第10讲 复数的概念（3大知识点+6大典例+变式训练+过关检测）（寒假衔接课堂）-2026年高一数学寒假衔接讲义（人教A版必修第二册）

第10讲 复数的概念（3大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 复数的基本概念 典型例题二 求复数的实部与虚部 典型例题三 根据相等条件求参数 典型例题四 复数的相等 典型例题五 复数的分类及辨析 典型例题六 已知复数的类型求参数 知识点一：复数的有关概念 1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． 4、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 【注意】复数概念说明： （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. （2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. （3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 【即时训练】 1．（24-25高一下·山西阳泉·期末）若复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．0或2 【答案】B 【分析】根据复数的概念列方程求解即可得实数的值. 【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得. 故选：B. 2．（24-25高一·全国·课后作业）给出下列命题：①任意两个复数都不能比较大小；②若，则当且仅当且时，；③若，，且，则；④若，则.其中， 是假命题.（填序号） 【答案】①③④ 【分析】采用列举法可直接选出假命题 【详解】对①，当两复数均为实数时，可比较大小，故①错；②显然正确；对③，若，则满足，但，故C错；对④，若，则，但，故④错. 故答案为：①③④ 知识点二：复数的分类 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 【即时训练】 1．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知为虚数单位，若，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知等式求出复数，再根据复数的定义确定其虚部. 【详解】已知，等式两边同时除以可得， 为了将分母实数化，给分子分母同时乘以的共轭，则， 因为，所以， 那么，移项可得， 所以复数的虚部是. 故选：D. 2．（2025高三·全国·专题练习）复数的虚部为 ． 【答案】 【分析】根据复数的概念求解即可. 【详解】复数，根据复数的概念其虚部为， 故答案为：. 知识点三：复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 【即时训练】 1．（2025·河北邢台·三模）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据复数相等的概念可得. 【详解】由题意得，，解得，所以. 故选：C 2．（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知，其中，则 . 【答案】 【分析】根据复数相等，列出方程组计算即可. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 【典型例题一 复数的基本概念】 1．（2024高二下·湖北·学业考试）欧拉恒等式（其中为虚数单位，为欧拉常数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式的特例，即当时，，得.根据欧拉公式，表示的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】复数，进而得出所求复数. 【详解】由题意，复数. 故选：A 2．（24-25高一下·浙江湖州·月考）实数取什么值时，复数是下列数？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 【答案】(1)或; (2)且； (3). 【分析】根据复数的概念分别列等式求解即可. 【详解】（1）当复数是实数时，，解得或； （2）当复数是虚数时，，解得且； （3）当复数是纯虚数时，则，解得. 1．（2024高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【分析】根据虚数单位的性质判断①，根据虚数不能比较大小判断②④，举反例判断③. 【详解】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确. 故选：B 2．（24-25高二下·上海青浦·期末）下列命题中,正确的命题是（     ） A．若，则 B．若，则不成立 C．，则或 D．，则且 【答案】C 【分析】A．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确； B．根据实数的共轭复数还是其本身判断是否成立； C．根据复数乘法的运算法则可知是否正确； D．考虑特殊情况：，由此判断是否正确. 【详解】A．当时，，此时无法比较大小，故错误； B．当时，，所以，所以此时成立，故错误； C．根据复数乘法的运算法则可知：或，故正确； D．当时，，此时且，故错误. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若，则有. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列命题正确的是 .（填序号） ①若，则是纯虚数； ②若、，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 【答案】④ 【分析】由复数的基本概念求解即可. 【详解】解：对于①，当时，则为实数，不是纯虚数，则①错误； 对于②，由于复数不能比较大小，故②错误； 对于③，则，解得，故④错误； 对于④，显然正确， 故答案为：④ 4．（24-25高一下·全国·课后作业）把下列复数表示为代数形式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 利用特殊角三角函数值即可将题给复数表示为代数形式． 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． 【典型例题二 求复数的实部与虚部】 1．（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】D 【分析】直接根据复数的概念可得. 【详解】由复数的实部与复数的虚部相等，且为实数，所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·河南商丘·期中）已知复数，，，为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别化简，然后计算，根据纯虚数的概念即可求解. （2）因为虚数无法比较大小，所以，由题意可知，为实数，令的实部大于0，虚部为0，即可求解. 【详解】（1）化简，， ， 因为为纯虚数， 则，解得 （2）因为， 则，解得. 1．（2025·福建福州·模拟预测）欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数，则z的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由欧拉公式化简复数z，再由复数的定义即可得出答案. 【详解】因为， 因为，所以z的虚部为. 故选：D. 2．（2025·湖北·一模）已知复数的实部与虚部和为，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴解得， 故选D． 3．（2024·江苏·高考真题）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为 ． 【答案】2 【详解】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果. 详解：因为，则，则的实部为. 点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为. 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）分别写出下列各复数的实部与虚部． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 【答案】(1)实部为，虚部为 (2)实部为，虚部为 (3)实部为，虚部为 (4)实部为，虚部为 (5)实部为，虚部为 (6)实部为，虚部为 (7)实部为，虚部为 (8)实部为，虚部为 (9)实部为，虚部为 (10)实部为，虚部为 (11)实部为，虚部为 (12)实部为，虚部为 【分析】根据复数的实部和虚部的概念进行求解. 【详解】（1）的实部为，虚部为 （2）的实部为，虚部为 （3）的实部为，虚部为 （4）实部为，虚部为 （5）的实部为，虚部为 （6）的实部为，虚部为 （7）的实部为，虚部为 （8）的实部为，虚部为 （9）的实部为，虚部为 （10）的实部为，虚部为 （11）的实部为，虚部为 （12）的实部为，虚部为 【典型例题三 根据相等条件求参数】 1．（2024·全国·模拟预测）已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据复数相等求解出，然后再判断出能满足条件的方程即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 因此所选方程的两根为，仅有符合要求， 故选：A. 2．（24-25高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值． 【答案】或或或 【分析】利用复数的相等列出方程组，求解即可． 【详解】解：， 且， 解得：或且或， 或或或． 1．（2025高一·全国·专题练习）下列命题：①若，则；②；③若，且，则.其中正确命题的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】通过反例可知①②错误；由且可构造方程组求得，知③正确. 【详解】对于①，若，，则，①错误； 对于②，若，，则，②错误； 对于③，由，得：，解得：，③正确. 故选：B. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）设i为虚数单位,若,a,,则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据复数相等的充要条件，得出的关系式，求解即可得出结论. 【详解】由,a,,得,, 则. 故选:B. 【点睛】本题考查复数相等的定义，属于基础题. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）方程的实数解 . 【答案】 【分析】由复数相等条件可构造方程组求得结果. 【详解】由得：，解得：. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数（且），是实数，且，求z的实部的取值范围. 【答案】. 【分析】利用已知复数的类型建立方程，结合给定条件求解参数范围即可. 【详解】因为为实数，所以， 所以，，所以， 因为，所以. 因为，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以，可解得. 即z的实部的取值范围为. 【典型例题四 复数的相等】 1．（24-25高一下·江苏南通·月考）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据两个复数相等的充要条件，得到、的值，从而求出. 【详解】由，所以，，则. 故选：A 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数m为何值时，方程至少有一个实根. 【答案】 【分析】设是方程的一个实根，根据复数相等结论化简方程，可求. 【详解】设，为原方程的根， 则原方程化为，则, 解得或 故当时，方程至少有一个实根. 1．（2025·河南新乡·模拟预测）已知，是虚数单位，方程有解，则正实数（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据复数相等列式计算求解，再代入计算求解判断. 【详解】由复数相等的充要条件得， 解得或， 当时，解得， 当时，解得舍； 故选：C. 2．（24-25高三上·北京西城·期末）设为虚数单位，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数相等求解即可. 【详解】 又，根据复数的相等， 故则 故选：B. 3．（24-25高一下·上海·期末）已知复数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】； 【分析】利用复数相等的概念结合二次函数和三角函数的有界性求解即可. 【详解】因为 所以 所以 所以 又因为 所以 即 令 则 由二次函数的性质知： 该函数对称轴为： 所以当时，该函数取最大值为6， 当时，该函数取最小值 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，求实数的值. 【答案】 【分析】利用复数相等的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】由， 得， 所以解得 【典型例题五 复数的分类及辨析】 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据纯虚数的概念，即可得答案. 【详解】，是纯虚数，，，是实数，是虚数． 故选：C 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0. 【答案】(1)或 (2)且 (3) (4) 【分析】根据复数的类型列式求参. 【详解】（1）当，即或时，复数z是实数. （2）当，解得且时，复数z是虚数. （3）当且，即时，复数z是纯虚数 （4）当且，即时，复数z是0. 1．（24-25高三上·吉林长春·期中）若是纯虚数，则实数的值为（    ）． A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【解析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】由题是纯虚数， 为纯虚数， 所以m=1. 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则. 2．（2025·上海黄浦·三模）已知，是虚数单位，是的共轭复数，则下列说法与“为纯虚数”不等价的是 A． B．或，且 C．且 D． 【答案】D 【分析】根据复数的基本概念逐一判断． 【详解】A.若z为纯虚数，则（且），那么，故有若，则z为纯虚数，因此与“为纯虚数”等价；B.令，则，由或，得，，又，故，B正确；C. 且与“为纯虚数”等价；D.若，有，与“为纯虚数”不等价，故选D. 【点睛】本题考查复数基本概念的辨析，属于基础题． 3．（24-25高二·全国·单元测试）给出下列命题：①若，且，则是纯虚数；②，为复数，，则；③若，则z一定是纯虚数；④虚数的平方根仍是虚数，其中正确的是 .（填序号） 【答案】③④/④③ 【分析】根据纯虚数的定义和性质，结合特例法和反证法逐一判断即可. 【详解】①：当时，，显然不是纯虚数，本命题不正确； ②：当，时，显然，但是不成立，本命题不正确； ③：设，由且， 当时，有，所以， 当时，有，显然不可能成立，因此z一定是纯虚数，所以本命题正确； ④：设，设，如果， 则有且，这与相矛盾，所以假设不成立，故不是实数，是虚数，因此本命题正确， 故答案为：③④ 4．（2025高二下·全国·专题练习）写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数． ，，，，，． 【答案】见解析 【分析】形如的数叫复数，其中分别是它的实部和虚部，据此可得到各个复数的实部和虚部；，若，则为实数，若，则是虚数，若，则为纯虚数. 【详解】，，0，，，的实部分别是，，，，，； ，，0，，，的虚部分别是，，，，，． 其中，，是实数； ，，，是虚数； 是纯虚数． 【点睛】该题主要考查的是复数的基本概念，解答该题的关键是熟悉复数的概念. 【典型例题六 已知复数的类型求参数】 1．（2025·河北·模拟预测）已知复数 为纯虚数，则实数（    ） A． B．1 C．3 D．或1 【答案】B 【分析】利用纯虚数的概念可得所满足的条件，计算求解即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：B. 2．（25-26高三上·甘肃甘南·月考）已知复数（），试求实数m分别取什么值时，z分别为： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 【答案】(1)； (2)； (3)不存在 【分析】（1）根据z为实数，得到，求出； （2）根据z为虚数，有且有意义，求出答案； （3）根据z为纯虚数，有，得到答案. 【详解】（1）z为实数时，有， 由得或6，由得， 综上，当时，z为实数； （2）z为虚数时，则有且有意义，解得且且， 所以当时，z为虚数； （3）z为纯虚数时，则有， 由得且，由得， 故不存在实数m使z为纯虚数. 1．（2024·湖南·一模）如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（    ） A．且 B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据题意复数为纯虚数，即得，从而求解. 【详解】由复数是纯虚数， 得 解得:. 故选:C. 2．（24-25高一下·湖南长沙·月考）复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】考查复数相关概念问题，根据实数和虚数概念求解即可. 【详解】若复数，（，）为实数， 则有， ， 故选：A. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）设复数，，如果是纯虚数，则的值是 ；的虚部为 ． 【答案】 【分析】由纯虚数的定义结合对数的运算求解即可. 【详解】因为是纯虚数，所以，解得. 则，则的虚部为. 故答案为：；. 4．（24-25高一下·云南昭通·月考）已知复数． (1)当为实数时，求的值； (2)当为纯虚数时，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意得到实部有意义、虚部为0即可； （2）要求实部为0且虚部不为0即可，得到方程组，可得答案. 【详解】（1）为实数， ， 解得或， 当为实数时，或； （2）为纯虚数， ， 解得， 当为纯虚数时，. 1．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数虚部的定义进行求解即可. 【详解】因为复数，所以的虚部为. 故选：D. 2．（2025·陕西·一模）若，其中为虚数单位，则的值为 A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 【答案】A 【详解】 ，由题，则 故选A. 3．（2025高二·全国·课后作业）下列命题中，正确命题的个数是 ①若，，则的充要条件是； ②若，且，则； ③若，则． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题； 对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题； ③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0. 考点：复数的有关概念. 4．（24-25高二下·山西朔州·月考）已知下列命题： ①复数不是实数；②若是纯虚数，则实数；③若复数，则当且仅当时，为虚数．其中正确的命题有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】对于①③，举例判断，对于②根据纯虚数的定义分析判断即可. 【详解】①，时，复数是实数，所以①错误， ②若是纯虚数，则，解得，所以②错误， ③若复数，没有给出为实数，若，则为虚数，所以③错误， 所以正确的命题有0个， 故选：A. 5．（2025高三上·河南洛阳·专题练习）若复数为纯虚数，则（  ） A．2 B．1 C．0 D．1或2 【答案】B 【分析】由纯虚数的概念即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得： 故选：B 6．（24-25高一下·陕西西安·月考）对于复数，下列结论错误的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D． 【答案】AB 【分析】根据复数的概念判断AC，根据复数相等判断B，根据虚数单位的定义判断D. 【详解】对于A：当，，当时为实数，A错误； 对于B：若，则，B错误； 对于C：若，则为实数，C正确； 对于D：，D正确. 故选：AB. 7．（24-25高一下·宁夏吴忠·期中）下列命题为真命题的是（ ） A．复数的虚部为; B．若为虚数单位，则; C．在复数集中，方程有两个解，依次为; D．已知是虚数单位，若，则实数; 【答案】BCD 【分析】根据复数虚部的定义可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；根据复数方程的根可判断C；根据复数的乘法和复数相等的条件求出的值可判断D. 【详解】对于A，复数的虚部为，故A错误； 对于B，若为虚数单位，则，故B正确； 对于C，， 所以在复数集中，方程有两个解，依次为， 故C正确； 对于D，已知是虚数单位，若，则， 有，解得，故D正确. 故选：BCD. 8．（24-25高一下·江苏扬州·期中）下列命题中，错误的是（    ） A．若，，且，则 B．若（），则 C．若（），则当且仅当且时， D．若，，且，则 【答案】ABD 【分析】根据复数的定义，结合举例，判断选项. 【详解】A.设，，满足，但不能比较大小，故错误； B.因为，所以不能判断，比如：，，故错误； C. 当且仅当且时，，故正确； D.当，，满足，故错误. 故选：ABD 9．（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）对于复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．i的平方等于-1 【答案】BCD 【分析】举反例说明A错误；根据复数相等求出，判断B；根据复数的分类判断C；根据虚数单位的性质判断D. 【详解】对于A，当时，若，为实数，A错误； 对于B，若，则，，正确； 对于C，，则为实数，正确； 对于，的平方为-1，正确， 故选：BCD 10．（24-25高一·全国·单元测试）下列说法中正确的有（    ） A．若，则是纯虚数 B．若是纯虚数，则实数 C．若，则为实数 D．若，且，则 【答案】CD 【分析】根据复数的基本概念与分类，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当，可得的不是纯虚数，故A错误； 对于B中，当，可得，此时不是纯虚数，所以B错误； 对于C中，当时，可得，所以为实数，所以C正确； 对于D中，由，且，所以，所以D正确． 故选：CD 11．（24-25高三上·重庆沙坪坝·期中）i表示虚数单位，则 ． 【答案】1 【分析】根据虚数单位的运算性质求解出原式的结果. 【详解】解：因为， 所以且， 所以， 故答案为：. 【点睛】结论点睛：虚数单位的常见运算性质： （1）； （2）. 12．（24-25高一下·广西柳州·月考）已知关于的方程有实根，则实数 ． 【答案】 【分析】设是原方程的实根，代入方程后由复数相等的概念求解． 【详解】设为方程有实根， 则，即， 所以，解得， 故答案为：. 13．（24-25高一下·江苏南通·期中）若复数与都是纯虚数，则复数 . 【答案】 【分析】首先设出复数的一般形式，再根据纯虚数的定义得到实部和虚部的方程，进而求解. 【详解】复数为纯虚数，设，则， 又都是纯虚数，，解得， . 故答案为：. 14．（24-25高一下·云南怒江·期末）给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是 . 【答案】（4） 【分析】根据复数的概念逐项判断即可. 【详解】对于（1）和（2），在，的限制条件，结论才是正确的，故（1）和（2）都错误； 对于（3），当是纯虚数时，有所以，故（3）错误； 对于（4），由，可得即有，故（4）正确. 故答案为：（4）. 15．（25-26高三上·天津河东·期中）已知为虚数单位，复数是纯虚数，则 ． 【答案】2 【分析】根据题意，结合复数的定义，列出方程组，即可求解. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得． 故答案为：2. 16．（24-25高三·全国·课后作业）满足是实数，且的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，或 【解析】先设虚数z代数形式，再根据条件列方程组，解得结果. 【详解】解：设虚数（，且）， 则 ． 由已知得 ∵，∴解得或 ∴存在虚数或满足以上条件． 17．（2025高一·江苏·专题练习）若关于x的方程（1+i）x2﹣2（a+i）x+5﹣3i＝0（a∈R）有实数解，求a的值（i为虚数单位）. 【答案】﹣3或. 【分析】利用复数的运算法则、复数相等、方程的解法即可得出. 【详解】解：将原方程整理得：（x2﹣2ax+5）+（x2﹣2x﹣3）i＝0 设方程的实数解为x0，代入上式得：（5）+（3）i＝0， 由复数相等的充要条件，得：5＝0，3＝0， 联立解得x0＝3，或x0＝﹣1， x0＝3时，解得a； x0＝﹣1时，解得a＝﹣3. 故答案为：-3或 18．（2024高二下·全国·专题练习）已知复数，． （1）若复数为实数，求实数的值； （2）若复数为虚数，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得复数为纯虚数？ 【答案】（1）；（2）；（3）不存在实数使得复数为纯虚数． 【分析】根据为实数、虚数和纯虚数的条件，列方程，解方程求得的值. 【详解】由于，所以. （1）当为实数时，，解得.（2）当为虚数时，结合可知，的取值范围是.（3）当为纯虚数时，，方程解得，解得且，两者没有公共元素，故不存在实数使得复数为纯虚数． 19．（2025高三·全国·专题练习）实数取何值时，复数是 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】（1）根据复数为实数的性质进行求解即可； （2）根据虚数的定义进行求解即可； （3）根据纯虚数的定义进行求解即可. 【详解】（1）的实部为，虚部为． （1）复数是实数的充要条件是：， 所以当时复数为实数． （2）复数是虚数的充要条件是：且， 所以当且时复数为虚数 （3）复数是纯虚数的充要条件是：， 所以当时复数为纯虚数． 20．（24-25高一下·天津滨海新·期中）取何实数时，复数． (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？ 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【分析】（1）对于复数（），当时，为实数，构造方程计算； （2）对于复数（），当时，为虚数，构造方程计算； （3）对于复数（），当且时，为纯虚数，构造方程计算. 【详解】（1）当复数为实数时，其虚部等于零，即. 可得或，即或. 所以，当或时，复数为实数. （2）当复数为虚数时，其虚部不等于零，即，得且，即且. 所以，当且时，复数为虚数. （3）当复数为纯虚数时，其实部等于零且虚部不等于零，即. 解方程，可得或，即或. 结合，即，可得且. 综合以上两个条件，舍去，所以. 所以，当时，复数为纯虚数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 复数的概念（3大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 复数的基本概念 典型例题二 求复数的实部与虚部 典型例题三 根据相等条件求参数 典型例题四 复数的相等 典型例题五 复数的分类及辨析 典型例题六 已知复数的类型求参数 知识点一：复数的有关概念 1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． 4、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 【注意】复数概念说明： （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. （2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. （3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 【即时训练】 1．（24-25高一下·山西阳泉·期末）若复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．0或2 2．（24-25高一·全国·课后作业）给出下列命题：①任意两个复数都不能比较大小；②若，则当且仅当且时，；③若，，且，则；④若，则.其中， 是假命题.（填序号） 知识点二：复数的分类 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 【即时训练】 1．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知为虚数单位，若，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）复数的虚部为 ． 知识点三：复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 【即时训练】 1．（2025·河北邢台·三模）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知，其中，则 . 【典型例题一 复数的基本概念】 1．（2024高二下·湖北·学业考试）欧拉恒等式（其中为虚数单位，为欧拉常数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式的特例，即当时，，得.根据欧拉公式，表示的复数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江湖州·月考）实数取什么值时，复数是下列数？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 1．（2024高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 2．（24-25高二下·上海青浦·期末）下列命题中,正确的命题是（     ） A．若，则 B．若，则不成立 C．，则或 D．，则且 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列命题正确的是 .（填序号） ①若，则是纯虚数； ②若、，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）把下列复数表示为代数形式． (1)； (2)； (3)． 【典型例题二 求复数的实部与虚部】 1．（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（   ） A． B．3 C． D．1 2．（24-25高二下·河南商丘·期中）已知复数，，，为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值. 1．（2025·福建福州·模拟预测）欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数，则z的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 2．（2025·湖北·一模）已知复数的实部与虚部和为，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D． 3．（2024·江苏·高考真题）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为 ． 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）分别写出下列各复数的实部与虚部． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 【典型例题三 根据相等条件求参数】 1．（2024·全国·模拟预测）已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值． 1．（2025高一·全国·专题练习）下列命题：①若，则；②；③若，且，则.其中正确命题的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25高一下·全国·课后作业）设i为虚数单位,若,a,,则 A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）方程的实数解 . 4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数（且），是实数，且，求z的实部的取值范围. 【典型例题四 复数的相等】 1．（24-25高一下·江苏南通·月考）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数m为何值时，方程至少有一个实根. 1．（2025·河南新乡·模拟预测）已知，是虚数单位，方程有解，则正实数（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（24-25高三上·北京西城·期末）设为虚数单位，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·期末）已知复数，若，则实数的取值范围为 ． 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，求实数的值. 【典型例题五 复数的分类及辨析】 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0. 1．（24-25高三上·吉林长春·期中）若是纯虚数，则实数的值为（    ）． A． B．0 C．1 D． 2．（2025·上海黄浦·三模）已知，是虚数单位，是的共轭复数，则下列说法与“为纯虚数”不等价的是 A． B．或，且 C．且 D． 3．（24-25高二·全国·单元测试）给出下列命题：①若，且，则是纯虚数；②，为复数，，则；③若，则z一定是纯虚数；④虚数的平方根仍是虚数，其中正确的是 .（填序号） 4．（2025高二下·全国·专题练习）写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数． ，，，，，． 【典型例题六 已知复数的类型求参数】 1．（2025·河北·模拟预测）已知复数 为纯虚数，则实数（    ） A． B．1 C．3 D．或1 2．（25-26高三上·甘肃甘南·月考）已知复数（），试求实数m分别取什么值时，z分别为： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 1．（2024·湖南·一模）如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（    ） A．且 B． C． D．或 2．（24-25高一下·湖南长沙·月考）复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 3．（24-25高一下·全国·课后作业）设复数，，如果是纯虚数，则的值是 ；的虚部为 ． 4．（24-25高一下·云南昭通·月考）已知复数． (1)当为实数时，求的值； (2)当为纯虚数时，求的值． 1．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 2．（2025·陕西·一模）若，其中为虚数单位，则的值为 A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 3．（2025高二·全国·课后作业）下列命题中，正确命题的个数是 ①若，，则的充要条件是； ②若，且，则； ③若，则． A． B． C． D． 4．（24-25高二下·山西朔州·月考）已知下列命题： ①复数不是实数；②若是纯虚数，则实数；③若复数，则当且仅当时，为虚数．其中正确的命题有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2025高三上·河南洛阳·专题练习）若复数为纯虚数，则（  ） A．2 B．1 C．0 D．1或2 6．（24-25高一下·陕西西安·月考）对于复数，下列结论错误的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D． 7．（24-25高一下·宁夏吴忠·期中）下列命题为真命题的是（ ） A．复数的虚部为; B．若为虚数单位，则; C．在复数集中，方程有两个解，依次为; D．已知是虚数单位，若，则实数; 8．（24-25高一下·江苏扬州·期中）下列命题中，错误的是（    ） A．若，，且，则 B．若（），则 C．若（），则当且仅当且时， D．若，，且，则 9．（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）对于复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．i的平方等于-1 10．（24-25高一·全国·单元测试）下列说法中正确的有（    ） A．若，则是纯虚数 B．若是纯虚数，则实数 C．若，则为实数 D．若，且，则 11．（24-25高三上·重庆沙坪坝·期中）i表示虚数单位，则 ． 12．（24-25高一下·广西柳州·月考）已知关于的方程有实根，则实数 ． 13．（24-25高一下·江苏南通·期中）若复数与都是纯虚数，则复数 . 14．（24-25高一下·云南怒江·期末）给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是 . 15．（25-26高三上·天津河东·期中）已知为虚数单位，复数是纯虚数，则 ． 16．（24-25高三·全国·课后作业）满足是实数，且的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由． 17．（2025高一·江苏·专题练习）若关于x的方程（1+i）x2﹣2（a+i）x+5﹣3i＝0（a∈R）有实数解，求a的值（i为虚数单位）. 18．（2024高二下·全国·专题练习）已知复数，． （1）若复数为实数，求实数的值； （2）若复数为虚数，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得复数为纯虚数？ 19．（2025高三·全国·专题练习）实数取何值时，复数是 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 20．（24-25高一下·天津滨海新·期中）取何实数时，复数． (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？ 学科网（北京）股份有限公司 $