1.1.4幂的乘除第四课时同底数幂的除法讲义 （知识填空+9大基础题型+9大拓展题型+巩固检测）2025-2026学年北师大版七年级数下册

北师大版七年级数学下册 第一章 整式的乘除 第一节幂的乘除第四课时 同底数幂的除法 一、知识点梳理 1.知识点1：同底数幂的除法法则（核心定理） 填空：同底数幂相除，底数________，指数________。 公式：________（，、都是正整数，且）。 推导过程（证明）： 根据乘方的意义，，； 则（约分后剩余个相乘）。 举例：计算=________。 2.知识点2：多个同底数幂连除（法则推广） 填空：三个或三个以上同底数幂连除，法则仍适用，即________（，、、为正整数，且）。 推导依据：依次套用两个同底数幂的除法法则，。 举例：计算。 3.知识点3：底数为多项式的同底数幂除法 填空：将多项式看作________，底数不变，指数相减。 核心思想：整体代换，把多项式视为一个“整体底数”，直接应用同底数幂除法法则。 举例：计算。 4.知识点4：零指数幂（特殊情况） 填空：任何不等于0的数的零次幂都等于________。 公式：________（）。 推导依据：由同底数幂除法法则推导，当时，，而（被除数与除数相等，商为1），故（）。 举例：计算；求成立的条件。 5.知识点5：负整数指数幂（法则拓展） 填空：任何不等于0的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的________。 公式：________（，为正整数）。 推导依据：由同底数幂除法法则推导，当时，设（为正整数），则，而，故。 举例：计算；。 6.知识点6：符号法则（底数含负号/互为相反数） 填空：1.底数为负数时，（），结果符号由指数差的奇偶性决定：为偶数时结果为________，为奇数时为________； 2.底数互为相反数时，，转化后再用除法法则。 推导依据：乘方的符号法则+同底数幂除法法则，，结合的符号规律推导。 举例：计算；。 7.知识点7：同底数幂除法法则的逆用 填空：________（，、为正整数）。 推导依据：等式的可逆性，由反向推导，常用于已知幂的值求代数式的值。 举例：已知，，求的值。 8.知识点8：混合运算顺序 填空：混合运算中，先算________、________、________，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次进行。 核心原则：“高级运算优先”，避免先算乘除再算乘方、零指数或负指数幂。 举例：计算。 9.知识点9：科学记数法（含负指数） 填空：1.科学记数法的形式为，其中，为整数； 2.当表示绝对值大于1的数时，为________整数，等于原数的整数位数减1； 3.当表示绝对值小于1的数时，为________整数，绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）； 4.科学记数法的除法：________（、满足科学记数法要求，）。 推导依据：同底数幂除法法则，，结果需化为标准科学记数法形式。 举例：用科学记数法表示；计算。 二、基础题型 1.题型1：直接运用同底数幂除法法则计算 填空：________；________。 举例：计算________。 2.题型2：多个同底数幂连除计算 填空：________。 举例：计算________。 3.题型3：底数为多项式的计算 填空：________。 举例：计算________。 4.题型4：零指数幂计算 填空：________；________。 举例：若，求的取值范围。 5.题型5：负整数指数幂计算 填空：________；________。 举例：计算。 6.题型6：含负号的同底数幂除法计算 填空：________；________。 举例：计算。 7.题型7：底数互为相反数的计算（符号变化） 填空：________；________。 举例：计算。 8.题型8：逆用同底数幂除法法则求值 填空：若，，则________。 举例：已知，，求的值。 9.题型9：科学记数法表示与计算 填空：1.用科学记数法表示________。 2.计算________。 举例：用科学记数法表示和，并计算两者的商。 三、拓展题型 1.题型1：零指数与负指数综合计算 填空：________。 举例：计算。 2.题型2：逆用法则综合求值 填空：若，，则________。 举例：已知，，求的值。 3.题型3：多项式底数与符号变化综合运算 填空：计算________。 举例：计算。 4.题型4：指数方程求解 填空：若，则________。 举例：解方程。 5.题型5：实际应用（同底数幂除法） 填空：一种计算机病毒每秒复制一次，1个病毒复制成个，经过秒后有个病毒，若要减少到个，需要经过________秒。 举例：某芯片的运算速度是每秒次，另一款芯片的运算速度是每秒次，前者速度是后者的________倍。 6.题型6：科学记数法的实际应用 填空：某种细菌的直径约为米，一个红细胞的直径约为米，红细胞的直径是细菌直径的________倍。 举例：地球到太阳的距离约为千米，光的速度约为千米/秒，求光从太阳到达地球所需的时间（结果用科学记数法表示）。 巩固检测 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 计算的结果是（） A. B. C. D. 1. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 1. 若，则的取值范围是（） A. B. C. D.任意实数 1. 计算的值是（） A. B. C. D. 1. 计算的结果是（） A. B. C. D. 1. 已知，，则的值是（） A.4 B.6 C.16 D. 1. 计算的结果是（） A. B. C. D. 1. 下列运算与结果不相同的是（） A. B. C. D. 1. 用科学记数法表示，正确的是（） A. B. C. D. 1. 已知，，则的值是（） A.2 B. C.1 D. 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 计算________。 1. 若，则________。 1. 计算________。 1. 若，则________。 1. 计算________。 三、解答题（每题10分，共50分） 1. 计算：。 1. 已知，，求的值。 1. 计算：。 1. 若，，求的值（）。 1. 已知，，求的值。 参考答案 一、知识点梳理答案 1.不变；相减；； 2.； 3.一个整体； 4.1；1；；即 5.倒数；；； 6.正数；负数；；；； 7.； 8.乘方；零指数幂；负整数指数幂； 9.正；负；；； 二、基础题型答案 1.；； 2.； 3.； 4.1；1； 5.；； 6.；； 7.；； 8.4； 9.；；举例：，，商为 三、拓展题型答案 1.； 2.； 3.； 4.解得；解得 5.； 6.； 时间（秒） 巩固检测答案 一、选择题 1. B（解析：同底数幂相除，底数不变指数相减，） 1. B（解析：A.，C.，D.） 1. B（解析：零指数幂成立条件：底数不为0，故即） 1. C（解析：负整数指数幂公式，） 1. A（解析：） 1. A（解析：） 1. A（解析：，故） 1. D（解析：A.；C.） 1. B（解析：绝对值小于1的数用科学记数法表示，指数为负，左起第一个非零数字前有5个零，故为） 1. D（解析：） 二、填空题 1. （解析：） 1. 8（解析：，解得） 1. （解析：先算积的乘方：，再算除法：） 1. （解析：） 1. （解析：，原式） 三、解答题 1. 解：原式 1. 解： 1. 解：原式 1. 解：由得即，又； 由得即； 取（任意满足条件的正数均可），则（若取，结果为，合理即可） 1. 解：由同底数幂除法法则得： 化简： 把n=2m−11代入8，解得：， 则 1 学科网（北京）股份有限公司 $