专题02 常用三角公式8种题型归类（压轴题专项训练）数学沪教版必修第二册

专题02 常用三角公式 目录 类型一、两角和与差的三角函数公式的正用与逆用 类型二、二倍角公式与升幂、降幂公式 类型三、给角求值问题 类型四、给值求值问题 类型五、给值求角问题 类型六、辅助角公式的综合应用问题 类型七、三角函数式的化简与证明问题 类型八、和差化积、积化和差公式的应用 压轴专练 类型一、两角和与差的三角函数公式的正用与逆用 解题技巧： 1、两角和与差的正弦： : : 2、两角和与差的余弦： : : 3、两角和与差的正切： :. :. 例1-1．已知，则 ． 例1-2．已知角满足，则（ ） A． B． C． D． 变式1-1．若均为第二象限角，满足，，则（ ） A. B. C. D. 变式1-2．在中，若，则 . 变式1-3．已知满足，则（    ） A． B． C． D． 变式1-4．设，则“”是“，”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 类型二、二倍角公式与升幂、降幂公式 解题技巧： 二倍角公式： （1） （2） （3） 常用变形： （1）降幂公式：；； （2）升幂公式：；； ； 思路提醒： （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角； （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角公式的正弦 例2-1．已知（），则（    ） A． B． C． D． 例2-2．已知是方程的两个实根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 变式2-1．知，则 ． 变式2-2．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知，则（   ） A． B． C． D． 变式2-4．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 类型三、给角求值问题 解题技巧： （1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． （2）给角求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值． 例3-1．的值为（ ） A． B． C． D． 例3-2． ． 变式3-1．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若， . 变式3-2．（    ） A． B． C． D． 变式3-3．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式3-4．已知锐角满足，则的最小值为 . 类型四、给值求值问题 解题技巧： 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值的解题关键：把“所求角”用“已知角”表示. （1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式或者和或差的二倍形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解 例4-1．已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 例4-2．若，则的值是（      ） A． B． C． D．以上均不对 变式4-1．若，，，则（    ） A． B． C． D． 变式4-2．已知，且为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知，则（　　） A． B． C． D． 变式4-4．若，，，，则的值等于 ． 类型五、给值求角问题 解题技巧： 给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正、余弦函数值，若角的范围是，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是，选正弦函数 例5．若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知，若，，则 ． 变式5-2．若，且为锐角，为钝角，则 变式5-3．若，则 . 变式5-4．若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 类型六、辅助角公式的综合应用问题 解题技巧： 辅助角公式的应用： （1）公式形式：公式或将形如（不同时为零）的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式； （2）形式选择：还为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角的系数为正，这样更有利于研究函数的性质． 例6-1．已知，其中，则（    ） A． B． C． D． 例6-2．已知，化简的结果为（   ）. A． B． C． D． 变式6-1．若对任意实数x都有，则角的终边在（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式6-2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知，则（    ） A． B． C． D． 类型七、三角函数式的化简与证明问题 解题技巧： 1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2．三角函数式化简的方法 (1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． (2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次． 例7-1．证明： (1)； (2)． 例7-2．求值：（    ） A． B． C． D． 变式7-1．=___________ 变式7-2．化简： . 变式7-3．求值： (1); (2)． 变式7-4．已知，且，证明： (1)； (2). 类型八、和差化积、积化和差公式的应用 解题技巧： 1、积化和差 2、和差化积 例8-1．证明下列恒等式. (1)； (2). 例8-2．证明下列恒等式. (1); (2). 变式8-1．计算:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°. 变式8-2．求证： (1)； (2). 变式8-3．已知. (1)若，求； (2)若，，都为锐角，求的最大值. 压轴专练 1.化简（    ） A．1 B． C． D． 2.“”是“”成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3.已知，满足，，则（    ） A． B． C． D． 4.若，则（ ） A． B． C． D． 5.已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（    ） A． B． C．2 D．1 6.已知，为锐角，，，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 7.某同学将两角和的正弦、余弦、余切公式错误地记成如下三个式子： ① ②； ③； 若存在、恰巧能使上述某些式子成立，则能成立的式子最多有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8.化简 ． 9.已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为 ． 10.已知，则的值为 ． 11.已知. (1)求的值； (2)求的值. 12.已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 13.已知，，，. (1)分别求和的值； (2)求的值. 14.已知且. (1)求的值； (2)求的大小. 15.（1）已知，，求，； （2）已知，，求； （3）已知，，且，求的值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02常用三角公式 目录 类型一、两角和与差的三角函数公式的正用与逆用 类型二、二倍角公式与升幂、降幂公式 类型三、给角求值问题 类型四、给值求值问题 类型五、给值求角问题 类型六、辅助角公式的综合应用问题 类型七、三角函数式的化简与证明问题 类型八、和差化积、积化和差公式的应用 压轴专练 典例详解 类型一、两角和与差的三角函数公式的正用与逆用 解题技巧： 1、两角和与差的正弦： S:sin (a+B)=sin a cos B+cos a sin B S):sin (a-B)=sin a cos B-cos a sin B 2、两角和与差的余弦： C :cos(+B)=cos a cos B-sin a sin B C:cos(aB)=cos a cos B+sin a sin B 3、两角和与差的正切： tana+tan B Ta):tan(+B)=Itanc tanB Ta-g:tana-B）= tana--tan阝 1+tana tan B' 1/35 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 倒11.已知-<a<0<B<元，sina 5 ,cosB=-行则eos(a+B)= 3 【答案】-25 5 【分析】用两角和的余弦公式即可求解 【年t】曲子a号0c8a-9e0=青ma25 4 5,sina cos(a+B)=cosa cos B-sina sin B=25.525 5 5555 例1P2.已知角aB满足cosB号+B)-则cos2a+B)-() 号 C.1 6 【答案】c 【详解】cosB=6eos[a+Bl-a]=+B到++sinasin(a+B)=+sina in(a+B=背 放inoin(a+pl=过 国tama+-ola++a小-omaa+-iin(a+-合 故选：C 1 变式l-l.若oa,阝均为第二象限角，满足sina= 3， CosB=3,则cosa-)=(D A② 2W2 c.3W2 D.4V2 9 9 9 9 【答案】D 详解】因为a,B均为第三象限角，满足sinacos三 所以ca-1-ma=2y9=-osB-25 3 所以cosa-B)=o+sina sinB=42 9 故选：D. 变式l-2.在ABC中，若tanA+anB+√2 tan A tan B=√2，则tanC=一 2/35 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】-√2 【详解】首先因为tanA+tanB+√2 tan Atan B=√2，所以tan A tan B≠l, 这是因为：若tan A tan B=-l,则tanA+tanB=0, 又因为A,B为三角形内角，所以A,B互补，这是不能成立的.所以tan A tan B≠l. 因为amA+B4 m-tanC,所以anA+an8=nC-an4anB,一 又tanA+tanB+√2 tan Atan B=√2→tanA+tanB=V2(l-tan Atan B), 所以-tanC(l-tan Atan B)=V2(1--tan Atan B)所以tanC=-√2. 变式1-3.已知，B满足cos0+cosB= 2sina+simB=4,则cos(a-B)=（） A.3 B.-27 C._5 29 D.- 32 8 32 【答案】B 【详解】：cosa+cosB= cos'a+cosB+2cosacosB=1 sin'a+sin+2sinasinB-1 ,② 16 由0+②得2+2 (c0sB+-sinasinB)=2+2cosa-B)=5 16 :cos(a-B)=-32. 27 故选：B 变式1-4.设o,B∈R,则 (k∈Z)”的()条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 【答案】B 【详解】由eos2a+eosB+sn(2a+)sin=sn任+aeos任-a-cos任+asn任-a 3/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 emla+p-=ml[任+aj{任-j 所以cos2a=sin2a, 所以2a=工+k红，k∈Z,所以a=刀+k ,k∈Z, 82 所ma+jo+ma+jmB-m传emf任om行ajm传-a小ea=-a+号 (k∈Z)"的必要不充分条件， 故选：B 类型二、二倍角公式与升幂、降幂公式 解题技巧： 二倍角公式： (1)sin 2a =2sina cosa (2)cos2a=cos2a-sin2a =1-2sin2a =2cos2a-1 21n&ak标+号且a≠低+天，keZ (3)tan 2a =1-tan'a 2 241 常用变形： sin2a= 1-cos 2a 1+cos2a (1)降幂公式： 2 1-sin2a =(sina-cosa)2 cos'a= 2 sin cosasi2 (2)升幂公式：1+c0s2a=2c0s2a,1-cos2a=2sin2a; 1+sin 2a=(sina+cosa): 思路提醒： (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般 可以化为特殊角： (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用 互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角公式的正弦 例2-1.己知sina+2cosa=-1(cosa≠0)，则tan2a=（) A.-24 B.、17 C.17 31 31 4/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【详解】因为sina+2cosa=-l,所以sina=-l-2cosa, 又sim2a+cos2a=1,所以(-1-2cosa)+cos2a=1,解得cosa=0(舍去)或cosa=- 4 5 3 sina 3 所以sina=行则ana cosa 41 3 2tana 2× 24 则tan2a= (4 7 .故选：A 1-tan2a 73 1 4 例22.已知sin0,cos0是方程x2-2 osina+sinB=0的两个实根，则cos29-() cos2a A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【详解】：sin0,cos0是方程x2-2sin·x+sin2B=0的两个实根， .sin0 cos0 2 sin a sin20-2sina·sin0+sin2β=0-①， cos20-2 sina.cos0+sin2β=0②， ①式+②式得：1-2sina(sin0+cos0)+2sin2B=0, 即1-4sin2a+2sin2p=0, 2-4sina =1-2sin'B,2cos2a=cos2B,cos2B=2. cos2a 故选：C· 则sin2a= 【管】日 【分析】利用二倍角公式和诱导公式计算. 【详解1osa引1-2ma-则na=6o2a引 故答案为： 1 5/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式2-2.已知2sima+sm2a-6,则ana+好（) 3π cos2a A 1 B. 5 C.-5 D.5 5 【答案】B 【分析】用二倍角公式、商数关系结合已知求得tana= 再由两角和的正切公式即可求解 3 【详解】因为2sin2a+sin20_2sina+2 sino_2ian2a+2tana-6, cos2a cos-a-sin-a 1-tan a 所以2tan2a+2tana=-61-tan2a）且1-tan2a≠0， 即2am2a-na-3=0,且1-tan2a≠0，解得ana=3或ana:-1(舍去)， 2 3n 3 tan a tan -1 3π 所以tana+ 4 2 1 4 1-tan a tan 3π1- 3 4 故选：B. 变式23.已知am9+=5 A._5V3 B. 3W3 c.55 D.33 11 11 5 【答案】A 【分析】根据已知角的正切值，利用正切函数的二倍角公式以及和角公式，可得答案. 【详解】由画0+g上分，则/2动 2tan0+π 8 =45, 4)1-tan+ 8 tan20+π】 所以tan 20+4+tam 3 5V3 1-tan20+ π11 tan- 4 3 故选：A. Φ式24，已知sma=且sincosA6,则n0” tanβ +c0s2a+2B)=() A,5 9 8.4 D.1 9 6/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【分析】利用两角差的正弦公式结合已知条件可求出sin、cosasin的值，利用切化弦可得出anC的 tan B 值，利用两角和的正弦公式可求得sin(α+B)的值，利用二倍角的余弦公式可求得cos(2a+2B),据此可求 得所求代数式的值. 1 sin(a-B)=sin a cos B-cosa sin B=- 1 cosa sin B= 3 【详解】由 可得 2 1 sin a cos B= 、1 sina cos B=- 6 6 tand 1 所以， sin a.cosB1. 2 tanB cosa sinB 6 3, 1.12 sina+β)=sina cos B+cosa sinβ= 6231 所以c2+]=1-2m1a+1-2×)-) 因此， tana+cos(2a+2B)=3 1+14 tanB 故选：B. 类型三、给角求值问题 解题技巧： (1)给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化 方法。 (2)给角求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子， ②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值， 例3-1. sinl10°cos250° 的值为() cos225°-sin2155 B C.v3 D.- 2 2 【答案】A 7/35 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 【详解】原式_ -sin70°cos70 sin140 2 2 sin40 1 cos225°-sin225 cos50 sin40° 2 故选：A 例3-2. cos20°-2cos80° cosl10° 【答案】- 【i详解】cos20°-20s80°_c0s20°-2c0s(60°+209)_V5sin20 =-V3. cosl10° c0s(90°+20) -sin20° 故答案为： -V3 变式3-1.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割 值约为0.618，这一数值也可以表示为m=2sin18°，若m2+n=4, m√n 2c0s227°-1 【答案】2 【分析】由平方关系结合倍角公式得出答案 【详解】因为m=2sin18°，m2+n=4,所以n=4cos218°， mn 2sin36° 2 2c0s227°-1c0s54° 故答案为：2 变式3-2. tan50°+tan70° 1-tan50°tan70° () A.3 B.-3 C.3 D.= 3 3 【答案】B 【详解】 tan50°+tan70° =tan(50°+70)=tanl20°=-tan60°=-√5.故选：B 1-tan50°tan70° 变式33.已知a+B-子引a>0,B>0),则ama+mB的最小值为《) A.3 B.5 c.2V5 D.5+1 3 【答案】C 【分析】根据两角和的正切公式结合基本不等式运算求解， 【详解】因为a+B=a>0B>0,则a,B∈（0写引， 8/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 可得tana,tanB∈(0，V5),即tana+tanB>0, tan a tan B 且tan(a+B)= l-tana tanβ =√3，整理得tana tan B=l- 3(tana+tan B), 又因为tana tan Bstand+ianB 当且仅当ana=tanB=5时，等号成立， 3 即1- (tana+tan B)s tana+tanB)2 3 4 整理得(tana+tanB]2+ (tana+tanβ)-4≥0， 3 解得tana+tanβ 25 或tana+tanB≤-2V3(舍去)， 3 所以tana+ianB的最小值为2 3 故选：C 变式3-4.已知锐角a,B满足a+B= 1 4’则 cosasinβ 的最小值为 inacosβ 【答案】42 【分析】计算出sina cos B+cosa sin B= ,再将代数式√2(sina cosB+cosa sin B)与代数式 1 相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. sinacosB cosasinB 【详解】因为a+B=子，所以snla+A)=s血+=s5n及-5 π 42 因为a,B均为锐角，所以sina cos B>0,cosa sin B>0, 1 1 所以 =√2(sina cosβ+cosa sinβ） sinacosβ cosasinB 、sinacosβ cosasinβ =√22+ cosa sinβ，sina cos B ≥22+2， cosa sinβsin a cos B =4V2. sinacosβ cosasinβ sinacosB cosasinB 当且仅当 cosa sin B sina cos B sinacosβ cosasinB, 即sina cos阝=cosa sin B,即tana=tan阝， 也就是a=B=兀时等号成立. 8 故答案为：42. 9/35 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、给值求值问题 解题技巧： 己知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值的解题关键：把“所求角”用“已知角”表示 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式或者和或差的二倍 形式： (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或倍数关系，然后应用诱 导公式、和差公式、倍角公式求解 例41.已知0<B号a<,且r)m)月 3· 则cosa+B)=() A. 209 B.- 239 C.、729 D. 729 729 729 239 209 【答案】B 【分析】根据同角的三角函数关系、三角和差的余弦公式、二倍角公式化简计算即可，注意在用同角的三 角函数关系求值时正负值的取舍。 【详解】0<B<兀<a<π， -B<π <a- <π 4 4 2 mg-小-如g-]-9e-}--e哥-4s a“2-w[a-}后-P小 csa-org-pina-gm传-j 9 327 ∴cos(a+B)=2c0g2a+B-1=2x49x5-1=-239 2 729 729 故选：B 例4-2.若sin(a+B)cosB-cos(a+B)sinB=0,则sin(a+2B)+sin(a-2β)的值是() A.0 B.1 C.-1 D.以上均不对 【答案】A 【分析】根据条件，利用正弦的差角公式得sina=0,从而得a=m,k∈Z,再分k=2m,m∈Z和 k=2m+1,m∈Z两种情况，再由诱导公式即可求解. 10/35