精品解析：山东青岛超银中学2025-2026学年度第一学期期末质量检测九年级数学

2025-2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 如图所示，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看，可得图形如下： 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中点，连接，若与轴正半轴夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出和的长是解此题的关键．过P作轴于N，根据点P的坐标求出和，解直角三角形求出即可． 【详解】解：过P作轴于N，则， ∵点， ∴，，， ∴， 故选：C． 3. 设，，是反比例函数图象上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数在每个象限内的增减性是解题关键． 根据反比例函数的图象与性质对三个点的值进行排序． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∴在第二象限，， ∴，在第四象限，，， ∵在第四象限，越大，越大， ∴，则， ∴． 故选：． 4. 某城市市区人口万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据：平均每人拥有绿地，列式求解． 【详解】解：依题意，得：平均每人拥有绿地． 故选：C 【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是掌握题目中数量之间的相互关系． 5. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据k的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案． 【详解】解：①当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过一、三象限，故B选项的图象符合要求， ②当时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过二、四象限，没有符合条件的选项． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的性质． 一次函数： ①当，时，一次函数经过一、二、三象限； ②当，时，一次函数经过一、三、四象限； ③当，时，一次函数经过一、二、四象限； ④当，时，一次函数经过二、三、四象限； 反比例函数的（k≠0）， ①当时，反比例函数的（k≠0）的图象经过一、三象限； ②当时，反比例函数的（k≠0）的图象经过二、四象限． 6. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，交对角线于点，若，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理，证明出，建立等式求解． 【详解】解：在平行四边形中， ， ， ， ， ，， ， 即， 解得：， 故选：D． 7. 已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，结合勾股定理计算是解题的关键． 根据直角三角形中锐角三角函数的定义，先利用勾股定理求出斜边，再分别计算、、、的值，与选项对比即可． 【详解】解：在中，，，， ， ，，，，比较选项，D正确． 故选． 8. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的最少个数与最多个数分别是（ ） A. 7、8 B. 7、9 C. 8、9 D. 9、10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了小正方体组成的几何体的三视图，根据左视图可确定上面一层最少有2个小正方体，根据俯视图可确定下面一层有5个小正方体，上面一层最多有3个小正方体，据此可得答案． 【详解】解：由左视图可知，该几何体有上下两层，上面一层最少有2个小正方体， 由俯视图可知，该几何体下面一层有5个小正方体，且上面一层最多有3个小正方体， ∴所需的小正方体的最少个数为，最多个数为， 故选：A． 9. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为， ∴点横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，取值范围是或， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：B． 二、填空题（每空2分，共16分） 11. 点A，B分别在函数的两支上（A在第一象限），连接交x轴于点C，点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为6，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及图形中的几何关系．根据题设，点A，B，D，E的坐标可以通过给定的条件来表示，进而利用面积公式和已知条件求解未知参数．具体地，首先，根据给定的条件表达点的坐标；其次，通过面积公式建立等式关系；最后，利用给定的面积值解出参数． 【详解】解：设， ∵轴，且点E在函数的图象上， ∴， 设， ∵，且点B在函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 设与轴交于点， ∵轴， ∴， 过点作轴于点M，则， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴． ∴． 故答案为：8． 12. 如图，在四边形中，，，，F为上一点，连接，使，若E为的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，中位线的性质，勾股定理，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质． 过点D作于点G，取的中点H，连接，证明四边形是正方形，进而证明，得出，则，根据中位线的性质可得，，然后由勾股定理即可求解． 【详解】解：过点D作于点G，取的中点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵H为的中点， ∴ ∴， ∵E为的中点，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在等腰三角形中，，取的中点E，连接，过点C作的垂线，交的延长线于点D，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，作，垂足为点M、N．先由勾股定理求得的长，再由等腰三角形“三线合一”与三角形中位线定理可求得的长，从而可知的长，最后利用可求得的长． 【详解】解：如图，过点A、点E分别作，垂足为点M、N，则， ∵， ∴． ，， ∴， ∵E为的中点，， ∴． ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 解得：． 即：． 故答案为：． 14. 计算： ______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 将各特殊角三角函数值代入计算即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 15. 如图，点A、B在反比例函数的图像上，连接并延长交x轴于点C，若B是的中点，的面积为3，则k的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，作轴，轴，设，利用相似三角形的判定与性质，根据中点得到A、B、C的坐标，通过点的坐标列出方程，解答即可． 【详解】解：如图，作轴，轴， ∵B是的中点， ∴， 设， ∴，, ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴, ∵，即 ∴， ， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：2． 16. 将4个大小相同的小正方形按如图所示的方式摆放在大正方形中，已知13，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、二元一次方程组的应用、正方形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．证明，则．设，则，列方程组可得则．证明，利用相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】如图， 由题意可知， ∴ ∴ ∴， ∵． 设， 则，可得 解得 ． ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ， ． 故答案为： 17. 饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 18. 已知反比例函数和的图像分别为是上一点，过点A作轴，垂足为B，与交于点D，若的面积为3，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k值的几何意义，根据反比例函数k值的几何意义计算即可． 【详解】解：设点的坐标为， ∵轴， ∴点的坐标为， ∵点在上，且在上， ∴点的横坐标也为， ∴点的坐标为， 又∵，， ∴，, ∴, ∴, 解得： 故答案为：． 三、解答题（共74分） 19. 已知抛物线与x轴交于点，对称轴是直线，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求解，准确计算是解题的关键．根据已知条件求出与x轴的两个交点，设出交点式进行求解即可． 【详解】解：抛物线与x轴交于点，对称轴是 抛物线与x轴的另一个交点是 设抛物线解析式为 把代入解析式中，得解得 抛物线解析式为即． 20. 如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距OD为厘米． （1）求像的长度． （2）已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜焦距的长（精确到1厘米）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先由题意可证明，求出，再证明，利用相似三角形的性质即可求解； （2）先证明，根据，得到，再根据即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ， ， ． ， ， 即． 同理可得， ， ， ， ． ， ， 像的长度为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 由（1）得， ． ， ， ， ， ． 设， ， ，解得， ， 凸透镜焦距的长约为． 21. 在一次数学实践活动中，王林同学要测量古塔的高度，他从古塔底部点B处前行到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．求古塔的高度． （结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】古塔的高度为． 【解析】 【分析】本题考查解三角形的实际应用．利用坡度比，在中，设，，由勾股定理列方程求解即可得到和，在中，由三角函数定义求出，数形结合，由代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示：作于点，作交的延长线于点， 则四边形是矩形， 在中，斜坡的斜面坡度，， 设，， 由勾股定理可得， 即， 解得（负值已舍）， ，， ， ， 在中，，， 则，即， 解得， ， 答：古塔的高度为． 22. 已知二次函数（a实数，）． （1）求该二次函数的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）． （2）设二次函数在时的最大值为p，最小值为q，，求a的值． 【答案】（1）对称轴直线，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）将两点式转化为一般式，再转化为顶点式，即可得出结果； （2）根据二次函数的对称性和增减性，求出的值，进一步求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴对称轴直线，顶点坐标． 【小问2详解】 令，则：， ∴点关于对称轴对称， ∴和在对称轴的两侧， ∴关于对称轴的对称点为， ∵，抛物线开口向上， ∴当时，函数取得最大值． 当时，函数取得最小值． ∵， ∴． 解得：（不合题意，舍去） ∴． 23. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）结合图象，直接写出不等式的解集； （3）判断线段AC，CD，BD之间的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）， （2）或 （3），见解析 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出一次函数和反比例函数的交点，根据图象即可得到答案； （3）过点作轴于点E，证明，过点作轴于点F，证明，得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过点和点， ，解得， 一次函数的表达式为； 点在一次函数的图象上， ，解得， 点坐标为， 反比例函数的图象经过点， ，即， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解方程组得或， 点坐标为， 结合图象，不等式的解集是或； 【小问3详解】 ． 证明：过点作轴于点E， ， ， ， 过点作轴于点F， ， ，， ， ， ． 24. 综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作猜想： 如图1，四边形是矩形，，点E是边上一点，连接，沿折叠，使点D的对应点落在上．填空： ， ； （2）探索证明： 如图2，在图1的条件下，延长与的延长线相交于点F，连接．求的度数和的值； （3）拓展延伸： 如图3，四边形是正方形，E，F，G，H分别为的中点，连接．点M是边上一点，连接，将沿折叠，使点B的对应点落在或上时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）；； （3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）利用折叠的性质，，由正弦函数的定义可求得，再根据平行线的性质即可求得；求得，再利用正弦函数的定义可求得，据此求解即可； （2）先证明四边形是平行四边形，即可求得；由（1）得，则设，则，求得，再证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）分当点落在上和上，同（1）或（2）的方法求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，，沿折叠，使点D的对应点落在上， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴，则， ∴四边形是平行四边形， ∴； 由（1）得， ∴设，则， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设正方形的边长为， ∵E，F，G，H分别为的中点， ∴， 当点落在上时， ∵折叠， ∴， 同理，， ∴，，， ∴； 当点落在上时， ∵折叠， ∴，同理，则， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的问题，正方形与折叠的问题，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 25. 如图1，将矩形纸片折叠，使点B落在对角线上，点A，B对应点分别记为，折痕与边分别交于点E，F． （1）如图1，当点与点D重合时，请判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，当时，求的值； （3）如图3，当时，试探究与之间的数量关系． 【答案】（1）四边形是菱形，见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明， 得出，证明四边形为平行四边形，得出四边形是菱形； （2）根据勾股定理求出， 设与交于点，过点作于，证明，得出，求出，证明，得出，求出，，，最后求出结果即可； （3）先证明，得出是等边三角形，证明， 根据，即可得出答案． 【小问1详解】 解：当点与点重合时，四边形是菱形．理由如下： 设与交于点，如图1， 由折叠得：，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，，，， ∴，，， ∴，， 如图，设与交于点，过点作于， 由折叠得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴在中，． 【小问3详解】 解：∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴在中，， ∴与间满足的数量关系是． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 如图所示，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中点，连接，若与轴正半轴夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 设，，是反比例函数图象上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 某城市市区人口万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ 　 ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，交对角线于点，若，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的最少个数与最多个数分别是（ ） A. 7、8 B. 7、9 C. 8、9 D. 9、10 9. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每空2分，共16分） 11. 点A，B分别在函数的两支上（A在第一象限），连接交x轴于点C，点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为6，则的值为______． 12. 如图，在四边形中，，，，F为上一点，连接，使，若E为的中点，连接，则的长为______． 13. 如图，在等腰三角形中，，取的中点E，连接，过点C作的垂线，交的延长线于点D，若，，则的长为______． 14 计算： ______． 15. 如图，点A、B在反比例函数的图像上，连接并延长交x轴于点C，若B是的中点，的面积为3，则k的值为______． 16. 将4个大小相同的小正方形按如图所示的方式摆放在大正方形中，已知13，则图中阴影部分的面积为________． 17. 饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________． 18. 已知反比例函数和的图像分别为是上一点，过点A作轴，垂足为B，与交于点D，若的面积为3，则k的值为______． 三、解答题（共74分） 19. 已知抛物线与x轴交于点，对称轴是直线，且过点，求抛物线的解析式． 20. 如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距OD为厘米． （1）求像的长度． （2）已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜焦距的长（精确到1厘米）． 21. 在一次数学实践活动中，王林同学要测量古塔的高度，他从古塔底部点B处前行到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．求古塔的高度． （结果精确到0.1米，参考数据：，，） 22. 已知二次函数（a为实数，）． （1）求该二次函数的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）． （2）设二次函数在时最大值为p，最小值为q，，求a的值． 23. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）结合图象，直接写出不等式的解集； （3）判断线段AC，CD，BD之间的数量关系，并给予证明． 24. 综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形折叠”为主题开展数学活动． （1）操作猜想： 如图1，四边形是矩形，，点E是边上一点，连接，沿折叠，使点D对应点落在上．填空： ， ； （2）探索证明： 如图2，在图1条件下，延长与的延长线相交于点F，连接．求的度数和的值； （3）拓展延伸： 如图3，四边形是正方形，E，F，G，H分别为的中点，连接．点M是边上一点，连接，将沿折叠，使点B的对应点落在或上时，直接写出的值． 25. 如图1，将矩形纸片折叠，使点B落在对角线上，点A，B的对应点分别记为，折痕与边分别交于点E，F． （1）如图1，当点与点D重合时，请判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，当时，求的值； （3）如图3，当时，试探究与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $