第17章 一元二次方程及其应用 综合训练-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(沪科版·新教材)
2026-03-05
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教辅
资源信息
| 学段 | 初中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 初中数学沪科版八年级下册 |
| 年级 | 八年级 |
| 章节 | 小结·评价 |
| 类型 | 课件 |
| 知识点 | - |
| 使用场景 | 同步教学-单元练习 |
| 学年 | 2026-2027 |
| 地区（省份） | 全国 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | PPTX |
| 文件大小 | 3.49 MB |
| 发布时间 | 2026-03-05 |
| 更新时间 | 2026-03-05 |
| 作者 | 众望益飞教育科技（北京）有限公司 |
| 品牌系列 | 初中必刷题&教材划重点·初中同步课件 |
| 审核时间 | 2026-02-19 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/56353322.html |
| 价格 | 3.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
摘要：
该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、根的判别式、根与系数关系及应用，通过考点串联和真题示例将各知识点逻辑关联，帮助学生构建从基础到应用的完整知识网络。
其亮点在于融合中考真题与分层训练，如通过“围长方形菜地列方程”培养模型意识，结合根的判别式题目提升推理能力，不同难度题组满足个性化复习需求，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习参考。
内容正文：
数 学
八年级下册 HK
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第17章 一元二次方程及其应用
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全章综合训练
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中考
考点1 一元二次方程的解
1.【2025青海中考】若是一元二次方程的一个根，则 的值
为___.
3
【解析】若是一元二次方程的一个根，则 ，
解得 .故答案为3.
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考点2 一元二次方程的解法
2.【2025贵州中考】一元二次方程 的根是________________.
，
【解析】，，，，故答案为， .
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3.【2025黑龙江齐齐哈尔中考】解方程： .
【解】整理得，因式分解得，所以
或，解得， .
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考点3 一元二次方程根的判别式
4.【2025安徽中考】下列方程中，有两个不相等的实数根的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】A选项，，故方程没有实数根；B选项， ，故方程有两个
相等的实数根；C选项，，故方程没有实数根；D选项， ，故
方程有两个不相等的实数根.故选D.
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5.【2025四川内江中考】若关于的一元二次方程 有实数根，
则实数 的取值范围是( )
C
A. B. C.且 D.且
【解析】 关于的一元二次方程 有实数根，
解得且， 实数的取值范围是且 .故选C.
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6.【2025北京中考】若关于的一元二次方程 有两个相等的实数
根，则实数 的值为( )
C
A. B. C.1 D.4
【解析】 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
且,且, .故选C.
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考点4 一元二次方程根与系数的关系
7.【2025河北中考】若一元二次方程 的两根之和与两根之积分别
为,，则点 在平面直角坐标系中位于( )
C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】方程，整理得， 两根之和 ，
两根之积， 点 在平面直角坐标系中位于第三象限.故选C.
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8.【2025四川泸州中考】若一元二次方程的两根为 ， ，则
的值为____.
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【解析】将 代入原方程得， 一元二次
方程的两根为 ， ， ，
.故答案为10.
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9.【2025四川南充中考】设，是关于的方程 的两根.
（1）当时，求及 的值.
【解】把代入方程，得， ，
，即，， .
（2）求证： .
【证明】 方程，即的两根为， ，
， ，
，
，即 .
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思路分析
（1）先把代入方程，得到关于 的新方程并求解，然后解方程求出方程
的另一个解；
（2）先利用根与系数的关系得出, 的值，再将所求代数式变形并整
体代入，即可得出结论.
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考点5 一元二次方程的应用
10.【2025福建中考】为加强劳动教育，增加学生实践机会，某
校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，
围出一块6平方米的长方形菜地作为实践基地，如图所示.设长
方形的一边长为 米，根据题意可列方程( )
C
A. B. C. D.
【解析】已知长方形的一边长为米，则另一边长为 米，根据长方形的面积
为6平方米可列方程为 ．故选C.
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11.【2025四川泸州中考】某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每
件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，
乙种商品2024年每件的进价为80元.
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；
【解】设乙种商品每件进价的年平均下降率为.根据题意得 ，解
得， （不符合题意，舍去）.
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为 .
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（2）2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求
最少购进多少件甲种商品.
【解】设购进件甲种商品，则购进 件乙种商品.根据题意得
，解得， 的最小值为40.
答：最少购进40件甲种商品.
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章测
一、选择题（共21分）
1.【2024安徽六安调研】下列说法正确的是( )
D
A.方程的一次项系数为
B.一元二次方程的一般形式是
C.当且且时，方程是关于 的一元
二次方程
D.无论为何值，关于的方程 均为一元二次方程
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【解析】A选项，方程 的一次项系数为0，所以A选项不符合题意；B选
项，一元二次方程的一般形式是 ，所以B选项不符合题意；
C选项，当且且时，方程 可化为
，它是关于 的一元一次方程，所以C选项不符合题意；D选项，
,, 无论为何值，关于的方程
均为一元二次方程，所以D选项符合题意.故选D.
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2.【2025安徽潜山期中】满足的 的值有( )
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】由题意可得，分以下情况：且，解得 ；
，解得或2；且是偶数，解得 .综
上所述，满足条件的 的值有4个.故选D.
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关键点拨
分三种情况讨论：①任意非零数的0次幂为1；的偶数次方为1； 的任意
次方为1.
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3.【2024安徽马鞍山三模】俗语说：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天
不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，
那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天
不练丢一半”可知每天“遗忘”的百分比约为（参考数据： ）( )
C
A. B. C. D.
【解析】设每天“遗忘”的百分比为.由题意得，解得 ，
（不合题意，舍去）， 每天“遗忘”的百分
比约为 .故选C.
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4.若是方程的一个根，设， ，
则与 的大小关系为( )
B
A. B. C. D.不确定
【解析】是方程的一个根， ，即
，则， .故选B.
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思路分析
把代入方程,再利用作差法比较 与0的大小关系即可得出结论.
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5.【2025安徽合肥瑶海区校级期中】已知关于的方程 有两个相等
的实数根，且当与时，，则， 的关系为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 方程有两个相等的实数根， ，即
. 当与时，，即和
是关于的方程的两个根， ，即
， .③ 将①②代入③可得
，整理可得 .故选D.
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6.【2025安徽滁州全椒校级质检】已知两个整式， .我们在“
”中的“_”上添加加减乘除的运算符号，称为关于， 的“三连运算”.
比如就是关于， 的一种“三连运算”.下列说法正确的
个数是( )
①只存在一种关于， 的“三连运算”使得结果为1；
②将分解因式后为 ；
③“三连运算”的解为 .
B
A.0 B.1 C.2 D.3
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【解析】， ，故①不符合
题意. ，故②不符合题意.
，，即 ，
， ，故③符合题意.故选B.
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7.【2025安徽合肥蜀山区校级期末】已知实数，，，，，其中 ，满足
，.以下说法：；，是关于 的一元二次方程
的两个根；；④若，，均为奇数，则 ，
可能都为整数.其中正确的个数是( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
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【解析】，，， ，
，故
①正确；②若，是关于的一元二次方程 的两个根，则
，，当时，与题中 不符，故②错误；
，， ,
，故③正确；④假设，为整数，当，， 均为奇数时，
为奇数，即，中有一奇一偶；为奇数，即， 均为奇数，矛盾，
故④错误.综上可知,①③正确，共2个.故选B.
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二、填空题（共16分）
8.【2025安徽合肥庐阳区校级期末】已知是方程 的根，则
的值为________.
【解析】根据题意可知，，，.原式故答案为
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9.【2025安徽淮北濉溪期中】已知关于的一元二次方程 ，
下列说法：
①若，则 ；
②若关于的方程有两个不相等的实数根，则方程 必
有两个不相等的实数根；
③若是方程的一个根，则一定有 成立；
④若是一元二次方程的根，则 .其中正
确的有________.（填序号）
①②④
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【解析】①若，则 是原方程的解，即方程至少有一个根，由一
元二次方程的实数根与根的判别式的关系可知, ，故①正确，符合题
意有两个不相等的实数根，， ，
， 方程 有两个不相等的实数根，故②正确，符
合题意是方程的一个根， ，
，或，故③错误，不符合题意.④若 是
一元二次方程的根，则或 ，
或， ，
故④正确，符合题意.故答案为①②④.
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10.【2024安徽蚌埠蚌山区质检】对于形如
（其中，， ， 为整数）这
样的方程，如果有整数根的话，那么整数根必定是 的约数.例如方程
的整数根只可能为，，代入检验得 时等式成立，
故含有因式 ，所以原方程可变形为
，进而可求得方程的所有解.仿照上述解法，求得方程
的所有解为_________________________________.
或或
【解析】由题意得的整数根只可能为， ，代入检验得
时等式成立，故含有因式， 原方程可化为
，或， ，
，.故答案为或或 .
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关键点拨
本题考查一元高次方程的解法，通过判断整数解来进行因式分解，从而求出方程
的所有解.
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11.【2024安徽合肥庐阳区校级期中】已知关于 的一元二次方程
.
（1）该方程根的情况是______________________；
有两个不相等的实数根
【解析】
，
,即， 该方程有两个不相等的实数根.故答案为有两个
不相等的实数根.
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（2）当，2，3， ， 时，对应的一元二次方程的两个根分别记为
，;,;,;…;,,则 的
值为_ ____.
【解析】由一元二次方程的根与系数的关系得， ；
，；…; ，
，.故答案为 .
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三、解答题（共63分）
12.解方程：
（1） （配方法）；
【解】，，， ，
，所以， .
（2） .
【解】，，， 或
，所以， ．
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13.【2024安徽阜阳太和期末】某天课上，
老师带领同学们利用棋子构图研究数字规
律.将一些棋子按如图所示的规律摆放：
第1个图中有7个棋子，第2个图中有11个棋子，第3个图中有17个棋子， ，按此
规律依次递增.
（1）第5个图中有____个棋子；第为正整数 个图中有____________个棋子.
35
【解析】由题易得第4个图有 （个）棋子，第5个图有
（个）棋子， 第个图有 个棋子.
故答案为35, .
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（2）第为正整数个图中的棋子个数能是115吗？如果能，求出 的值；如果不
能，请说明理由.
【解】能.令，解得（舍去），， 的值为10.
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14.【2024安徽铜陵铜官区期末】已知关于 的一元二次方程
有两个不相等的实数根， .
（1）求 的取值范围.
【解】 关于的一元二次方程 有两个不相等的实数
根，且 ，
的取值范围是且 .
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（2）当为何值时， ？
【解】 方程有两个不相等的实数根， ，
， .
，，即 ，
.
且,，解得 （不合题意，舍去），
.经检验,是方程 的解.
综上，当时， .
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关键点拨
（1）根据题意得出即可求出 的取值范围；（2）根据根与系数的
关系求出两根之和与两根之积,再整体代入题中等式，再求出 值即可.
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15.如果，那么把形如 的方程称为“勾系
方程”.
（1）当， 时，写出相应的“勾系方程”：________________________
___________________；
或
.
【解析】当，时，，， 相应的“勾系方程”
为或 .
故答案为或 .
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（2）求证：关于的“勾系方程” 必有实数根.
【证明】 ，
，
关于的“勾系方程” 必有实数根．
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16.【2025安徽合肥期中】如图，已知,,三点共线，， 是
一条射线，，一只小虫由点以的速度向 爬行，同时另一只小
虫由点以的速度沿射线爬行，小虫爬行的时间为 .
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（1）__，_ _____________________（用含有 的代数式表示）.
【解析】依题意得，，.当小虫 未到达
点，即时，；当小虫到达点 以后，
即时， ，
故答案为，
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（2）为何值时，以两只小虫所在的位置与点 为顶点的三角形的面积等于
？
【解】由题意得， ；
，（舍去）或 .
综上所述，或时，以两只小虫所在的位置与点 为顶点的三角形
的面积等于 .
（3）若为等腰三角形，请直接写出 的值.
【解】或30.由题意得或 ，
解得或30.故当或30时， 为等腰三角形.
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