精品解析：江西九江市武宁尚美中学2025-2026年学年度上学期2月期末考高二数学试题

江西省九江市武宁尚美中学2025-2026年学年度上学期2月期末考高二数学试题 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间两点间的距离公式计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解对应集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】令，解得或，则， 因为，所以，故D正确. 故选：D 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，得出，结合倾斜角的定义，即可求解. 【详解】由直线，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以. 故选：A. 4. 三个数成等比数列，的值为（ ） A. 2 B. 8 C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比中项求解即可. 【详解】因为三个数成等比数列， 所以，解得， 故选：C 5. 椭圆的右焦点到直线的距离为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出焦点的坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由题意可知，，则，即， 则点到直线的距离为. 故选：A 6. 如图，在四面体中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为，为中点， 所以，， 所以 . 故选：B. 7. 五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“土、水”相邻的排法种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 72 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】用排列中的捆绑法直接求出即可. 【详解】由题意知：则“土、水”相邻的排法种数为. 故选：D. 8. 已知是双曲线的左焦点，为圆上一点，直线的倾斜角是，直线与双曲线的两条渐近线交于、两点，且恰为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角求出直线斜率，进而得到直线方程，联立圆的方程求出点坐标；直线方程与渐近线方程联立求出点、坐标，结合点为中点得到与的关系，代入离心率公式计算即可. 【详解】双曲线的左焦点，，渐近线为. 圆的半径为，点在圆上，所以. 直线的倾斜角是，直线的方程为. 联立，整理得，即， 解得或（对应点），，所以. 联立，解得，即. 联立，解得，即. 因为恰为的中点，所以，整理得，， 所以. 故选：A. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分. 9. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. 为递减数列 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】令，计算可判断A；当，可得，两式相减可求得通项公式判断B；由，可判断C；利用错位相减法可求得可判断D. 【详解】当时，，故A正确； 当时，，又， 两式相减得，所以， 当时，适合上式，所以，故B错误； 所以， 所以，当时，，所以从第二项起是递减数列，故C错误； ， 所以， 两式相减得 所以，故D正确. 故选：AD. 10. 已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的概念，复数的几何意义，以及复数模的计算公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由复数z满足，可得， A，复数的虚部为，正确； B，由，得，则复数在复平面内对应的点为位于第三象限，正确； C，由复数模的计算公式，可得，错误； D，因为复数和都是虚数，不能比较大小，错误. 故选：AB 11. 已知随机变量X服从正态分布，随机变量服从正态分布，，且和相应的分布密度曲线分别为，则（ ） A. B. 的对称轴在的对称轴的左边 C. D. 的最高点在的最高点的上方 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求出和的值，再比较两条密度曲线的对称轴位置与最高点高度，从而判断各选项的正误. 【详解】对于A：因为，且，根据正态分布的对称性， ，A正确； 对于B：的对称轴是，的对称轴是， 所以的对称轴在的右边，B错误； 对于C：因为，且， 又， 所以，解得，C正确； 对于D：因为正态分布密度曲线的最高点为， 所以的最高点为，的最高点为， 因为，所以的最高点在的最高点的上方，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 椭圆的离心率为________________． 【答案】## 【解析】 【分析】由方程求出，利用离心率公式即可求解. 【详解】由题意，得，所以，离心率． 故答案为： 13. 已知有三个零点，则的范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意转化为方程有三个实根，设函数，利用导数研究函数性质，结合图象得解. 【详解】函数有三个零点， 等价于关于x的方程有三个实根．显然， ∴方程有三个实根． 设函数， 则． 当和时，，在和为减函数； 当时，，在为增函数； ∴在时取极小值3， 当时，， 当时，，当时，， 如图， 所以的范围是. 故答案为： 14. 以为一个焦点，渐近线是的双曲线方程是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】 从焦点得到，从渐近线得到，加上双曲线满足联立即可. 【详解】因为为一个焦点，所以焦点在轴上，且. 因为渐近线是，所以. 因为双曲线满足，所以解得，即双曲线方程是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是圆：外一点. （1）求的取值范围； （2）若是负偶数，过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由点在圆的外部，与方程表示圆的充要条件，求解即可得到的范围； （2）分切线的斜率存在和不存在两种情况讨论可得切线的方程． 【小问1详解】 因为方程表示圆， 所以，解得. 又是圆：外一点， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 由题可知，则圆：， 即，圆的圆心为，半径为3. 当切线的斜率不存在时，切线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，故满足相切关系； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以切线方程为，即. 故所求切线的方程为或. 16. 已知圆经过点，圆心在曲线上，且直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1） （2）与 【解析】 【分析】（1）设出圆心，再由垂径定理中的直角三角形三边关系列出方程，即可得解； （2）分斜率不存在与斜率存在两种情况讨论，使圆心到直线的距离等于半径即可. 【小问1详解】 设圆心，设圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦长为，由，可得， 整理得：，解得或（舍去）. 故圆心，圆上一点，半径， 故圆的方程为：. 【小问2详解】 当过的直线的斜率不存在时，此时直线方程为， 圆心到直线的距离，故是圆的切线； 当过的直线的斜率存在时，可设切线为， 可化成一般式，圆心到该直线的距离为2，即， 整理得，解得，此时切线为， 化成一般式得. 综上所述，过点作圆的切线方程为与. 17. 某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，对视力情况绘制了如下频率分布直方图．如图所示．从左至右五个小组的频率之比依次是． （1）求x的值； （2）估计该校学生视力的平均值； （3）用频率估计概率，若从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名学生，求抽出的学生中有两名视力不低于的概率． 【答案】（1）；（2）0.66；（3）. 【解析】 【分析】 （1）从左至右五个小组的频率之比依次是，得出每组的频率，然后用第一组的频率比组距即可得到的值； （2）在频率分布直方图中，用每个区间的中点值乘以该组的频率求和便可得到平均值； （3）先计算出随机抽取六名学生时，第3组至第5组的学生人数，然后根据古典概型的计算方法求解抽出的学生中有两名视力不低于的概率. 【详解】解：（1）因为从左至右五个小组的频率之比依次是，故直方图中从左到右各组频率依次为，， ，， ，而组距为 故 （2）设该校学生视力平均值为，则 （3）由第3组至第5组的频率比为得，从第3组抽取的人数为3人，记为；从第4组抽取的人数为2人，记为；从第5组抽取的人数为1人，记为， 则从这6人中随机抽取两名学生的情况有： 共15种， 其中视力不低于0.8的有共3种， 故从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名学生，抽出的学生中有两名视力不低于0.8的概率为. 【点睛】本题考查频率分布直方图的运用及古典概型概率的计算，解答的思路如下： （1）利用频率分布直方图估计样本的平均数时，只需利用每个区间的中点值乘以本组的频率一个求和即可； （2）计算古典概型时，可采用列举法、列表法或树状图法，得出基本事件的总个数及某事件成立时所包含的基本事件个数是关键. 18. 如图所示，在三棱柱中，，且为等边三角形，是的中点，. （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直可得，再由线面垂直的判定定理可得平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面所成角正弦值. 【小问1详解】 因为为等边三角形，且是的中点， 所以，又，且，，面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 设，取的中点为，连接，得 由（1）知：平面，所以平面， 以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 得，，，，所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，，所以， 则， 所以平面与平面所成角的正弦值为， 即平面与平面所成角的正弦值为. 19. 已知函数，，其中常数，. （1）当时，是图象的一条切线，求； （2）当时，，有，求的最大值； （3），，使得，且，请判断与的大小. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解切线方程，计算得到参数的值； （2）先变形与构造函数，求的最小值，代入不等式确定的最大值； （3）先把已知条件转化为方程，消元求解的关系，构造辅助函数判断函数单调性，利用单调性比较大小； 【小问1详解】 已知函数，，当时，， 设切点为，则，由第二个式子，代入第一个式子， 再代入得到，解得 【小问2详解】 当时，，， 因为，有，两边取对数得， 整理得，设，求导， 令得（唯一极小值点）， 当时，单调递减；当时，单调递增； 因此， 代入不等式得，即， 时，不等式成立； 若，所以，不等式等价于，解得 当时， 在处，最小值，当时， 因此的最大值为. 【小问3详解】 已知，且，即， 两式相乘，两式相除， 两边取自然对数， 设，得，故 由，得， 令，求导 因为，所以，即在上单调递增； 当时，，故（但，故不能等于1） 当增大时，增大，也增大，结合，的单调性，可知 （因为时，），故 由，因为，所以，即， 再结合和的对称性，以及，推得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省九江市武宁尚美中学2025-2026年学年度上学期2月期末考高二数学试题 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点，，则（ ） A. B. C. D. 3 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 三个数成等比数列，的值为（ ） A. 2 B. 8 C. 16 D. 5. 椭圆的右焦点到直线的距离为（ ）. A. B. C. D. 6. 如图，在四面体中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“土、水”相邻的排法种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 72 D. 48 8. 已知是双曲线的左焦点，为圆上一点，直线的倾斜角是，直线与双曲线的两条渐近线交于、两点，且恰为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分. 9. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. 为递减数列 D. 10. 已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限 C. D. 11. 已知随机变量X服从正态分布，随机变量服从正态分布，，且和相应的分布密度曲线分别为，则（ ） A. B. 的对称轴在的对称轴的左边 C. D. 的最高点在的最高点的上方 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 椭圆的离心率为________________． 13. 已知有三个零点，则的范围是________________． 14. 以为一个焦点，渐近线是的双曲线方程是_____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是圆：外一点. （1）求的取值范围； （2）若是负偶数，过点作圆的切线，求切线的方程. 16. 已知圆经过点，圆心在曲线上，且直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 17. 某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，对视力情况绘制了如下频率分布直方图．如图所示．从左至右五个小组的频率之比依次是． （1）求x的值； （2）估计该校学生视力的平均值； （3）用频率估计概率，若从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名学生，求抽出的学生中有两名视力不低于的概率． 18. 如图所示，在三棱柱中，，且为等边三角形，是的中点，. （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数，，其中常数，. （1）当时，是图象的一条切线，求； （2）当时，，有，求的最大值； （3），，使得，且，请判断与的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $