数在上存在2个“1跃点”方程在上有两个实数根， 即在上有两个实数根， 令，则 解得或， 所以的取值范围是 【小问3详解】 由，得， 即 因为函数在上有2022个“跃点”，所以方程在上有2022个解，即函数与的图象有2022个交点. 所以或或 即或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省常州高级中学 2025—2026学年第一学期期末质量检查高一年级 数学试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，且为第四象限角，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（且），若将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，再将函数的图象向下平移2个单位长度，所得图象与的图象重合，则实数（ ） A. B. C. D. 4 8. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 使不等式成立一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. 或 D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，其最小正周期为，则（ ） A. B. C. 的一个单调递增区间为 D. 函数的一条对称轴为 11. 已知连续函数满足：①，则有；②当时，；③，则以下说法中正确的是（ ） A B. C. 在上的最大值是7 D. 不等式的解集为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，若，则实数的值为______. 13. 已知函数，若，当时，都有，则实数的取值范围为__________. 14. 函数恒有，且在上单调递减，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）若，求的值. 16. 如图，在中，，，，点D，E满足，，AC边上中线BM与DE交于点O.设，. （1）用向量，表示，； （2）求. 17. 已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且过点. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象.若图像的一个对称中心为，求的最小值； （3）当时，，求的值. 18. 已知函数. （1）判断函数奇偶性，并证明； （2）已知正实数满足， ①求的值； ②若对任意满足上述条件正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 对于函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的1个“跃点”． （1）求证：函数在上是“1跃点”函数； （2）若函数在上存在2个“1跃点”，求实数的取值范围； （3）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2022个“跃点”？若存在，请求出和满足的条件；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $