专题03 解三角形9种题型归类（压轴题专项训练）数学沪教版必修第二册

专题03 解三角形 目录 类型一、正(余)弦定理解三角形 类型二、判断三角形的形状与三角形解的个数问题 类型三、与角平分线有关的解三角形问题 类型四、与中线有关的解三角形问题 类型五、与高线有关的解三角形问题 类型六、多三角形或四边形的解三角形问题 类型七、解三角形中的实际应用问题 类型八、解三角形中边长与周长的最值范围问题 类型九、解三角形中面积的最值范围问题 压轴专练 类型一、正(余)弦定理解三角形 解题技巧： (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素. (2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系 例1-1．在中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以． 故选：B． 例1-2．已知的外接圆半径为2，且内角满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，得， 即，则， 由，解得， 由正弦定理知. 故选：D 变式1-1．（25-26高三上·上海·期中）的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，利用余弦定理，求得，结合角为锐角，即可求解. 【详解】由，可得，即， 又由余弦定理，可得， 又因为角为锐角，即，所以，即角的取值范围是. 故选：D. 变式1-2．（24-25高一下·上海杨浦·月考）小马同学和小虎同学记忆公式十分马虎，他们要求一个等腰的面积，小马同学把余弦定理记忆为：小虎同学把正弦定理记忆为： 则小马同学能把该三角形面积求对是小虎同学能把该三角形面积求对的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据正确的正余弦定理,求出在什么样的特殊情况下用错误的正余弦定理也能求出正确结果,计算出特殊情况,求出结果. 【详解】根据题意,当小马同学能做对时,即, 解得即,因为是等腰三角形,所以当是等腰直角三角形时小马能做对. 当小虎同学能做对时即 化简得,即是等边三角形时小马能做对.所以是既不充分也不必要条件. 故选:D. 变式1-3．（24-25高一下·上海·月考）已知内角的对边分别是，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理得到关于的关系式，再利用余弦定理表示出，从而得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，又， 所以， 又，则. 故选：A. 变式1-4．（24-25高一下·上海·期末）在中，角，，的对边分别为，，． (1)若，求的大小； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）根据正弦定理，边化角，即可求解； （2）解法1：首先根据正弦定理求角，再求角，最后代入面积公式，即可求解；解法2：首先根据余弦定理求，再代入面积公式，即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可得， ，，或； （2）解法1：由正弦定理可得，，或 当时，，故， 当时，，故. 解法2：由余弦定理可得：，即，或. 当时，，， 当时， . 类型二、判断三角形的形状与三角形解的个数问题 解题技巧： 1.判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 2.对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三角形 内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 例2-1．（24-25高一下·上海·月考）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．非直角三角形，也非等腰三角形 【答案】A 【分析】由条件利用余弦定理求得，可得，由，再根据正弦定理和余弦定理再可得，从而得出结论． 【详解】在中， ， ，， 又由可得， ，故是等边三角形. 故选：A. 例2-2．已知的内角A，B，C的对边分别为，则能使同时满足条件的三角形不唯一的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形不唯一的条件进行求解即可. 【详解】因为，则， 要使满足条件的三角形不唯一，则，即. 故选：A. 变式2-1．在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到，又，所以， 故选：B. 变式2-2．（24-25高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正余弦定理，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A:，进而可根据正弦定理求解，故此时三角形有唯一解； 对于B:,，进而根据余弦定理求解的值，此时三角形有唯一解； 对于C:，根据正弦定理可求解唯一，进而可知三角形唯一解； 对于D:，由正弦定理，且，故此时满足条件的有两解. 故选：D. 变式2-3．（24-25高一下·上海杨浦·月考）小张同学尺规作图，画一个三角形，三条高的长度分别为，则小张同学（    ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个钝角三角形 D．能作出无数个钝角三角形 【答案】C 【分析】由余弦定理即可求解. 【详解】设边上的高分别为，则， 所以最大角的余弦值满足，， 所以能作出一个钝角三角形. 故选：C. 变式2-4．（24-25高一下·上海·期中）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形解的个数结合已知条件确定的取值范围，逐个选项判断即可. 【详解】由题意可知三角形只有一个解， 由上图可知： 若只有一解，可知以为圆心，为半径的圆弧与有一个交点， 则或，即或， 所以的取值不可能为， 故选：B 类型三、与角平分线有关的解三角形问题 解题技巧： 角平分线问题 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 ③角平分线张角定理：如图，为平分线，则 例3-1．在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 【答案】 【详解】如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：2． 方法二：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：2． 例3-2．已知中内角的对边分别是，. （1）求的值； （2）设是的角平分线，求的长. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1），由，可得， ，可得B为锐角，则， 所以sin=， 由=可得，解得； （2）由（1）可得， 因为是的平分线，所以, 设，由， 可得， 化为，解得，则． 变式3-1．在中，，M是中点，，则___________，___________． 【答案】(1)． (2)． 【详解】由题意作出图形，如图， 在中，由余弦定理得， 即，解得(负值舍去)， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以； 在中，由余弦定理得． 故答案为：；． 变式3-2．（25-26高三上·上海·期中）在中，角的对边分别为，已知角的内角平分线长为1，若，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角形面积定理结合均值不等式求解作答. 【详解】在中 ，， 因角B的内角平分线的长为1，由得：， 即，因此， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：B 变式3-3．（24-25高一下·上海·期末）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，的角平分线交BC于M，求线段AM的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角的余弦公式化简，再解析方程即得. （2）根据，结合面积公式列式求解. 【详解】（1）由，得， 又在中，， 则，整理得， 而，，解得，所以． （2）在中，由是的角平分线，得， 由，得， 即，所以. 变式3-4．在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再根据二倍角公式化简可得解； （2）根据三角形面积可得，再根据等面积法可得角分线长度. 【详解】（1）由已知， 又由正弦定理可得， 又，所以， 则，又，即， 又，，即， 则，所以，； （2）由已知，所以， 因为为角的角分线， 故， 所以， 即， 解得. 类型四、与中线有关的解三角形问题 解题技巧： 中线问题 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. 1、向量法：＝(b2＋c2＋2bccos A). 推导过程：由＝＋)，得＝＋)2＝＋＋｜｜｜｜·cos A， 所以＝(b2＋c2＋2bccos A).　 2、余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 3、中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 推导过程：在△ABD中，cos B＝，在△ABC中，cos B＝， 联立得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 4、等分点模型 如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接. 易知∥，且，，． 例4-1．在中，若，，边上的中线长为，则 . 【答案】18 【分析】根据余弦定理结合题意可得，代入数据计算可得的值. 【详解】中，， 在中，， 即 故， ∵，所以 设，又，，边上的中线长为， 代入数值，得，解得. ∴. 故答案为：18. 例4-2．在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法运算及数量积模的运算，推导出，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式，将表示为角的三角函数表达式，结合正弦函数的性质算出的取值范围． 【详解】因为是边上的中线，所以， 则， 由正弦定理得， 可得，， 所以， 而， ， 所以 ， 因为为锐角三角形，，则，即， 所以，所以， 所以当时，取得最大值，的最小值大于， 所以的最大值为，最小值大于，即的取值范围为． 故选：B． 变式4-1．的内角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，为的中线．若，，． (1)求的长； (2)求的长. 【答案】（1） （2）. 【分析】（1）先根据条件求角，结合平面向量的数量积求的长. （2）设，利用列式可求的长. 【详解】（1）由 所以，又，所以 . 因为为中点，所以， 所以 . 所以，即. （2）因为平分，所以. 设， 由 . 所以 . 故. 变式4-2．在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边，边的中点为，求中线长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边角互换以及余弦定理进行化简即可得解. （2）利用向量模的平方以及余弦定理，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：，则， 即， 由余弦定理可得：， 因为，所以. （2）因为为的中点，所以， 则 ， 又由余弦定理得，， 即，所以. 由得，， 则，当且仅当取等号， 即， 所以，即中线长的最大值为. 变式4-3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)若，求； (2)当BC边上的中线最小时，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先由题设结合倍角公式和正弦定理得，接着由即可结合同角三角函数关系和两角和正弦公式即可依次求出和，从而由正弦定理即可求解c； （2）先由（1）求出a，接着由结合余弦定理和基本不等式即可依次求出和，再由正弦定理形式面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，故， 又，即， 所以由正弦定理， 若，则， 则， 所以； （2）由（1）得，取中点， 则为BC边上的中线， 则， 又由余弦定理得，故， 即，当且仅当时等号成立， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以BC边上的中线最小值为，此时. 类型五、与高线有关的解三角形问题 解题技巧： 高线问题 ①等面积法： ② ③ 例5．的内角，，的对边分别为，，，已知，. (1)求及； (2)若，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 所以，又， 所以，又，则. 因为，即，又，所以， 因为，所以. （2）由（1）及余弦定理，得. 将，代入，得， 解得或（舍去），则. 因为，所以， 设边上的高为，则. 变式5-1．在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由可得的值，进而可求得、的值，结合余弦定理可得，由等面积法可求得. 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 由可得，解得. 故选：B. 变式5-2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若的面积为，周长为，则AC边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及三角形面积公式求解即得. 【详解】在中，由正弦定理及， 得，即，由余弦定理得， 则，由的面积为，得，解得， 由，得，又，因此， 令AC边上的高为，则，所以. 故选：B 变式5-3．（24-25高一下·上海·期末）已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=，sin(A- B)= （1）求证: tanA=2tanB （2）设AB=3，求AB边上的高CD. 【答案】（1）见解析 （2） 【详解】（1）证明：因为sin(A+B)=，sin(A- B)=， 所以, ， 所以，即； （2）因为三角形ABC为锐角三角形，所以，又因为sin(A+B)=，所以，因此，所以，结合，因为，解得，又因为，又因为AB=3，所以，故AB边上的高CD为. 变式5-4．（24-25高三上·广东深圳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为. (1)求； (2)设AC边上的高为，若，且，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用正弦定理转化后，整理化简得从而求出角的大小； （2）利用余弦定理可得关系，利用等面积法可求出，由此可求周长的范围. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为， 所以， 因为，，所以，， 又，解得； （2）∵，，即， 所以，即， 又，所以， 因为，所以，故， 所以，所以， 所以周长的范围为． 类型六、多三角形或四边形的解三角形问题 解题技巧： 一、平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果 二、双正弦定理（核心：边与角灵活互换，比例精准对应） 1、 边角互化，统一形式（基础核心技巧） 适用场景：题目中同时出现边长和角度，且所有边长均为一次形式（无平方、乘积嵌套）；或需要通过边、角关系判断三角形的形状特征。 具体操作：可将所有边长替换为对应角的正弦值，使式子仅含角度关系，再结合角度和的固定规律、角度间的运算逻辑化简；也可将所有角的正弦值替换为对应边长，使式子仅含边长关系，再通过边长的加减、比例关系简化。 核心作用：消除边、角混合的复杂结构，快速梳理出清晰的角关系或边关系，为后续计算或判断铺路。 2.比例对应，快速推导（高效简化技巧） 适用场景：题目给出角度的比例关系，或边长的比例关系，需要推导另一种量的比例。 具体操作：直接利用边长比例与对应角正弦值比例完全一致的规律，已知角度比例可直接推导边长比例，已知边长比例可直接推导对应角正弦值比例。 核心作用：跳过复杂的分步计算，通过比例对应快速得出结果，提升解题效率。 3.单边对角，求解未知（精准求解技巧） 适用场景：已知三角形的一条边长及其所对的角，需要求解其他边长或角度。 具体操作：依托边长与对角正弦值的对应关系，结合三角形内角和的固定规律，逐步推导未知边或未知角。 核心作用：针对“一边一对角”的典型条件，实现未知量的精准求解，适用场景明确且高效。 三、双余弦定理（核心：平方关系算边算角，余弦值判角定形） 1.平方求边，精准计算（求边核心技巧） 适用场景：已知三角形的两条边长及其夹角，需要求解第三条边长。 具体操作：以目标边的平方为核心，通过另外两条边的平方和，减去这两条边与夹角余弦值乘积的两倍，得出目标边的平方后再开方。 核心作用：专门解决“两边夹一角求第三边”的问题，计算逻辑直接，结果精准。 2.平方求角，推导角度（求角核心技巧） 适用场景：已知三角形的三条边长，需要求解任意一个内角。 具体操作：以目标角为核心，用另外两条边的平方和减去目标角对边的平方，再除以这两条边乘积的两倍，得出目标角的余弦值，再对应出具体角度。 核心作用：实现“已知三边求任意角”，通过余弦值搭建边长与角度的关联，推导过程清晰。 3.余弦判角，快速定形（判断类型技巧） 适用场景：已知三角形的三条边长，需要判断某个角是锐角、直角还是钝角，或判断三角形整体的类型。具体操作：计算目标角的余弦值后，通过余弦值的正负、零值判断：余弦值大于0为锐角，等于0为直角，小于0为钝角。 核心作用：无需计算具体角度，仅通过余弦值符号即可快速判断角的类型及三角形整体特征，简化判断流程。 四、综合解题技巧（灵活选用，高效破题） 1.条件匹配优先选：边、角混合且边长为一次式，优先用双正弦定理；出现边长平方、两边夹角、三边求角，优先用双余弦定理。 2.复杂题目分步解：先通过双正弦定理的边角互化简化式子，梳理出清晰的边或角关系，再结合双余弦定理计算具体边长或角度，两者配合实现复杂问题拆解。 3.目标导向定方法：求边长比例、角度比例，优先用双正弦的比例技巧；求具体边长、具体角度、判断角的类型，优先用双余弦的平方与判角技巧。 例6-1．的内角的对边分别为已知. （1）求角和边长； （2）设为边上一点，且,求的面积. 【答案】（1），；（2）. 【详解】（1），，由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，故. (2)，，，，，. 例6-2．（24-25高一下·上海嘉定·期末）写画(视为平面)上有灯塔、、和货轮，如图在的正东方向，在的正北方向.到的距离相等，且按逆时针排列，在直线两侧，若，，则 .(结果精确到) 【答案】 【分析】设，,在，中，由正弦定理可得，，运算求得答案. 【详解】设， 由题意，，则， 在中，由正弦定理，得，则. 在中，由正弦定理，得，则， 所以，化简整理得， 可得. 故答案为：. 变式6-1．（24-25高一下·上海松江·月考）如图，我国南海某处的一个海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里．为钝角，且． (1)求小岛A与小岛D之间的距离； (2)已知与互补，求四个小岛所形成的四边形的面积． 【答案】(1)2海里； (2)18平方海里. 【分析】（1）根据题意得出各边长和，利用余弦定理可解出的长； （2）利用余弦定理求出的长，再利用三角形面积公式求出两个三角形的面积，相加即为所求四边形面积. 【详解】（1）由题意，，且为钝角， 在中，由余弦定理，， 得，解得或（舍去）. 故，小岛A与小岛D之间的距离为2海里. （2）由题意，. 在中，由余弦定理，， 得，解得或（舍去）. 故. 所以 所以，四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里. 变式6-2．如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4. (1)若，，求的面积； (2)若，求的最大值. 【答案】(1)4； (2). 【分析】（1）在三角形中，根据正弦定理求得，再在三角形中，利用三角形面积公式即可求得结果； （2）设，在三角形中分别用正弦定理表示，从而建立关于的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果. 【详解】（1）因为，的外接圆半径为4，所以，解得. 在中，，则，解得. 又，所以； 在中，，，， 所以. （2）设，. 又，所以. 因为，所以. 在中，，由正弦定理得， 即，解得 . 在中，，由正弦定理得， 即，解得， 所以 . 又，所以， 当且仅当，即时，取得最大值1， 所以的最大值为. 变式6-3．如图，在平面凸四边形中，为边的中点．    (1)若，求的面积； (2)求的最大值． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）因为，，由余弦定理可得， ， 则，且，，所以， 则的面积为. （2） 取线段的中点为，连接， 设，，因为， 由余弦定理可得，， 由正弦定理可得，，则， 因为分别为的中点，所以，且， 所以，且，所以， 在中，由余弦定理可得， ， 由可得，， 所以当时，即时，取得最大值， 所以的最大值为. 变式6-4．如图，在四边形中，，，，.    (1)若，求； (2)求的最大值. 【答案】（1） （2） 【详解】（1）由题意知，，，所以. 在中，，， 所以. 在中，由余弦定理得， ， 所以. （2）过点作于点，由，，，， 可得，， 设，当时，点在点的右侧，如图①，，则. 当时，点在点的左侧，如图②，，则. 又，所以当，且时， . 当时，点与点重合，，满足上式， 所以，其中. 令，则， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，此时取得最大值， 因为，所以为锐角， 所以当时，取得最大值. 类型七、解三角形中的实际应用问题 解题技巧： 解三角形的实际应用 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 【注意】（1）方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． （2）将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 例7-1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）奉贤中学的樱花（如左图所示）是一道美丽的风景线，每年樱花盛开的时候，赏花的同学络绎不绝.为了测量樱花树的高度，同学们利用高二教学楼2楼到5楼的高度设计了测量方案（如图所示），并做出了以下假设：假设1：假设樱花树顶端与底端构成的线段与教学楼平行；假设2：假设测量者能看到樱花树的顶端和底端；假设3：假设测量时同学们看到樱花树的顶端为同一点.根据以上方案，同学们测量了以下数据：①；②；③；④；⑤.由于大雨淋湿了工作单，导致上述5个数据中某一个数据模糊不清.若同学们根据剩余的4个数据依旧能计算出樱花树的高度，则模糊不清的数据可能为 .（填写一个序号即可） 【答案】②或④（填②/④/②④都算对） 【分析】首先设，再结合，根据条件，不同三角形中，根据正弦定理，即可求解树的高度，从而判断模糊不清的数据. 【详解】设， 因为，，所以， 在中，， 由正弦定理可得，可求得的长度， 在中，，， 由正弦定理可得，可求得及， 因为，所以，可求出樱花树的高度， 此过程中未用到数据②，故选②： 同理，若借助求及的长度，则无需用到数据④，故选④亦可. 故答案为：②或④ 例7-2．（24-25高一下·上海·月考）山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，得，在中，得，在中得，代入数值即可求得的值. 【详解】， 在中，， 在中，， 则， 由正弦定理，得，所以， 在中，. 故选：D. 变式7-1．（2025·上海·模拟预测）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中、均与水平面垂直.在已测得可直接到达的两点间距离、的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中不能唯一确定与之间的距离的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】由已知条件有两边，再结合三个角，可解两个直角三角形，求出高和斜边，然后再用余弦定理求第三边，这样可逐一分析判断，但对于B选项，可通过举反例判断即可. 【详解】记，，，，，，，，，，，，． 对于A选项：已知， 在中，由，可确定；同理，在中，即可确定， 在中，由，可确定； 在中，已知，由余弦定理可解三角形知， 再在中，由勾股定理，可确定； 再由直角梯形，结合勾股定理可得， 即可确定，故A正确； 对于C选项：已知， 在中，由，可确定；同理，在中，可确定； 在中，由及余弦定理，可确定，故C正确; 对于D选项：已知， 在中，由及余弦定理，可确定； 在中，由，可确定；同理，在中，即可确定， 由直角梯形，结合勾股定理可得，① 即可确定，故D正确； 对于B选项：已知，同C，D选项，可确定， 在中，由勾股定理，得， 在中，由余弦定理，得，② 联立①②，得解此关于的二元方程组， 可得，但此二元二次方程组可能有两解， 例如:若，得 解得或故B错误． 故选：B. 变式7-2．（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度 米 【答案】 【分析】设，在，，分别根据锐角三角函数定义求出，最后利用余弦定理进行求解即可. 【详解】设塔的高， 在中，，同理可得，， 在中，，则， ， 即，解得. 所以塔的高度为米. 故答案为：. 变式7-3．（24-25高一下·上海宝山·期末）上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图，设想在其中规划出三个功能区：为露营区，为垂钓区，为活动区.已知为直角三角形，，，，为内一点，且.    (1)安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知， ①求的大小； ②求护栏的长度（精确到0.01）； (2)求露营区面积的最大值. 【答案】(1)①；②千米； (2). 【分析】（1）①应用正弦定理求角的大小；②应用余弦定理求边长； （2）由余弦定理及基本不等式得，再由三角形面积公式求最大面积. 【详解】（1）①由题设，， 而，即，故； ②由上可知，而，则， 所以千米. （2）由题设， 所以，当且仅当时取等号， 所以，即露营区面积的最大值. 变式7-4．（24-25高一下·上海浦东新·月考）塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑. 如图，为测量某塔的总高度 ，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在C点测得塔顶 A 的仰角为，则塔的总高度为 . 【答案】 【分析】先在中利用正弦定理求出的长，再在直角利用三角函数的知识可求得结果. 【详解】在中，，， 则， ， 由正弦定理得， 则，解得， 在直角中，， 则. 故答案为：. 类型八、解三角形中角度、边长与周长的最值范围问题 解题技巧： 1、三角形中的长度最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2、求解三角形中的长度最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等 例8-1．（24-25高一下·上海·月考）在锐角中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先对等式左边通分，结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理、诱导公式，可对等式进行化简，又为锐角三角形，化简可得，进而可求得角； （2）由正弦定理，可得，代入整式，结合三角恒等变换化简可得，又为锐角三角形，可得，结合三角函数定区间求值域即可求得其取值范围. 【详解】（1）因为， 所以， 又为锐角三角形，所以，所以且， 所以由，得，即，所以. （2）由（1）可得， 由正弦定理，得， 所以 ， 又为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以，即. 例8-2．（24-25高一下·上海静安·期末）在中，角对应的边分别为，已知，为中点，． (1)证明为等腰三角形； (2)若，求周长的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角函数的基本关系式，化简得到，求得，得到，即可证得为等腰三角形； （2）设的周长为，由（1）知，由题意得到，且，化简得到，结合正切函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：在中，由正弦定理，可得， 又由，可得， 整理得，所以， 可得， 即， 因为，可得，所以， 即，可得，所以为等腰三角形. （2）解：设的周长为，由（1）知：， 因为为等腰三角形，为的中点，可得， 则，且， 所以， 因为，所以，由正切函数的性质，可得， 所以当时，即时，的周长取得最小值，最小值为. 例8-3．（24-25高三下·上海·月考）若的内角满足，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】由已知条件结合正弦定理可得出，利用余弦定理可求出的最小值，结合余弦函数的单调性可得出角的最大值. 【详解】设的内角、、的对边长分别为、、， 因为，由正弦定理可得， 所以， ，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为且余弦函数在上单调递减，故， 所以，的最大值为. 故答案为：. 变式8-1．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求角，再结合基本不等式和余弦定理可求三角形周长的取值范围. 【详解】由， 因为为三角形内角，所以，所以，所以. 由余弦定理：，即. 所以，所以，所以. 又，所以. 故答案为： 变式8-2．（24-25高一下·上海杨浦·月考）（2025·河北·模拟预测）如图，在中，角所对的边分别为，已知是的角平分线，且． (1)求角的值； (2)若，求长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用三角形面积公式列出等式，即可求出角； （2）根据余弦定理，利用重要不等式求出的范围，通过换元，借助对勾函数在的单调性，即可求出的最大值. 【详解】（1）设， ， ， ， ，， ，，； （2）由余弦定理知， ，， 又，当且仅当时，等号成立． ， 令，则， 令，则， 在上单调递增，， ，此时，即，即. 变式8-3．在锐角中，若，且，则能取到的值有（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】由得到，再根据正弦定理将化简整理可得，由为锐角三角形得到，根据正弦定理可得，最后结合两角差的正弦公式、辅助角公式即可求解. 【详解】由， 又， 所以，则. 因为， 根据正弦定理得， 故， 即， 所以， 即， 根据正弦定理得， 所以， 因为为锐角三角形，且， 所以，即， 解得， 所以 ， 因为， 所以，则， 所以，即. 故选： D. 变式8-4．（24-25高一下·上海·月考）设锐角三角形的内角所对的边分别为，若． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得，代入余弦定理即得的值. （2）由两角和差的正弦公式和辅助角公式得，从而得的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理，可得， 即， 由余弦定理得， 又， ． （2）由（1）可知， 因为为锐角三角形， ， ， ，则． 的取值范围为. 类型九、解三角形中面积的最值范围问题 解题技巧： 1．三角形中的面积最值（范围）问题的常见解题方法： (1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）； (2)利用基本不等式求最值（范围）； (3)转化为三角函数求最值（范围）； (4)转化为其他函数求最值（范围）； (5)坐标法求最值（范围）. 2．三角形中的面积最值（范围）问题的解题策略： (1)正、余弦定理是求解三角形的面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． (2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略 三角形中面积最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. (3)坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略 “坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值 例9-1．已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理即可得； （2）由余弦定理结合重要不等式可得取值范围，再由三角形的面积公式可求出面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 即. （2）由（1）可知， 所以或. 在中，由余弦定理得 ， 当时，， ， 当且仅当时取等号，即， 故的面积. 当时，， ， 当且仅当时取等号，即， 故的面积. 综上所述，的面积最大值为. 例9-2．如图，在平面内，四边形满足，点在的两侧，，，为正三角形，设.    (1)当时，求； (2)当变化时，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由余弦定理可得的值； （2）由余弦定理可得的表达式，进而求出正三角形的面积的表达式，进而求出四边形的面积的表达式，由辅助角公式及的范围，可得四边形面积的范围． 【详解】（1）因为，，， 由余弦定理可得：. （2）由余弦定理可得， 因为为正三角形，所以， ， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 故当时，四边形面积的最大值为. 变式9-1．（24-25高一下·上海徐汇·期中）在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的面积最大值是 ． 【答案】; 【分析】由余弦定理即可求解，结合基本不等式求得最大值，即可求解. 【详解】由题意得， 因，故， 由，结合基本不等式：， 得，所以，当且仅当时取等号， 所以． 故答案为： 变式9-2．（24-25高一下·上海·期中）在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】切化弦后化简，利用正弦定理得出，再由余弦定理及三角形面积公式转化为关于的二次函数求最值. 【详解】，， 则， ， 所以的面积 ， ，即时，的面积的最大值为 故答案为： 变式9-3．（2025·上海闵行·一模）草坪上有一个带有围栏的边长为30m的正三角形活动区域ABC，点在边BC上，且，小闵同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为，则手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为 【答案】 【分析】根据给定信息确定照射面积最大时情况，再利用正弦定理、三角形面积公式列式，利用基本不等式求出最大值. 【详解】依题意，要使手电筒在ABC内部所能照射到的地面的面积最大，则光线必须经过AB、AC边，如图， 在正中，，，设， 由正弦定理得：，则， ，则， ， 当且仅当，即，亦即时取等号， 所以手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为. 故答案为： 变式9-4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）在平面四边形中，，，，.    (1)求的长. (2)若为锐角三角形，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中求出，然后利用正弦定理可求出的长； （2）先求出，然后由为锐角三角形，求出角的范围，再利用正弦定理表示出，从而可表示出面积，化简后结合角的范围可求得结果. 【详解】（1）在中，，，则 ， 由正弦定理得，， 所以， 因为 ， 所以； （2）因为，，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以， 即，解得， 在中，由正弦定理得， 则 ， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 即. 压轴专练 1.（25-26高三上·上海浦东新·期中）在中，，则的形状是（    ）. A．直角三角形 B．底边为的等腰三角形 C．底边为的等腰三角形 D．底边为的等腰三角形 【答案】B 【分析】由余弦定理化简得出，即可得出结论. 【详解】由余弦定理可得， 整理可得，所以，所以是底边为的等腰三角形. 故选：B. 2.（24-25高一下·上海青浦·期末）在中，角、、的对边分别为、、．若，则的大小不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理化简题中等式，可得，然后利用二倍角公式并结和为三角形的内角，计算出角的大小 【详解】根据余弦定理，可得，结合， 可知，即， 当时，等式成立，结合,可得; 当时，等式可化为,结合,可得或， 综上所述，，或. 故选：B 3.（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用二倍角余弦公式和正弦边角互化，结合三角形内角性质可得，即可判断形状. 【详解】由，可得，， 所以， ，故， 因为，所以，， 即是直角三角形. 故选：B. 4.（24-25高一下·上海徐汇·期中）在钝角中，角所对的边分别为，若，则最大边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由余弦定理可得，再由三角形三边关系，即可得到结果. 【详解】因为是钝角三角形，，且是最大边， 由余弦定理可得，于是可得，且，解得， 又，所以边的取值范围是. 故选：D 5.（24-25高一下·上海浦东新·月考）在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，，考虑时，由正弦定理得到，故为锐角，满足要求，再考虑，则，也满足要求. 【详解】由于，，且， 因为， 若，则，由正弦定理可知，故为锐角，从而唯一， 所以唯一，有唯一值，满足要求， 若，则，从而唯一，唯一，有唯一值，满足要求， 故选：D 6.（25-26高三上·上海松江·期末）定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域的“直径”为，则以下两个结论： ①当时，；②的最大值为（   ） A．①正确，②错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】根据“直径”的定义，找出“直径”与三角形边长之间的关系，分别对两个结论进行分析判断即可. 【详解】结论①：，BC边上的高等于， . 在中，，又， 所以，即，解得， 因此，. 当封闭区域内两点位于在同一半圆上时， 以在上任取两点，为例，连接， 则，又，所以， 当封闭区域内两点位于在不同半圆上时， 以在上取一点，在上取一点为例，设，的中点分别为，，连接，，，， 由两点间线段最短可得，当且仅当，，，四点共线时取等号， 综上，， 所以， 故结论①正确. 结论②：设中角，，所对的边长分别为，，，设边上的高为，即，. 由三角形面积公式可得， 所以， 由余弦定理可得，即， 所以. ， 即，当且仅当时取等号. 由①知， 将，代入可得， 当且仅当，，，四点共线，时取等号， 所以，故结论②正确. 故选：B 7.（25-26高三上·上海·期中）在中各角所对的边分别为a，b，c，下列结论错误的是（    ） A．则为等边三角形； B．已知，则； C．已知，，，则最小内角的度数为； D．在，，，解三角形有两解． 【答案】D 【分析】利用正弦定理和余弦定理，以及三角形的边、角的关系定理逐一判断即可. 【详解】对于A，由和正弦定理，可得，即， 因，，故，同理可得， 故可得为等边三角形，即A正确； 对于B，由可得，即， 由余弦定理，，因，故，即B正确； 对于C，因，则最小内角为角， 由余弦定理，， 因，则，故C正确； 对于D，由正弦定理，， 因为，则，故角只有一解.即D错误. 故选：D. 8.（24-25高一下·上海闵行·期中）在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理得，余弦定理得，进一步可将目标式子转换为的二次函数即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得，所以， 由余弦定理得， 所以 令，则，当且仅当，即时取等号， 所以，则的最大值为． 故选：B． 9.（25-26高三上·上海宝山·期中）如图所示，设港口在灯塔南偏西20°方向上，两地相距24海里；灯塔在灯塔南偏东40°方向上，与港口相距31海里.货船从港口出发，行驶到达两灯塔连线段上的处时，若此时货船恰与灯塔相距20海里，则此时货船与港口相距 海里.    【答案】21 【分析】利用余弦定理解三角即可得解. 【详解】在中，， 由余弦定理可得，, 即， 化简可得，解得或（舍去）， 所以（海里）， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故答案为：21. 10.（24-25高一下·上海·期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，由及正弦定理可得：. ∵有两解，，即. 故答案为：. 11.（24-25高一下·上海·期末）如图，自动卸货汽车采用液压机构．已知车厢的最大仰角为，油泵顶点与车厢支点之间的距离为，的长为，与过的水平线交于点，的长为.则与水平线之间的夹角的大小为 .（以角度制表示，精确到） 【答案】 【分析】首先在中求和，再在中，根据正弦定理，即可求解. 【详解】中，根据余弦定理， ，则， 中，根据余弦定理，即，得， 则，所以. 故答案为： 12.（24-25高一下·上海松江·期中）在中，，，所对的边分别为，，，且不为直角，，其中是三角形外接圆半径. (1)若，求的大小； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理和正弦定理即可求出A的大小； （2）运用正弦定理和二倍角的余弦公式化简，再利用基本不等式求解最小值. 【详解】（1）在中，由及余弦定理得， 由正弦定理得， 则， 又因为A不为直角，且，则， 则，所以. （2）由（1）知，，则， 因为A不为直角，所以， 则，得， 因此 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 13.（25-26高三上·上海松江·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理将角化为边，并结合余弦定理求解即可； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可； 【详解】（1）在中，由正弦定理得，又， 所以，故， 又，， 由余弦定理，得，即， 解得， 所以. （2）因为，， 所以， 由余弦定理，得，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 14.（24-25高一下·上海青浦·期中）在中,内角所对的边分别为,的面积为,已知. (1)求角A； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理与两角和的正弦公式即可求解； （2）利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，再由三角形三边关系定理即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理，可得， . ，又. （2）由余弦定理，可得 . ，当且仅当时取等号， 又有， 故的周长. 15.（24-25高一下·上海·开学考试）数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论： ①四边形的四个顶点共圆的充要条件是四边形的内对角互补． ②（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立． ③婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大． 根据上述材料，解决以下问题： (1)见图1，若，求线段长度的最大值，并求出此时线段长度； (2)见图2，若，求四边形面积的最大值，并求出此时角的大小． 【答案】(1)， (2)； 【分析】（1）根据“托勒密定理”表示出边长的关系即可求出. （2）连接，分别在和利用余弦定理，再结合四点共圆后同角三角函数关系解出角A ，最后由三角形的面积公式得到四边形的面积. 【详解】（1）设，则 ， 由材料可知， ， 即 ， 解得 ， 所以线段长度的最大值为． 由托勒密定理可知为圆的直径，， 所以， 所以. （2）由材料可知，当四点共圆时，四边形的面积达到最大． 连接，在中，由余弦定理得： ，① 在 中，由余弦定理得： ，② 因为 四点共圆，所以，从而，③ 由①②③，解得 ， 因为，所以 ． 从而， ， 所以 ． 16.已知的内角，，的对边为，，，且. (1)求； (2)若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，即可得解； （2）①由面积公式求出，再由，利用数量积的运算律及基本不等式求出的最小值，即可得解；②由等面积法得到，再由基本不等式求出的最大值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，即， 由余弦定理，因为，所以， 所以； （2）①由（1）知， 因为的面积为，所以，解得， 由为的中点，所以， 所以 ，当且仅当时，等号取得到， 所以，则，故的最小值为； ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 所以， 又，所以 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故，故的最大值为 17.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． (1)求角A； (2)若，求周长的最大值； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），由正弦定理得， ， 因为， 所以， 即， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以， 故，解得； （2）由（1）知， 又，由余弦定理得， 即， 所以， 由基本不等式可知， 所以，解得， 当且仅当时，等号成立， 故的周长最大值为； （3）由（1）知， 则 ， 令， 因为，所以，， 则， 故当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， 故的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解三角形 目录 类型一、正(余)弦定理解三角形 类型二、判断三角形的形状与三角形解的个数问题 类型三、与角平分线有关的解三角形问题 类型四、与中线有关的解三角形问题 类型五、与高线有关的解三角形问题 类型六、多三角形或四边形的解三角形问题 类型七、解三角形中的实际应用问题 类型八、解三角形中边长与周长的最值范围问题 类型九、解三角形中面积的最值范围问题 压轴专练 类型一、正(余)弦定理解三角形 解题技巧： (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素. (2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系 例1-1．在中，，则（ ） A． B． C． D． 例1-2．已知的外接圆半径为2，且内角满足，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（25-26高三上·上海·期中）的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．（24-25高一下·上海杨浦·月考）小马同学和小虎同学记忆公式十分马虎，他们要求一个等腰的面积，小马同学把余弦定理记忆为：小虎同学把正弦定理记忆为： 则小马同学能把该三角形面积求对是小虎同学能把该三角形面积求对的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 变式1-3．（24-25高一下·上海·月考）已知内角的对边分别是，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式1-4．（24-25高一下·上海·期末）在中，角，，的对边分别为，，． (1)若，求的大小； (2)若，，，求的面积． 类型二、判断三角形的形状与三角形解的个数问题 解题技巧： 1.判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 2.对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三角形 内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 例2-1．（24-25高一下·上海·月考）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．非直角三角形，也非等腰三角形 例2-2．已知的内角A，B，C的对边分别为，则能使同时满足条件的三角形不唯一的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 变式2-2．（24-25高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（24-25高一下·上海杨浦·月考）小张同学尺规作图，画一个三角形，三条高的长度分别为，则小张同学（    ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个钝角三角形 D．能作出无数个钝角三角形 变式2-4．（24-25高一下·上海·期中）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 类型三、与角平分线有关的解三角形问题 解题技巧： 角平分线问题 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 ③角平分线张角定理：如图，为平分线，则 例3-1．在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 例3-2．已知中内角的对边分别是，. （1）求的值； （2）设是的角平分线，求的长. 变式3-1．在中，，M是中点，，则___________，___________． 变式3-2．（25-26高三上·上海·期中）在中，角的对边分别为，已知角的内角平分线长为1，若，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 变式3-3．（24-25高一下·上海·期末）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，的角平分线交BC于M，求线段AM的长． 变式3-4．在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且． (1)求； (2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长． 类型四、与中线有关的解三角形问题 解题技巧： 中线问题 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. 1、向量法：＝(b2＋c2＋2bccos A). 推导过程：由＝＋)，得＝＋)2＝＋＋｜｜｜｜·cos A， 所以＝(b2＋c2＋2bccos A).　 2、余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 3、中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 推导过程：在△ABD中，cos B＝，在△ABC中，cos B＝， 联立得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 4、等分点模型 如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接. 易知∥，且，，． 例4-1．在中，若，，边上的中线长为，则 . 例4-2．在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．的内角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，为的中线．若，，． (1)求的长； (2)求的长. 变式4-2．在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边，边的中点为，求中线长的最大值. 变式4-3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)若，求； (2)当BC边上的中线最小时，求的面积. 类型五、与高线有关的解三角形问题 解题技巧： 高线问题 ①等面积法： ② ③ 例5．的内角，，的对边分别为，，，已知，. (1)求及； (2)若，求边上的高. 变式5-1．在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 变式5-2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若的面积为，周长为，则AC边上的高为（    ） A． B． C． D． 变式5-3．（24-25高一下·上海·期末）已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=，sin(A- B)= （1）求证: tanA=2tanB （2）设AB=3，求AB边上的高CD. 变式5-4．（24-25高三上·广东深圳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为. (1)求； (2)设AC边上的高为，若，且，求周长的取值范围. 类型六、多三角形或四边形的解三角形问题 解题技巧： 一、平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果 二、双正弦定理（核心：边与角灵活互换，比例精准对应） 1、 边角互化，统一形式（基础核心技巧） 适用场景：题目中同时出现边长和角度，且所有边长均为一次形式（无平方、乘积嵌套）；或需要通过边、角关系判断三角形的形状特征。 具体操作：可将所有边长替换为对应角的正弦值，使式子仅含角度关系，再结合角度和的固定规律、角度间的运算逻辑化简；也可将所有角的正弦值替换为对应边长，使式子仅含边长关系，再通过边长的加减、比例关系简化。 核心作用：消除边、角混合的复杂结构，快速梳理出清晰的角关系或边关系，为后续计算或判断铺路。 2.比例对应，快速推导（高效简化技巧） 适用场景：题目给出角度的比例关系，或边长的比例关系，需要推导另一种量的比例。 具体操作：直接利用边长比例与对应角正弦值比例完全一致的规律，已知角度比例可直接推导边长比例，已知边长比例可直接推导对应角正弦值比例。 核心作用：跳过复杂的分步计算，通过比例对应快速得出结果，提升解题效率。 3.单边对角，求解未知（精准求解技巧） 适用场景：已知三角形的一条边长及其所对的角，需要求解其他边长或角度。 具体操作：依托边长与对角正弦值的对应关系，结合三角形内角和的固定规律，逐步推导未知边或未知角。 核心作用：针对“一边一对角”的典型条件，实现未知量的精准求解，适用场景明确且高效。 三、双余弦定理（核心：平方关系算边算角，余弦值判角定形） 1.平方求边，精准计算（求边核心技巧） 适用场景：已知三角形的两条边长及其夹角，需要求解第三条边长。 具体操作：以目标边的平方为核心，通过另外两条边的平方和，减去这两条边与夹角余弦值乘积的两倍，得出目标边的平方后再开方。 核心作用：专门解决“两边夹一角求第三边”的问题，计算逻辑直接，结果精准。 2.平方求角，推导角度（求角核心技巧） 适用场景：已知三角形的三条边长，需要求解任意一个内角。 具体操作：以目标角为核心，用另外两条边的平方和减去目标角对边的平方，再除以这两条边乘积的两倍，得出目标角的余弦值，再对应出具体角度。 核心作用：实现“已知三边求任意角”，通过余弦值搭建边长与角度的关联，推导过程清晰。 3.余弦判角，快速定形（判断类型技巧） 适用场景：已知三角形的三条边长，需要判断某个角是锐角、直角还是钝角，或判断三角形整体的类型。具体操作：计算目标角的余弦值后，通过余弦值的正负、零值判断：余弦值大于0为锐角，等于0为直角，小于0为钝角。 核心作用：无需计算具体角度，仅通过余弦值符号即可快速判断角的类型及三角形整体特征，简化判断流程。 四、综合解题技巧（灵活选用，高效破题） 1.条件匹配优先选：边、角混合且边长为一次式，优先用双正弦定理；出现边长平方、两边夹角、三边求角，优先用双余弦定理。 2.复杂题目分步解：先通过双正弦定理的边角互化简化式子，梳理出清晰的边或角关系，再结合双余弦定理计算具体边长或角度，两者配合实现复杂问题拆解。 3.目标导向定方法：求边长比例、角度比例，优先用双正弦的比例技巧；求具体边长、具体角度、判断角的类型，优先用双余弦的平方与判角技巧。 例6-1．的内角的对边分别为已知. （1）求角和边长； （2）设为边上一点，且,求的面积. 例6-2．（24-25高一下·上海嘉定·期末）写画(视为平面)上有灯塔、、和货轮，如图在的正东方向，在的正北方向.到的距离相等，且按逆时针排列，在直线两侧，若，，则 .(结果精确到) 变式6-1．（24-25高一下·上海松江·月考）如图，我国南海某处的一个海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里．为钝角，且． (1)求小岛A与小岛D之间的距离； (2)已知与互补，求四个小岛所形成的四边形的面积． 变式6-2．如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4. (1)若，，求的面积； (2)若，求的最大值. 变式6-3．如图，在平面凸四边形中，为边的中点．    (1)若，求的面积； (2)求的最大值． 变式6-4．如图，在四边形中，，，，.    (1)若，求； (2)求的最大值. 类型七、解三角形中的实际应用问题 解题技巧： 解三角形的实际应用 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 【注意】（1）方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． （2）将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 例7-1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）奉贤中学的樱花（如左图所示）是一道美丽的风景线，每年樱花盛开的时候，赏花的同学络绎不绝.为了测量樱花树的高度，同学们利用高二教学楼2楼到5楼的高度设计了测量方案（如图所示），并做出了以下假设：假设1：假设樱花树顶端与底端构成的线段与教学楼平行；假设2：假设测量者能看到樱花树的顶端和底端；假设3：假设测量时同学们看到樱花树的顶端为同一点.根据以上方案，同学们测量了以下数据：①；②；③；④；⑤.由于大雨淋湿了工作单，导致上述5个数据中某一个数据模糊不清.若同学们根据剩余的4个数据依旧能计算出樱花树的高度，则模糊不清的数据可能为 .（填写一个序号即可） 例7-2．（24-25高一下·上海·月考）山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．（2025·上海·模拟预测）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中、均与水平面垂直.在已测得可直接到达的两点间距离、的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中不能唯一确定与之间的距离的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 变式7-2．（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度 米 变式7-3．（24-25高一下·上海宝山·期末）上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图，设想在其中规划出三个功能区：为露营区，为垂钓区，为活动区.已知为直角三角形，，，，为内一点，且.    (1)安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知， ①求的大小； ②求护栏的长度（精确到0.01）； (2)求露营区面积的最大值. 变式7-4．（24-25高一下·上海浦东新·月考）塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑. 如图，为测量某塔的总高度 ，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在C点测得塔顶 A 的仰角为，则塔的总高度为 . 类型八、解三角形中角度、边长与周长的最值范围问题 解题技巧： 1、三角形中的长度最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2、求解三角形中的长度最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等 例8-1．（24-25高一下·上海·月考）在锐角中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的值； (2)求的取值范围. 例8-2．（24-25高一下·上海静安·期末）在中，角对应的边分别为，已知，为中点，． (1)证明为等腰三角形； (2)若，求周长的最小值． 例8-3．（24-25高三下·上海·月考）若的内角满足，则的最大值是 ． 变式8-1．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为 ． 变式8-2．（24-25高一下·上海杨浦·月考）（2025·河北·模拟预测）如图，在中，角所对的边分别为，已知是的角平分线，且． (1)求角的值； (2)若，求长的最大值． 变式8-3．在锐角中，若，且，则能取到的值有（    ） A．2 B． C． D．4 变式8-4．（24-25高一下·上海·月考）设锐角三角形的内角所对的边分别为，若． (1)求； (2)求的取值范围． 类型九、解三角形中面积的最值范围问题 解题技巧： 1．三角形中的面积最值（范围）问题的常见解题方法： (1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）； (2)利用基本不等式求最值（范围）； (3)转化为三角函数求最值（范围）； (4)转化为其他函数求最值（范围）； (5)坐标法求最值（范围）. 2．三角形中的面积最值（范围）问题的解题策略： (1)正、余弦定理是求解三角形的面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． (2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略 三角形中面积最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. (3)坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略 “坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值 例9-1．已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 例9-2．如图，在平面内，四边形满足，点在的两侧，，，为正三角形，设.    (1)当时，求； (2)当变化时，求四边形面积的最大值. 变式9-1．（24-25高一下·上海徐汇·期中）在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的面积最大值是 ． 变式9-2．（24-25高一下·上海·期中）在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为 ． 变式9-3．（2025·上海闵行·一模）草坪上有一个带有围栏的边长为30m的正三角形活动区域ABC，点在边BC上，且，小闵同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为，则手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为 变式9-4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）在平面四边形中，，，，.    (1)求的长. (2)若为锐角三角形，求面积的取值范围. 压轴专练 1.（25-26高三上·上海浦东新·期中）在中，，则的形状是（    ）. A．直角三角形 B．底边为的等腰三角形 C．底边为的等腰三角形 D．底边为的等腰三角形 2.（24-25高一下·上海青浦·期末）在中，角、、的对边分别为、、．若，则的大小不可能为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 4.（24-25高一下·上海徐汇·期中）在钝角中，角所对的边分别为，若，则最大边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（24-25高一下·上海浦东新·月考）在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高三上·上海松江·期末）定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域的“直径”为，则以下两个结论： ①当时，；②的最大值为（   ） A．①正确，②错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①②都错误 7.（25-26高三上·上海·期中）在中各角所对的边分别为a，b，c，下列结论错误的是（    ） A．则为等边三角形； B．已知，则； C．已知，，，则最小内角的度数为； D．在，，，解三角形有两解． 8.（24-25高一下·上海闵行·期中）在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 9.（25-26高三上·上海宝山·期中）如图所示，设港口在灯塔南偏西20°方向上，两地相距24海里；灯塔在灯塔南偏东40°方向上，与港口相距31海里.货船从港口出发，行驶到达两灯塔连线段上的处时，若此时货船恰与灯塔相距20海里，则此时货船与港口相距 海里.    10.（24-25高一下·上海·期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为 . 11.（24-25高一下·上海·期末）如图，自动卸货汽车采用液压机构．已知车厢的最大仰角为，油泵顶点与车厢支点之间的距离为，的长为，与过的水平线交于点，的长为.则与水平线之间的夹角的大小为 .（以角度制表示，精确到） 12.（24-25高一下·上海松江·期中）在中，，，所对的边分别为，，，且不为直角，，其中是三角形外接圆半径. (1)若，求的大小； (2)求的最小值. 13.（25-26高三上·上海松江·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，，求a； (2)若，求的面积的最大值． 14.（24-25高一下·上海青浦·期中）在中,内角所对的边分别为,的面积为,已知. (1)求角A； (2)若，求周长的取值范围. 15.（24-25高一下·上海·开学考试）数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论： ①四边形的四个顶点共圆的充要条件是四边形的内对角互补． ②（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立． ③婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大． 根据上述材料，解决以下问题： (1)见图1，若，求线段长度的最大值，并求出此时线段长度； (2)见图2，若，求四边形面积的最大值，并求出此时角的大小． 16.已知的内角，，的对边为，，，且. (1)求； (2)若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 17.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． (1)求角A； (2)若，求周长的最大值； (3)求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $