第11讲 复数的几何意义（1大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）（寒假衔接课堂）-2026年高一数学寒假衔接讲义（人教A版必修第二册）

第11讲 复数的几何意义（1大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 复数的坐标表示 典型例题二 在各象限内点对应复数的特征 典型例题三 判断复数对应的点所在的象限 典型例题四 根据复数的坐标写出对应的复数 典型例题五 根据复数对应坐标的特点求参数 典型例题六 求复数的模 典型例题七 由复数模求参数 典型例题八 与复数模相关的轨迹(图形)问题 知识点一：复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 【即时训练】 1．（2025·河南安阳·一模）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）在复平面内，复数所对应的点分别为A，B，C，四边形为平行四边形，则点对应的复数为 . 【典型例题一 复数的坐标表示】 1．（24-25高一下·上海·期中）在复平面上，轴与轴的交点为点，设复数和复数在复平面对应点和，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一·上海·课堂例题）设复数、、在复平面上所对应的点分别为A、B、C，求的面积． 1．（24-25高一下·云南昭通·月考）在复平面内，正方形OABC（为原点）中若对应的复数为，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东枣庄·期末）若复数在复平面内对应的点在同一个圆上，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）若复数与在复平面上分别对应于点与点，则与一定关于 对称． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，以定长线段为一边任作，分别以为腰，为直角顶点向外作等腰直角、等腰直角．求证：的中点为定点． 【典型例题二 在各象限内点对应复数的特征】 1．（24-25高三下·贵州黔东南·月考）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河北邯郸·期中）已知复数，． (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 1．（2025·全国·模拟预测）已知是虚数单位，复数的共轭复数在复平面中对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高三上·重庆沙坪坝·月考）在复平面内，若复数对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东临沂·期中）若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ． 4．（24-25高一下·河南濮阳·月考）已知复数在复平面内对应的点位于第三象限，，且的虚部是实部的2倍. (1)求； (2)若复数使得为纯虚数，则在复平面内对应的点的集合是什么图形？ 【典型例题三 判断复数对应的点所在的象限】 1．（24-25高一下·上海徐汇·期末）复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 2．（24-25高一下·山西阳泉·期中）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 2．（2025·安徽马鞍山·一模）已知i为虚数单位，m∈R，若复数（2-i）（m+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则复数的虚部为（　　） A．1 B．i C． D． 3．（24-25高二下·上海·课后作业）已知复数所对应的向量为，把依逆时针旋转得到一个新向量为．若对应一个纯虚数，当取最小正角时，这个纯虚数是 ． 4．（24-25高二上·广东东莞·月考）已知复数在复平面上对应的点为Z， (1)求点Z在实轴上时，实数m的取值； (2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值； (3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围. 【典型例题四 根据复数的坐标写出对应的复数】 1．（24-25高一下·江西上饶·期末）若，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高一·全国·课后作业）证明：对一切实数，复数所对应的点不可能位于第四象限. 1．（24-25高一下·全国·单元测试）欧拉公式（i为虚数单位）将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．当时， .根据欧拉公式可知，对应的点在复平面内位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高三上·全国·月考）已知为实数，当变化时，在复平面内对应的点不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高一·全国·随堂练习）当时，复数在复平面内的对应点位于第 象限． 4．（24-25高一下·山西太原·期中）已知复数，且为纯虚数. (1)求实数的值； (2)设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 【典型例题五 根据复数对应坐标的特点求参数】 1．（24-25高一下·湖南永州·期中）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i．求： (1)对应的复数； (2)对应的复数； (3)对应的复数及的长度． 1．（2025·江西南昌·三模）已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2．（2025·甘肃·一模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 3．（24-25高一下·青海西宁·期中）若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ． 4．（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知复数（其中是虚数单位，）. (1)若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【典型例题六 求复数的模】 1．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知复数满足，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）设复数，m为实数. (1)当m为何值时，z是纯虚数； (2)若，求的值； 1．（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25高一下·山东临沂·期中）著名数学家棣莫弗出生于法国，他提出了公式，其中.设复数，若正整数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知复数，则复数的模 . 4．（24-25高一下·全国·单元测试）已知复数，且为常数，试求的最小值的表达式． 【典型例题七 由复数模求参数】 1．（2025·河南鹤壁·二模）已知复数，，则实数a的值为（     ） A．-4 B．2 C．3 D．-4或2 2．（24-25高一下·福建漳州·期中）已知复数满足，的实部大于，的虚部为，的共轭复数为. （1）求复数； （2）设复数，，在复平面上对应的点分别为，，，求的值. 1．（25-26高三上·广东·月考）已知复数，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北·月考）已知复数z的实部和虚部均为自然数，在复平面内z对应的点为Z，那么满足的点Z的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2025·全国·模拟预测）请写出一个同时满足①；②的复数z，z= ． 4．（24-25高一下·海南海口·期中）已知复数. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【典型例题八 与复数模相关的轨迹(图形)问题】 1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知复数满足，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，指出下列等式所表示的几何图形． (1)； (2)． 1．（25-26高三上·江西吉安·月考）已知复数满足，则不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 3．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知复数z满足，则的最大值是 . 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知复数满足，求的最小值． 1．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（2024·宁夏·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024·青海·一模）已知复数，且，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则（    ） A． B． C．2 D． 4．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知复数z满足，则（   ） A．2 B． C．1 D． 5．（24-25高一下·山东青岛·期末）在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数（    ）． A． B． C．或2 D．或2 6．（24-25高一下·江苏苏州·期末）在复平面内，已知复数和对应的向量分别是和（其中是坐标原点，i为虚数单位），向量对应的复数是，若复数满足，则的可能取值有（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（24-25高一下·全国·单元测试）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 8．（24-25高一下·青海海南·期末）已知复数，则下列结论正确的是（   ） A．的实部是 B．的虚部为 C． D．在复平面内所对应的点位于第四象限 9．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知复数z，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的虚部为1 D．若，则 10．（2024高一下·全国·专题练习）(多选)已知复数的模等于2，则实数m的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2025高三·全国·专题练习）若，则复数在复平面内的点的集合组成的图形是 ． 12．（24-25高一下·全国·课后作业）设复数满足，则 ，在复平面内对应的点位于第 象限． 13．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 ． 14．（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则 ． 15．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的最小值是 . 16．（24-25高一·全国·课后作业）在复平面上，作出表示下列复数的向量： ，，，． 17．（24-25高一下·陕西咸阳·月考）已知是虚数单位，复数，. (1)当复数z为纯虚数时，求m的值； (2)当复数z在复平面内对应的点在第三象限时，求m的取值范围. 18．（24-25高一上·上海·课后作业）求实数m取何值时，复数所对应的点Z分别满足下列条件： (1)点Z在虚轴上； (2)点Z在第四象限. 19．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知，且为纯虚数，其中是虚数单位． (1)若，求复数； (2)若在复平面内对应的点在第三象限，求复数的实部的取值范围． 