专题7.2 幂的乘方与积的乘方（高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级下册

专题7.2 幂的乘方与积的乘方 教学目标 1.理解幂的乘方与积的乘方的运算性质，能准确用文字和符号语言表述法则。 2.掌握幂的乘方、积的乘方的推导过程，明确法则的适用条件。 3.能熟练运用两个法则进行独立计算，解决含字母、数字及负号的幂的乘方、积的乘方运算问题。 4.能区分幂的乘方、积的乘方与同底数幂乘法的法则差异，避免运算混淆。 教学重难点 1.重点 （1）掌握幂的乘方运算及其逆用； （2）掌握积的乘方运算及其逆用； 2.难点 （1）灵活运用幂的乘方与积的乘方； 知识点01 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 【即学即练】 1．（25-26七年级下·江苏南通·期中）下列各式中，计算结果不是的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知，则 ． 知识点02 积的乘方 （1）积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【即学即练】 3．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： （1） ； （2） ． 4．（23-24七年级下·江苏宿迁·月考）计算 ． 题型01 幂的乘方运算 【典例1】（25-26七年级下·江苏无锡·阶段训练）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·江苏苏州·阶段训练）若，则，的值分别为（    ） A．9，5 B．3，5 C．5，3 D．3，12 【变式2】（2026七年级下·江苏·专题练习）______． 【变式3】（25-26七年级下·江苏常州·阶段训练）已知，则 ． 【变式4】（25-26八年级上·全国·期末）计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 题型02 幂的乘方运算逆用 【典例1】（25-26七年级下·江苏镇江·阶段训练）已知，，则（    ） A．54 B．24 C．36 D．108 【变式1】（25-26七年级下·江苏连云港·阶段训练）若，则的值为（    ） A．6 B．12 C．18 D．36 【变式2】（25-26七年级下·江苏南京·阶段训练）若，则 ． 【变式3】（25-26七年级下·江苏常州·阶段训练）已知，，则的值是 ． 【变式4】（25-26七年级下·江苏南通·阶段训练）已知． (1)求代数式的值． (2)求的值． 题型03 积的乘方运算 【典例1】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南京·期末）与相等的是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）计算： ． 【变式3】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】计算： (1) (2) (3) 题型04 积的乘方运算逆用 【典例1】（25-26七年级下·江苏·月考）计算的值等于（   ） A． B．4 C．5 D． 【变式1】（25-26七年级下·江苏宿迁·专题练习）明朝徐光启在翻译《几何原本》时，用“自乘之数曰幂”来解释幂．若，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（25-26七年级下·江苏盐城·月考）若，则 ． 【变式3】（25-26七年级下·江苏泰州·月考）观察与思考： ①；②． (1)算式①的运算依据是________，算式②的运算依据是________． (2)计算 【变式4】（25-26七年级下·江苏·周测）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 题型05 已知代数式的值求幂的乘方结果 【典例1】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）已知，则的值为（    ） A．1 B．4 C．8 D．16 【变式1】（25-26七年级下·江苏·期中）已知，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【变式2】（25-26七年级下·江苏连云港·期末）当时，则 ． 【变式3】（24-25七年级上·上海·期中）设、是正整数，已知，，那么的值为 ． 【变式4】（25-26七年级上·上海·月考）按要求计算下面各题： (1)已知，，则的值． (2)已知，求的值． 题型06 指数的数量关系 【典例1】（25-26八年级上·河北唐山·期中）计算，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·湖北恩施·期末）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·江苏南京·期中）已知，，，则a，b，c之间满足的等量关系是 ． 【变式3】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知，，，探究a，b，c之间满足的等量关系并给出证明过程． 【变式4】（22-23七年级下·浙江杭州·单元测试）若，试探究代数式与之间关系． 题型07 新定义运算 【典例1】（24-25七年级下·广东茂名·期末）我们定义：，若，则的值为（   ） A．4 B．16 C．64 D．256 【变式1】定义一种新的运算：一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，，那么会有．求（   ） A．19 B．21 C．16 D．40 【变式2】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）我们定义：三角形，五角星； （1）＝ ； （2）若，则＝ ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·周测）定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 【变式4】（24-25七年级下·山东青岛·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解答下列问题： (1)求的值． (2)，，，求的值． (3)若运算的结果为，则的值是多少？ 题型08 幂的乘方与积的乘方的规律计算 【典例1】观察等式：；；…已知按一定规律排列的一组数：、、、…、、．若，用含m的式子表示这组数的和是（    ） A． B． C． D． 【变式1】阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 【变式2】（25-26七年级下·江苏常州·期中）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． (3)若，请求出n的值． 【变式3】（25-26七年级下·江苏·期中）阅读材料：根据乘方的意义计算： 例如1： 例如2： (1)仿照上面材料的计算方法计算：； (2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）___________； (3)用（2）的规律计算： 【变式4】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算并认真观察： (1)计算： ①___________；___________；②___________；___________． (2)根据以上两组计算结果的规律，猜想：___________（是正整数）； (3)根据你发现的规律与猜想，简便计算：． 1．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若，则的值为（   ）． A． B．1 C．8 D．64 2．（25-26七年级下·江苏南京·月考）在比较和的大小时，老师给出了如下的方法：；．，． 请你根据上面所提供的信息，判断和的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 3．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）计算的结果是（） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·江苏·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·江苏镇江·月考）已知，为实数，，，则（   ） A． B．1 C． D． 6．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 7．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若的运算结果为S，则S不能被下列哪个数整除（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 8．（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则 ． 9．计算的结果为 ． 10．（25-26七年级下·江苏·期中）若，则 ． 11．填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 12．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，，，则 ． 13．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在年月号开跑的无锡马拉松比赛中，赛道总长度约为公里，选手们沿途经过湖光山色、城市风貌，体验“人在画中跑”．为了鼓励选手们保持稳定的配速，组委会决定在赛道上设置若干个能量补给站，假设第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；（幂的指数从整数推广到正分数以后，整数指数幂的运算性质仍然适用）……计算前个补给站能量包的总数为 千个；由上述计算可知，若（为正数），则 ． 14．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若 ，则（且，m，n是正整数）．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果那么 ； （2）如果，那么= ． 15．（24-25七年级下·全国·周测）已知，求的值． 16．（25-26七年级下·江苏·月考）（1）已知，，求 （2）已知，求的值． 17．（25-26七年级下·江苏·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 18．逆向思维的重要性在于它能够帮助我们更好地解决问题、理解他人、创新突破，并且对于应对未来的挑战具有重要意义．在数学领域中，逆向思维是一种重要的思维方式，它可以帮助我们从不同的角度解决问题．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，都是正整数）．请你运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)计算：______． (2)，，． (3)已知，求的值． (4)已知，，，请把，，用“”连接起来：______． 19．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，（，m，n为正整数）．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)求的值． (2)若，求m的值． (3)比较大小：若，，，，则a，b，c，d的大小关系是______．（提示：，n为正整数，那么） 20．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)若，，用含m的代数式表示 ． 21．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【教材研究】：下面方框内是2022年湘教版教材内的一道例题． 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题． 计算：． 解：原式， ， ， ． (1)计算： ①； ②． (2)如果，求的值． 22．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：因为，所以． (1)根据上述规定，计算______； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象，，小明给出了如下证明： 设，则，即， ∴，即， ∴． 请你尝试用这种方法证明下面这个等式：． 23．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ___________， ___________； ___________； （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，并作出了如下的说明： 设，则， ，即， ． 试参照小明的说明过程，解决下列问题： [运用] 计算； [探究] 若令，，，试说明； [综合应用] ①若，，，则，，之间的数量关系为___________； ②计算___________ 24．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y（结果需要化简）． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 幂的乘方与积的乘方 教学目标 1.理解幂的乘方与积的乘方的运算性质，能准确用文字和符号语言表述法则。 2.掌握幂的乘方、积的乘方的推导过程，明确法则的适用条件。 3.能熟练运用两个法则进行独立计算，解决含字母、数字及负号的幂的乘方、积的乘方运算问题。 4.能区分幂的乘方、积的乘方与同底数幂乘法的法则差异，避免运算混淆。 教学重难点 1.重点 （1）掌握幂的乘方运算及其逆用； （2）掌握积的乘方运算及其逆用； 2.难点 （1）灵活运用幂的乘方与积的乘方； 知识点01 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 【即学即练】 1．（25-26七年级下·江苏南通·期中）下列各式中，计算结果不是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查指数运算法则，需熟练掌握幂的乘方和同底数幂相乘的法则． 通过指数运算法则计算各选项，找出结果不为的项． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法和幂的乘方的逆运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用同底数幂乘法和幂的乘方的逆运算将 转化为 ，再代入已知数值计算即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ∴， 故答案为：． 知识点02 积的乘方 （1）积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【即学即练】 3．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积，即（m为正整数）． （1）根据积的乘方的运算法则计算即可； （2）根据积的乘方的运算法则计算即可． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·江苏宿迁·月考）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆运算，积的乘方的逆运算，先整理原式，再运算乘方，最后运算乘法，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为： 题型01 幂的乘方运算 【典例1】（25-26七年级下·江苏无锡·阶段训练）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂相乘、合并同类项、幂的乘方等知识内容，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（25-26七年级下·江苏苏州·阶段训练）若，则，的值分别为（    ） A．9，5 B．3，5 C．5，3 D．3，12 【答案】B 【分析】先根据积的乘方与幂的乘方法则，对等式左边进行化简，再通过等式两边对应字母的指数相等，建立方程求出 m 和 n 的值，最后与选项进行比对． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ 且 ， ∴ ，． 故选：B． 【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，解题关键是熟练掌握幂的运算法则，并通过指数相等建立方程求解． 【变式2】（2026七年级下·江苏·专题练习）______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握相关公式是解题的关键． 根据指数运算规则，分别计算每个部分的符号和指数，然后相乘． 【详解】解：原式． 【变式3】（25-26七年级下·江苏常州·阶段训练）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，将转化为，利用同底数幂相乘的法则，合并指数后代入已知条件计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：因为， 所以， 因此， 因为， 所以， 故答案为：． 【变式4】（25-26八年级上·全国·期末）计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，逐个计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型02 幂的乘方运算逆用 【典例1】（25-26七年级下·江苏镇江·阶段训练）已知，，则（    ） A．54 B．24 C．36 D．108 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂相乘的逆运算，根据，再代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 【变式1】（25-26七年级下·江苏连云港·阶段训练）若，则的值为（    ） A．6 B．12 C．18 D．36 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算性质，关键是逆用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将所求式子转化为已知条件的形式． 【详解】解：∵，且， ∴． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·江苏南京·阶段训练）若，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方．根据题意可得，再根据同底数幂的乘法，幂的乘方计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：9 【变式3】（25-26七年级下·江苏常州·阶段训练）已知，，则的值是 ． 【答案】 75 【分析】本题主要考查了求代数式的值．熟练掌握幂的乘方法则逆用，同底数幂的乘法法则逆用，是解题的关键．利用指数运算法则，将 分解为 ，再代入已知值计算 【详解】解：由已知 ，， 根据指数运算法则，．其中 ， 代入得 ． 故答案为：75． 【变式4】（25-26七年级下·江苏南通·阶段训练）已知． (1)求代数式的值． (2)求的值． 【答案】(1)10 (2)500 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用． （1）根据进行计算； （2）将变形为即可求解． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 题型03 积的乘方运算 【典例1】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方运算． 根据积的乘方运算法则直接计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南京·期末）与相等的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方的应用，能正确根据幂的乘方和积的乘方法则进行化简是解此题的关键． 先根据幂的乘方和积的乘方进行化简，再判断即可． 【详解】解：选项A：，故不符合题意； 选项B：，故不符合题意； 选项C：，故符合题意； 选项D：，故不符合题意． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方运算，根据积的乘方运算以及幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为． 【变式3】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不正确，正确应为 (2)不正确，正确应为 (3)不正确，正确应为 (4)不正确，正确应为 【分析】本题主要考查积的乘方，熟练掌握积的乘方是解题的关键；因此可根据积的乘方“每个因式都乘方，然后把结果相乘”进行求解（1）（2）（3）（4）． 【详解】（1）解：计算不正确，正确过程如下： ； （2）解：计算不正确，正确过程如下： ； （3）解：计算不正确，正确过程如下： ； （4）解：计算不正确，正确过程如下： ． 【变式4】计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了单项式乘以单项式运算，幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的、积的乘方运算法则，同底数幂的乘法运算法则． （1）利用积的乘方运算法则计算； （2）利用幂的、积的乘方运算法则计算； （3）利用幂的、积的乘方、同底数幂的乘法运算法则计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型04 积的乘方运算逆用 【典例1】（25-26七年级下·江苏·月考）计算的值等于（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方法则的逆用，同底数幂乘法法则的逆用，将化为分数，利用同底数幂相乘的逆运算以及积的乘方的逆运算进行化简，计算，即可作答． 【详解】解： ， 故选：B 【变式1】（25-26七年级下·江苏宿迁·专题练习）明朝徐光启在翻译《几何原本》时，用“自乘之数曰幂”来解释幂．若，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方的逆运算，根据，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·江苏盐城·月考）若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了积的乘方的逆运算，解一元一次方程， 将方程左边利用积的乘方的逆运算法则化为同底数幂的形式，再根据底数相同指数相等列方程求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·江苏泰州·月考）观察与思考： ①；②． (1)算式①的运算依据是________，算式②的运算依据是________． (2)计算 【答案】(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘 (2) 【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等． （1）根据题干算式，直接写出其运用的幂的运算法则即可； （2）将算式中的幂化为同指数幂，再逆用积的乘方法则进行计算即可 【详解】（1）解：算式①的运算依据是同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 算式②的运算依据是幂的乘方，底数不变，指数相乘； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘； （2）解：． 【变式4】（25-26七年级下·江苏·周测）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有”比较大小即可； （2）将与化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小； （3）首先将和化为指数相同的幂，将和也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和， 当时，则有， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴； （3）原式 ． 题型05 已知代数式的值求幂的乘方结果 【典例1】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）已知，则的值为（    ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，根据得到，将变形为，再整体代入求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级下·江苏·期中）已知，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 将转化为，利用同底数幂相乘的法则与幂的乘方，结合已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【变式2】（25-26七年级下·江苏连云港·期末）当时，则 ． 【答案】81 【分析】此题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则是关键． 将27和9分别化为以3为底的幂，利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，结合已知条件求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵ ， ∴ ， ∴， 故答案为：81 【变式3】（24-25七年级上·上海·期中）设、是正整数，已知，，那么的值为 ． 【答案】135 【分析】该题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用，利用指数运算法则，将 分解为 ，再计算 ． 【详解】解：∵ ，， 则 ， 所以 ． 故答案为：135． 【变式4】（25-26七年级上·上海·月考）按要求计算下面各题： (1)已知，，则的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)18 (2)64 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及其逆用、幂的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据同底数幂的乘法及幂的乘方可进行求解； （2）根据同底数幂的乘法的逆用及幂的乘方可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 题型06 指数的数量关系 【典例1】（25-26八年级上·河北唐山·期中）计算，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方的应用等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 将左边三个同底数幂相加合并，再运用同底数幂相乘的运算法则化简，右边幂的乘方化为同底数形式，然后再比较指数即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·湖北恩施·期末）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，有理数乘方的逆运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据已知等式可得，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（22-23七年级下·江苏南京·期中）已知，，，则a，b，c之间满足的等量关系是 ． 【答案】 【分析】根据，把各数代入即可求解． 【详解】∵4×9=62，，， ∴ 故 ∴ 故答案为：． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则． 【变式3】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知，，，探究a，b，c之间满足的等量关系并给出证明过程． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，熟练掌握同底数幂乘法法则和幂的乘方法则成为解题的关键． 先根据同底数幂乘法法则和幂的乘方法则计算与的关系，进而完成解答． 【详解】解：a，b，c之间满足的等量关系为：，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴，即． 【变式4】（22-23七年级下·浙江杭州·单元测试）若，试探究代数式与之间关系． 【答案】 【分析】由条件可得可得，而，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，积的乘方的逆运算，掌握“利用幂的运算与逆运算进行变形”是解本题的关键． 题型07 新定义运算 【典例1】（24-25七年级下·广东茂名·期末）我们定义：，若，则的值为（   ） A．4 B．16 C．64 D．256 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算、有理数的混合运算，解决本题的关键是求出． 由定义可得，，． 【详解】 解：因为， 所以， 所以， 因为， 所以 故选：C． 【变式1】定义一种新的运算：一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，，那么会有．求（   ） A．19 B．21 C．16 D．40 【答案】B 【分析】本题是材料问题，考查了对数的定义及性质，幂的运算性质，理解题中对数的定义及性质是解题的关键与难点．把化为，再结合新定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ； 故选：B 【变式2】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）我们定义：三角形，五角星； （1）＝ ； （2）若，则＝ ． 【答案】 27 32 【分析】此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）按照规定的运算顺序进行计算即可； （2）先根已知条件和规定的运算得到，再利用规定的运算得到算式利用同底数幂的乘法和幂的乘方变形为，整体代入即可得到答案． 【详解】 解：（1）由题意得：， 故答案为：27； （2）∵＝4， ∴， ∴， ∴ 故答案为：32． 【变式3】（24-25七年级下·全国·周测）定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当，，时， ． 【变式4】（24-25七年级下·山东青岛·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解答下列问题： (1)求的值． (2)，，，求的值． (3)若运算的结果为，则的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）结合幂的乘方及同底数幂的乘法的法则进行运算即可； （3）根据新定义的运算，结合同底数幂的乘法与有理数的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）当，，时， ； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 【点睛】本题考查新定义，幂的乘方，同底数幂的乘法，有理数的乘方，求代数式的值，解题的关键是正确理解新定义，掌握相应的运算法则． 题型08 幂的乘方与积的乘方的规律计算 【典例1】观察等式：；；…已知按一定规律排列的一组数：、、、…、、．若，用含m的式子表示这组数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探索以及幂的乘方，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：．由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可． 【详解】∵； ； … ∴， ∴ ， ∵ ∴， ∴原式． 故选：D． 【变式1】阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 【答案】(1)， (2)①1，1② 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用积的乘方法则计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 故答案为：，； （2）解：①， ， 故答案为：1，1； ② ． 【变式2】（25-26七年级下·江苏常州·期中）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． (3)若，请求出n的值． 【答案】(1)， (2)①，  ② (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题意计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解即可； （3）根据幂的乘方和积的乘方逆运算法则解答即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：①； ； 故答案为：，； ② ； （3）解：， ∴， 解得． 【变式3】（25-26七年级下·江苏·期中）阅读材料：根据乘方的意义计算： 例如1： 例如2： (1)仿照上面材料的计算方法计算：； (2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）___________； (3)用（2）的规律计算： 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，解题的关键是找出规律，进行简便计算． （1）根据积的乘方的逆运算直接求解即可得到答案； （2）根据乘方的积等于积的乘方即可得到答案； （3）根据乘方的积等于积的乘方即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意可得， 故答案为：； （3）解：             ． 【变式4】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算并认真观察： (1)计算： ①___________；___________；②___________；___________． (2)根据以上两组计算结果的规律，猜想：___________（是正整数）； (3)根据你发现的规律与猜想，简便计算：． 【答案】(1)①；；②； (2) (3) 【分析】本题考查数与式的变化规律， （1）①通过计算得出结论；②通过计算得出结论； （2）根据（1）计算结果的规律猜想得出结论； （3）根据发现的规律与猜想进行计算； 根据算式中数的变化找出变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：①；， 故答案为：；； ②；， 故答案为：；； （2）根据以上两组计算结果的规律，猜想：， 故答案为：； （3） ． 1．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若，则的值为（   ）． A． B．1 C．8 D．64 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的运算，幂的乘方，代数式求值，掌握幂运算的运算法则是解题关键． 将 转化为以 2 为底的指数形式，利用已知条件进行计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ． 故选：C． 2．（25-26七年级下·江苏南京·月考）在比较和的大小时，老师给出了如下的方法：；．，． 请你根据上面所提供的信息，判断和的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用，将不同指数的幂转化为相同指数的幂，再通过比较底数大小判断幂的大小是解题的关键． 仿照题干中的方法，将指数化为相同后比较底数即可． 【详解】解：∵ ，， 又 ∵ ， ∴ ，即 ． 故选：B． 3．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）计算的结果是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算，先根据偶次幂的性质将化为，再利用积的乘方法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 4．（25-26七年级下·江苏·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算性质、代数式的化简求值，掌握幂的乘方和积的乘方运算法则是解题关键． 利用幂的乘方和积的乘方运算，结合推出，再化简并计算其次幂，得到结果． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：． 5．（25-26七年级下·江苏镇江·月考）已知，为实数，，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，巧妙利用指数运算性质，将乘积关系转化为指数相加，简化计算．通过指数运算，将已知等式转化为合适的指数形式，利用指数求解． 【详解】解：∵，， ，， ∴， ∴， ∴， ， 故选：B． 6．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等的逆运算，合并同类项．将等式右边的两个幂次项提取公因数，转化为平方数的乘积形式，进而开平方得到m的值，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选D． 7．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若的运算结果为S，则S不能被下列哪个数整除（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，以及积的乘方，根据法则进行计算即可； 【详解】解：原式= 故原式可以被5，7，9整除． 故选：D ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则 ． 【答案】24 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法法则，掌握幂的乘方、同底数幂的乘法是解题的关键． 利用指数法则将所求表达式用已知量表示并计算． 【详解】解：由，得； 由，得， 所以． 故答案为 ：． 9．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方运算及科学记数法的整理，掌握积的乘方、幂的乘方的运算法则是解题的关键． 应用积的乘方法则和幂的乘方法则分别计算两个部分的幂，再根据有理数乘法法则计算乘积． 【详解】解：计算：根据积的乘方法则得：， 计算：同理，， 计算乘积：， 写成科学计数法：， 故答案为： ． 10．（25-26七年级下·江苏·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，代数式求值以及乘方等运算，解题的关键是掌握幂的乘方的逆运算，正确求得的值． 由可得，，解得，将代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，解得， 将代入可得， 原式， 故答案为：． 11．填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数的乘方的积，即（m为正整数）． （1）根据积的乘方运算法则计算即可； （2）根据积的乘方运算法则计算即可； （3）根据积的乘方运算法则计算即可； （4）根据积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：； （4）． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法的逆用，根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则推出，从而得到，即可求出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 13．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在年月号开跑的无锡马拉松比赛中，赛道总长度约为公里，选手们沿途经过湖光山色、城市风貌，体验“人在画中跑”．为了鼓励选手们保持稳定的配速，组委会决定在赛道上设置若干个能量补给站，假设第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；（幂的指数从整数推广到正分数以后，整数指数幂的运算性质仍然适用）……计算前个补给站能量包的总数为 千个；由上述计算可知，若（为正数），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂乘方运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．前个补给站能量包的总数为，可转化为，即可求解，由可得，即可求出． 【详解】解：前个补给站能量包的总数为 （千个）， （为正数）， ， ， 故答案为：，． 14．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若 ，则（且，m，n是正整数）．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果那么 ； （2）如果，那么= ． 【答案】 / 1 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘． （1）把改写为，进而得出关于x的方程求解； （2）由得，左右分别相乘得，从而得出，然后代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 15．（24-25七年级下·全国·周测）已知，求的值． 【答案】 【分析】先将、转化为以为底数的幂，再结合已知条件求出指数的和，进而计算幂的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法及负整数指数幂，解题关键是将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件求出指数的代数和，进而计算幂的结果． 16．（25-26七年级下·江苏·月考）（1）已知，，求 （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的运算性质，掌握同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用和同底数幂的乘法是解决此题的关键． （1）根据同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用计算即可； （2）先将式子化为同底数幂相乘，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴ （2）∵ ∴ ∴． 17．（25-26七年级下·江苏·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 18．逆向思维的重要性在于它能够帮助我们更好地解决问题、理解他人、创新突破，并且对于应对未来的挑战具有重要意义．在数学领域中，逆向思维是一种重要的思维方式，它可以帮助我们从不同的角度解决问题．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，都是正整数）．请你运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)计算：______． (2)，，． (3)已知，求的值． (4)已知，，，请把，，用“”连接起来：______． 【答案】(1) (2)5，81，6 (3)64 (4) 【分析】本题主要考查的幂的运算法则的逆向运用，解题关键是正确运用公式，将所求的式子变形． （1）把看作一个整体，先用同底数幂的运算法则，在运用积的乘方法则计算即可； （2）依次用同底数幂的运算法则，幂的乘方法则，积的乘方法则，计算即可； （3）由，得，根据，即可求解； （4）先变形，，，进而即可得出结论． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：， ， ． 故答案为：5，81，6． （3）解：， ． ． （4）解：， ， ， 又， ， 即． 故答案为：． 19．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，（，m，n为正整数）．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)求的值． (2)若，求m的值． (3)比较大小：若，，，，则a，b，c，d的大小关系是______．（提示：，n为正整数，那么） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算，解决本题的关键是逆运用计算法则． （1）逆用同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，进行运算，即可解答； （2）转化为底数为３的幂进行计算，即可解答； （3）转化为指数相同的幂，再根据正指数相同的正数底数幂，底数大的幂大，底数小的幂小，比较大小，即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ∵ ， ∴， ∴， 解得． （3）解：∵，，， ∴， ， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 20．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)若，，用含m的代数式表示 ． 【答案】(1)6 (2)3 (3) 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）利用幂的乘方的逆运算将变形为，再根据题目中的规定即可求解； （2）将变形为，计算出，即可求解； （3）由得，再将变形为即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， 故答案为：． 21．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【教材研究】：下面方框内是2022年湘教版教材内的一道例题． 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题． 计算：． 解：原式， ， ， ． (1)计算： ①； ②． (2)如果，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）①根据同底数幂的乘法和积的乘方逆运算求解即可； ②根据幂的乘方和积的乘方逆运算求解即可； （2）根据同底数幂的乘法得到，然后指数相等得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 22．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：因为，所以． (1)根据上述规定，计算______； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象，，小明给出了如下证明： 设，则，即， ∴，即， ∴． 请你尝试用这种方法证明下面这个等式：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂相乘，解题关键是熟练掌握幂的乘方和同底数幂相乘法则． （1）根据已知条件中的新定义进行解答即可； （2）设，，，然后根据已知条件中的定义写成幂的形式，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，从而证明即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：1； （2）证明：设，，， ，，， ， ， ， ，即． 23．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ___________， ___________； ___________； （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，并作出了如下的说明： 设，则， ，即， ． 试参照小明的说明过程，解决下列问题： [运用] 计算； [探究] 若令，，，试说明； [综合应用] ①若，，，则，，之间的数量关系为___________； ②计算___________ 【答案】（1），，；（2）[运用]：；[探究]：见解析；[综合应用]：①；② 【分析】本题考查了新定义，幂的乘方、同底数幂相乘，理解新定义，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据运算的定义计算即可得解； （2）[运用]：根据例题，将各数写成幂的形式并计算即可得解； [探究]：根据运算的定义及同底数幂的乘法运算法则计算即可得解； [综合应用]：①根据运算的定义及同底数幂的乘法运算法则计算即可得解；②根据运算的定义及同底数幂的乘法运算法则计算即可得解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）[运用]： ； [探究]：∵令，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； [综合应用]：①∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； ②令，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 24．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y（结果需要化简）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了逆用幂的乘方法则，逆用同底数幂的乘法则，解题关键是掌握逆用幂的乘方法则和逆用同底数幂的乘法则． （1）利用逆用幂的乘方法则计算； （2）逆用同底数幂的乘法计算； （3）逆用幂的乘方法则计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，解得：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $