第一章 2 课时2 等腰三角形的判定和反证法-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦八年级下册“等腰三角形的判定与反证法”核心知识点，通过中考真题、期中期末题情境导入，衔接三角形内角和、角平分线等前置知识，以“刷有所得”总结判定方法、反证法步骤等学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以真题情境培养数学眼光，通过分类讨论（如动点等腰三角形问题）发展数学思维，以规范证明过程（如几何证明题步骤）强化数学语言表达。微专题“角平分线+平行→等腰三角形”引导探究，助力学生提升推理能力与应用意识，为教师提供分层教学资源，提高课堂效率。

数 学 八年级下册 BS 1 2 3 第一章 三角形的证明 4 2 等腰三角形 课时2 等腰三角形的判定和反证法 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 等腰三角形的判定 1.【2025山西晋中期中】在中， ， ，若 ， 则 的长为( ) C A. B. C. D. 【解析】在中, ， ， ，， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2.【2024宁夏中卫质检】下列条件中，不能判定 是等腰三角形的是( ) D A. B. C. ， D. 【解析】 A 由，得到，则 是等腰三角形，不符合题意 B 由，得到，则 是等腰三角形,不符合题意 C 由 ， ，得到 ，因此 ，则 是等腰三角形,不符合题意 D 由，得到，则 ，但求不出和 的度数，不能判定 是等腰三角形,符合题意 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 刷有所得 等腰三角形的判定方法：等角对等边；有两边相等的三角形是等腰三角形． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 （第3题图） 3.【2025广东潮州期末】如图，在的 边上截取 ，连接，作的角平分线交于点 . 若，，，则 ___. 2 【解析】，平分 ， ，， ， ， ， ，故答案为2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （第4题图） 4.【2024广东江门期中】如图，一条笔直的公路经过 处 和公园，现要进一步开发景区，经测量，景区位于 处的北偏东 方向上，位于公园的北偏东 方向上， 且，则公园与景区 的距离为_______． 【解析】如图，由题意得 ， 是的一个外角， ， ， ， 公园与景区的距离为.故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 5.【2024浙江宁波校级质检】如图， ， ，则图中的等腰三角形有___个． 6 【解析】 ， ， 和是等腰三角形. ，， ， ，是等腰三角形.同理， 是等腰三角形. ， ， ， ， 是等腰三角形.同理， 是等腰三角形.综 上所述，等腰三角形有6个.故答案为6． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 关键点拨 利用三角形外角的性质和三角形内角和定理求出各角的度数，根据“等角对等边” 即可判定出等腰三角形． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 6.如图，在中，，是的中点，连接,过点作交 的延长线于点.求证： 是等腰三角形. 【证明】，是中点，平分 ， ，，， ， 是等腰三角形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 7.【2024吉林松原期中】如图， ， 平分 ． （1）求证： 是等腰三角形； 【证明】 ， ， ， ， . 平分， ， ，， 是等腰三角形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 （2）若 ，求 的度数． 【解】 ， . 平分， . ， ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 知识点2 反证法的应用 8.【2025山西太原期末】用反证法证明“若实数，满足，则， 中至少 有一个是0”时，应先假设( ) C A.，中至多有一个是0 B.， 中至少有两个是0 C.，都不等于0 D.， 都等于0 【解析】用反证法证明“若实数，满足，则， 中至少有一个是0”时， 应先假设， 都不等于0.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 9.【2025陕西西安调研】用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角. 已知：在中，.求证：， 必为锐角. 【证明】假设，至少有一个不是锐角.，.当， 都是直角时， ，这与三角形内角和定理相矛盾；当， 都是 钝角时， ，这与三角形内角和定理相矛盾.综上所述，假设不成 立，， 必为锐角. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 刷有所得 反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论 证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 提升 （第1题图） 1.［中］如图,在中， ， . 点为直线上一动点，并沿直线 从右向左移动，若以点 与 三个顶点中的两个顶点为顶点的三角形是等腰三角 形，则满足条件的点 的位置有( ) C A.4个 B.6个 C.8个 D.9个 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 【解析】 在中， ， ， . 如图,当 时， 为等腰 三角形；当 时， 为等腰三角形；当 时，为等腰三角形；当与重合时， 为等腰三 角形；当与重合时，为等腰三角形；当 时， 为等腰三角形；当 时， 为等腰三角形；当 时，为等腰三角形. 综上，满足条件的点 的位置有8 个.故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 思路分析 因为，，三点共线，所以只需考虑是等腰三角形和 是等腰三角 形的情况，注意对这两种情况下的腰进行分类讨论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 2.【2025辽宁抚顺期中，中】如图，在中，平分， ，若 与互补，，则 的长为____. 10 （第2题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 【解析】如图， 延长，交的延长线于点平分， ， .在和 中， ，， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 与互补，即 ， ，， ， ， .故答案为10. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3.【2024河南周口期中，中】如图，要在河的一侧测量河 对岸，两点的距离．选择点，使，， 在一条直线 上，作射线，测得 ，在射线上选取点 和点，使 ， ．这时测得 的长 就是， 两点的距离，为什么？ 【解】在中， ， ， ， ，.在中， ， ， ，， ， ，即，的长就是， 两点的距离． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 微专题1 角平分线+平行→ 等腰三角形 4.【2025浙江宁波校级期末，中】如图（1），为的平分线 上一点，过 点作交于点，易得 为等腰三角形. 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 （1）【基本运用】如图（2），把长方形纸片沿对角线折叠，使点 落在 点处，交于点， 是等腰三角形吗？为什么？ 【解】是等腰三角形.理由：在长方形中， ， . 由折叠的性质可得 ， ，， 是等腰三角形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 （2）【类比探究】如图（3），中，内角与外角 的平分线交于 点，过点作分别交，于点，，试探究线段，， 之间 的数量关系并说明理由. 【解】.理由：同（1）可证,则 为等腰三角形. 平分，，， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 （3）【拓展提升】如图（4），四边形中，，为边的中点， 平分，连接，求证： . 【证明】如图，延长交的延长线于 . ，， . 平分， ， ， . 是的中点， . 在和中， ，， 点是的中点， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 刷有所得 当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形.题中有角平分线时，常过角平分线 上一点作一边的平行线构造等腰三角形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 刷素养 走向重高 5.思想方法 分类讨论【2024广东湛江期末,较难】 （1）如图（1），线段的一个端点在直线上，且与直线所成的锐角为 ， 以为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线 上，这样的等腰三角形能 画___个. 4 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 32 图（2） （2）如图（2），中， ， ，过顶点 作一条直线，把该三角形分割出一个小等腰三角形,这样的直线 最多可以画___条. 5 图（1） 【解】如图（1），， ， ， ，故这样的等腰三角形能画4个. 故答案为4. 图（2） 如图（2），，， ， ，,故过顶点 作一条直线，把该三角形 分割出一个小等腰三角形,这样的直线最多可以画5条.故答案为 5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 33 （3）如图（3），在中， ，若存在过点 的一条直线，能把该 三角形分成两个小等腰三角形，试求 的度数. 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 34 【解】如图（3），当时， ， ， 当时， ；②当时， ；③ 当时， .如图（4），当 ， 时, ， ， .如 图（5），当，时, ， ， .综上所述，的度数为 或 或 或 或 . 图（3） 图（4） 图（5） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 35 $