3.2.2 双曲线的简单几何性质课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质1 第三章 圆锥曲线的方程 1 教学目标 理解并掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等性质(重点) 01 双曲线的离心率几何意义的导入、理解及求法（难点） 02 直线与双曲线位置关系（重点、难点） 03 2 学科素养 双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等性质 直观想象 双曲线与椭圆位置关系 逻辑推理 利用双曲线的几何性质解决简单问 数学运算 3 双曲线的定义: 平面上到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线． 两个定点F1 、F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作焦距． 4 焦点在坐标轴上，且关于原点对称的双曲线的标准方程为： 双曲线的标准方程的特点： （1）左边是两个分式的平方差，右边是1； （2）三个参数a、b、c满足 c²=a²＋ b²； （3）系数为正的项的分母是a²，系数为负的项的分母就是 b²； （4）x2与y2哪一个系数是正的，则焦点就在哪一个轴上． 焦点在x轴上： 焦点在y轴上： 5 观察双曲线的图象并思考下列问题： 1．范围：图象分布范围是否有限？如果有限，最左、最右、最低、最高 分别到什么位置？找出最左、最右、最低、最高的点． 2．对称性：图象是不是中心对称图形？如果是，找出对称中心．图象是 不是轴对称图形？如果是，找出对称轴． 3．通过观察，图象还有没有其他的性质？如果有，试作出说明． 下面，我们通过对双曲线标准方程的研究，来认识双曲线的一些简单几何性质． 6 范围 这说明双曲线两支分别位于直线 x = －a 的左侧与直线x = a 的右侧，向左右两边无限延伸． 由双曲线的标准方程可知，双曲线上任意一点的坐标(x，y)都适合不等式： 7 范围 总之，双曲线处于两条相交直线所围成的、包含轴在内的那两个区域中，并且在直线 x = －a ，x = a 所围成区域的外侧． 我们还可以更精确地描述双曲线分布的范围．双曲线的任意一点的坐标(x，y)都满足条件： 8 对称性 在双曲线的标准方程中，将分别替换成，， ，方程都不变，可见双曲线关于轴、轴和原点都是对称的． 因此，双曲线有两条对称轴，即x轴和y轴；有一个对称中心，即原点，双曲线的对称中心称为双曲线的中心． 9 顶点 在双曲线的标准方程中，令y = 0，得 x = ±a；可见该双曲线与对称轴x轴有两个交点A1(－a，0)，A2(a，0)，都称为双曲线的顶点． 令x = 0，得y2 = －b2，这个方程没有实数解，可见该双曲线与它的另一条对称轴y轴没有交点．但我们也把B1(0，－b)，B2(0，b)画出来． 线段A1A2，B1B2分别叫作双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为2a和2b． 双曲线的中心O分别将实轴、虚轴等分，a和b分别叫作实半轴长和虚半轴长． 实轴与虚轴等长的双曲线，称为等轴双曲线． 10 顶点 在双曲线的标准方程中，令x = 0，得 y = ±a；可见该双曲线与对称轴y轴有两个交点A1(0，－a)，A2(0，a)，都称为双曲线的顶点． 令y = 0，得x2 = －b2，这个方程没有实数解，可见该双曲线与它的另一条对称轴x轴没有交点．但我们也把B1(－b，0)，B2(b，0)画出来． 线段A1A2，B1B2分别叫作双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为2a和2b． 双曲线的中心O分别将实轴、虚轴等分，a和b分别叫作实半轴长和虚半轴长． 11 与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率． 离心率 因为c > a > 0，所以双曲线的离心率 e >1． e 越大， 双曲线的开口越大． 12 例.已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则的离心率为 13 类比椭圆的简单几何性质我们可以得到双曲线的简单几何性质 图象 方程 性质 范围 对称性 顶点 离心率 y x F1 F2 O M A1 A2 B2 B1 F2 F1 M x O y A1 A2 B2 B1 探究.利用信息技术画出双曲线和两条直线.在双曲线的右支上取一个点，测量点的横坐标以及它到直线的距离.沿曲线向右上方拖动点，观察与的大小关系，你发现了什么？ 双曲线的渐近线： y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • 一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线 逐渐接近，此时我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.实际上， 双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交. 注:已知双曲线方程求渐近线方程，只需将右边的换成即可.即由因式分解得出渐近线方程是，即. 类似地，对于方程,即由因式分解得出渐近线方程是，即. 双曲线的形状与离心率的关系： y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • 方程 图形 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线 关于x, y轴对称, 关于原点对称, 对称中心叫做双曲线的中心 A1(-a,0), A2(a,0) 线段A1A2叫实轴, 长度为2a 线段B1B2叫虚轴, 长度为2b A1 (0,-a ), A2(0, a ) 线段A1A2叫实轴 , 长度为2a 线段B1B2叫虚轴 , 长度为2b y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • x y B1 A2 A1 B2 O F1 F2 • • 等轴双曲线： y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • 在双曲线中,如果,那么方程变为,此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于，渐近线方程为，它们互相垂直,并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角. 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 离心率是双曲线为等轴双曲线的 条件. （用“充分条件”“必要条件”“充要条件”填空.） 例1.求双曲线9y2 – 16x2 =144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐近线方程, 并画出双曲线草图. 解： 3 -3 4 -4 x y O • • F1(0,-5) F2(0,5) 1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程. 课本P124 课本P124 课本P124 课本P124 1. 根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程可设为. (1)渐近线方程为的双曲线方程可设为 2. 巧设双曲线方程的技巧 总结： 例2.求根据下列条件，求双曲线的标准方程. (1) 双曲线的渐近线方程是,且经过点； (2) 经过点离心率. 变式2.求根据下列条件，求双曲线的标准方程. (1) 一个焦点且离心率； (2) 渐近线方程是,且经过点. 练习1.求以椭圆的焦点为焦点，以直线为渐近线的 双曲线方程. 解： 结论：双曲线的焦点到渐近线的距离恒等于b. x y O F1 F2 • • 练习2.双曲线的焦点到渐近线的距离为 ． 1.双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则值为 ． 2.双曲线的渐近线方程是 ． 3.已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点，离心率为的双曲线的标准方程为 ． 4.与双曲线有共同的渐近线，且经过的双曲线的标准方程是 ． 备注：与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程可设为. 5.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线的方程为,则它的离心率为 ． 6.过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，点是另一个焦点， 若,则它的离心率为 ． $nullnull