第一章 2 课时3 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦八年级下册“等腰三角形”中“等边三角形的判定”与“含30°角的直角三角形的性质”，通过衔接等腰三角形知识导入，以例题解析、思路分析和关键点拨为支架，帮助学生构建从基础判定到性质应用的知识脉络。 其亮点在于精选2024-2025年各地期末、调研真题，通过池塘测量、手扶电梯高度等实际情境题培养几何直观，以证明题步骤训练推理意识，分层设置“刷基础”“刷提升”“刷素养”练习。教师可直接使用丰富例题与超链接跳转功能提升教学效率，学生能在问题解决中发展应用意识与数学思维。

数 学 八年级下册 BS 1 2 3 第一章 三角形的证明 4 2 等腰三角形 课时3 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形 的性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 等边三角形的判定 1.【2025安徽蚌埠期末】根据下列条件，不能得到等边三角形的是( ) C A.有两个角是 的三角形 B.有一个角是 的等腰三角形 C.有两个角相等的等腰三角形 D.腰长和底边长相等的等腰三角形 【解析】有两个角是 的三角形，那么第三个角也是 ，故是等边三角形，A 不符合题意；有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，B不符合题意；有两个 角相等的等腰三角形，不一定是等边三角形，C符合题意；腰长和底边长相等的等 腰三角形是等边三角形，D不符合题意.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2.【2024江苏南京调研】在中，三个内角的度数分别为 ， ， ，且满 足等式 ，则这个三角形是( ) B A.只有两边相等的等腰三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 【解析】由题意可知，， ， ， ， 这个三角形是等边三角形．故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 关键点拨 掌握绝对值及平方的非负性和等边三角形的判定是解题的关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 3.【2025山东临沂质检】如图，在一个池塘两旁有一条笔直小 路（，为小路端点）和一棵小树（ 为小树位置）.测得的相 关数据为 ， ，米，则 ____米. 15 【解析】 ， ， ， 是等边三角形.米， 米.故答案为 15. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.【2025甘肃陇南期末】如图，在中，为 边上一 点，于点，延长，交于点.若 ， .求证： 为等边三角形. 【证明】， ， . ， ， ， ， ， 为等边三角形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 思路分析 由等腰三角形的性质得出 ，根据三角形的内角和定理并结合 ，证出 ，则可得出结论. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 知识点2 含30°角的直角三角形的性质 （第5题图） 5.【2024河北唐山二模】如图，在等边中， ， ，，则 ( ) B A.1 B.2 C. D. 【解析】是等边三角形， ， ， ， ， ， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 （第6题图） 6.【2025云南昆明期末】如图，在中， ， ，，则 的长为( ) B A.7 B.8 C.10 D.12 【解析】 ， ， .又 ， 是等边三角形， ， ， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 （第7题图） 7.【2025广东佛山期中】如图是某商场一部手扶电梯 的示意图，若 ， 长为8米，则乘电梯 从点到点上升的高度 ___米. 4 【解析】如图所示，过点作交延长线于点 ， 则 ， 米， 在中，（米）， 乘电梯从点到点 上升 的高度 米，故答案为4. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 （第8题图） 8.如图，在中，， ，过点 作 ，交于点.若，则 的长度为___. 4 【解析】， ， ， ， ， ， .在中， ， . 故答案为4. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 9.【2025江西鹰潭期中】如图，在等边中，点， 分 别在边，上，且，过点作，交 的 延长线于点 . （1）求 的度数； 【解】是等边三角形， ， . ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 （2）若，求 的长. 【解】 ， ， , 是等边三角形， . 在中， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 提升 （第1题图） 1.【2025河北唐山期末，中】如图，在 中， ， ，点是边 上的任意一 点，则 的长不可能是( ) A A.5 B.6 C.7 D.8 （第1题图） 【解析】如图，过点作于 ， ， .在 中，， ，则 .根据垂线段最短可知,的最小值为6， 的长不可能 是5.故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 （第2题图） 2.【2025广东深圳期中，中】如图， ，点 在 的平分线上.若点，分别在，上，且 为等边三角形，则满足上述条件的 有( ) D A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 （第2题图） 【解析】如图,在，上截取 ，作 ,连接平分， , ，， 是等边三角形，， ， . 在和 中， , ，是等边三角形， 只要 ， 就是等边三角形，故这样的三角形有无数个.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 3.【2025江苏泰州一模，中】如图，在等边三角形中，是 延长线上一 点，是上一点，连接，.若，，，则 的长为_ __. （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 【解析】如图，过作于 ， .设， ， 是等边三角形，， ， ，， ， ，，.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 4.【2025福建龙岩期末，较难】如图，一面镜子倾斜固定在地面 上，且 ，点为距离地面的一个光源，光线射出经过镜面 处反射 到地面点，当光线经过的路径长最短为时， 的长为______. （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 【解析】如图，作点关于的对称点，过点作 于 点，交于点，则,.过点 作 交于点， ， 光线射出经过镜面处反射到地面 点， .又 ， ，是等边三角形.,, , ，，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 关键点拨 作出点关于直线的对称点,过作,交于点 ，此时光线经过的 路径长最短. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 5.【2025陕西西安期中，中】已知在 中，是的中点，是 延长线上的一点， 连接， . （1）如图（1），若 ， ，，试判断与 的 位置关系； 【解】 ， ， ， . ，， 是等边三角形. 是的中点， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 （2）过点作，交延长线于点，连接 ，如图（2）所示，若 ，，试说明： . 【解】， . ，，， ， ， . ， ，是等边三角形， ， . ， . 又，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 刷素养 走向重高 6.核心素养 几何直观［难］如图（1），已知点，点为 轴上一动点，连 接，和都是等边三角形，连接 . 图（1） 图（2） 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 （1）求证： . 【证明】和 都是等边三角形， ，， ， ，即 ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 （2）如图（2），当点恰好落在 上时. ①求点 的坐标； 【解】是等边三角形， . ， . 设，则 . 点, . ，,， . 是等边三角形，， . 又 ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 ②在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，写出点 的坐标；若不 存在，说明理由； 【解】存在.当时，是等腰三角形.， 点 的坐 标为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 ③如图（3），点是线段上的动点（不与点，点重合），过点 作 于点，于点，当点运动时， 的值是否发生变化？ 若不会变化，直接写出 的值；若会变化，简要说明理由. 【解】的值不变..如图,连接 .易知 . 为等边三角形,,易得 . ，， ， . ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 关键点拨 利用面积法得到 即可解决问题. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 $