精品解析：湖南省邵东市第三中学2025-2026学年高二上学期2月期末考试数学试题

湖南省邵东市第三中学2025-2026学年高二上学期2月 期末考试数学试题 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，，且，则（ ） A. B. C. 1或 D. 或 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 相切 D. 内含 4. 如图，分别是四面体的棱的中点，点在上且满足，若，则与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 6. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（ ） A. B. C. 2 D. －2 8. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. F的坐标为 C. 若，则 D. 10. 如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面ABCD C. 异面直线AE，BF所成的角为定值 D. 三棱锥的体积为定值 11. 设函数，正项数列满足：．下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为0 B. 不是单调函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为______． 13. 在平行六面体中，底面为菱形，且和相交于点，已知，在平面内，，求二面角的余弦值的最大值___________. 14. 高斯被誉为“数学王子”，用他名字定义的函数（[x]表示不超过的最大整数）称为高斯函数．已知在函数的图象上存在四个点构成一个以原点为对称中心的平行四边形，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及步骤． 15. 已知数列中，，. （1）证明：是等差数列； （2）求数列的前项和. 16. 如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱，，的中点，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 春节是中国民间最隆重的最富有特色的传统节日之一，一般从腊八或者小年开始，到元宵节都叫过年．在此，提前祝各位新年快乐！为了庆祝2026年春节，火某镇的某商场销售经理进行调研，发现了销售某一种商品的经验，该商品每日的销售量（千克）与销售价格（元／千克）满足关系式，其中，是常量．已知销售价格为5元／千克时，每日可销售出该商品11千克． （1）求实数的值； （2）若该商品的成本为3元／千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值． 18. 已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 19. 已知函数 （1）若，求实数的值； （2）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省邵东市第三中学2025-2026学年高二上学期2月 期末考试数学试题 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本函数求导法则计算出答案 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 2. 已知直线，，且，则（ ） A. B. C. 1或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由知，，解得. 故选：A． 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 相切 D. 内含 【答案】A 【解析】 【分析】求出两圆的圆心距及两圆的半径，通过比较圆心距与两圆半径之和、半径之差的大小关系来判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心坐标，半径；圆的圆心坐标，半径. 圆心距：，又，所以，故两圆外离. 故选：A. 4. 如图，分别是四面体的棱的中点，点在上且满足，若，则与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合中线向量性质，即可求解. 【详解】由可得：， 又因为分别是四面体的棱的中点， 所以， 又因为， 所以， 故选：D. 5. 已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可求得答案. 【详解】由椭圆方程知，，， 所以， 根据椭圆的定义可知，，又， 所以的周长为. 故选：D. 6. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等比、等差数列的性质可得，，从而可得，，则有，结合诱导公式求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，且， 即，解得， 所以； 又因为是等差数列，且， 即，解得， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 7. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（ ） A. B. C. 2 D. －2 【答案】A 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线方程，设曲线的切点可得，进而可根据得解. 【详解】由求导得，令得切线斜率， 故在点处的切线方程为，即， 由求导得， 设的切点为， 根据题意可得，即， 又，解得. 故选：A 8. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简得到，利用换元法令，则，，再利用导数求其值域即可. 【详解】 令，则由，得 则 令，由，得 则 当时，即， 所以 解得或 又因为， 所以当时，，当时， 即当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 所以当时，, 当时， 当时， ∴综上所述，的值域为． 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. F的坐标为 C. 若，则 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由抛物线的定义及抛物线的性质判断各选项. 【详解】对于抛物线，由题中方程知，故准线方程为，故选项A正确； 焦点坐标为，故选项B错误； 若，则，且，故，故选项C正确； 因为，点P在抛物线C上，故，故，故选项D错误， 故选：AC． 10. 如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面ABCD C. 异面直线AE，BF所成的角为定值 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过线面的垂直关系可判A项真假；根据线面平行可判B项真假；根据列举特殊情况可判C项真假;根据三棱锥的体积计算的公式可判D项真假； 【详解】因为， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以，故A项正确； 易知，所以， 又因为平面，平面，所以平面，故B项正确； 当点E在点处，F为的中点时，由，可得异面直线AE，BF所成的角是， 此时,, 当E为上底面中心时，F在的位置，此时异面直线AE，BF所成的角是， 此时 , ,所以， 所以异面直线AE，BF所成的角不是定值，所以C错误； 如图，连接交于点. 因为平面，平面， 所以，所以 因为平面， 所以A到平面的距离为， 所以为定值，故D项正确； 故选：ABD. 11. 设函数，正项数列满足：．下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为0 B. 不是单调函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导得到，利用导函数可以验证A选项，由化简得到，验证 B选项；化简得到，利用累乘法可得，验证C选项通过放缩可当时，，由累加法结合不等式的性质即可验证D选项. 【详解】， ∴函数在单调递减，在单调递增， 所以，所以，故A正确； ， ，即， 所以是一个递增数列，故B错误； ， 可知：，即， 所以，累乘得得证，故C正确； 根据，且，可得， 当时，， ，所以，又，所以， ，即， 所以当时，， 所以， 所以， 故．故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线过点列式得出，进而结合得出离心率即可. 【详解】由题意，双曲线C的渐近线方程为， 所以点在渐近线上，即， 所以，所以离心率． 故答案为：. 13. 在平行六面体中，底面为菱形，且和相交于点，已知，在平面内，，求二面角的余弦值的最大值___________. 【答案】 【解析】 【分析】过点作交AC于点，根据二面角的定义找到二面角的平面角，进而得到平面.根据条件探究点，的轨迹方程.令，用含的式子表示，并代入的解析式，利用的范围即可求出其最大值. 【详解】因为在平行六面体中，底面ABCD是菱形，所以. 如图所示，过点作交AC于点，连接. 由二面角的定义可知即为二面角的平面角. 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为，所以在中，点在以AC为直径的圆上， 所以在平面内，点的轨迹方程为. 同理，在平面内，因为， 所以可知点的轨迹是以为长轴长，为焦点的椭圆， 所以点的轨迹方程为. 令，由可知． 将分别代入椭圆和圆的方程，可得. 在中，由余弦定理可知 . 因为，所以，，， 所以， 所以，所以的最大值为， 即二面角的余弦值的最大值为. 故答案为： 14. 高斯被誉为“数学王子”，用他名字定义的函数（[x]表示不超过的最大整数）称为高斯函数．已知在函数的图象上存在四个点构成一个以原点为对称中心的平行四边形，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】设，由题意可得，则方程，在有两个不同的根，令，求导，分，两种情况，结合导数讨论求解即可. 【详解】不妨设， 则有， 分别相加得 相当于方程，在有两个不同的根， 即在有两个不同的零点， 显然，即在有三个不同的零点， 可知该函数需要在至少有两个极值点 求导需要在至少有两个不同的零点， 当时，显然在上单调递减，故不可能在有两个不同的零点， 当时，在上有两个不同零点， 令在上有两个不同零点， 则在上必有零点， 令，解得,所以,解得. 在内,单调递减， 在上,单调递增， 所以, 所以,，, , 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及步骤． 15. 已知数列中，，. （1）证明：是等差数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） 因为，所以， 而，则， 即，得到是首项为，公差为的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）运用取倒数法，结合等差数列的定义进行运算证明即可； （2）运用裂项相消法进行运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，即， 则， 得到 16. 如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱，，的中点，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出的坐标及平面的法向量，进而可求解直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 由题意知E，F分别是，的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 由平面，，可知两两垂直，则可以A点为坐标原点，以所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图： 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，得， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 17. 春节是中国民间最隆重的最富有特色的传统节日之一，一般从腊八或者小年开始，到元宵节都叫过年．在此，提前祝各位新年快乐！为了庆祝2026年春节，火某镇的某商场销售经理进行调研，发现了销售某一种商品的经验，该商品每日的销售量（千克）与销售价格（元／千克）满足关系式，其中，是常量．已知销售价格为5元／千克时，每日可销售出该商品11千克． （1）求实数的值； （2）若该商品的成本为3元／千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值． 【答案】（1） （2）4元／千克，最大值为42元 【解析】 【分析】（1）由题可得将代入函数得到，列方程求解即可得到的值； （2）由题求出利润的表达式为，，利用导数得到函数的单调性进而得到函数的最大利润为42元． 【小问1详解】 ∵当时，， ∴由函数式， 得． 【小问2详解】 由（1）知该商品每日的销售量， ∴商场每日销售该商品所获得的利润为， ， ． 令，得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减． ∴当时，函数取得最大值， ∴当销售价格为4元／千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元． 18. 已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【答案】（1） （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出的值，进而得出求出椭圆方程； （2）①设直线的方程及，联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长，结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程求解； ②联立直线得出代数关系式，结合韦达定理构造方程，化简计算求解． 【小问1详解】 椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3， ，故， ， 椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①设过点的直线方程为，点， 联立，得， 则， 则， 又点到直线的距离， 令，化简整理得 ，，，解得， 直线的方程为． ②由①知，， 直线，直线， 联立直线，整理得， 由①知，， ， 即，解得， 点在直线上． 19. 已知函数 （1）若，求实数的值； （2）证明： 【答案】（1）1 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，令，，求导根据导数可得，分，两种情况讨论求解即可； （2）由（1）可得，要证，即证，令，求导，根据导数证明即可. 【小问1详解】 由题意知函数的定义域为． ， 令，则对任意恒成立， 令，则． 令，得；令，得． ∴函数在上单调递减，在上单调递增． ，即，当且仅当时，等号成立． 当时，，由，得． 当时，，由，得． 当时，不等式恒成立． 综上，实数的值为1； 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 即． 要证明， 对两边同乘得 只需证明，即证， 令， 则． 易知当时，单调递增， ， 在上单调递减，． 当时，且，所以， 故对任意，都有， ，故原不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $