17.2 3.因式分解法-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(沪科版·新教材)

该初中数学课件聚焦“一元二次方程的解法——因式分解法”，通过山西吕梁期中题引入转化思想，衔接因式分解与一元二次方程知识，以例题解析和思路分析为支架，帮助学生掌握将二次方程转化为一次方程的解题方法。 其亮点在于融合各地期中期末真题，如安徽合肥蜀山区期中题结合三角形三边关系，培养学生模型意识与推理能力。通过十字相乘法微专题和分类讨论思想总结，提升抽象能力与应用意识，学生能深化解题逻辑，教师可直接利用丰富例题优化教学效率。

数 学 八年级下册 HK 1 2 3 第17章 一元二次方程及其应用 4 17.2 一元二次方程的解法 3.因式分解法 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 1.【2025山西吕梁期中】我们解一元二次方程 时，可以运用因式分解法， 将此方程化为，得到两个一元一次方程：， ， 从而得到原方程的解为， .这种解法体现的数学思想是( ) D A.整体思想 B.模型思想 C.函数思想 D.转化思想 【解析】由题意得，这种把一元二次方程化为两个一元一次方程的解法体现的数 学思想是转化思想.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 2.【2025安徽合肥蜀山区校级期中】分别以一元二次方程 的两根 为腰和底边的长画一个等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是( ) A A.10 B.8 C.10或8 D.10或6 【解析】，,， .当2为腰长 时，，故此种情况舍去；当2为底边长时， ，所以等腰三角形 的周长为 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 思路分析 先求出一元二次方程的解，再结合三角形三边的关系即可解决问题. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.【2024安徽马鞍山雨山区校级期末】如果，那么 的值为___. 2 【解析】，， ,即 ，解得，.当时，， 无 意义，, .故答案为2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 4.【2025河南安阳质检】刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对 进入其 中时，会得到一个新的实数.例如，把 放入其中，就会得到 .现将实数对放入其中，得到实数，则 的值是 ______. 0或2 【解析】由题意得，整理得， ， 解得 或2.故答案为0或2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 思路分析 根据题意得出关于的一元二次方程，解方程求出 的值即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 5.【2025安徽蚌埠校级质检】方程 的较大的根 为，方程的较小的根为，则 _______. 2 025 【解析】 ， ， ， ， 为此方程的较大的根， ， 为此方程的较 小的根，，则 故答案为2 025. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 6.用因式分解法解下列方程： （1） ； 【解】将方程左边分解因式，得 ，即 ，因此有或 ,解这两个一次方程，得 ， . （2） ； 【解】将方程左边分解因式，得 ，整理，得 ，因此有或 ,解这两个一次方程，得 , . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 （3） ； 【解】将方程左边分解因式，得，即 ， 因此有或,解这两个一次方程，得， . （4） ; 【解】原方程变形，得 ，将方程左边分解因式，得 ，即，因此有或 ， 解这两个一次方程，得， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 （5） ; 【解】原方程变形，得 ，将方程左边分解因式，得 ，因此有或 ，解这两个一次方程，得 ， . （6） . 【解】原方程变形，得 ，将方程左边分解因式，得 ，因此有或 ，解这两 个一次方程，得， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 知识点2 用合适的方法解一元二次方程 7.解一元二次方程 最适宜的方法是( ) C A.直接开平方法 B.公式法 C.因式分解法 D.配方法 【解析】解一元二次方程 最适宜的方法是因式分解法.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 8.【2025浙江杭州期中】 （1）关于的方程 ，下列解法完全正确的是____.（填“甲” “乙”“丙”或“丁”） 丁 甲 乙 两边同时除以 ， 得 移项得 ， ， 或 ， ， 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 丙 丁 整理得 ， ，， ， ， ， ， 整理得 ， 配方得 ， ， ， ， 续表 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 【解析】方程两边不能同时除以，这样会漏解,故甲错误；移项时 没有变号，故乙错误；没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式，所以 的值 错误，故丙错误；利用配方法解方程，计算正确,故丁正确.故答案为丁. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 （2）选择合适的方法解方程： . 【解】因式分解，得，或 ，所以 ， . 易错警示 解一元二次方程时不能随便在方程两边约去含有未知数的代数式，约去的前提是 该代数式不为0，否则会出现漏解现象. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 提升 1.【2024安徽滁州期末，中】已知关于的方程，且满足关于 的方程,则 的值为( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】，，或 ， 解得，，.把代入方程得 ， 去分母得，解得，检验：当时，， 为分式 方程的解，即 的值为1.故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 思路分析 先利用因式分解法解方程得，，由于 ，得 到，再把代入方程得 ，最后解分式方程即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 2.［中］已知，那么 的值是( ) A A.2 B. C.2或 D.不确定 【解析】设，则原方程可化为， , ,解得，， .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 3.【2025浙江温州苍南期末，中】已知关于的方程 与 的解完全相同，则常数 的值为( ) B A. B. C.1 D.4 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】，， ， ，或 .分两种情况： （1）得，，.把 代 入①得， 无解. （2）得，.把 代入④得 ， .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 4.【2025安徽池州质检，较难】已知关于的方程有 个解，关 于的方程有个解，其中 ，则( ) C A.或 B.或 C.或 D.或 【解析】，或， 或 ，.对于方程,当， 时，方 程变为，解得，此时；当， 时，方程变为 ，解得，此时；当，时， 或 ，解得或，此时.综上可知，或 . 故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 关键点拨 解题的关键在于对方程中和 取值的分类讨论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 5.【2025安徽阜阳临泉期中，中】对于实数，，定义一种新运算“ ”如下： （1）若，，则 ___； 3 【解析】当，时，可知， .故答案为3. （2）若，则实数 的值为___. 2 【解析】当时，，即 ，解得 ，（舍去）；当时， ，解得 （舍去）， 的值为2.故答案为2. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 微专题2 “十字相乘法”解一元二次方程 6.【2025吉林白城质检，中】【阅读与理解】将多项式 分解因式，我 们可以按下面的方法分解： ①拆分二次项与常数项：， . ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次 项） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 . ③横向写出两因式： . 我们把这种分解因式的方法称为十字相乘法. 根据乘法原理：若，则或，方程 可以这样求解： 方程左边因式分解得，所以原方程的解为， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 【解决问题】 （1）二次项系数为1 试用上述方法和原理解下列方程： ① ； 【解】方程左边因式分解，得，或 ， ， . ② ； 【解】方程左边因式分解，得，或 ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 ③ . 【解】方程左边因式分解，得，或 ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 （2）二次项系数不为1 解方程 . 【解】方程左边因式分解，得， 或 ，， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 刷素养 7.思想方法 分类讨论 ［中］阅读材料，解答问题： 解方程： . 解:①当，即时,， , 解得（不合题意，舍去）， . ②当，即时,， , 解得（不合题意，舍去）, . 综上所述，原方程的解是或 . 依照上述解法，解方程 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 【解】①当，即时，， ，解得 ， ； ②当，即时，， ，解得 （不合题意，舍去）， （不合题意，舍去）. 综上所述，原方程的解是或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 $