第03讲 解三角形（寒假预习讲义，5知识+10大题型精讲）高一数学上学期沪教版

第03讲 解三角形 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：三角形的基本要素与内角和定理 核心知识 1.基本要素：在△ABC中，边、、分别对应角、、的对边；内角和；外角等于不相邻两内角之和. 2.三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即，，. 易错辨析 误区：忽略三边关系直接用定理求边，导致解不存在. 纠正：已知三边或两边及一边对角时，先验证三边关系，排除无效解. 概念比较 概念 含义 区别 内角 三角形内部的角，和为 内角范围，外角是内角的补角 外角 三角形一边与另一边延长线的夹角，和为 外角=不相邻两内角和，大于任何一个不相邻内角 重点记忆+常考结论 1.内角和恒为，是角度计算的核心依据. 2.大边对大角、大角对大边，即. 3.已知两角可直接求第三角，是解三角形的基础步骤. 知识点2：正弦定理 核心知识 1.定理内容：在△ABC中，，为△ABC外接圆半径. 2.常见变形 ，，； ，，； . 3.推导过程（外接圆法，分三类三角形证明） 1.直角三角形：设，外接圆直径，，，故成立. 2.锐角三角形：作外接圆，圆心为，连接并延长交圆于，，，在Rt△CBD中，，同理，. 3.钝角三角形：作外接圆，延长交圆于，，在Rt△CBD中，，同理得其他边关系，综上定理成立. 易错辨析 误区：已知两边及一边对角（如），由求出时，直接取锐角解，忽略钝角解可能. 纠正：结合“大边对大角”判断：若，则，必为锐角，一解；若，且，则有锐角、钝角两解；若，则，一解；若，无解. 概念比较 应用场景 正弦定理 余弦定理（预告） 已知条件 两角及一边；两边及一边对角 两边及夹角；三边 解的个数 唯一解或无解 唯一解 计算核心 边与对角正弦的比例关系 边的平方与夹角余弦的运算 重点记忆+常考结论 1.正弦定理的核心是“边与对角正弦成正比，比例系数为”. 2.已知两角及一边，优先用正弦定理求未知边；已知两边及一边对角，先判断解的个数再求解. 3.常考结论：；若，则，反之亦然. 一、正弦定理与边角互化 1.基础铺垫：正弦定理公式 在△ABC中，（为△ABC外接圆半径） 核心变形（边角互化的关键）： 边化角：，， 角化边：，， 比例关系： 2.边角互化核心方法 边化角：当已知条件或待求式中含“边的齐次式”（如、）时，用等代入，将边转化为角，利用三角恒等变换求解（如和角公式、二倍角公式）。 角化边：当已知条件含“角的正弦关系”（如、）时，用等代入，将角转化为边，利用代数运算（如因式分解、均值不等式）求解. 3.常见应用场景与易错点 典型场景1：判断三角形形状（如由边化角得，推出，即等腰三角形）. 典型场景2：求解含边角混合的等式（如由角化边得，推出直角三角形）. 易错点：非齐次式不可随意边化角/角化边（如，需结合其他定理补充条件）；忽略的角度范围限制. 二、射影公式 1.公式内容 在△ABC中，任意一边等于另外两边在该边上的射影之和： 2.推导思路（基于正弦定理） 由内角和，得. 根据正弦定理，，，，代入上式： ，两边同乘，得，其余两式同理可证. 3.核心应用与优势 快速转化边角关系：无需复杂平方运算，直接关联一边与另外两边的余弦值，简化含、等的表达式计算. 辅助求解边角问题：当题目中同时出现“一边”和“另外两边的余弦值”时，优先使用射影公式（如已知，，，可直接求）. 验证其他定理：可作为正弦定理、余弦定理的辅助验证工具，提升解题准确性. 4.易错点提醒 边角对应错误：牢记“边对应另外两边与它们对角的余弦值”，避免混淆夹角（如误写为）。 过度依赖：射影公式适用于特定边角组合，复杂问题需结合正、余弦定理综合使用. 正弦定理判断三角形解的个数 核心前提：正弦定理判断解的个数，仅适用于“已知两边及一边对角”（记为：已知，其中为边，为边的对角）的情形。其他已知条件（如两角及一边、两边及夹角、三边）均有唯一解或无解，无需用正弦定理判断. 一、判断核心依据 1.三角函数值域：，若计算得，则无解；若，则，需验证是否符合三角形内角和；若，则有两解（，），需结合“大边对大角”筛选有效解. 2.大边对大角：在△ABC中，；；（为三角形内角，均）. 二、具体情形分类（已知） 情形1：角为锐角（） 步骤：由正弦定理得，结合值域和大边对大角判断： 当时：，因为锐角，故必为锐角，且，唯一解. 当时：，则，△ABC为直角三角形，唯一解。 当时：，此时有两解（锐角、钝角），且（因，故，两解均满足内角和），两解. 当时：，超出正弦函数值域，无解. 情形2：角为直角（） 分析：直角三角形中，斜边为最长边，则为斜边（最长边）： 当时：为最长边，符合直角三角形斜边要求，为锐角（），唯一解. 当时：，但为斜边应最长，矛盾，无解. 情形3：角为钝角（) 分析：钝角三角形中，钝角为最大角，故应为最长边（），且其他两角均为锐角（和为）： 当时：为最长边，（大边对大角），因为钝角，必为锐角（），且，唯一解. 当时：，则，但为钝角，会导致，违反内角和定理，无解. 二、标准判断步骤（已知） 1.第一步：计算； 2.第二步：判断值域： 若：无解； 若：则，验证，成立则唯一解，不成立则无解； 若：结合“大边对大角”判断的两解是否有效： 若：，必为锐角，唯一解； 若：，的锐角、钝角两解均有效（因），两解； 若：，为锐角，唯一解. 三、直观记忆：图形辅助法 以已知（锐角）、边为例，边固定，角固定，边为待求边，边为定长： 当：边长度不足，无法构成三角形（无解）； 当：边与垂直，恰好构成直角三角形（唯一解）； 当：边可与交于两点，构成两个不同三角形（两解）； 当：边仅与交于一点，构成唯一三角形（唯一解）. 四、易错点提醒 1.适用范围混淆：仅“已知两边及一边对角”需判断解的个数，其他条件无需判断； 2.边角对应错误：必须明确“是边的对角”，若已知“两边及另一边对角”（如已知），需调整对应关系（将作为对角，作为对应边）再判断； 3.忽略内角和验证：当时，需确认（即），否则无解（如，则，，无解）； 4.漏判两解：当且时，易直接取锐角解，忽略钝角解，需结合大边对大角确认两解有效性. 知识点3：余弦定理 核心知识 1.定理内容 ； ； . 2.推论（求角公式） ； ； . 3.推导过程（几何法，以为例） 1.当为锐角时，过作于，，，， 在直角三角形BCD中： 2.当为直角时，，公式化为，即勾股定理，成立. 3.当为钝角时，过作的延长线于，，，，同理在Rt△BCD中，化简得. 易错辨析 误区：边角对应错误，如求时误用. 纠正：明确公式中边与角的对应关系，边的平方等于另外两边平方和减去这两边与它们夹角余弦的2倍，夹角是所求边的对角. 概念比较 公式 适用条件 与勾股定理关系 余弦定理 任意三角形 勾股定理是余弦定理当夹角为时的特例 勾股定理 直角三角形 余弦定理的特殊情况， 重点记忆+常考结论 1.余弦定理核心是“边的平方与夹角余弦的关联”，可用于求边、求角、判断三角形形状. 2.判断三角形形状：若，则；若，则；若，则. 3.已知三边必用余弦定理求角，已知两边及夹角必用余弦定理求第三边. 知识点4：三角形的面积公式 核心知识 1.基本公式：（为边上的高）. 2.三角公式（常用）：. 3.海伦公式：，其中. 4.外接圆相关：（为外接圆半径）. 易错辨析 误区：使用三角面积公式时，误将角用错（如用）. 纠正：公式中角为两边的夹角，即中是与的夹角. 概念比较 面积公式 已知条件 计算难度 一边及该边上的高 低 两边及夹角 中 海伦公式 三边 高 重点记忆+常考结论 1.三角面积公式是解三角形中求面积的首选，尤其结合正、余弦定理使用. 2.常考结论：若△ABC的外接圆半径为，；若为定值，时面积最大. 知识点5：解三角形的基本类型与步骤 核心知识 已知条件 首选定理 解的个数 两角及一边 正弦定理 唯一解 两边及夹角 余弦定理 唯一解 三边 余弦定理 唯一解 两边及一边对角 正弦定理 0个、1个或2个解 易错辨析 误区：解“两边及一边对角”问题时，不判断解的个数直接求解. 纠正：先求另一边对角的正弦值，结合大边对大角和内角和定理判断解的个数，再计算. 重点记忆+常考结论 1.解三角形的核心是“边角互化”，正弦定理侧重“边与正弦的比例”，余弦定理侧重“边的平方与余弦的关联”. 2.实际问题中，先抽象为三角形模型，明确已知条件，再选对应定理求解. 六、整体常考结论汇总 1.三角形内角和为，大边对大角，大角对大边. 2.正弦定理比例系数为，余弦定理是勾股定理的推广. 3.已知两边及一边对角时，注意多解或无解情况. 4.面积公式优先用，结合正、余弦定理灵活转化. 【题型1 正弦定理解三角形】 例1．（25-26高三上·上海杨浦·期中）在中，，，，则边的长度为 . 【答案】 【分析】由正弦定理求解. 【详解】因为，所以， 由正弦定理，，所以， 故答案为：. 例2．（25-26高三上·上海·期中）在 中， ， ， ，则 . 【答案】 或 【分析】由正弦定理边化角，可得，化简整理，根据角B的范围，即可得答案. 【详解】由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 因为，所以或. 故答案为： 或 变式1．（25-26高三上·上海·月考）在中，若，，，则 . 【答案】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理，得， 则，解得. 故答案为：. 变式2．（25-26高三上·上海·期中）在中，. (1)若，求的值； (2)若，求的值与角的大小. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）通过余弦定理得，可求得； （2）根据已知可得，，利用正弦定理求得的值；然后根据求得余弦，进而可得角的大小. 【详解】（1）在中，， ， 由余弦定理得，， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以； （2）因为，，所以， 因为，，所以， 又，由正弦定理， 所以； 则 ， 因为，所以. 【题型2 正弦定理判断三角形解的个数】 例1．（24-25高一下·上海闵行·期末）如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由正弦定理结合到距离，然后根据题意结合图形求解即可. 【详解】因为在中，，， 所以到距离， 因为有且只有一个， 所以由图可知或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 例2．（24-25高一下·上海·期末）在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理，结合，即可求解. 【详解】由正弦定理可知，，即， 若有两解，则，且，所以， 所以. 故答案为： 变式1．（24-25高一下·上海·期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，由及正弦定理可得：. ∵有两解，，即. 故答案为：. 变式2．（24-25高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正余弦定理，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A:，进而可根据正弦定理求解，故此时三角形有唯一解； 对于B:,，进而根据余弦定理求解的值，此时三角形有唯一解； 对于C:，根据正弦定理可求解唯一，进而可知三角形唯一解； 对于D:，由正弦定理，且，故此时满足条件的有两解. 故选：D. 【题型3 正弦定理求外接圆半径】 例1．（25-26高三上·上海·期中）在中，角的对边分别是，若，则外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理化边为角，再根据两角和的正弦公式结合三角形和内角和定理化简，进而求出边，再利用正弦定理即可得解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 即，即， 由正弦定理得， 设外接圆的半径为， 则， 所以外接圆的半径. 故答案为：. 例2．（24-25高一下·上海·期中）边长是5、7、9的三角形的外接圆半径等于 ． 【答案】/ 【分析】不妨令的三边、、，利用余弦定理求出，即可求出，再由正弦定理计算可得. 【详解】不妨令的三边、、， 由余弦定理， 所以， 由正弦定理，所以. 故答案为： 变式1．（23-24高一下·上海·期中）在△中，，则△的外接圆的半径为 . 【答案】/ 【分析】利用余弦定理求解，再用正弦定理求△的外接圆的半径即可. 【详解】由余弦定理可知， 所以， 则△的外接圆的半径为. 故答案为：. 变式2．（2024·上海徐汇·二模）在中，，，，则的外接圆半径为 . 【答案】 【分析】由正弦定理求解． 【详解】由已知，设三角形外接圆半径为，则，所以． 故答案为：1. 【题型4 正弦定理判断三角形的形状】 例1．（24-25高一下·安徽合肥·月考）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由已知及正弦定理得，化简即可得，由，则有，即可得出答案. 【详解】由题干条件和正弦定理可得， 又因为在中，，所以， 所以上述等式可化为， 即，又，即， 所以，故为直角三角形. 故选：B. 例2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）在中，（分别为角的对边），则的形状为（        ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【分析】根据条件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角转边即可得出结果. 【详解】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到，又，所以， 故选：B. 变式1．（23-24高一下·上海·期中）若，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由，利用余弦定理得到，再由，利用正弦定理结合商数关系得到判断. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 即，所以， 故是等边三角形， 故选：D. 变式2．（23-24高二下·上海闵行·月考）在中，，则为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用正弦定理及三角恒等变换计算即可. 【详解】由正弦定理可得：，而， 所以， 则 ，即 易知，所以 在三角形中，所以. 故选：C. 【题型5 射影公式】 例1．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角形射影定理及三角形面积公式分别求出即可. 【详解】在中，由三角形面积公式及，得， 则，而，解得，， 由三角形射影定理得，而， 则，又，解得，解得， 所以. 故选：B 变式1．（24-25高一下·吉林长春·月考）在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（    ） A．90 B．60 C．45 D．30 【答案】B 【分析】利用三角形射影定理求出角A，再利用面积定理求出角C即可计算作答. 【详解】在中，由射影定理及得：，解得， 而，则，由余弦定理及得：， 而，因此，，即，又，则， 所以. 故选：B 【题型6 余弦定理解三角形】 例1．（25-26高三上·上海·期中）已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形最大角的正弦值等于 . 【答案】/ 【分析】由余弦定理可求得最大角，进而求出正弦值即可. 【详解】中，最大的边长为7， 边长为7的边所对应的角最大，设最大的角为， 由余弦定理可得：， 又为三角形的内角，，， . 故答案为：. 例2．（25-26高二上·上海·开学考试）在中，、、分别为角、、的对边，若，则 ． 【答案】或 【分析】利用余弦定理可得，求解即可. 【详解】在中，由余弦定理可得， 又，所以， 所以，解得或. 经检验，，均符合题意. 故答案为：或. 变式1．（24-25高一下·上海·开学考试）三角形ABC中，，，，则 . 【答案】或 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理得， 即，解得或， 经检验，符合题意， 所以或. 故答案为：或 变式2．（24-25高三上·上海·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若、、，则 . 【答案】 【分析】利用余弦定理可得，进而可求. 【详解】因为、、， 由余弦定理可得， 且，所以. 故答案为：. 【题型7 余弦定理求角】 例1．（23-24高一下·上海·期中）在中，是的三边且满足，则角A的大小为 . 【答案】 【分析】根据题意利用余弦定理边角转化即可得结果. 【详解】因为，即， 由余弦定理可得， 且，所以. 故答案为：. 例2．（2024·上海·模拟预测）已知的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若，则内角A的大小是 【答案】或或 【分析】利用余弦定理以及二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】因为， 所以由余弦定理可得，， 从而，即或， 又因为，所以 或或. 故答案为：或或. 变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）在中，，则 . 【答案】 【分析】利用余弦定理角化边，然后化简整理后，再使用余弦定理求得. 【详解】， , , , , 故答案为：. 变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角 . 【答案】 【分析】由已知及余弦边角关系得，再应用余弦定理求角的大小. 【详解】由题设，，则， 所以，，则. 故答案为： 【题型8 正弦定理与余弦定理实际应用】 例1．（23-24高三下·上海·月考）雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设： 假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸片人”： 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线； 假设3：伞柄OT长为，可绕矩形“纸片人”上点O旋转； 假设4：伞面为被伞柄OT垂直平分的线段AB，． 以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”；以如图2方式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀”． (1)如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到）； (2)请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议（无需求解改进后的模型，如果建议超过两条仅对前两条评分） 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）过点作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接，先求出，在中，利用正弦定理求得，再根据求得，从而可求得，再求出，再根据三角形的面积公式即可得解； （2）可以从行进的视线，伞面面积等角度入手，建议只要合理即可. 【详解】（1）如图，过点作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接， 由题意， 因为为的中点，所以， 又，所以， 又， 由正弦定理，所以， 又，所以， ， 所以， 所以 ， 所以阴影部分面积为； （2）①雨伞不遮挡人行进的视线； ②伞面为弧线，改进模型将伞设为一段圆弧，扩大伞面的面积； ③考虑伞柄可以伸缩，等等.（只要合理即可） 例2．（23-24高三上·上海杨浦·月考）如图所示，，两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向18km处，的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面处建一个发电厂，利用垃圾发电.要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得，两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为40吨和50吨.    (1)当时，求的值； (2)发电厂尽量远离居民区，也即要求的面积最大，问此时发电厂与垃圾中转站的距离为多少? 【答案】(1) (2)选址方案满足，． 【分析】（1）由题意可求得，利用余弦定理可求的值，进而可求的值； （2）设，则，利用余弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可得，进而可求到距离，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）由题意，， 可得， 可得， 所以． （2），设，则， 可得，可得， 到距离， 当，即，取得最大值为， 因此选址方案满足，． 变式1．（23-24高一下·上海青浦·月考）如图，在曲柄CB绕C点旋转时，活塞A作直线往复运动，设连杆AB长为，曲柄CB长为，求曲柄CB从初始位置按顺时针方向旋转时，求活塞从移动到A的距离．（结果精确到） 【答案】50.56mm                   . 【分析】在中，作垂线构造直角三角形，利用勾股定理，依次求出，，的长，然后求出的长，再利用，求出的值. 【详解】如图所示，过点作于， 则， 根据题意有，，， ， 所以， 在中，， ， 所以， ， 在直角中，由勾股定理得， ， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以. 故活塞从移动到A的距离约为. 变式2．（24-25高三下·上海宝山·月考）已知三角形花园，顶点、、为花园的三个出入口，满足，，（单位：米）． (1)求三角形花园的面积（精确到平方米）； (2)若三角形个内角均小于，到三角形三个顶点距离之和最短的点必满足、、正好三等分点所在的周角，该点所对三角形三边的张角相等，均为．所以这个点也称为三角形的等角中心．请根据此知识求出三角形花园的最佳会合点到三个出入口的最小距离和（满足到三个出入口的距离和最小）． 【答案】(1)平方米 (2)米 【分析】（1）由余弦定理、同角三角函数的基本关系结合三角形的面积公式可求得结果； （2）利用三角形面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得，进而可求得的值，即可得解. 【详解】（1）由余弦定理可得，则为锐角， 所以，， 所以，（平方米）. （2）解：中，最长，，则为锐角， 故为锐角三角形， 由（1）可知， 所以，， 根据余弦定理可得， 同理可得，， 以上三个等式相加可得， 所以，， 因此，， 则（米）. 因此，三角形花园的最佳会合点到三个出入口的最小距离和为米. 【题型9 三角形面积公式】 例1．（2025·上海徐汇·一模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，． (1)若，求的面积； (2)若内角的对边，求角的正弦值及外接圆的半径． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式求出的值，再结合三角形的面积公式可求得结果； （2）利用余弦定理结合同角三角函数的平方关系可得出的值，再利用正弦定理可求得的值. 【详解】（1）由二倍角余弦公式可得，可得， 因为，所以，故， 故的面积为. （2）在中，，，， 由余弦定理可得， 故为锐角，且， 由正弦定理可得，故. 例2．（25-26高三上·上海松江·期中）在中，，，且，则的面积是 . 【答案】 【分析】根据题意，利用正弦定理得到，求得，再由三角函数的基本关系式，求得的值，结合面积公式，即可求解. 【详解】在中，由，即， 因为，由正弦定理得，可得， 又因为，且，可得， 所以的面积为. 故答案为：. 变式1．（25-26高三上·上海·开学考试）在中，角、、对应边为、、，其中． (1)若，且，求边长的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角差的正弦公式化简，可求出，即可求出，利用正弦定理即可求得答案； （2）利用正弦定理边化角化简可求出，结合两角和的正弦公式即可求出，继而求出c，利用三角形面积公式即可求得答案. 【详解】（1）由，可得，结合， 得，即， 则，可得， 由于，故，则, 故，得； （2）由题意知，故， 由于，故， 结合，可知C为锐角，则， 故，， 故，得； 所以. 变式2．（25-26高三上·上海·月考）在中， . (1)求； (2)求c以及的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理即可求解； （2）由余弦定理及面积公式即可求解. 【详解】（1）由，根据正弦定理得，， 因为，所以， 由，则，解得. （2）由余弦定理得，， 则，解得（负值舍去）， 所以. 【题型10 求三角形的周长】 例1．（23-24高一下·上海嘉定·期中）在中， 内角所对的边分别为， 已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由正弦边角关系及已知可得，化简整理得，结合角的范围确定大小； （2）由三角形面积公式列方程求得，再由余弦定理得，即可得. 【详解】（1）由正弦边角关系，， 所以 ， 所以，，可得. （2）由（1）知，又, 则，，则， 由余弦定理， 所以的周长为. 例2．（2025·四川德阳·模拟预测）在中，若角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，. (1)求角； (2)求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过三角恒等变换构造正弦函数求角； （2）结合面积公式与余弦定理，利用完全平方公式配方法求边长和，进而得周长. 【详解】（1）对变形，得，即. 因，故，所以，解得. （2）由，，得. 由余弦定理，代入，， 得，即. 则，故. 因此，△ABC的周长为. 变式1．（2025·上海杨浦·模拟预测）在中，分别为角的对边.已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为 . 【答案】/ 【分析】先由面积求出正弦值，再用同角三角函数关系式求出，再用余弦定理得到，进而得到周长. 【详解】由于三角形的面积为，所以, 因为，故（锐角三角形）， 当时： ， 则的周长为. 故答案为：. 变式2．（2024·上海黄浦·二模）在中，，. (1)求的值； (2)若，求的周长和面积. 【答案】(1)； (2)周长32，面积24. 【分析】（1）利用两角和的正弦公式即可求得的值； （2）先利用正弦定理求得的的长，进而求得的周长和面积． 【详解】（1）在中，，又， 则， 则. （2），又，， 则由正弦定理得， 则的周长为 的面积为． 一、核心基础 1.三角形要素：边（对顶角）、内角和、三边关系（其余同理） 2.核心原则：大边对大角大角对大边 二、核心定理（重点） 1.正弦定理 公式：（为外接圆半径） 变形：；； 适用：两角及一边、两边及一边对角（注意多解/无解判断） 2.余弦定理 公式：（其余边角轮换同理） 变形（求角）：（其余同理） 适用：两边及夹角、三边、判断三角形形状（用与大小关系） 三、面积公式（常用） 1.三角公式：（首选） 2.其他：、、海伦公式（） 四、解三角形类型与步骤 1.已知两角及一边：正弦定理求第三角求未知边 2.已知两边及夹角：余弦定理求第三边正弦/余弦定理求其余角 3.已知三边：余弦定理求三个角 4.已知两边及一边对角：先求对角正弦值判断解的个数再求解 五、高频考点/易错点 1.易错：两边及一边对角忽略多解；边角对应错误；未验证三边关系 2.常考结论：；；定边定角（夹角）面积最大值 一、单选题 1．（25-26高三上·上海浦东新·期中）在中，，则的形状是（    ）. A．直角三角形 B．底边为的等腰三角形 C．底边为的等腰三角形 D．底边为的等腰三角形 【答案】B 【分析】由余弦定理化简得出，即可得出结论. 【详解】由余弦定理可得， 整理可得，所以，所以是底边为的等腰三角形. 故选：B. 2．（24-25高三上·上海·开学考试）已知的三边长分别为4、5、7，记的三个内角的正切值所组成的集合为，则集合中的最大元素为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的三边长分别为，根据余弦定理确定三角形最大角角为钝角，利用大边对大角及正切函数的性质，可知三个内角的正切值最大为，再利用余弦定理及同角三角关系即可求得得值. 【详解】不妨设的三边长分别为，则由大边对大角可得， 所以最大角为，由余弦定理得，又，故角为钝角， 所以， 又函数在上递增，此时，在上递增，此时， 所以三个内角的正切值最大为， 由余弦定理得：，则， 所以， 故选：B. 3．（25-26高三上·上海·期中）在中各角所对的边分别为a，b，c，下列结论错误的是（    ） A．则为等边三角形； B．已知，则； C．已知，，，则最小内角的度数为； D．在，，，解三角形有两解． 【答案】D 【分析】利用正弦定理和余弦定理，以及三角形的边、角的关系定理逐一判断即可. 【详解】对于A，由和正弦定理，可得，即， 因，，故，同理可得， 故可得为等边三角形，即A正确； 对于B，由可得，即， 由余弦定理，，因，故，即B正确； 对于C，因，则最小内角为角， 由余弦定理，， 因，则，故C正确； 对于D，由正弦定理，， 因为，则，故角只有一解.即D错误. 故选：D. 二、填空题 4．（2025·上海静安·一模）在中，将角所对边的边长分别记作.设.若，，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】由余弦定理及已知条件，整理得到的值，然后求，由三角形面积公式即可求得结果. 【详解】由余弦定理得， ∵，，∴，即， 整理得，即，所以， ∵，∴， ∴. 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海黄浦·月考）如图，在中；，、、分别是、、上的点，若 ，则 ． 【答案】4 【分析】通过四边形 是平行四边形，确定，设，在，中分别应用余弦定理即可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以， 又，所以四边形 是平行四边形， 所以, 又 ，所以 ， 即 均为等腰三角形。 设，则， 又， 所以， 因为， 所以， 在中由余弦定理： ， 代入， 解得： ， 在中， 由余弦定理得： 代入数据可得： 解得：， 所以​ 故答案为：4 6．（2025·上海浦东新·二模）如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为 米．（保留一位小数） 【答案】66.4 【分析】先在和中，根据仰角分别用建筑物高度表示出和，然后在中利用余弦定理建立关于的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】在中，已知从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，即.因为，所以. 在中，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，即.因为，且，所以. 在中，已知米，.根据余弦定理，将，代入可得： ，即 可得. 则. 故答案为：66.4. 7．（2024·山西·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，且，则 . 【答案】 【分析】利用余弦定理即可得解. 【详解】因为在中，， 所以， 则. 故答案为：. 8．（25-26高三上·上海浦东新·期末）中，，，，则 . 【答案】 【分析】根据正弦定理以及余弦定理，可得答案. 【详解】由题意可得， 因为，所以. 故答案为：. 9．（25-26高三上·上海·期中）在中，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】由正弦定理可得，，利用余弦定理求得，进而求得. 【详解】，，即， 同理，由，可得， 在中，由余弦定理得， . 故答案为：. 10．（25-26高三上·上海虹口·月考）在中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，若，，，则 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换求得，再次利用正弦定理求得. 【详解】由正弦定理得，即， ， 由于，所以为锐角，, 所以， 由正弦定理得， 则. 故答案为： 11．（25-26高三上·上海杨浦·月考）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 . 【答案】 【分析】根据正弦定理进行角化边，由题意解得两边的长，利用余弦定理，可得答案. 【详解】因为，所以根据正弦定理得， 代入，可得，解得，. 所以由余弦定理可得，即. 故答案为：. 12．（25-26高三上·上海·开学考试）在中，，，且，则 ． 【答案】或 【分析】由正弦定理得，，由余弦定理得，再由一元二次方程的根求解即可． 【详解】，， 由正弦定理得，， 由，得， 得， 由余弦定理得，， 得， 得， 则为一元二次方程的两个根， 则， 得，或， 则或， 故答案为：或 13．（24-25高一下·上海·期末）在中，若，则的大小为 . 【答案】 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得，即，解得， 又因为，所以，所以. 故答案为：. 14．（2025·上海杨浦·一模）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中，均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离，，且，用测角仪测得，的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角：①；②；③；④，其中一定能唯一确定之间的距离有 .（写出所有正确的序号） 【答案】②③④ 【分析】结合题目给出条件以及直角三角形的边角关系，可知均已确定，对于①②③，可先根据余弦定理判断是否确定，再根据勾股定理判断是否确定；对于④，可直接根据余弦定理进行判断. 【详解】设， 在中，， 同理可得， 由于均为已知量，故均为定值. 对于①：在中，由余弦定理可得，且均为定值，故该方程为关于的一元二次方程，可能有两解. 例如，若， 则可得，即，解得或， 由勾股定理可得，由于为定值，而有两解，故也有两解，故①错误； 对于②：在中，由余弦定理可得，且均为定值，故也为定值， 又因为，其中均为定值，故为定值，故②正确； 对于③：在中，由余弦定理可得，整理得且均为定值， 故该方程为关于的一元二次方程.又， 故，即有两解，设两解分别为， 由韦达定理可知，，即异号，因此该方程仅有1个正数解，即有唯一确定解， 又因为，其中均为定值，故为定值，故③正确； 对于④：在中，由余弦定理可知，，因为均为定值，故也为定值，故④正确， 故答案为：②③④. 15．（25-26高三上·上海松江·期中）一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是，，，且，则圆心到点B的距离约为 ．（结果精确到） 【答案】4.1 【分析】利用圆的对称性及三角恒等变换、余弦定理计算即可. 【详解】如图所示，设圆心为，的中点为，则，由题意易知， 则，，，， ， 由余弦定理知， 所以. 故答案为：. 三、解答题 16．（24-25高三下·上海青浦·月考）已知中，，，. (1)求a、c的值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据余弦定理计算求解； （2）根据同角三角函数关系，结合二倍角公式结合两角差余弦公式计算求解. 【详解】（1）设，，， 则根据余弦定理得， 即， 解得（负舍）； 则，. （2）因为B为三角形内角， 所以， ， 因为，则 则， 17．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，其面积为，求b． 【答案】 【分析】由三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可． 【详解】在中，已知，，其面积为， 则，即， 则由余弦定理可得：， 即． 18．（25-26高三上·上海嘉定·期中）在中，，. (1)若，求的值，以及的面积; (2)若，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）已知，，，利用余弦定理，即可求得边；根据面积公式：，代入即可求得面积. （2）先将进行切化弦，再利用边角互化和射影定理，即可求得的值，利用知一求二得的值，最终利用正弦定理求得的结果. 【详解】（1）根据余弦定理，因为，，， 代入公式计算得：； 根据面积公式：. （2）； 根据边角互化的原则得：； 化简得：； 根据射影定理：，所以，所以； 根据三角函数的定义得：； 由正弦定理：，将，，代入得：. 19．（25-26高二上·云南昆明·月考）在中，内角所对的边分别为，且，的外接圆半径为. (1)求； (2)求的边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据正弦定理边化角，然后三角恒等变换相关公式即可求解； （2）首先根据正弦定理求出，然后根据余弦定理求出，最后根据面积公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 即， 又，故. 又，所以， 所以，即 由，可得， 所以. （2）由题意知. 由余弦定理得， 又，所以， 所以的面积，所以， 所以. 20．（25-26高三上·上海徐汇·期中）在三角形中，内角A，B，C所对边分别为、、，已知． (1)求角A的大小； (2)若且，三角形的面积为，求三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出A. （2）由三角形的面积公式可得，结合及余弦定理即可求出，即可得出结果. 【详解】（1）由正弦定理得， 所以由得， 所以，整理得， 因为，所以，因此，所以， 所以. （2）由的面积为，得，所以， 又，则，，所以， 由余弦定理得，解得， 所以的周长为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 解三角形 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：三角形的基本要素与内角和定理 核心知识 1.基本要素：在△ABC中，边、、分别对应角、、的对边；内角和；外角等于不相邻两内角之和. 2.三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即，，. 易错辨析 误区：忽略三边关系直接用定理求边，导致解不存在. 纠正：已知三边或两边及一边对角时，先验证三边关系，排除无效解. 概念比较 概念 含义 区别 内角 三角形内部的角，和为 内角范围，外角是内角的补角 外角 三角形一边与另一边延长线的夹角，和为 外角=不相邻两内角和，大于任何一个不相邻内角 重点记忆+常考结论 1.内角和恒为，是角度计算的核心依据. 2.大边对大角、大角对大边，即. 3.已知两角可直接求第三角，是解三角形的基础步骤. 知识点2：正弦定理 核心知识 1.定理内容：在△ABC中，，为△ABC外接圆半径. 2.常见变形 ，，； ，，； . 3.推导过程（外接圆法，分三类三角形证明） 1.直角三角形：设，外接圆直径，，，故成立. 2.锐角三角形：作外接圆，圆心为，连接并延长交圆于，，，在Rt△CBD中，，同理，. 3.钝角三角形：作外接圆，延长交圆于，，在Rt△CBD中，，同理得其他边关系，综上定理成立. 易错辨析 误区：已知两边及一边对角（如），由求出时，直接取锐角解，忽略钝角解可能. 纠正：结合“大边对大角”判断：若，则，必为锐角，一解；若，且，则有锐角、钝角两解；若，则，一解；若，无解. 概念比较 应用场景 正弦定理 余弦定理（预告） 已知条件 两角及一边；两边及一边对角 两边及夹角；三边 解的个数 唯一解或无解 唯一解 计算核心 边与对角正弦的比例关系 边的平方与夹角余弦的运算 重点记忆+常考结论 1.正弦定理的核心是“边与对角正弦成正比，比例系数为”. 2.已知两角及一边，优先用正弦定理求未知边；已知两边及一边对角，先判断解的个数再求解. 3.常考结论：；若，则，反之亦然. 一、正弦定理与边角互化 1.基础铺垫：正弦定理公式 在△ABC中，（为△ABC外接圆半径） 核心变形（边角互化的关键）： 边化角：，， 角化边：，， 比例关系： 2.边角互化核心方法 边化角：当已知条件或待求式中含“边的齐次式”（如、）时，用等代入，将边转化为角，利用三角恒等变换求解（如和角公式、二倍角公式）。 角化边：当已知条件含“角的正弦关系”（如、）时，用等代入，将角转化为边，利用代数运算（如因式分解、均值不等式）求解. 3.常见应用场景与易错点 典型场景1：判断三角形形状（如由边化角得，推出，即等腰三角形）. 典型场景2：求解含边角混合的等式（如由角化边得，推出直角三角形）. 易错点：非齐次式不可随意边化角/角化边（如，需结合其他定理补充条件）；忽略的角度范围限制. 二、射影公式 1.公式内容 在△ABC中，任意一边等于另外两边在该边上的射影之和： 2.推导思路（基于正弦定理） 由内角和，得. 根据正弦定理，，，，代入上式： ，两边同乘，得，其余两式同理可证. 3.核心应用与优势 快速转化边角关系：无需复杂平方运算，直接关联一边与另外两边的余弦值，简化含、等的表达式计算. 辅助求解边角问题：当题目中同时出现“一边”和“另外两边的余弦值”时，优先使用射影公式（如已知，，，可直接求）. 验证其他定理：可作为正弦定理、余弦定理的辅助验证工具，提升解题准确性. 4.易错点提醒 边角对应错误：牢记“边对应另外两边与它们对角的余弦值”，避免混淆夹角（如误写为）。 过度依赖：射影公式适用于特定边角组合，复杂问题需结合正、余弦定理综合使用. 正弦定理判断三角形解的个数 核心前提：正弦定理判断解的个数，仅适用于“已知两边及一边对角”（记为：已知，其中为边，为边的对角）的情形。其他已知条件（如两角及一边、两边及夹角、三边）均有唯一解或无解，无需用正弦定理判断. 一、判断核心依据 1.三角函数值域：，若计算得，则无解；若，则，需验证是否符合三角形内角和；若，则有两解（，），需结合“大边对大角”筛选有效解. 2.大边对大角：在△ABC中，；；（为三角形内角，均）. 二、具体情形分类（已知） 情形1：角为锐角（） 步骤：由正弦定理得，结合值域和大边对大角判断： 当时：，因为锐角，故必为锐角，且，唯一解. 当时：，则，△ABC为直角三角形，唯一解。 当时：，此时有两解（锐角、钝角），且（因，故，两解均满足内角和），两解. 当时：，超出正弦函数值域，无解. 情形2：角为直角（） 分析：直角三角形中，斜边为最长边，则为斜边（最长边）： 当时：为最长边，符合直角三角形斜边要求，为锐角（），唯一解. 当时：，但为斜边应最长，矛盾，无解. 情形3：角为钝角（) 分析：钝角三角形中，钝角为最大角，故应为最长边（），且其他两角均为锐角（和为）： 当时：为最长边，（大边对大角），因为钝角，必为锐角（），且，唯一解. 当时：，则，但为钝角，会导致，违反内角和定理，无解. 二、标准判断步骤（已知） 1.第一步：计算； 2.第二步：判断值域： 若：无解； 若：则，验证，成立则唯一解，不成立则无解； 若：结合“大边对大角”判断的两解是否有效： 若：，必为锐角，唯一解； 若：，的锐角、钝角两解均有效（因），两解； 若：，为锐角，唯一解. 三、直观记忆：图形辅助法 以已知（锐角）、边为例，边固定，角固定，边为待求边，边为定长： 当：边长度不足，无法构成三角形（无解）； 当：边与垂直，恰好构成直角三角形（唯一解）； 当：边可与交于两点，构成两个不同三角形（两解）； 当：边仅与交于一点，构成唯一三角形（唯一解）. 四、易错点提醒 1.适用范围混淆：仅“已知两边及一边对角”需判断解的个数，其他条件无需判断； 2.边角对应错误：必须明确“是边的对角”，若已知“两边及另一边对角”（如已知），需调整对应关系（将作为对角，作为对应边）再判断； 3.忽略内角和验证：当时，需确认（即），否则无解（如，则，，无解）； 4.漏判两解：当且时，易直接取锐角解，忽略钝角解，需结合大边对大角确认两解有效性. 知识点3：余弦定理 核心知识 1.定理内容 ； ； . 2.推论（求角公式） ； ； . 3.推导过程（几何法，以为例） 1.当为锐角时，过作于，，，， 在直角三角形BCD中： 2.当为直角时，，公式化为，即勾股定理，成立. 3.当为钝角时，过作的延长线于，，，，同理在Rt△BCD中，化简得. 易错辨析 误区：边角对应错误，如求时误用. 纠正：明确公式中边与角的对应关系，边的平方等于另外两边平方和减去这两边与它们夹角余弦的2倍，夹角是所求边的对角. 概念比较 公式 适用条件 与勾股定理关系 余弦定理 任意三角形 勾股定理是余弦定理当夹角为时的特例 勾股定理 直角三角形 余弦定理的特殊情况， 重点记忆+常考结论 1.余弦定理核心是“边的平方与夹角余弦的关联”，可用于求边、求角、判断三角形形状. 2.判断三角形形状：若，则；若，则；若，则. 3.已知三边必用余弦定理求角，已知两边及夹角必用余弦定理求第三边. 知识点4：三角形的面积公式 核心知识 1.基本公式：（为边上的高）. 2.三角公式（常用）：. 3.海伦公式：，其中. 4.外接圆相关：（为外接圆半径）. 易错辨析 误区：使用三角面积公式时，误将角用错（如用）. 纠正：公式中角为两边的夹角，即中是与的夹角. 概念比较 面积公式 已知条件 计算难度 一边及该边上的高 低 两边及夹角 中 海伦公式 三边 高 重点记忆+常考结论 1.三角面积公式是解三角形中求面积的首选，尤其结合正、余弦定理使用. 2.常考结论：若△ABC的外接圆半径为，；若为定值，时面积最大. 知识点5：解三角形的基本类型与步骤 核心知识 已知条件 首选定理 解的个数 两角及一边 正弦定理 唯一解 两边及夹角 余弦定理 唯一解 三边 余弦定理 唯一解 两边及一边对角 正弦定理 0个、1个或2个解 易错辨析 误区：解“两边及一边对角”问题时，不判断解的个数直接求解. 纠正：先求另一边对角的正弦值，结合大边对大角和内角和定理判断解的个数，再计算. 重点记忆+常考结论 1.解三角形的核心是“边角互化”，正弦定理侧重“边与正弦的比例”，余弦定理侧重“边的平方与余弦的关联”. 2.实际问题中，先抽象为三角形模型，明确已知条件，再选对应定理求解. 六、整体常考结论汇总 1.三角形内角和为，大边对大角，大角对大边. 2.正弦定理比例系数为，余弦定理是勾股定理的推广. 3.已知两边及一边对角时，注意多解或无解情况. 4.面积公式优先用，结合正、余弦定理灵活转化. 【题型1 正弦定理解三角形】 例1．（25-26高三上·上海杨浦·期中）在中，，，，则边的长度为 . 例2．（25-26高三上·上海·期中）在 中， ， ， ，则 . 变式1．（25-26高三上·上海·月考）在中，若，，，则 . 变式2．（25-26高三上·上海·期中）在中，. (1)若，求的值； (2)若，求的值与角的大小. 【题型2 正弦定理判断三角形解的个数】 例1．（24-25高一下·上海闵行·期末）如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是 ． 例2．（24-25高一下·上海·期末）在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为 ． 变式1．（24-25高一下·上海·期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为 . 变式2．（24-25高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 正弦定理求外接圆半径】 例1．（25-26高三上·上海·期中）在中，角的对边分别是，若，则外接圆的半径为 ． 例2．（24-25高一下·上海·期中）边长是5、7、9的三角形的外接圆半径等于 ． 变式1．（23-24高一下·上海·期中）在△中，，则△的外接圆的半径为 . 变式2．（2024·上海徐汇·二模）在中，，，，则的外接圆半径为 . 【题型4 正弦定理判断三角形的形状】 例1．（24-25高一下·安徽合肥·月考）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 例2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）在中，（分别为角的对边），则的形状为（        ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 变式1．（23-24高一下·上海·期中）若，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 变式2．（23-24高二下·上海闵行·月考）在中，，则为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【题型5 射影公式】 例1．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 变式1．（24-25高一下·吉林长春·月考）在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（    ） A．90 B．60 C．45 D．30 【题型6 余弦定理解三角形】 例1．（25-26高三上·上海·期中）已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形最大角的正弦值等于 . 例2．（25-26高二上·上海·开学考试）在中，、、分别为角、、的对边，若，则 ． 变式1．（24-25高一下·上海·开学考试）三角形ABC中，，，，则 . 变式2．（24-25高三上·上海·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若、、，则 . 【题型7 余弦定理求角】 例1．（23-24高一下·上海·期中）在中，是的三边且满足，则角A的大小为 . 例2．（2024·上海·模拟预测）已知的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若，则内角A的大小是 变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）在中，，则 . 变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角 . 【题型8 正弦定理与余弦定理实际应用】 例1．（23-24高三下·上海·月考）雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设： 假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸片人”： 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线； 假设3：伞柄OT长为，可绕矩形“纸片人”上点O旋转； 假设4：伞面为被伞柄OT垂直平分的线段AB，． 以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”；以如图2方式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀”． (1)如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到）； (2)请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议（无需求解改进后的模型，如果建议超过两条仅对前两条评分） 例2．（23-24高三上·上海杨浦·月考）如图所示，，两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向18km处，的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面处建一个发电厂，利用垃圾发电.要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得，两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为40吨和50吨.    (1)当时，求的值； (2)发电厂尽量远离居民区，也即要求的面积最大，问此时发电厂与垃圾中转站的距离为多少? 变式1．（23-24高一下·上海青浦·月考）如图，在曲柄CB绕C点旋转时，活塞A作直线往复运动，设连杆AB长为，曲柄CB长为，求曲柄CB从初始位置按顺时针方向旋转时，求活塞从移动到A的距离．（结果精确到） 变式2．（24-25高三下·上海宝山·月考）已知三角形花园，顶点、、为花园的三个出入口，满足，，（单位：米）． (1)求三角形花园的面积（精确到平方米）； (2)若三角形个内角均小于，到三角形三个顶点距离之和最短的点必满足、、正好三等分点所在的周角，该点所对三角形三边的张角相等，均为．所以这个点也称为三角形的等角中心．请根据此知识求出三角形花园的最佳会合点到三个出入口的最小距离和（满足到三个出入口的距离和最小）． 【题型9 三角形面积公式】 例1．（2025·上海徐汇·一模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，． (1)若，求的面积； (2)若内角的对边，求角的正弦值及外接圆的半径． 例2．（25-26高三上·上海松江·期中）在中，，，且，则的面积是 . 变式1．（25-26高三上·上海·开学考试）在中，角、、对应边为、、，其中． (1)若，且，求边长的值； (2)若，求的面积． 变式2．（25-26高三上·上海·月考）在中， . (1)求； (2)求c以及的值. 【题型10 求三角形的周长】 例1．（23-24高一下·上海嘉定·期中）在中， 内角所对的边分别为， 已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 例2．（2025·四川德阳·模拟预测）在中，若角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，. (1)求角； (2)求的周长. 变式1．（2025·上海杨浦·模拟预测）在中，分别为角的对边.已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为 . 变式2．（2024·上海黄浦·二模）在中，，. (1)求的值； (2)若，求的周长和面积. 一、核心基础 1.三角形要素：边（对顶角）、内角和、三边关系（其余同理） 2.核心原则：大边对大角大角对大边 二、核心定理（重点） 1.正弦定理 公式：（为外接圆半径） 变形：；； 适用：两角及一边、两边及一边对角（注意多解/无解判断） 2.余弦定理 公式：（其余边角轮换同理） 变形（求角）：（其余同理） 适用：两边及夹角、三边、判断三角形形状（用与大小关系） 三、面积公式（常用） 1.三角公式：（首选） 2.其他：、、海伦公式（） 四、解三角形类型与步骤 1.已知两角及一边：正弦定理求第三角求未知边 2.已知两边及夹角：余弦定理求第三边正弦/余弦定理求其余角 3.已知三边：余弦定理求三个角 4.已知两边及一边对角：先求对角正弦值判断解的个数再求解 五、高频考点/易错点 1.易错：两边及一边对角忽略多解；边角对应错误；未验证三边关系 2.常考结论：；；定边定角（夹角）面积最大值 一、单选题 1．（25-26高三上·上海浦东新·期中）在中，，则的形状是（    ）. A．直角三角形 B．底边为的等腰三角形 C．底边为的等腰三角形 D．底边为的等腰三角形 2．（24-25高三上·上海·开学考试）已知的三边长分别为4、5、7，记的三个内角的正切值所组成的集合为，则集合中的最大元素为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·上海·期中）在中各角所对的边分别为a，b，c，下列结论错误的是（    ） A．则为等边三角形； B．已知，则； C．已知，，，则最小内角的度数为； D．在，，，解三角形有两解． 二、填空题 4．（2025·上海静安·一模）在中，将角所对边的边长分别记作.设.若，，则的面积为 ． 5．（25-26高一上·上海黄浦·月考）如图，在中；，、、分别是、、上的点，若 ，则 ． 6．（2025·上海浦东新·二模）如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为 米．（保留一位小数） 7．（2024·山西·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，且，则 . 8．（25-26高三上·上海浦东新·期末）中，，，，则 . 9．（25-26高三上·上海·期中）在中，，则的值为 . 10．（25-26高三上·上海虹口·月考）在中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，若，，，则 ． 11．（25-26高三上·上海杨浦·月考）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 . 12．（25-26高三上·上海·开学考试）在中，，，且，则 ． 13．（24-25高一下·上海·期末）在中，若，则的大小为 . 14．（2025·上海杨浦·一模）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中，均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离，，且，用测角仪测得，的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角：①；②；③；④，其中一定能唯一确定之间的距离有 .（写出所有正确的序号） 15．（25-26高三上·上海松江·期中）一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是，，，且，则圆心到点B的距离约为 ．（结果精确到） 三、解答题 16．（24-25高三下·上海青浦·月考）已知中，，，. (1)求a、c的值； (2)求的值. 17．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，其面积为，求b． 18．（25-26高三上·上海嘉定·期中）在中，，. (1)若，求的值，以及的面积; (2)若，求. 19．（25-26高二上·云南昆明·月考）在中，内角所对的边分别为，且，的外接圆半径为. (1)求； (2)求的边上的高. 20．（25-26高三上·上海徐汇·期中）在三角形中，内角A，B，C所对边分别为、、，已知． (1)求角A的大小； (2)若且，三角形的面积为，求三角形的周长． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $