第02讲 向量的加减法、数乘运算（3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）讲义-（寒假衔接课堂）2026年高一数学寒假衔接（人教A版必修第二册）

第02讲 向量的加减法、数乘运算 （3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 向量加法的法则 典型例题二 向量加法的运算律 典型例题三 向量加法法则的几何应用 典型例题四 相反向量 典型例题五 向量减法的法则 典型例题六 向量减法的运算律 典型例题七 向量减法法则的几何应用 典型例题八 向量数乘的有关计算 典型例题九 平面向量的混合运算 典型例题十 向量的线性运算的几何应用 典型例题十一 三角形的心的向量表示 知识点一：向量的加法运算 1、定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2、三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量， 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 3、平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O， 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝. 【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； （2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 4、向量加法的运算律 结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 【即时训练】 1．（24-25高一下·四川眉山·期中）已知平面四边形ABCD，则＋＋＝（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正六边形中，若，则 . 知识点二：向量的减法运算 1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. （1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； （2）－(－a)＝a； （3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； （4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． 2、向量的减法 （1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （2）几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． 【即时训练】 1．（24-25高一下·广东东莞·月考）已知向量满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·课后作业）在正六边形ABCDEF中，，，则 ．（结果用，表示） 知识点三：向量的数乘运算 1、定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. 3、线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 【即时训练】 1．（24-25高一下·重庆·月考）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则（   ） A． B． C．1 D． 2．（25-26高三上·广西南宁·月考）已知非零向量，满足，则 ． 【典型例题一 向量加法的法则】 1．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知在三角形中，，，用，表示向量（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东湛江·月考）化简： (1) (2) 1．（24-25高一上·北京西城·期末）如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东·期中）（    ） A．0 B． C． D． 3．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知为的边的中点，在所在的平面内有一点，满足，则下列命题正确的有 ． ①； ②是的重心； ③和的面积满足； ④是的内部. 4．（24-25高一下·吉林延边·期中）如图所示，在中，与相交于点. (1)用和分别表示和； (2)若，求实数和的值. 【典型例题二 向量加法的运算律】 1．（2024高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 2．（24-25高一下·全国·课后作业）化简或计算： (1)； (2)． 1．（2024·陕西宝鸡·三模）如图，向量（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一·全国·课后作业）若非零向量满足，则(    ) A． B． C． D． 3．（24-25高一·全国·课后作业）已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是 .(填序号) 4．（2025高一·全国·专题练习）化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋. 【典型例题三 向量加法法则的几何应用】 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）航天器的轨道校准任务中，在二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移（单位：千米）：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25高一下·全国·课后作业）（1）如图①，用向量加法的三角形法则作出； （2）如图②，用向量加法的平行四边形法则作出． 1．（2025高三下·全国·专题练习）若非零不共线的向量满足，则（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东广州·月考）点P在内部，满足，则为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则 ． 4．（24-25高一·上海·课堂例题）设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典型例题四 相反向量】 1．（24-25高一下·上海·单元测试）若是的负向量，则下列说法中错误的是（    ） A．与的长度必相等； B．； C．与一定不相等； D．是的负向量． 2．（24-25高一·湖南·课后作业）在等边中，P，Q，R分别是AB，BC，CA的中点，在向量，，，，，中，与相等的向量有哪些？的相反向量有哪些？ 1．（2025高三·全国·专题练习）非零向量与是相反向量，下列不正确的是（    ） A． B． C． D．方向相反 2．（24-25高一·全国·课后作业）若非零向量是相反向量,则下列说法不正确的是    (　　) A． B． C． D．共线 3．（24-25高一下·北京西城·期末）在直角中，斜边，则 . 4．（24-25高一·全国·课后作业）P、Q是ΔABC的边BC上的两点，且BP=QC，求证： 【典型例题五 向量减法的法则】 1．（2025高三·全国·专题练习）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知，分别求作． 1．（24-25高三·重庆·月考）已知O为四边形所在平面内的一点，且向量，，，满足等式，若点E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一·全国·单元测试）如图，等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一·上海·课堂例题）在中，化简： （1） ；     （2） ． 4．（2024高一·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； (6)． 【典型例题六 向量减法的运算律】 1．（24-25高一下·四川成都·期中）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）设是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 1．（24-25高一下·浙江·月考）在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知，则=（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一·全国·课后作业）在三角形ABC中，若，且，则 4．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，． (1)试用，表示向量，． (2)试用，表示向量． 【典型例题七 向量减法法则的几何应用】 1．（24-25高三下·福建宁德·开学考试）在平行四边形中，为线段的中点，且，则（    ） A．为线段的中点 B．为线段的中点 C．为线段的中点 D．为线段的中点 2．（2024高一·江苏·专题练习）已知，，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 1．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知平面向量，的夹角为（为常数），，，的最小值为3，则（   ） A． B．或 C． D．或 2．（24-25高一下·江苏盐城·期中）若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·上海金山·二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为 ． 4．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，求： (1)； (2)． 【典型例题八 向量数乘的有关计算】 1．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）在中，点满足，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一·全国·课后作业）化简下列各式： (1)3； (2)； (3)2． 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若向量，，则下列向量中与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·课后作业）设是非零向量，是非零实数，则下列结论中正确的是（    ） A．的方向的方向相反 B． C．与方向相同 D． 3．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知点在直线上，且，设，则实数 ． 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知凸六边形的6个顶点是和的各边的交点，且.求证：.    【典型例题九 平面向量的混合运算】 1．（25-26高二上·安徽·月考）在中，点在上，满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东东莞·月考）（1）化简； （2）若，求向量. 1．（2025高三上·河南·专题练习）已知在中，，，为线段的中点，点在线段上，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·三模）已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中点为E，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·甘肃·期中）已知向量，满足，，则的最大值为 ，最小值为 4．（2025高一·全国·竞赛）如图，在中，，点是上一点，且满足：，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点．若，，求的值． 【典型例题十 向量的线性运算的几何应用】 1．（25-26高一上·北京延庆·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ）．    A． B． C． D． 2．（24-25高一·全国·课堂例题）设A，B，C三点不共线，将下列几何语言用向量语言来描述： (1)四边形ABCD是梯形，其中AB，DC是梯形的两底； (2)M是BC的中点； (3)N在线段AM上，且； (4)P在MA的延长线上． 1．（25-26高三上·北京顺义·月考）设是所在平面内的一点，满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2025高一·全国·专题练习）若为内一点，且，则的形状为（    ）． A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（2025高一·全国·专题练习）已知对边不平行的四边形，点分别在线段上，且，则 ． 4．（24-25高一·全国·随堂练习）作图验证： (1)； (2)． 【典型例题十一 三角形的心的向量表示】 1．（24-25高一下·安徽合肥·月考）点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 2．（24-25高一·全国·课堂例题）如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．    (1)试用，表示． (2)试用，，表示． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．（2024高三·全国·专题练习）设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 3．（2025高三·全国·专题练习）在中，I为的内心，若，则 . 4．（24-25高一·全国·课后作业）已知平面上一定点O，不共线的三点A，B，C，动点P满足，，求证：P的轨迹一定通过的内心. 1．（2024·河北·模拟预测）在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知平面向量．如果向量满足，且逆时针旋转后与同向，其中，则（    ）． A． B． C． D． 3．（2025·广东·高考真题）如图所示，已知在中，是边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广西柳州·期中）四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 5．（24-25高一上·辽宁大连·期末）如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列结论中不正确的是（    ） A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与，之一的方向相同 B．在中，必有 C．若，则A，B，C为一个三角形的三个顶点 D．若，均为非零向量，则的长度与的长度加的长度的和一定相等 8．（24-25高一下·江西吉安·期中）下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·江苏连云港·月考）对于菱形，给出下列各式，其中正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若是的中点，则 C．若是的中点，则 D．若，则 11．（24-25高一下·四川成都·月考）已知向量满足，，则的取值范围是 12．（24-25高一下·全国·课后作业）已知非零向量满足，且，则 . 13．（2024高三·江苏·专题练习）的外心满足，，则的面积为 ． 14．（24-25高一下·黑龙江大庆·月考）在中，点满足，若对任意，均有，则的最小值是 . 15．（2025高一·全国·专题练习）（1）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的 （填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． （2）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的 ．（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” 16．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知电线AO与天花板的夹角为，电线AO所受拉力，绳BO与墙壁垂直，所受拉力．求和的合力． 17．（25-26高一·全国·课堂例题）设是等边三角形的中心，求． 18．（25-26高一·全国·课后作业）证明：当向量，不共线时， (1)； (2)． 19．（25-26高一·全国·课后作业）如图，点P，Q三等分线段AB时，有．如果点，，…，是AB的等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论． 20．（2025高一·全国·专题练习）根据下列各小题的条件，试判断四边形的形状． (1)； (2)； (3)且． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 向量的加减法、数乘运算 （3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 向量加法的法则 典型例题二 向量加法的运算律 典型例题三 向量加法法则的几何应用 典型例题四 相反向量 典型例题五 向量减法的法则 典型例题六 向量减法的运算律 典型例题七 向量减法法则的几何应用 典型例题八 向量数乘的有关计算 典型例题九 平面向量的混合运算 典型例题十 向量的线性运算的几何应用 典型例题十一 三角形的心的向量表示 知识点一：向量的加法运算 1、定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2、三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量， 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 3、平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O， 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝. 【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； （2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 4、向量加法的运算律 结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 【即时训练】 1．（24-25高一下·四川眉山·期中）已知平面四边形ABCD，则＋＋＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】在平面四边形ABCD中， ＋， 所以＋＋， 故选：A 2．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正六边形中，若，则 . 【答案】 【分析】根据直角三角形中的三角函数值以及勾股定理求出，再由向量的加法原则求解即可. 【详解】如图所示，过点作的垂线，垂足为， 根据直角三角形的性质： ，， 根据勾股定理，在中，， 因此. 故答案为：. 知识点二：向量的减法运算 1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. （1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； （2）－(－a)＝a； （3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； （4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． 2、向量的减法 （1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （2）几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． 【即时训练】 1．（24-25高一下·广东东莞·月考）已知向量满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知：，结合向量减法运算分析求解. 【详解】因为， 可知，当且仅当反向时，等号成立； ，当且仅当同向时，等号成立； 所以的取值范围为. 故选：D. 2．（2025高一·全国·课后作业）在正六边形ABCDEF中，，，则 ．（结果用，表示） 【答案】/ 【分析】根据正六边形的性质，可得出，然后根据向量的减法运算的几何意义，结合图象，即可得出答案. 【详解】 如图，根据正六边形的性质可知，，且， 所以，. 故答案为：. 知识点三：向量的数乘运算 1、定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. 3、线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 【即时训练】 1．（24-25高一下·重庆·月考）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量的意义求得答案. 【详解】根据题意，平面上不共线的四点O，A，B，C，若， 则有，变形可得, 由数乘的定义，有. 故选：D. 2．（25-26高三上·广西南宁·月考）已知非零向量，满足，则 ． 【答案】/0.5 【分析】由题可得，则，共线，从而，据此可得答案. 【详解】由，得，则，共线， 因此，整理得，而，均为非零向量，所以． 故答案为： 【典型例题一 向量加法的法则】 1．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知在三角形中，，，用，表示向量（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据相反向量的性质，然后利用向量加法的三角形法则即可得到答案. 【详解】. 故选:D. 2．（24-25高一下·广东湛江·月考）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据向量的运算律计算求解即可. 【详解】（1）根据向量加法运算律得； （2）根据向量加法运算律得； 1．（24-25高一上·北京西城·期末）如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的加法法则求解. 【详解】根据平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得. 故选：B. 2．（24-25高一下·广东·期中）（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加法的三角形法则即可求解. 【详解】. 故选：B. 3．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知为的边的中点，在所在的平面内有一点，满足，则下列命题正确的有 ． ①； ②是的重心； ③和的面积满足； ④是的内部. 【答案】①③ 【分析】先由确定点P位置及四边形PBAC形状，然后可得答案. 【详解】由得：，所以P，B，A，C组成平行四边形，所以在的外部， ∵为的边的中点， ∴，和的面积满足即①正确，②错误，③正确，④错误. 故答案为：①③. 4．（24-25高一下·吉林延边·期中）如图所示，在中，与相交于点. (1)用和分别表示和； (2)若，求实数和的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由平面向量的数乘与加法，可得答案； （2）根据平面向量共线定理的推论，由（1）代入，得到方程，可得答案. 【详解】（1）由，可得. （2）（2）设，将 代入，则有， 即，解得， 故，即. 【典型例题二 向量加法的运算律】 1．（2024高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 【答案】B 【分析】根据向量加法的运算律判断即可. 【详解】对于①，，正确； 对于②，，错误； 对于③，，正确. 故选：B 2．（24-25高一下·全国·课后作业）化简或计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用向量加法的运算律计算求解； （2）应用向量加法的运算律计算求解； 【详解】（1）． （2）． 1．（2024·陕西宝鸡·三模）如图，向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可得，，然后可得答案. 【详解】由图可得， 所以 故选：D 2．（24-25高一·全国·课后作业）若非零向量满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的性质即可判断：. 【详解】因为， ∴. 因为为非零向量， 所以， . 同理知无法判断之间的大小关系. 故选：C. 3．（24-25高一·全国·课后作业）已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是 .(填序号) 【答案】①④/④① 【分析】利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为. 【详解】①; ②; ③; ④. 故答案为：①④. 4．（2025高一·全国·专题练习）化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋. 【答案】①；② ；③ 【解析】根据加法的三角形运算法则和基本规律首尾相连求解. 【详解】①＋＝+＝； ②＋＋＝＋＋＝； ③＋＋＋＋.=＋＋＋＋＝. 【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，其规律是首尾相连，同时注意加法运算结果是向量，属于中档题. 【典型例题三 向量加法法则的几何应用】 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）航天器的轨道校准任务中，在二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移（单位：千米）：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据向量平移法则可得点经三次平移后，坐标为，列出方程组求解即可. 【详解】解：因为点沿向量后，坐标为； 点沿向量平移后，坐标为； 点向量平移后，坐标为． 又因为经三次平移后，坐标为， 所以，解得. 故选：C. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）（1）如图①，用向量加法的三角形法则作出； （2）如图②，用向量加法的平行四边形法则作出． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析 【分析】（1）应用三角形法则得出； （2）应用平行四边形法则得出. 【详解】（1）在平面内任取一点，作，，再作向量，则． （2）在平面内任取一点，作，，以OA，OB为邻边作，则． 1．（2025高三下·全国·专题练习）若非零不共线的向量满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的三角形法则，构图即可判断 【详解】                   （2） 由非零向量，满足 当，不共线时, 可考虑构造等腰三角形, 如图（1）所示, , 则. 在图（1）中, , 不能比较与的大小; 在图（2）中, 由, 得, 所以 为的直角三角形. 易知, 由三角形中大角对大边, 得. 故选：C 2．（24-25高一下·广东广州·月考）点P在内部，满足，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别取、的中点、，连接，根据平面向量的线性运算确定点的位置，由此可求得的值. 【详解】分别取、的中点、，连接， 因为，，所以，， 同理可得， 因为， 所以，，所以，， 所以，点为线段上靠近点的三等分点， 故，，， 因此，. 故选：C. 3．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的三角形法则，将向量用来表示即可； 【详解】因为E为BC边上靠近点B的三等分点，所以， 所以， 所以 ，，故． 故答案为： 4．（24-25高一·上海·课堂例题）设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)向东走4 km (2)向东南走km (3)向东北走km (4)向南走3 km 【分析】由向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，根据向量的加法法则即可求解各小问. 【详解】（1） 由题意，因为向量表示“向东走2 km”， 则表示“向东走4 km”； （2）因为向量表示“向东走2 km”， 向量表示“向南走2 km”， 所以表示“向东南走km”； （3）因为向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向东北走km”； （4）因为向量表示“向南走2 km”，向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向南走3 km”. 【典型例题四 相反向量】 1．（24-25高一下·上海·单元测试）若是的负向量，则下列说法中错误的是（    ） A．与的长度必相等； B．； C．与一定不相等； D．是的负向量． 【答案】C 【分析】由相反向量的定义，模长相等，方向相反，即可依次判断． 【详解】A．与为相反向量，模长相等，方向相反，长度必相等，正确，不符合题意； B．与为相反向量，模长相等，方向相反，故，正确，不符合题意； C．当时，，此时，选项错误，符合题意； D．若是的负向量，故是的负向量，正确，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25高一·湖南·课后作业）在等边中，P，Q，R分别是AB，BC，CA的中点，在向量，，，，，中，与相等的向量有哪些？的相反向量有哪些？ 【答案】详见解析. 【分析】利用相等向量和相反向量的定义判断. 【详解】如图所示： 因为P，Q，R分别是AB，BC，CA的中点， 所以，且， 所以在向量，，，，，中， 与相等的向量有，， 与的相反向量有，. 1．（2025高三·全国·专题练习）非零向量与是相反向量，下列不正确的是（    ） A． B． C． D．方向相反 【答案】A 【分析】根据相反向量的定义，即可判断选项. 【详解】非零向量与是相反向量，则有，即，，且方向相反． 故选：A 2．（24-25高一·全国·课后作业）若非零向量是相反向量,则下列说法不正确的是    (　　) A． B． C． D．共线 【答案】C 【分析】根据相反向量的概念即可作出判断. 【详解】非零向量与是相反向量， 向量与长度相等，方向相反， ∴C是错误的，ABD是正确的. 故选：C. 3．（24-25高一下·北京西城·期末）在直角中，斜边，则 . 【答案】16 【分析】利用相反向量和向量的加法法则即可求解. 【详解】 故答案为：16 4．（24-25高一·全国·课后作业）P、Q是ΔABC的边BC上的两点，且BP=QC，求证： 【答案】见解析 【详解】试题分析：根据向量加法三角形法则表示，再根据相反向量和为零向量得结果. 试题解析： +=+++ ∵  =   ∴  += ∴  + = + 【典型例题五 向量减法的法则】 1．（2025高三·全国·专题练习）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法的几何意义求解即可. 【详解】因为，，， 所以有，即， 当和同向或反向时等号成立，所以的取值范围是， 故选：D 2．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知，分别求作． 【答案】答案见解析 【分析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 【详解】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 如图，， 1．（24-25高三·重庆·月考）已知O为四边形所在平面内的一点，且向量，，，满足等式，若点E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法减法运算法则可得四边形为平行四边形，根据平行四边形的几何性质即可求解. 【详解】∵向量，，，满足等式， ∴，即， 则四边形为平行四边形． ∵E为的中点，∴E为对角线与的交点， 则，则. 故选：B． 2．（24-25高一·全国·单元测试）如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形及向量减法法则可得答案. 【详解】由图可得=. 故选：C 3．（24-25高一·上海·课堂例题）在中，化简： （1） ；     （2） ． 【答案】 【分析】在三角形中，向量的加减法遵循三角形法则. 【详解】(1)， (2). 故答案为： 4．（2024高一·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5) (6) 【分析】由向量的三角形法则求解即可. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. 【典型例题六 向量减法的运算律】 1．（24-25高一下·四川成都·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加减法的几何意义，即可求得答案. 【详解】由题意可得, 故选：D 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）设是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）解：根据向量的运算法则，可得. （2）解：根据向量的运算法则， 可得. （3）解：根据向量的运算法则， 可得. 1．（24-25高一下·浙江·月考）在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作出图形，将用、的表达式加以表示，再利用平面向量的减法法则可得出结果. 【详解】解：由题意作出图形：    在平行四边形中，M为BC的中点，则 又N为线段AB上靠近A的三等分点，则 故选：B 2．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，再结合向量减法的坐标运算即可得解. 【详解】解：因为，所以， 故选：B. 【点睛】本题考查了向量减法的坐标运算，属基础题. 3．（24-25高一·全国·课后作业）在三角形ABC中，若，且，则 【答案】1 【分析】根据，即可得出，从而可求出x，y，进而得出 【详解】 ， 又，， 故答案为：1． 4．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，． (1)试用，表示向量，． (2)试用，表示向量． 【答案】(1)， (2) 【分析】根据向量的加法与减法计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， ． （2） 【典型例题七 向量减法法则的几何应用】 1．（24-25高三下·福建宁德·开学考试）在平行四边形中，为线段的中点，且，则（    ） A．为线段的中点 B．为线段的中点 C．为线段的中点 D．为线段的中点 【答案】C 【分析】利用平面向量的减法法则结合给定条件得到，结合平行四边形性质和为线段的中点得到，进而求出结果即可. 【详解】如图，在平行四边形中，由向量的减法法则得， 因为，所以， 因为为线段的中点，所以， 由平行四边形性质得，故， 则为线段的中点，故C正确. 故选：C 2．（2024高一·江苏·专题练习）已知，，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量运算的三角形法则即可求解，注意等号成立的条件； （2）由向量运算的三角形法则即可求解，注意等号成立的条件； 【详解】（1）因为， 且，所以， 当与同向时，； 当与反向时，； 所以的取值范围为． （2）由， 且，所以， 当与同向时，； 当与反向时，． 所以的取值范围为． 1．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知平面向量，的夹角为（为常数），，，的最小值为3，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据向量减法的几何意义，作出图形即可求解． 【详解】的几何意义如图所示， 因为的最小值为3， 所以在中，，所以， 所以， 因为与的夹角有两种情况，即或， 所以或， 故选：D． 2．（24-25高一下·江苏盐城·期中）若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，确定的形状，进而确定此三角形费马点位置，再结合图形求解即得. 【详解】作向量，由，，得是腰长为的等腰三角形， ，而的所有内角均小于120°， 因此取得最小值的点是的费马点， ，则，点在斜边的中线上，如图， ，，， 所以的最小值为. 故选：B 3．（2024·上海金山·二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题用向量减法的模的几何意义解决. 【详解】 作图，，则，， 因为，所以起点在原点，终点在以B为圆心，1为半径的圆上； 同理，，所以起点在原点，终点在以C为圆心，1为半径的圆上， 所以的最小值则为， 因为，，当，，三点共线时，，所以. 故答案为：. 4．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形及向量相加的三角形法则，可知，后可得答案； （2）如图，做，连接CF，BD.后由图形及向量相减的三角形法则可得答案. 【详解】（1）由已知得， ∵，∴延长AC到E，使，如图所示， 则，且．∴． （2）做，连接CF，BD，则， 而， ∴且． ∴． 【典型例题八 向量数乘的有关计算】 1．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）在中，点满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得为的中点，结合得到，进而结合三角形的内角和求解即可. 【详解】由，则为的中点， 因为，所以， 则， 而， 则，即. 故选：D.    2．（24-25高一·全国·课后作业）化简下列各式： (1)3； (2)； (3)2． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用向量的数乘运算计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若向量，，则下列向量中与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算得到，再由向量共线的判定逐个判断即可； 【详解】因为向量，， 所以． 又，所以B选项与共线． 而ACD三个选项均和不存在倍数关系， 故选：B． 2．（2026高一·全国·课后作业）设是非零向量，是非零实数，则下列结论中正确的是（    ） A．的方向的方向相反 B． C．与方向相同 D． 【答案】C 【分析】根据数乘向量运算的定义判断各选项. 【详解】对于A，当时，与方向相同，因此A不正确； 对于B，时，，因此B不正确； 对于C，因为，所以与同向，C正确； 对于D，是实数，是向量，不可能相等． 故选：C． 3．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知点在直线上，且，设，则实数 ． 【答案】或 【详解】因为，所以当在线段AB上时，， 当当在线段BA的延长线上时，. 故答案为：或． 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知凸六边形的6个顶点是和的各边的交点，且.求证：.    【答案】证明见解析 【分析】先假设，，，，根据数乘运算的几何意义和向量回路的应用求证即可. 【详解】设，，，， 因为， 又因为， 所以， 即， 所以，即. 【典型例题九 平面向量的混合运算】 1．（25-26高二上·安徽·月考）在中，点在上，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】根据题意可知. 故选：C 2．（24-25高一下·广东东莞·月考）（1）化简； （2）若，求向量. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可化简得结果； （2）利用平面向量的线性运算可求出向量. 【详解】（1）； （2）因为，故. 1．（2025高三上·河南·专题练习）已知在中，，，为线段的中点，点在线段上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算，先求得，进而求得. 【详解】由题意，得， 所以，所以， 所以，所以， 解得， 所以. 故选：B    2．（2025·河南·三模）已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中点为E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图象，根据向量的线性运算法则求解即可. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B.    3．（24-25高一下·甘肃·期中）已知向量，满足，，则的最大值为 ，最小值为 【答案】 / / 【分析】根据已知可得出，然后结合向量加法的三角形法则即可得出答案. 【详解】易知， 所以有. 所以，， 当且仅当同向时，等号成立， 此时取最大值3，取最大值为； 所以，， 当且仅当反向时，等号成立， 此时取最小值1，取最小值为. 故答案为：；. 4．（2025高一·全国·竞赛）如图，在中，，点是上一点，且满足：，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点．若，，求的值． 【答案】 【分析】根据题意，设，根据直角三角形和圆的性质可由求出的值，再分析得点为中点，从而求解. 【详解】设，则，， 又， 所以， 又， 所以， 所以， 所以． 【典型例题十 向量的线性运算的几何应用】 1．（25-26高一上·北京延庆·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算即可求出答案. 【详解】如图，与交于点，由题意得为的中点，    则. 故选：C. 2．（24-25高一·全国·课堂例题）设A，B，C三点不共线，将下列几何语言用向量语言来描述： (1)四边形ABCD是梯形，其中AB，DC是梯形的两底； (2)M是BC的中点； (3)N在线段AM上，且； (4)P在MA的延长线上． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】作出图形，根据向量共线定理即可写出其向量语言. 【详解】（1）如图；存在正实数，使． （2）如图：或或等． （3）如图：或或等． （4），其中；或，其中；．    1．（25-26高三上·北京顺义·月考）设是所在平面内的一点，满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据条件，得到，从而有且，即可求解. 【详解】因为，得到， 如图，且，则到的距离等于到的距离相等， 又，所以， 故选：D. 2．（2025高一·全国·专题练习）若为内一点，且，则的形状为（    ）． A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算得，再利用向量的平行四边形法则及矩形的概念判断即可. 【详解】由化简得， 而，所以可得， 即以为邻边所作的平行四边形的对角线相等，所以这个平行四边形是矩形， 即是直角三角形. 故选：C． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知对边不平行的四边形，点分别在线段上，且，则 ． 【答案】 【分析】先结合向量的线性运算得到，结合，可得，再结合与共线，与共线，可得，从而得到. 【详解】，， 两式相加可得． 因为， 所以. 又与共线，与共线，不共线， 所以，， 因此． 故答案为： 4．（24-25高一·全国·随堂练习）作图验证： (1)； (2)． 【答案】(1)答案详见解析 (2)答案详见解析 【分析】根据三角形法则以及平行四边形法则证得等式成立 【详解】（1）设，四边形是平行四边形，设， 则， 所以. （2）由（1）得.    【典型例题十一 三角形的心的向量表示】 1．（24-25高一下·安徽合肥·月考）点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 【答案】B 【分析】由已知判断点P在直线上，结合垂心、重心、外心、内心的定义逐一判断即可. 【详解】记的中点为D，则， 所以，点P在直线上. A选项：若点是的垂心，则， 所以，所以为等腰三角形，A正确； B选项：若点是的重心，则点在边的中线上，无法推出，B错误； C选项：若点是的外心，则点在边的中垂线上， 所以，所以为等腰三角形，C正确； D选项：若点是的内心，则为的角平分线， 所以， 又，即, 故，D正确. 故选：B 2．（24-25高一·全国·课堂例题）如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．    (1)试用，表示． (2)试用，，表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算的性质进行求解即可； （2）根据平面向量线性运算的性质，结合三角形重心的性质进行求解即可. 【详解】（1） ． （2） ．    1．（2025高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由题可得，可得点在的角平分线上，同理点在的角平分线上，可得为的内心. 【详解】因为， ， ， 所以点在的角平分线上. 同理可得：点在的角平分线上. 所以点为的内心. 故选：B 2．（2024高三·全国·专题练习）设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】C 【分析】取BC的中点D，连接OD，AM，BM，CM，由，结合，得到，从而，再由为的外心，得到即可. 【详解】解：取BC的中点D，如图所示， 连接OD，AM，BM，CM． 因为， 所以， 又，则， 所以， 又由于为的外心， 所以， 因此有．同理可得，， 所以点是的垂心． 故选：C． 3．（2025高三·全国·专题练习）在中，I为的内心，若，则 . 【答案】 【分析】根据内心的性质和向量关系可得到三角形三边的比值，然后根据勾股定理的逆定理可知三角形为直角三角形，从而得出的值. 【详解】根据题意，画出图形为： 因为是的内心，所以根据内心的性质和向量关系可知， 若，则，分别为三角形三边的长度. 因为，所以， 根据勾股定理的逆定理，则. 故答案为：90°. 4．（24-25高一·全国·课后作业）已知平面上一定点O，不共线的三点A，B，C，动点P满足，，求证：P的轨迹一定通过的内心. 【答案】证明见解析 【分析】结合的几何性质、向量运算、几何图形进行分析，判断出在的角平分线上，由此证得结论成立. 【详解】证明：如图所示，因为，均为单位向量，且两向量方向分别与，同向.由向量加法的几何意义知对应一个平行四边形的对角线. 又因为， 所以是菱形. 所以在的平分线上. 因为， 所以. 所以点P在的平分线上，即P的轨迹必过的内心. 1．（2024·河北·模拟预测）在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形的性质以及向量的加法运算来表示即可. 【详解】因为在平行四边形中，，所以， 因为是的中点，所以，即，， 根据向量的加法法则，， 故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知平面向量．如果向量满足，且逆时针旋转后与同向，其中，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的线性运算即可得解. 【详解】由于，则，故向量仍构成三角形， 且与向量构成的三角形相似，如图，则有， 故选：D．    3．（2025·广东·高考真题）如图所示，已知在中，是边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，再由，即可得到答案. 【详解】由于是边上的中点，则. . 故选：B. 4．（24-25高一下·广西柳州·期中）四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】根据向量的减法可得，进而分析求解即可. 【详解】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确. 故选：D. 5．（24-25高一上·辽宁大连·期末）如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为即，点为的中点， 所以， 所以. 故选：D. 6．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解. 【详解】由D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心， 因为，故A错误； 由, 故B错误； 因为, 故C正确； 因为 , 故D正确. 故选：CD 7．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列结论中不正确的是（    ） A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与，之一的方向相同 B．在中，必有 C．若，则A，B，C为一个三角形的三个顶点 D．若，均为非零向量，则的长度与的长度加的长度的和一定相等 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算法则，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】对于A：当与为相反向量时，，方向任意，故A错误； 对于B：在中，，故B正确； 对于C：当A、B、C三点共线时，满足，但不能构成三角形，故C错误； 对于D：若，均为非零向量，则，当且仅当与同向时等号成立，故D错误. 故选：ACD 8．（24-25高一下·江西吉安·期中）下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据向量的加减运算逐项分析即可. 【详解】因为，， ，. 故选：ACD 9．（24-25高一下·江苏连云港·月考）对于菱形，给出下列各式，其中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据向量共线，向量的模，数量线性运算法则依次判断各选项. 【详解】连接，记其交点为， 因为四边形为菱形，所以 设，则， 因为，方向相同，大小相等，所以，A正确； 因为不一定相等，所以B错误； 因为，， 所以，， 所以，C错误； 因为， 所以，D正确； 故选：AD. 10．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若是的中点，则 C．若是的中点，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据向量的数乘运算法则和向量的共线定理逐一判断各选项即可. 【详解】解：，A错误； 若是的中点，则， 由三点共线可设，则， ∴， ∴，得，B，C正确； 设，则， ∵三点共线，∴，得，D正确； 故选：BCD. 11．（24-25高一下·四川成都·月考）已知向量满足，，则的取值范围是 【答案】[6,10] 【分析】根据向量模长不等式.以及向量共线的情况来确定的取值范围. 【详解】根据向量模长不等式，已知，，则，当且仅当与同向时，等号成立. 根据向量模长不等式，可得，当且仅当与反向时，等号成立. 综上，的取值范围是 故答案为： 12．（24-25高一下·全国·课后作业）已知非零向量满足，且，则 . 【答案】4 【分析】根据向量加减运算及向量的模长可得出平行四边形OACB是矩形，由矩形对角线相等得解. 【详解】如图所示，设，， 则， 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则， 由于， 故， 所以是直角三角形，， 从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形， 根据矩形的对角线相等得，即. 故答案为：4 13．（2024高三·江苏·专题练习）的外心满足，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设的中点为，根据外心性质和向量线性运算可证得，利用勾股定理可构造方程求得外接圆半径，由此可得长，代入三角形面积公式即可. 【详解】设的中点为，则，，即， 又，所以， 三点共线且，； 设的外接圆半径为，则， ，，解得：， ，. 故答案为：. 14．（24-25高一下·黑龙江大庆·月考）在中，点满足，若对任意，均有，则的最小值是 . 【答案】/0.8 【分析】根据给定条件，结合向量的几何意义可得，确定点的轨迹，进而求出的最小值. 【详解】在直线上取点，令，不等式， 依题意，是点与直线上任意点距离的最小值，则， 点在以为直径的圆上（除点外），当与圆相切时，最大，最小， 令，则，圆半径，， 所以的最小值为. 故答案为： 15．（2025高一·全国·专题练习）（1）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的 （填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． （2）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的 ．（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” 【答案】 重心 内心 【分析】空1：设中边的中点为，知，从而得到，进而可知点的轨迹必过的重心；空2：由可得，从而可知在的角平分线上，进而可知点的轨迹一定通过的内心． 【详解】空1：由已知，， 根据平行四边形法则，设中边的中点为，知， ， ，则，，三点共线， 点的轨迹必过的重心； 空2：由已知，，而表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 在的角平分线上， 点的轨迹一定通过的内心． 故答案为：重心；内心． 16．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知电线AO与天花板的夹角为，电线AO所受拉力，绳BO与墙壁垂直，所受拉力．求和的合力． 【答案】与的合力大小为，方向为与成角竖直向上． 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，作出受力分析图，然后计算即可. 【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力， 在中，， ，， ∴，∴， ∴与的合力大小为，方向为与成角竖直向上． 17．（25-26高一·全国·课堂例题）设是等边三角形的中心，求． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，设，将逆时针旋转120°，结合向量加法交换律以及零向量的性质即可求解. 【详解】设．如图所示：    将等边三角形绕点逆时针旋转120°，使顶点A，B，C分别转到点B，C，A的位置， 则跟着旋转120°，变成了． 由向量加法的交换律可知，向量旋转120°之后仍是其自身． 由于只有才有可能使旋转120°后仍是， 于是． 18．（25-26高一·全国·课后作业）证明：当向量，不共线时， (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）设，，以为邻边作一个平行四边形，则在中利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得答案； （2）在中，利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得答案 【详解】（1） 如图所示，设，，且向量，不共线， 以为邻边作一个平行四边形，则， 在中，因为，所以， 因为，所以， 所以. （2）由（1）向量，不共线，在中，因为， 所以， 因为，所以， 所以． 19．（25-26高一·全国·课后作业）如图，点P，Q三等分线段AB时，有．如果点，，…，是AB的等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论． 【答案】结论：，证明见解析 【分析】根据所给猜想结论，利用向量的加减法及数乘运算化简即可求证结论. 【详解】结论：若如果点，，…，是AB的等分点，则 证明：不妨设上述点从靠近点A处开始排列， ， ， 20．（2025高一·全国·专题练习）根据下列各小题的条件，试判断四边形的形状． (1)； (2)； (3)且． 【答案】(1)梯形 (2)平行四边形 (3)四边形是夹角为的菱形 【分析】（1）利用向量线性运算的几何意义及梯形的概念求解即可； （2）利用向量线性运算的几何意义及平行四边形的概念求解即可； （3）解法1：根据平行四边形法则得四边形是平行四边形，再根据向量的加法运算得，即可判断四边形是夹角为的菱形； 解法2：根据平行四边形法则得四边形是平行四边形，根据向量的几何意义得是的角平分线且，即可判断． 【详解】（1）因为，所以且， 即四边形是梯形． （2）因为，即，所以， 所以四边形是平行四边形． （3）解法1：因为，根据平行四边形法则，四边形首先是平行四边形． 又因为，所以， 即，所以， 即，所以四边形是夹角为的菱形，如图． 解法2：因为，根据平行四边形法则，四边形是平行四边形． ，分别为与和同向的单位向量， 它们的和在的角平分线上． 又因为的几何意义是与同向的单位向量为与和同向的单位向量之和， 所以是的角平分线且，即四边形是夹角为的菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $