第15章 分式 单元测试 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

第15章 分式 单元测试华东师大版 2025-2026数学 八年级下册 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分。 1．中国在芯片制造领域取得了显著成就，目前已经实现了7 纳米工艺的突破.纳米为长度单位，1纳米=0.000000001 米，则7 纳米用科学记数法表示为(　　) A．米 B．米 C．米 D．米 2．若，，，，则（　　） A． B． C． D． 3．将分式中的、都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．缩小3倍 4． 端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售. 细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（ ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 6．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A．2 B．1 C．3 D． 7．甲、乙两组同学在植树活动中均植树120棵，已知______，求乙组每小时植树多少棵？ 下面是题目的部分解题过程；则横线上缺少的条件为（　　） 解：设乙组每小时植树x棵． 由题意得：， … A．甲组每小时比乙组少种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成 B．甲组每小时比乙组多种植10棵，且乙组比甲组提前2小时完成 C．甲组每小时比乙组少种植10棵，且乙组比甲组提前2小时完成 D．甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成 8．若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 9．关于x的分式方程 的解为正数，且关于y的不等式组 的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．13 B．15 C．18 D．20 10．如M={1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫作集合M的元素.集合中的元素具有确定性(如x必然存在)，互异性(如x≠1，x≠2)，无序性(即改变元素的顺序，集合不变).若集合N={x，1，2}，我们说M=N.已知集合A={1，0，a}，集合B=若A=B，则b-a的值是(　　). A．-1 B．0 C．1 D．2 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。 11．若分式有意义，则实数的取值范围是　 　． 12．化简：　 　． 13．已知实数，满足，则　 　． 14．小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是、，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前出发，求小明和小刚两人的速度．设小明的速度是，根据题意可列方程为　 　． 15．已知关于的方程的解为正数，则的取值范围为　 　． 16．若关于x的方程无解，则m的值为　 　 ． 三、解答题：本大题共8个小题，共86分。 17．解分式方程：（1） （2） 18．已知代数式． （1）化简． （2）若的取值范围如图所示，且为正整数时，求的值． 19．已知关于的方程． （1）求方程的解（用含的代数式表示）； （2）若这个方程的解是正数，求的取值范围． 20．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于则至少购进A型机器人多少台？ 21．以下是小明解分式方程 的过程： 解：方程的两边同乘(x-1)，得3x-1=3.① 移项、合并同类项，得3x=4.② 解得 ③ 经检验， 是原分式方程的解. 小明的解答过程对吗?如果不对，从第几步开始出错?请写出正确的解答过程. 22．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：　 　； （2）写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示），并证明． 23．给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． （1）在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． （2）若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． （3）若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 24．阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴ 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以将这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： （1）请将分式分离常数； （2）已知，求分式的值： （3）若分式的值为整数，整数b的值为 ． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：∵1纳米=0.000000001米=1×10-9米， ∴7纳米用科学记数法表示为7×1×10-9=7×10-9米. 故答案为：D. 【分析】科学记数法表示较小数的规则：将小数表示为a×10n（1≤|a|<10），其中a是整数位为1位的数，n为负整数（绝对值等于原数中第一个非零数字前0的个数），即先计算出1纳米，再求7纳米即可． 2．【答案】D 【解析】【解答】解：， ， ， ， ∴． 故答案为：D． 【分析】先利用有理数的乘方、负指数幂、0指数幂的性质化简，再比较大小即可. 3．【答案】B 4．【答案】C 【解析】【解答】解：设每袋粽子的原价是x元，则降价后每袋粽子的售价是(x-2)元 依题意得： 故答案为：C. 【分析】设每袋粽子的原价是x元，则降价后每袋粽子的售价是(x-2)元，根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，即可得出关于x的分式方程，此题得解. 5．【答案】D 6．【答案】D 【解析】【解答】解： 去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， 把代入整式方程得：， 解得：， 故选：D． 【分析】 分式方程有增根的解题步骤：①化分式方程为整式方程；②再把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 7．【答案】D 【解析】【解答】解：根据题中所列分式方程可得，横线上缺少的条件为甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成， 故答案为：D． 【分析】根据方程可得，先分别求出甲、乙两组的植树速度，再结合“”可得甲组比乙组提前2小时完成，从而得解. 8．【答案】C 9．【答案】A 【解析】【解答】解：分式方程化简得：3x-a-（x+1）=x-3， 整理，解得：x=a-2， ∵分式方程的解为正数，x≠3，即a-2＞0，且a-2≠3 ∴a＞2且a≠5①； ∵的解集为y≥5， ∴原不等式组有解， 整理，解得：y≥5且y＞， ∴＜5， ∴a＜7②； 由①和②式得：2＜a＜7，且a≠5 ∴符合条件的整数a为3，4，6， ∴整数a的值之和=3+4+6=13. 故答案为：A. 【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数，x≠3，求出a＞2且a≠5①；再解不等式组，根据不等式组的解集为y≥5，解得a＜7②，由①和②式得2＜a＜7，且a≠5，得符合题意的整数a为3，4，6，进而求出整数a的值之和即可. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ A=B， ∴两个集合内的元素相同， ∵a≠0， ∴都不可能等于0， ∴， ∴b=0， 当时：a=1，，不符合题意， ∴，=1，且 解得：a=-1， ∴b-a=0-（-1）=1. 故答案为：C。 【分析】首先根据A=B，可得出b=0，进而根据集合元素的互异性，可得出a=-1，进一步即可得出b-a=0-（-1）=1. 11．【答案】 【解析】【解答】解：要使分式 有意义， 则分母． 即． 故答案为：． 【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可. 12．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：原式 故答案为：. 【分析】先将分母化为一致，然后分子进行加减，再利用平方差公式把分母分解，最后化简即可. 13．【答案】 14．【答案】 【解析】【解答】解：由题意可得，小刚骑自行车的速度是：， ∵若二人同时到达，则小明需提前出发， ∴， 故答案为：． 【分析】 根据“时间=路程÷速度”分别表示出小明和小刚的时间，结合“二人同时到达，小明需提前4分钟出发（即小刚的总时间等于小明的时间减4分钟）”，这一条件进而列出分式方程即可； 15．【答案】且 16．【答案】或0 17．【答案】（1）解：方程两边同时乘x-2，得 x-3-1=2(x-2) 化简，得x=0 经检验，x=0是原分式方程的解 ∴x=0是原分式方程的解 （2）解：边同乘x2-1，得2+x(x+1)=x2-1 整理，得x=-3， 检验：当x=-3时，x2-1≠0， ∴x=-3是原分式方程的解 【解析】【分析】(1)先确定最简公分母，去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程，最后检验所得解是否为原分式方程的解； (2)先确定最简公分母，去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程，最后检验所得解是否为原分式方程的解. 18．【答案】（1）解： ； （2）解：由数轴可知：， ∵为正整数 ∴， ∵， ∴， ∴当时，． 【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简即可求出答案. （2）由数轴可知：，则，再根据分式有意义的条件择值代入即可求出答案. （1）解： ； （2）由数轴可知：， ∵为正整数 ∴， ∵， ∴， ∴当时，． 19．【答案】（1） 解： ， ， ； 当 时，即 时，分母为零，方程无解． 因此，方程的解为： 当 时，解为 ； 当 时，方程无解． （2）解：由题意得：且， ∴，且， ∴，且． 【解析】【分析】（1）将m作为常数解方程，用含m的式子表示出x，然后再检验即可得出方程解的情况； （2）根据方程的解是正数可得x＞0且x≠2，从而得到关于字母m的不等式组，求解即可得出m的取值范围. （1）解： ， ， ； 当 时，即 时，分母为零，方程无解． 因此，方程的解为： 当 时，解为 ； 当 时，方程无解． （2）解：由题意得：且， ∴，且， ∴，且． 20．【答案】（1）解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运千克材料， ∴， 解得， 经检验，是所列方程的解， 当时，， 答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料 （2）解：设购进A型机器人台，则购进B型机器人台， ， 解得：， ∵是整数， ∴， ∴a的最小值为， 答：至少购进A型机器人17台 【解析】【分析】（1）设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运千克材料，利用“A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同 ”列出方程求解即可； （2）设购进A型机器人台，则购进B型机器人台，利用“ 要求每小时搬运材料不得少于 ”列出不等式求解即可. 21．【答案】解：小明的解答过程不对，从第①步开始出错. 正确的解答过程如下： 方程的两边同乘(x-1)，得3x-(x-1)=3. 去括号，得3x-x+1=3. 移项、合并同类项，得2x=2. 解得x=1. 当x=1时，x-1=0，∴x=1不是原分式方程的根，∴原分式方程无解 【解析】【分析】先判断小明解题过程中的错误步骤及原因，再按照解分式方程的正确步骤(去分母、去括号、移项合并、系数化为1、检验)求解方程. 22．【答案】（1） （2）解：，证明： ，理由如下： 左边右边， ∴等式成立． 【解析】【解答】解：（1）由题意得第6个等式为 故答案为： 【分析】（1）根据前五个等式结合题意即可得到第六个等式； （2）根据题意进行运算即可得到左边右边，进而即可求解。 23．【答案】（1）①③ （2）解：∵数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”， ∴， ∴，解得：， ∴ a的值为2. （3）或 【解析】【解析】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”故①正确. 当，时，使得关于的分式方程的解是，不使成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对”，故②错误. 当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”，故③正确. 故答案为：①③． （3）解：∵数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， ∴，解得 ∴， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 【分析】（1）根据定义，计算当，时，使得关于的分式方程的解是成立，当，时，使得关于的分式方程的解是，不使成立，当，时，使得关于的分式方程的解是成立，据此判断即可． （2）根据数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”得， ，可得，解出即可. （3）根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． （1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是，不是 成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故③正确； 故答案为：①③． （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得． （3）解：根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 24．【答案】（1）解：； ∴分式分离常数为； （2）解：∵； ∴； （3） 【解析】【解答】（3）解：∵分式的值为整数； ∴； ∵； ∴或； ∴或； 故答案为：； 【分析】(1)本题考察分式的分离常数法，核心是将分子变形为含分母因式的形式。解题时先对分子进行配方，，使分子中出现分母(x+2)的平方项；再将分式拆分为，约分后得到，完成分离常数。 (2)本题考察分式求值的倒数法，借鉴材料中“先求倒数再求值”的思路。解题时先求原式的倒数，化简得2a+；将已知代入，得2×3=6；最后取倒数，原式=。 (3)本题考察分式的分离常数法及整数解问题。解题时先对分式进行分离常数，；由于分式的值为整数，且，因此必须为整数；结合5的正因数，可得或，解得b=0或b=±2。 （1）解：； ∴分式分离常数为； （2）解：∵； ∴； （3）解：∵分式的值为整数； ∴； ∵； ∴或； ∴或； 故答案为：； 试题分析部分 1、试卷总体分布分析 总分：114分 分值分布 客观题（占比） 21.0(18.4%) 主观题（占比） 93.0(81.6%) 题量分布 客观题（占比） 10(41.7%) 主观题（占比） 14(58.3%) 2、试卷题量分布分析 大题题型 题目量（占比） 分值（占比） 填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。 6(25.0%) 12.0(10.5%) 选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。 10(41.7%) 21.0(18.4%) 解答题：本大题共10个小题，共102分。 8(33.3%) 81.0(71.1%) 3、试卷难度结构分析 序号 难易度 占比 1 普通 (87.5%) 2 容易 (8.3%) 3 困难 (4.2%) 4、试卷知识点分析 序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号 1 求代数式的值-直接代入求值 3.0(2.6%) 10 2 去分母法解分式方程 10.0(8.8%) 17 3 解一元一次不等式组 6.0(5.3%) 8,9,15 4 分式的加减法 2.0(1.8%) 12 5 实数的混合运算（含开方） 15.0(13.2%) 23 6 一元一次不等式组的特殊解 2.0(1.8%) 9 7 绝对值的概念与意义 3.0(2.6%) 10 8 解分式方程 34.0(29.8%) 9,15,19,21,23 9 列分式方程 6.0(5.3%) 4,7,14 10 有理数的大小比较-直接比较法 2.0(1.8%) 2 11 用代数式表示数值变化规律 6.0(5.3%) 22 12 已知分式方程的解求参数 15.0(13.2%) 23 13 分式方程的增根 4.0(3.5%) 6,16 14 探索数与式的规律 6.0(5.3%) 22 15 在数轴上表示不等式的解集 10.0(8.8%) 18 16 分式有无意义的条件 2.0(1.8%) 11 17 负整数指数幂 2.0(1.8%) 2 18 分式的化简求值-倒数法 15.0(13.2%) 24 19 分式方程的实际应用 12.0(10.5%) 7,20 20 分式的化简求值 19.0(16.7%) 12,13,24 21 分式的基本性质 4.0(3.5%) 3,5 22 分式的混合运算 10.0(8.8%) 18 23 判断是否为分式方程的解 15.0(13.2%) 23 24 有理数的倒数 3.0(2.6%) 10 25 分式的化简求值-拆项变形法 15.0(13.2%) 24 26 分式方程的解及检验 29.0(25.4%) 6,8,19,23 27 一元一次不等式的应用 10.0(8.8%) 20 28 科学记数法表示大于0且小于1的数 2.0(1.8%) 1 29 有理数的乘方法则 2.0(1.8%) 2 30 有理数的乘法法则 6.0(5.3%) 22 31 零指数幂 2.0(1.8%) 2 32 分式的值为零的条件 5.0(4.4%) 5,10 33 最简分式的概念 2.0(1.8%) 5 34 分式的值 17.0(14.9%) 13,24 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $