13.2 勾股定理的应用 寒假巩固2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

华师大版（2024）八年级上册 13.2 勾股定理的应用 寒假巩固 【题型1】求高度或距离 【典型例题】如图，一竖直的木杆在离地面3.6米处折断，木杆顶端落地后离木杆底端4.8米，木杆折断之前的高度为（    ） A.6米 B.7.2米 C.9.6米 D.10.8米 【举一反三1】如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离是（    ）米. A.6 B.7 C.8 D.9 【举一反三2】如图，矩形ABCD是一个长为20 m、宽为15 m的长方形草地示意图，现在有一只小狗在点A处玩耍，主人在点C处与人聊天，小狗若想快速回到主人身边，最短奔跑距离为（ ） A.21 m B.24 m C.25 m D.35 m 【举一反三3】某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为         米． 【举一反三4】如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．    (1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？ 【题型2】水杯中的筷子问题 【典型例题】如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一，“勾股定理”描述了直角三角形三条边长之间的关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，请运用“勾股定理”解决以下问题：如图，一个底面半径为，高为的圆柱形饮料罐，将一根笔直的吸管从顶面正中的小圆孔插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管在饮料罐内部的最大长度是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图是一个底面半径为，高为的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度是         【举一反三4】如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部的直吸管如图放置，则在罐内部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是                    ．    【举一反三5】一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽6尺，求竹竿长？ 【举一反三6】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道问题，大意是：如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请求出这根芦苇的长度．    【题型3】最短路径问题 【典型例题】如图，正方体盒子的棱长为4，中点为，一只蚂蚁从点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A.10 B. C. D. 【举一反三1】长方体的长为，宽为，高为，点B离点C ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（      ） A.25 B. C.20 D. 【举一反三2】如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】棱长分别为和的两个正方体如图所示放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱上，点P是棱的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是      ． 【举一反三4】如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间的距离为，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖． (1)求点到点的距离； (2)蚂蚁从点爬到点的最短路程是多少？ 【举一反三5】(1)如图①，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ (2)如图2，是一个无盖的长方形罐头盒，盒高，盒底周长，盒外一只蚂蚁在底部A处，想吃到盒内与A相对的点B处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程长度． 【题型4】网格问题 【典型例题】如图，在由边长均为1的小正方形组成的4×4网格中，将连接任意两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能为（　　） A.5 B. C. D. 【举一反三1】如图，在边长为1的小正方形网格中，为上任意一点，的值为（   ） A.6 B.8 C.10 D.12 【举一反三2】如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为          ．    【举一反三3】如图，网格内每个小正方形的边长都是个单位长度，都是格点，与相交于点，则      ． 【举一反三4】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)在图中作出关于直线对称的；（要求：A与，B与，C与相对应）； (2)用无刻度直尺画出线段的垂直平分线： (3)已知Q是直线l上一个动点，则的最小值为_________． 【举一反三5】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的顶点都在格点上，且三边的长分别为，，． (1)请在网格内画出； (2)的面积是_______．（在横线上直接写出计算结果） 【题型5】利用逆定理解决面积问题 【典型例题】如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（   ）    A.3 B.6 C.10 D.16 【举一反三1】如图，已知四边形中，，，，，，则这个图形的面积为（    ） A.48 B.54 C.24 D.60 【举一反三2】如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积等于      ． 【举一反三3】如图，在四边形 中，，求四边形的面积． 【题型6】勾股定理逆定理的实际应用 【典型例题】有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：米，米，米，米，且．请同学们计算一下这块草坪的面积（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？“这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则该沙田的面积为（    ）平方里． A. B. C. D. 【举一反三2】古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，这样做的道理是(　 　)    A.直角三角形两个锐角互余 B.三角形内角和等于 C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【举一反三3】如图，南北方向的海岸线上有一港口P，甲乙两艘轮船同时离开港口P，甲船以12海里/时的速度沿南偏东的方向航行；乙船以16海里/时的速度沿一固定方向航行，1.5小时后，它们分别位于点Q，R处，此时它们相距30海里，则乙船的航行方向是      ． 【举一反三4】如图，某县内连接三个乡镇 之间的公路分别是，，． 鉴于三个乡镇之间地势平坦，为构建乡镇交通网络，方便群众出行，该县计划从镇新修一条公路直达公路，该段公路造价为10万元． (1)判断公路和的位置关系，并说明理由； (2)求新修的公路的最低造价． 华师大版（2024）八年级上册 13.2 勾股定理的应用 寒假巩固（参考答案） 【题型1】求高度或距离 【典型例题】如图，一竖直的木杆在离地面3.6米处折断，木杆顶端落地后离木杆底端4.8米，木杆折断之前的高度为（    ） A.6米 B.7.2米 C.9.6米 D.10.8米 【答案】C 【解析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 一竖直的木杆在离地面3.6米处折断，木杆顶端落地面离木杆底端4.8米处， 折断的部分长为（米， 折断前高度为（米． 故选：C． 【举一反三1】如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离是（    ）米. A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 【解析】∵钢缆是电线杆，钢缆，线段构成的直角三角形的斜边， 又∵钢缆长度为10米，从电线杆到钢缆的上端为6米， ∴米， 故选：C． 【举一反三2】如图，矩形ABCD是一个长为20 m、宽为15 m的长方形草地示意图，现在有一只小狗在点A处玩耍，主人在点C处与人聊天，小狗若想快速回到主人身边，最短奔跑距离为（ ） A.21 m B.24 m C.25 m D.35 m 【答案】C 【解析】由两点之间线段最短可知，连接AC，如下图所示： 在Rt△ABC中，由勾股定理有：， 故选：C． 【举一反三3】某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为         米． 【答案】2 【解析】如图：过点D作于点E，则米， ∵米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得到：（米）， 故答案为：2． 【举一反三4】如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．    (1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】解　(1)根据题意，，， ∵， ∴， 解得， 故的长度为3米． (2)根据(1)得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 且， ∴， 故有危险． 【题型2】水杯中的筷子问题 【典型例题】如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据题意可得图形：， 在中：， 所以． 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3厘米～6厘米之间． 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 【举一反三1】我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一，“勾股定理”描述了直角三角形三条边长之间的关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，请运用“勾股定理”解决以下问题：如图，一个底面半径为，高为的圆柱形饮料罐，将一根笔直的吸管从顶面正中的小圆孔插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管在饮料罐内部的最大长度是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意得：吸管在饮料罐内部的最大长度是． 故选：B． 【举一反三2】如图是一个底面半径为，高为的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图， 为圆柱形花器底面直径，是圆柱形花器高， ∴， ∴线段的长度就是圆柱形花器内所能容下的最长花茎的长度， ∴． 故圆柱形花器内所能容下的最长花茎的长度为． 故选：B． 【举一反三3】如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度是         【答案】5 【解析】筷子露在杯子外面的最短长度即筷子在杯子里面的长度最长，即筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形．如下： ∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线断的长度，即， ∴筷子露在杯子外面的最短长度是． 故答案为:5. 【举一反三4】如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部的直吸管如图放置，则在罐内部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是                    ．    【答案】 【解析】作于，则，根据勾股定理，即可求解． 如图所示，    依题意，， 在中，， 即， 故答案为：． 【举一反三5】一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽6尺，求竹竿长？ 【答案】解　设竹竿长为x 尺，由题意，得： 解得， 答：竹竿长10尺． 【举一反三6】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道问题，大意是：如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请求出这根芦苇的长度．    【答案】解　设水池的深度为尺， 由题意得： 解得：， 则， 答：芦苇长13尺． 【题型3】最短路径问题 【典型例题】如图，正方体盒子的棱长为4，中点为，一只蚂蚁从点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A.10 B. C. D. 【答案】B 【解析】∵中点为， ∴， 当沿前面和上面爬行时，将正方体展开，连接， ， 在中，， 当沿前面和右面爬行时，将正方体展开，连接， ， 在中，， ， 故选：B． 【举一反三1】长方体的长为，宽为，高为，点B离点C ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（      ） A.25 B. C.20 D. 【答案】A 【解析】展开前面和左面，如图： ； 展开后面和上面，如图： ； 展开上面和左面，如图： ； ∵， ∴， ∴需要爬行的最短距离是25， 故选：A． 【举一反三2】如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图所示， ∵它的每一级的长宽高分别为, ∴ 即：蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程是， 故选：C． 【举一反三3】棱长分别为和的两个正方体如图所示放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱上，点P是棱的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是      ． 【答案】 【解析】如图，有两种展开方法： 方法一：， 方法二：， ， 故需要爬行的最短距离是． 故答案为． 【举一反三4】如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间的距离为，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖． (1)求点到点的距离； (2)蚂蚁从点爬到点的最短路程是多少？ 【答案】解　(1)如图，过点B作长方体宽的垂线，垂足为H，连接， 由长方体的性质得到：， ， ， 点到点的距离为； (2)如图1，把左侧面展开到水平面上，连接， 由题意可得：， ， 在中，根据勾股定理得：， 如图2，把右侧展开到正面上，连接， 由题意得：， 在中，根据勾股定理得： 则需要爬行的最短距离是； 如图3，把向上的面展开到正面上，连接， 由题意可得：， 在中，根据勾股定理得：； 同理，把向上的面展开到后面时，； ∵， ∴则需要爬行的最短距离是． 【举一反三5】(1)如图①，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ (2)如图2，是一个无盖的长方形罐头盒，盒高，盒底周长，盒外一只蚂蚁在底部A处，想吃到盒内与A相对的点B处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程长度． 【答案】解　(1)如解图，圆柱体的展开图为长方形， 所以， 由题意可知，， 所以在 中， 由勾股定理得，， 所以 ， 所以蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是； (2)如图， ∵盒高，盒底周长为， ， ∴蚂蚁爬行的最短路程是 ， ∴蚂蚁爬行的最短路程是． 【题型4】网格问题 【典型例题】如图，在由边长均为1的小正方形组成的4×4网格中，将连接任意两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能为（　　） A.5 B. C. D. 【答案】B 【解析】∵，故5可能是“格点线”的长度，故选项A不符合题意； ∵，故不可能是“格点线”的长度，故选项B符合题意； ∵，故可能是“格点线”的长度，故选项C不符合题意； ∵，故可能是“格点线”的长度，故选项D不符合题意． 故选：B. 【举一反三1】如图，在边长为1的小正方形网格中，为上任意一点，的值为（   ） A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】D 【解析】∵与是直角三角形，， ， ． 故选：D． 【举一反三2】如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为          ．    【答案】3 【解析】由图形可知，，边上的高为3， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得，， 故答案为：3. 【举一反三3】如图，网格内每个小正方形的边长都是个单位长度，都是格点，与相交于点，则      ． 【答案】 【解析】如图，过点作，连接， 由勾股定理得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三4】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)在图中作出关于直线对称的；（要求：A与，B与，C与相对应）； (2)用无刻度直尺画出线段的垂直平分线： (3)已知Q是直线l上一个动点，则的最小值为_________． 【答案】解　(1)如图，即为所求； (2)如图，直线即为所求作的垂直平分线； (3)连接交直线l于点Q，连接， 由轴对称的性质可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小，且最小值为线段的长， ∴的最小值为．    【举一反三5】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的顶点都在格点上，且三边的长分别为，，． (1)请在网格内画出； (2)的面积是_______．（在横线上直接写出计算结果） 【答案】解　(1)取格点、、，顺次连接各点， 在网格中，每个小正方形的边长均为， ∴， ， ， ∴就是所求的三角形． (2)， ∴的面积是， 故答案为：． 【题型5】利用逆定理解决面积问题 【典型例题】如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（   ）    A.3 B.6 C.10 D.16 【答案】C 【解析】∵正方形的面积为13， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【举一反三1】如图，已知四边形中，，，，，，则这个图形的面积为（    ） A.48 B.54 C.24 D.60 【答案】C 【解析】如图，连接， ，，， ， ，，， ， 为直角三角形， 这个图形的面积， 故选：C． 【举一反三2】如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积等于      ． 【答案】 【解析】 ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【举一反三3】如图，在四边形 中，，求四边形的面积． 【答案】解　连接，如图所示： ，，， ． ， ∴， 是直角三角形，， ． 【题型6】勾股定理逆定理的实际应用 【典型例题】有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：米，米，米，米，且．请同学们计算一下这块草坪的面积（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图：连接，根据勾股定理可求得，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，最后根据这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和即可解答． 连接，如图， ∵， ， ∵米，米， ∴米， ∵米，米， ， ∴为直角三角形， ∴这块草坪的面积． 故选：B． 【举一反三1】我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？“这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则该沙田的面积为（    ）平方里． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里， ∴，， ∴， ∴这块沙田是直角三角形，直角边分别为5里和12里，斜边为里， ∴这块沙田的面积为（平方里）， 故选． 【举一反三2】古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，这样做的道理是(　 　)    A.直角三角形两个锐角互余 B.三角形内角和等于 C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为， ∵， 所以以为边长的三角形是直角三角形． 即这样做的道理是如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 故选：D. 【举一反三3】如图，南北方向的海岸线上有一港口P，甲乙两艘轮船同时离开港口P，甲船以12海里/时的速度沿南偏东的方向航行；乙船以16海里/时的速度沿一固定方向航行，1.5小时后，它们分别位于点Q，R处，此时它们相距30海里，则乙船的航行方向是      ． 【答案】北偏东 【解析】由题意可得：，，，， 在中，， ， ， 是直角三角形，且， ∴ ∴乙船的航行方向是北偏东． 故答案为：北偏东． 【举一反三4】如图，某县内连接三个乡镇 之间的公路分别是，，． 鉴于三个乡镇之间地势平坦，为构建乡镇交通网络，方便群众出行，该县计划从镇新修一条公路直达公路，该段公路造价为10万元． (1)判断公路和的位置关系，并说明理由； (2)求新修的公路的最低造价． 【答案】解　(1)∵，，， ∴， ∴， ∴； (2)令新修的公路为，当时，最短， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴新修的公路的最低造价为（万元）． 学科网（北京）股份有限公司 $