20．（24-25高一上·上海·随堂练习）在复平面内画出符合条件且的复数之对应的点Z的图形. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 复数的几何意义（1大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 复数的坐标表示 典型例题二 在各象限内点对应复数的特征 典型例题三 判断复数对应的点所在的象限 典型例题四 根据复数的坐标写出对应的复数 典型例题五 根据复数对应坐标的特点求参数 典型例题六 求复数的模 典型例题七 由复数模求参数 典型例题八 与复数模相关的轨迹(图形)问题 知识点一：复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 【即时训练】 1．（2025·河南安阳·一模）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义判断在复平面内，复数所对应的点是半径为2的圆，进而求出其周长. 【详解】设， 由，则， 则在复平面内，复数所对应的点组成的图形为以为圆心，为半径的圆， 故复数所对应的点组成的图形的周长为. 故选：D. 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）在复平面内，复数所对应的点分别为A，B，C，四边形为平行四边形，则点对应的复数为 . 【答案】 【分析】根据复数的几何意义可得，设，由运算求得点的坐标，得解. 【详解】根据题意，，设， 由，则，解得， 所以点的坐标为，其对应的复数为. 故答案为：. 【典型例题一 复数的坐标表示】 1．（24-25高一下·上海·期中）在复平面上，轴与轴的交点为点，设复数和复数在复平面对应点和，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再判断三角形形状并求出面积. 【详解】依题意，，，而， 则，是等腰直角三角形，面积为. 故选：C 2．（24-25高一·上海·课堂例题）设复数、、在复平面上所对应的点分别为A、B、C，求的面积． 【答案】5 【分析】根据复数的几何意义确定的坐标，即可判断三角形形状，从而可求得答案. 【详解】由题意知， 故, ， 则，即为直角三角形， 故的面积为. 1．（24-25高一下·云南昭通·月考）在复平面内，正方形OABC（为原点）中若对应的复数为，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义得出向量的坐标，由此可得出向量的坐标，进而可得对应的复数. 【详解】正方形，且对应的复数为， 则对应的复数为， 故选：C. 2．（24-25高一下·山东枣庄·期末）若复数在复平面内对应的点在同一个圆上，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复平面内各点的坐标，结合圆方程的几何求法求解圆心，再根据半径列式求解即可 【详解】由题意，在复平面内对应的点分别为，由圆的性质可得，圆心在的中垂线上，设，则，故，解得，故，圆的半径，故，故正实数的值为 故选：D 3．（2025高三·全国·专题练习）若复数与在复平面上分别对应于点与点，则与一定关于 对称． 【答案】直线 【分析】根据复数的几何意义，求出，，进而得到答案. 【详解】复数对应的坐标，复数对应的坐标， 因为与横纵坐标互换，所以关于直线对称， 故答案为：直线. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，以定长线段为一边任作，分别以为腰，为直角顶点向外作等腰直角、等腰直角．求证：的中点为定点． 【答案】证明见解析 【分析】以BC中点为原点，为轴，建立直角坐标系，设，点对应的复数为，用表示出中点坐标即可 【详解】设，以中点为原点，为轴，建立直角坐标系，确定复平面， 则对应的复数为，点对应的复数为，， 由复数乘法的几何意义得：，① ．② 由①＋②得． 设的中点为，对应的复数，为定值，所以的中点为定点． 【典型例题二 在各象限内点对应复数的特征】 1．（24-25高三下·贵州黔东南·月考）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的几何意义计算即可. 【详解】由题意可得. 故选：C 2．（24-25高一下·河北邯郸·期中）已知复数，． (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由纯虚数定义直接求得； （2）由在复平面内对应的点在第四象限建立不等式组即可求得． 【详解】（1）是纯虚数， ， ． （2）在复平面内对应的点为,，在第四象限， ， ． 即的取值范围为． 1．（2025·全国·模拟预测）已知是虚数单位，复数的共轭复数在复平面中对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】化简复数，求出共轭复数，即可得到答案； 【详解】， ， 对应的点位于第一象限， 故选：A 2．（24-25高三上·重庆沙坪坝·月考）在复平面内，若复数对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据复数的几何意义，对应点的横坐标为负，纵坐标为正列出不等式，解出即可. 【详解】在复平面内对应的点在第二象限， 可得解得， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，属于基础题. 3．（24-25高一下·山东临沂·期中）若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据对应的点在第三象限，则实部虚部均小于列不等式即可求解. 【详解】由题意得，解得， 故答案为： 4．（24-25高一下·河南濮阳·月考）已知复数在复平面内对应的点位于第三象限，，且的虚部是实部的2倍. (1)求； (2)若复数使得为纯虚数，则在复平面内对应的点的集合是什么图形？ 【答案】(1) (2)直线去掉点 【分析】（1）利用已知条件，设出复数，通过模长公式及所对点所在位置求出即可复数； （2）把（1）中所求复数代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的几何意义得出在复平面内对应的点的集合构成图形即可. 【详解】（1）因为的虚部是实部的2倍， 所以设， 又，即， 所以， 因为复数在复平面内对应的点位于第三象限， 所以，即， 所以； （2）设复数， 因为为纯虚数， 所以， 当时，解得， 所以等价于且， 所以复数在复平面内的图象为去掉一个点的直线. 【典型例题三 判断复数对应的点所在的象限】 1．（24-25高一下·上海徐汇·期末）复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 【答案】D 【分析】根据向量的坐标写出对应复数，然后判断即可. 【详解】由题意可设， 所以对应复数为，此复数为纯虚数， 故选：D. 2．（24-25高一下·山西阳泉·期中）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）复数表示实数，只须，求解即可； （2）复数对应的点在第一象限，只须，解不等式组即可. 【详解】（1）由，可得，解得或； （2）由对应的点在第一象限，可得， 解得且， 所以的取值范围为. 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，构造方程得解. 【详解】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 2．（2025·安徽马鞍山·一模）已知i为虚数单位，m∈R，若复数（2-i）（m+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则复数的虚部为（　　） A．1 B．i C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算以及复数的几何意义，求出m的值结合复数虚部的定义进行求解即可． 【详解】（2-i）（m+i）=2m+1+（2-m）i， 若复数在复平面内对应的点位于实轴上， 则2-m=0得m=2， 复数， 即复数的虚部是1， 故选A． 【点睛】本题主要考查复数的计算，结合复数的几何意义是解决本题的关键． 3．（24-25高二下·上海·课后作业）已知复数所对应的向量为，把依逆时针旋转得到一个新向量为．若对应一个纯虚数，当取最小正角时，这个纯虚数是 ． 【答案】 【分析】确定复数对应点在第一象限，旋转后在轴的正半轴上，计算复数模得到答案. 【详解】，对应的点为在第一象限， 逆时针旋转最小正角时，对应的点在轴的正半轴上，，故纯虚数为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了复数对应的点，复数的旋转，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 4．（24-25高二上·广东东莞·月考）已知复数在复平面上对应的点为Z， (1)求点Z在实轴上时，实数m的取值； (2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值； (3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或； (3)或. 【分析】（1）由实轴上点对应的复数虚部为0求解； （2）由虚轴上的点对应的实部为0求解； （3）根据第一象限中点的坐标对应实部、虚部正负列不等式组求解. 【详解】（1）因为点Z在实轴上，所以虚部， 解得或. （2）点Z在虚轴上时,复数的实部为0， 所以，解得或. （3）点Z在第一象限，复数的实部与虚部都大于0， 即，解得或. 【典型例题四 根据复数的坐标写出对应的复数】 1．（24-25高一下·江西上饶·期末）若，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的意义可得出复数在复平面内对应的点坐标. 【详解】由题意可知，复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C 2．（24-25高一·全国·课后作业）证明：对一切实数，复数所对应的点不可能位于第四象限. 【答案】证明见解析 【分析】首先表示出复数所对应的点的坐标，假设位于第四象限，则，解不等式组，得到不等式组无解，即可得证； 【详解】证明：因为为实数，则复数在复平面内所对应的点的坐标为，假设其位于第四象限，则， 解，即，解得或 解，即，解得， 显然此不等式组无解，因此对一切实数，该复数所对应的点不可能位于第四象限； 1．（24-25高一下·全国·单元测试）欧拉公式（i为虚数单位）将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．当时， .根据欧拉公式可知，对应的点在复平面内位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据题意带入然后分析实部虚部的正负，判断所在象限即可； 【详解】解析：因为，所以 ，所以， 故对应的点在复平面中位于第三象限． 故选：C. 2．（24-25高三上·全国·月考）已知为实数，当变化时，在复平面内对应的点不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由题知复数对应的点坐标为，在直线上，根据直线不过第四象限即可得答案. 【详解】设， 又，所以，，得， 所以复数在复平面内对应的点在直线上． 又直线不经过第四象限， 所以复数对应的点不可能在第四象限． 故选：D 【点睛】本题考查复数的几何意义，是基础题.解题的关键在于根据复数对应的点坐标为得其在直线上，进而求解. 3．（24-25高一·全国·随堂练习）当时，复数在复平面内的对应点位于第 象限． 【答案】四 【分析】根据复数对应的点的坐标的符号，即可求解. 【详解】由复数在复平面内对应的点， 因为，可得， 所以点位于第四象限. 故答案为：四. 4．（24-25高一下·山西太原·期中）已知复数，且为纯虚数. (1)求实数的值； (2)设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得的共轭复数，代入中，化简求得对应的实部与虚部，再由纯虚数的定义即可求得实数的值； （2）将代入中化简，求得复数的标准形式，及对应的点，再由第二象限点的特点，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为， ， 又为纯虚数， ， 解得. （2）， 因为复数所对应的点在第二象限， 所以， 解得， 所以的取值范围是. 【典型例题五 根据复数对应坐标的特点求参数】 1．（24-25高一下·湖南永州·期中）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义及对称性求解即可. 【详解】由题意知对应的点为， 对应的点为，． 故选：C. 2．（2025高一·全国·专题练习）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i．求： (1)对应的复数； (2)对应的复数； (3)对应的复数及的长度． 【答案】(1)－3－2i (2)5－2i (3) 【分析】（1）根据平面向量坐标表示公式，结合复数在复平面的特征进行求解即可； （2）根据平面向量减法的运算性质，结合复数在复平面的特征进行求解即可； （3）根据平面加法的运算性质，结合平行四边形的性质、平面向量模的公式、复数在复平面的特征进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以对应的复数为32i. （2）因为， 所以对应的复数为(3＋2i) (2＋4i)＝52i. （3）因为， 所以对应的复数为(3＋2i)＋(2＋4i)＝1＋6i. 所以 1．（2025·江西南昌·三模）已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在复平面内对应的点在第二象限，列出不等式，求解即可得到结果. 【详解】因为在复平面内对应的点在第二象限， 所以，解得 故选:D. 2．（2025·甘肃·一模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义，结合题意，列出不等式，求解即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，若其在第二象限， 则，解得. 故选：C. 3．（24-25高一下·青海西宁·期中）若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据对应的点在第三象限，则实部虚部均小于列不等式即可求解. 【详解】由题意得，解得， 则实数的取值范围为 故答案为：. 4．（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知复数（其中是虚数单位，）. (1)若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，解之即可得解； （2）根据，可得，消去，再结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上， 则，解得； （2）若， 则， 由②得③， 将①③相加得， 故， 因为， 则当时，，当时，， 所以的取值范围为. 【典型例题六 求复数的模】 1．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知复数满足，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据模长的性质即可求解. 【详解】由于，故， 故选：C 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）设复数，m为实数. (1)当m为何值时，z是纯虚数； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义，实部为且虚部不为来确定的值； （2）先将代入，再根据复数模的计算公式求出. 【详解】（1）已知是纯虚数，根据纯虚数的定义可得. 解方程，得或. 解不等式，得且. 综合以上两个条件，可得. （2）将代入，可得： . 根据复数模的计算公式可得：. 1．（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】首先根据复平面内关于实轴对称的点的坐标特征求出复数，然后再根据复数模的计算公式求出. 【详解】，其在复平面内对应的点为. 因为复数与复数对应的点关于实轴对称，在平面直角坐标系中，关于实轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数.所以对应的点为，那么复数. 由，其中，，将其代入模的计算公式可得： . 故选：B. 2．（24-25高一下·山东临沂·期中）著名数学家棣莫弗出生于法国，他提出了公式，其中.设复数，若正整数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题设定义得，进而可得，结合条件，即可求解. 【详解】因为，则， 又，所以， 由，得到，又，且， 则，所以， 故选：D. 3．（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知复数，则复数的模 . 【答案】 【分析】直接根据复数模的计算公式求解. 【详解】， 故答案为：. 4．（24-25高一下·全国·单元测试）已知复数，且为常数，试求的最小值的表达式． 【答案】 【分析】 求得，再令令，结合二次函数的性质窃诘即可，注意的范围. 【详解】 ， 令，则， 因为，当且仅当，即时，取等号， 故， 所以， 当，即时，， 所以， 当，即时，， 所以， 综上所述：. 【典型例题七 由复数模求参数】 1．（2025·河南鹤壁·二模）已知复数，，则实数a的值为（     ） A．-4 B．2 C．3 D．-4或2 【答案】D 【分析】利用复数的运算即可求得结果. 【详解】，或. 故选：D. 2．（24-25高一下·福建漳州·期中）已知复数满足，的实部大于，的虚部为，的共轭复数为. （1）求复数； （2）设复数，，在复平面上对应的点分别为，，，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设，根据复数的运算结合复数的概念列出方程组，求出复数； （2）由得出，，的坐标，再由向量的坐标运算得出答案. 【详解】（1）设，则 由题意知，解得 即 （2）由（1）可知，则 ， 即 1．（25-26高三上·广东·月考）已知复数，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的模计算公式解得答案. 【详解】因为，所以，化简得， 解得. 故选：B. 2．（24-25高一下·湖北·月考）已知复数z的实部和虚部均为自然数，在复平面内z对应的点为Z，那么满足的点Z的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设，得到，再依次列举得到答案. 【详解】设，，，即， 当时，或； 当时，； 当时，，或； 当时，. 综上所述：共有个点满足条件. 故选：C 3．（2025·全国·模拟预测）请写出一个同时满足①；②的复数z，z= ． 【答案】 【分析】设，根据模长公式得出，进而得出. 【详解】设，由条件①可以得到，两边平方化简可得，故，； 故答案为： 4．（24-25高一下·海南海口·期中）已知复数. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数模长的计算可得； （2）由复数相等列出方程，得到的表达式，结合换元法，由二次函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）若，则，即， 解得. （2）由两个复数相等可得， 即， 化简可得，其中， 当时，取得最小值，， 当时，取得最大值，， 所以的取值范围是. 【典型例题八 与复数模相关的轨迹(图形)问题】 1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知复数满足，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据模长关系求出复数在复平面内对应点的轨迹，根据轨迹判断复数模长的最大值，求出结果. 【详解】设，则， 可得，即，复数在复平面内对应点在以为圆心，以1为半径的圆上， 由可知圆上的点到原点最长距离，是当时的距离，此时. 故选：D. 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，指出下列等式所表示的几何图形． (1)； (2)． 【答案】(1)表示以对应的点为圆心，1为半径的圆． (2)表示以点，为端点的线段的垂直平分线． 【分析】根据复数模的几何意义，即可求解. 【详解】（1）， 则复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆； （2）的几何意义表示以复数对应的点与之间的距离， 的几何意义表示以复数对应的点与之间的距离， 所以表示以点，为端点的线段的垂直平分线． 1．（25-26高三上·江西吉安·月考）已知复数满足，则不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据复数模的几何意义求解判断. 【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 故的范围为. 故选：D. 2．（2025·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据复数模的几何意义，利用点与圆上点的距离的最大值去求的最大值即可. 【详解】表示以为圆心，为半径的圆， 则圆心C到点的距离， 则的最大值为. 故选：A 3．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知复数z满足，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据复数模的几何意义，将问题化为求点与点的距离，即可得. 【详解】由的几何意义知，对应点在以点与点为端点的线段上， 由的几何意义知，对应点到点的距离， 所以所求最大值为点与点的距离，由勾股定理得. 故答案为： 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知复数满足，求的最小值． 【答案】最小值为4． 【分析】方法一，设复数的代数形式，利用模的代数运算公式，利用的取值范围，求模的最小值； 方法二，利用复数模的几何意义，转化为圆外的点与圆上点的距离问题. 【详解】方法一  设，则， 即．． ． 由，得． ，． ． 当时，取得最小值，最小值为4． 方法二  由复数及其模的几何意义知， 满足，即的复数所对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 而的几何意义是：复数对应的点与点的距离． 由圆的知识可知的最小值为． 又，所以的最小值为． 1．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直接利用复数模的几何意义求出点的轨迹．然后作图求解即可． 【详解】设在复平面内对应的点分别为， 因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示. 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1. 故选：A. 2．（2024·宁夏·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解． 【详解】令， 因为，所以， 即点在以为圆心，1为半径的圆上，该圆在第四象限内， 所以在复平面内对应的点位于第四象限， 故选：D 3．（2024·青海·一模）已知复数，且，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先根据求出或，再结合z在复平面内对应的点位于第二象限排除即可. 【详解】由题意，得，得或， 因z在复平面内对应的点位于第二象限，所以，故，故， 故选：A 4．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知复数z满足，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用求根公式和复数模的公式求解可得. 【详解】由求根公式可得，所以. 故选：B 5．（24-25高一下·山东青岛·期末）在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数（    ）． A． B． C．或2 D．或2 【答案】D 【分析】由题意得点，，，在以原点为圆心、半径为的圆上，进一步列方程即可求解. 【详解】在复平面内与题中所给四个复数对应的点依次为， 得到对应的以原点为始点的向量依次为， 则， 可得，同理可得， 因为复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上， 所以这些点都在以原点为圆心、半径为的圆上， 所以，解得. 故选：D. 6．（24-25高一下·江苏苏州·期末）在复平面内，已知复数和对应的向量分别是和（其中是坐标原点，i为虚数单位），向量对应的复数是，若复数满足，则的可能取值有（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】BC 【分析】利用复数的坐标表示结合复数不等式计算可得. 【详解】由题意可得， 所以复数在复平面内对应点的坐标为，而， 所以. 故选：BC. 7．（24-25高一下·全国·单元测试）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】AB 【分析】先把复数整理成，根据复数对应的点位于第二象限列式，求出实数的取值范围，再逐一验证即可. 【详解】整理得，对应的点位于第二象限， 则，解得． 故选：AB 8．（24-25高一下·青海海南·期末）已知复数，则下列结论正确的是（   ） A．的实部是 B．的虚部为 C． D．在复平面内所对应的点位于第四象限 【答案】BD 【分析】复数的乘法运算可得，从而可求其实部与虚部，可对A、B判断；可求其模对C判断；利用复数的几何意义可对D判断； 【详解】由题意可得， A、B：的实部为7，虚部为，故A错误、B正确； C：，故C错误； D：在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限，故D正确. 故选：BD. 9．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知复数z，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的虚部为1 D．若，则 【答案】BCD 【分析】举例说明判断A；求出模判断B；求出虚部判断C；利用复数的几何意义判断D. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，设，由，得，的虚部为1，C正确； 对于D，表示复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 是点与点的距离，而，所以，即，D正确. 故选：BCD 10．（2024高一下·全国·专题练习）(多选)已知复数的模等于2，则实数m的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AC 【分析】运用复数的模长公式直接求解 【详解】依题意可得， 解得m＝1或m＝3. 故选：AC 11．（2025高三·全国·专题练习）若，则复数在复平面内的点的集合组成的图形是 ． 【答案】直线 【分析】在复平面对应的点为，结合横纵坐标相等，得到复数在复平面内的点的集合组成的图形是直线. 【详解】因为，在复平面对应的点为, 因为点横纵坐标相等，所以复数在复平面内的点的集合组成的图形是直线， 故答案为：直线 12．（24-25高一下·全国·课后作业）设复数满足，则 ，在复平面内对应的点位于第 象限． 【答案】 一 【分析】设出复数的代数形式，利用复数相等建立方程求得，进而求出其所在象限. 【详解】设，则，依题意，， 因此，解得， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 故答案为：；一 13．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义求解复数的模长. 【详解】因为复数对应的点的坐标是， 所以 故答案为：． 14．（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则 ． 【答案】或 【分析】首先设复数，再代入复数模的运算公式，即可求解. 【详解】设，，则，， 即，则，得， 即，解得：或， 所以或. 故答案为：0或 15．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】根据复数模的几何意义，数形结合，可求解. 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆. 表示点到点的距离. 如图：    可知当共线，且在之间时，取得最小值，为. 故答案为： 16．（24-25高一·全国·课后作业）在复平面上，作出表示下列复数的向量： ，，，． 【答案】见解析 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】，，，对应复平面的坐标分别为，其表示的复数的向量分别为：，如下图所示： 17．（24-25高一下·陕西咸阳·月考）已知是虚数单位，复数，. (1)当复数z为纯虚数时，求m的值； (2)当复数z在复平面内对应的点在第三象限时，求m的取值范围. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据复数为纯虚数的概念列方程求解即可； （2）根据复数的几何意义列不等式组求解即可. 【详解】（1）当z为纯虚数时，有，解得. （2）当z在复平面内对应的点在第三象限时， 有，解得， 所以m的取值范围为. 18．（24-25高一上·上海·课后作业）求实数m取何值时，复数所对应的点Z分别满足下列条件： (1)点Z在虚轴上； (2)点Z在第四象限. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）利用虚轴上点的性质建立方程，求解参数即可. （2）利用第四象限上点的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】（1）根据题意得，解得或. （2）根据题意得，解得或， 所以实数的取值范围是. 19．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知，且为纯虚数，其中是虚数单位． (1)若，求复数； (2)若在复平面内对应的点在第三象限，求复数的实部的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设，先根据题目条件找出的关系，然后根据列方程求解； （2）先化简复数的形式，然后根据复数的几何意义求解. 【详解】（1）设，则， 由为纯虚数知，，则且，故． 由得，则，故复数或 （2）， 由在复平面内对应的点在第三象限知，解得，又， 故复数的实部的取值范围为． 20．（24-25高一上·上海·随堂练习）在复平面内画出符合条件且的复数之对应的点Z的图形. 【答案】答案见解析 【分析】设，根据模长公式结合圆的性质、的范围，确定点Z的图形. 【详解】设，则， 由题意可知，，即①， 其表示以原点O为圆心，以2和4为半径的两圆所夹的圆环，不包括边界. 因为，所以或② 由①②可知，阴影部分即为所求，如图所示： 学科网（北京）股份有限公司 $