专题01 整式乘法的压轴题型（压轴题专项训练）数学新教材湘教版七年级下册

专题01 整式乘法的压轴题型 目录 1 类型一、多项式乘多项式与图形面积 1 类型二、同底数幂的应用 7 类型三、整式乘法中的规律问题 10 类型四、乘法公式与几何图形 14 类型五、整式乘法中定义新运算问题 19 23 类型一、多项式乘多项式与图形面积 画图辅助：用图形表示变量关系，避免漏项。 反向验证：用面积结果反推多项式乘积的正确性。 核心：数形结合，确保每一步对应乘法或面积的分项。 例1．太原某创意家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的三种板材装饰一面正方形墙壁．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形墙壁的边长是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，当两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样时，（   ） A． B． C． D． 变式1-2．如图①，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图②的一个无盖长方体纸盒． (1)若图①中长方形纸片的长为，宽为，设截去的小正方形的边长为，当所折成的图②中长方体盒子的底面积为时，可列方程： ； (2)若图②中长方体的长、宽、高分别为、、，那么图①中长方形纸片的面积是 ． (3)类似的，甲、乙两位同学分别用长方形纸片，通过裁剪与折叠，得到两个高都为的无盖长方体纸盒、；其中纸盒的长是纸盒的长的3倍，纸盒的宽是纸盒的宽的倍．试比较甲、乙两位同学所用长方形纸片面积的大小．（注：长方形的长大于宽） 变式1-3 对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的小华从不同的方向来思考这个问题. (1)小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足________关系时，长方形的面积最大．请你利用所学的数学知识帮助小华解释上面发现的结论． (2)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下： 已知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x，则相邻一边的长是． ①当时，将原长方形沿直线l剪成长方形A和长方形B（如图1、图2），再将长方形B割补到长方形A的右侧（如图3），则图3中阴影部分正方形C边长为， 通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式，25，满足的等量关系为________． ②当时，进行类似上述过程的割补（图4~图6)，由图，可得出的等量关系为________． ③当时，该长方形即为正方形，其面积为25． 综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是________． (3)当时，仿照（2）中的割补过程（无需描述割补过程，只需要画出示意图），求代数式的最小值． 类型二、同底数幂的应用 1、 同底数幂相乘及逆用技巧 核心公式：aᵐ×aⁿ=aᵐ⁺ⁿ（a≠0，m/n为整数） 正向应用：2³×2⁵=2⁸ 逆用要点：将指数和拆分为乘积（如x⁷=x⁴×x³） 解题步骤： (1) 确认底数相同 (2) 合并指数时注意符号（如3⁻²×3⁵=3³） (3) 逆用时常需构造相同底数（如8=2³） 2、 幂的乘方及逆用技巧 核心公式：(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ 正向应用：(5²)³=5⁶ 逆用关键：分解复合指数（如a¹²=(a³)⁴） 易错警示： 勿与同底数幂相乘混淆（(a³)²≠a³⁺²） 处理负号时注意括号位置（(-a²)³=-a⁶） 3、 积的乘方及逆用技巧 核心公式：(ab)ⁿ=aⁿbⁿ 正向计算：(2x)³=8x³ 逆用策略：将指数分配到各因数（如25x²=(5x)²） 综合应用： 配合分配律使用（如(2a-3b)²=4a²-12ab+9b²） 处理分数时分子分母分别乘方（(a/b)³=a³/b³） 例2．若正整数满足，则下面关系正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法： ①； ②当，，，时，在的所有因数中，能被整除但不能被整除的共有个； ③若，是大于的整数，则满足条件的的最小值为． 正确的有（    ）个 A． B． C． D． 变式2-2．若，（为整数），则的值是 ．（用含、的代数式表示结果） 变式2-3．已知，，，，那么a，b，c，d大小顺序为 ． 类型三、整式乘法中的规律问题 一、基础规律识别 平方差公式应用 核心结构：( (a+b)(a-b)=- ) 关键点：识别"相同项"与"相反项"，如 ( (2x+3y)(2x-3y) ) 中 ( 2x ) 为相同项，( 3y ) 为相反项 完全平方公式拓展 两种形式： ( =+2ab+ ) ( =-2ab+ ) 快速验证技巧：中间项系数=首尾项系数积的2倍 二、特殊结构变形技巧 换元法 适用场景：多项式含重复复杂项时 操作示例： 计算 ( +3x+1)(+3x-5) ) 设 ( t=+3x )，原式=( (t+1)(t-5)=-4t-5 ) 分组配方法 典型例题： ( (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) ) 重组为 ( [(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)] ) 后展开 三、复杂问题拆解策略 降幂排列法 步骤：按字母降幂整理多项式→逐项相乘后合并同类项 示例：( (2 -x+4)( +3) ) 按 ( , ,x ) 顺序展开 系数观察法 高阶技巧： 对于 ( (+ax+b)(+cx+d) )，重点观察： ( ) 项系数：( a+c ) ( x ) 项系数：( ad+bc ) 例3．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把（其中n为自然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第行的每一项，如图所示．根据材料，则展开后含x项的系数为（   ） 杨辉三角 1 1    1 1    2    1 1    3    3    1 1    4    6    4    1 … …… A．720 B． C．360 D． 变式3-1．贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似的，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角形的排列规律，下列结论正确的是（   ） ①展开式的第三项的系数是15； ②； ③展开式中含项的系数是2026； ④展开式中各项系数之和为32． A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 变式3-2已知，计算：，，． 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算： ．（为正整数）． 变式3-3已知，n为正整数，则 ． 类型四、乘法公式与几何图形 1、 解题技巧实战示范 ▶ 题型：面积推导证明 例：用几何图形证明(2x+y)²=4x²+4xy+y² 步骤： ① 构造边长为(2x+y)的正方形 ② 分割为4个x²小正方形、4个xy长方形、1个y²正方形 ③ 通过面积求和验证公式 二、避坑指南 公式误用：如(a-b)²错算为a²-b²时，通过绘制缺角正方形图示反证 几何干扰项：遇到不规则图形时，先拆解为基本公式对应结构（如L型面积=大正方形-小正方形） 双重验证法：代数计算后，用图形剪拼验证结果合理性 例4．如图，点，，在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是24，则阴影部分的面积的大小是 ． 变式4-1 【阅读理解】阅读材料：若满足，求的值． 解：设，， 则，， 所以． 【解决问题】 (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． (3)如下图，正方形的边长为，，，长方形的面积是500，四边形和都是正方形，四边形是长方形．求图中阴影部分的面积． 变式4-2图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)用两种方法表示图②中的阴影部分的面积； (2)请运用你得到的关系式计算：若，，求的值； (3)若，求的值． 变式4-3【知识生成】：通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）． （1）比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ． 如图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式： ． 【问题探究】：（2）①已知，，则的值为 ． ②如图3，已知，，求的值． 类型五、整式乘法中定义新运算问题 一、新运算的本质理解 符号特征：用★、※等特殊符号替代常规运算符号 核心要点：题干会明确定义规则（如a※b=2a+3ab-b²） 思维转化：将新运算转化为常规整式运算 示例：若x⊗y=(x+1)(y-2)，则2⊗3=(2+1)(3-2)=3×1=3 二、标准解题四步法 识别运算结构 对照题干定义，确认运算符号对应规则 例：遇到a◆b需立即匹配定义式 变量替换操作 将已知数值/代数式代入定义式 注意多层运算时的括号使用 示例：计算(2x)※y²需先展开为2x※(y²) 分步化简验证 按整式乘法法则逐步计算 检查同类项合并是否完整 典型错误：忽略指数运算优先级 逆向应用训练 已知新运算结果反推参数时，需建立方程 例：若a★b=a²-b且3★x=5，则9-x=5→x=4 三、三类必会题型精讲 基础计算型（直接套用公式） 题目：设m▽n=mn+n²，求(-2)▽3 解析：=(-2)×3+3²=-6+9=3 复合运算型（多步嵌套） 题目：a⊕b=2a-b，求(1⊕2)⊕3 关键：先算括号内1⊕2=2×1-2=0，再0⊕3=-3 参数反求型（建立方程） 题目：定义xy=3xy+k，已知21=7，求k 解法：3×2×1+k=7→k=1 四、易错警示 混淆运算顺序：新运算优先级通常等同于括号 符号遗漏：特别是负号与系数需整体代入 规则误解：注意区分"ab"与"ba"的非交换性 例5．若一个整数x能表示为两个连续正整数的平方差的形式，则称这个数为“连续平方差数”．如：，则5是连续平方差数，叫做5的连续平方差分解形式． (1)写出15的连续平方差分解形式：________； (2)若（a为整数），求证：M不是“连续平方差数”． 变式5-1 对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换．已知两个依次排列的整式为，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此进行下去．下列说法： ①若第2次作差变换新增整式之积不含的一次项，则的值为3； ②当时，若第1次作差变换得到的整式串之积为3，则； ③第28次作差变换得到的整式串之和为． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式5-2如图所示是“整式和幻方”，其每行、每列、每条对角线上的三个整式之和均相等，若，则k的值为（   ） A B C D A． B． C．1 D．2 变式5-3配方法是将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． (1)若能用配方法变形为一个完全平方式，则__________． (2)若一个关于的二次三项式，通过配方法变形后能写成，且，则称这个二次三项式为“配方法定形数”，其中为“特征点”．若是配方法定形数，且其“特征点”满足，求的值． 1．对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（   ） ①；   ②；   ③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．已知为自然数，且满足，则的取值不可能是（） A．2 B．3 C．8 D．－7 3．若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 4．已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 5．贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似的，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角形的排列规律，下列结论正确的是（） ①展开式的第三项的系数是15； ②； ③展开式中含项的系数是2026； ④展开式中各项系数之和为32； A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 6．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 7．如图，正方形，正方形的边长分别为，点在边上，这两个正方形的面积之差为，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，长为，宽为的大长方形被分成7块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有 ．（填①、②、③、④） ①小长方形的较长边为； ②阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ④当时，阴影和阴影的面积和为定值． 9．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期一．其中正确的序号有 ． 10．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）； 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 11．先化简，再求值：，其中． 12．某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据，知道，就可以求的值．如果知道，，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：若，则． (1)填空： ； ． (2)若，，求的值． (3)探索，与之间的关系，并说明理由． 13．技巧计算： (1) (2) (3) (4) 14．（1）若，，用含的代数式表示． （2）若，用含的代数式表示． 15．比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，这3个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系． 16．观察下列各式： 第一个等式：；    第二个等式：； 第三个等式：；…… (1)根据上述规律，写出下列等式： ①第个等式为：________； ②第个等式为：________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①________； ②________； (3)有个长方形，第个长方形的长与宽分别是，，第个长方形的长与宽分别是，，第个长方形的长与宽分别是，，……，第个长方形的长与宽分别是，，试求这个长方形的面积之和． 17．【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 【理解应用】 （1）仿照上面的竖式运算方法计算：； （2）若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； （3）如图，一个长为，宽为的长方形，将它的长增加8，宽增加得到一个新长方形，且长方形的周长是长方形的周长的3倍． （ⅰ）求（用含的代数式表示）： （ⅱ）长方形的面积和另一个一边长为的长方形的面积相等，求长方形已知边长的邻边长． 18．数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为、的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得． (1)由图3可以解释的等式是_____； (2)用9张边长为的正方形纸片，12张长为、宽为的长方形纸片，4张边长为的正方形纸片拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长； (3)用5张长为，宽为的长方形纸片按照图4方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为、．通过观察可以发现，的长度固定不变，的长度会发生改变．若无论取何值，的结果始终保持不变，求准备的长方形纸片的宽与长需要满足的数量关系． 19．观察下列等式： ， ， ， …… (1)特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； (2)规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 20．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】 （1）由此可得________； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算的值． （3）若，求的值． 21．【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 【类比探究】解决下列问题： （1）若满足，则的值为______． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 22．如图，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，．沿着所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形分别为边长为和的正方形，四边形和四边形为长方形，且长方形的面积为192． (1)则__________（用含的式子表示），__________（用含的式子表示）． (2)求正方形和正方形的面积和． 23．定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称为，的“和方差数”． (1)求，的“和方差数”． (2)若两个非零数，的积是，的“和方差数”，求的值． (3)若，，求，的“和方差数”． 24．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴ ∴当时，代数式有最小值1． 材料二：我们定义：若两个关于x的多项式的和为常数，则称这两个多项式互为“和常多项式”，该常数称为它们的“和常值”．例如：，，，则A和B互为“和常多项式”，“和常值”为5． (1)判断多项式与是否互为“和常多项式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出它们的“和常值”； (2)已知多项式，（m，n为常数），且M和N互为“和常多项式”．若N的最小值为2，求M和N的“和常值”； (3)关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为．已知，求式子的最值． 25．我们规定：若两个非零实数与满足，则称这两个数为“伴侣数”，并定义（为正整数）． 例：已知与为伴侣数，且，求的值． 解：与为伴侣数 即 根据以上信息，解答下列问题： (1)已知与为伴侣数，，求的值； (2)已知与为伴侣数，，试比较与的大小． 26．我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（，均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘、除的运算与我们学过的整式加、减、乘、除的运算类似，例如计算：．根据上述材料，解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)计算；； (3)将化为（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）． (4)已知，求复数． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式乘法的压轴题型 目录 1 类型一、多项式乘多项式与图形面积 1 类型二、同底数幂的应用 7 类型三、整式乘法中的规律问题 10 类型四、乘法公式与几何图形 14 类型五、整式乘法中定义新运算问题 19 23 类型一、多项式乘多项式与图形面积 画图辅助：用图形表示变量关系，避免漏项。 反向验证：用面积结果反推多项式乘积的正确性。 核心：数形结合，确保每一步对应乘法或面积的分项。 例1．太原某创意家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的三种板材装饰一面正方形墙壁．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形墙壁的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查根据板材的数量和形状列代数式及因式分解，用代数式表示出正方形墙壁的总面积，再通过因式分解求出边长． 【详解】解：由图可得：板材的面积为，板材的面积为，板材的面积为。 ∵用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务， ∴总面积为： 即： ∴边长为． 故选：B． 变式1-1．用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，当两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． 设图（1）中的长方形的长为，宽为，图（2）中的长方形的长为，宽为，先根据大的长方形的边的长度可得，再求出图（3）中的阴影部分的周长为，图（4）中的阴影部分的周长为，则可得，，然后根据长方形的面积公式可得，，由此即可得的值． 【详解】解：设图（1）中的长方形的长为，宽为，图（2）中的长方形的长为，宽为， 图（3）中阴影部分的周长为， 图（4）中阴影部分的周长为， ∵图（3）和图（4）中的阴影部分的周长一样， ∴， ∵图（3）中，图（4）中， ∴， 得， ∴， ， ∴， 故选A． 变式1-2．如图①，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图②的一个无盖长方体纸盒． (1)若图①中长方形纸片的长为，宽为，设截去的小正方形的边长为，当所折成的图②中长方体盒子的底面积为时，可列方程： ； (2)若图②中长方体的长、宽、高分别为、、，那么图①中长方形纸片的面积是 ． (3)类似的，甲、乙两位同学分别用长方形纸片，通过裁剪与折叠，得到两个高都为的无盖长方体纸盒、；其中纸盒的长是纸盒的长的3倍，纸盒的宽是纸盒的宽的倍．试比较甲、乙两位同学所用长方形纸片面积的大小．（注：长方形的长大于宽） 【答案】(1) (2) (3)甲同学所用长方形纸片的面积大． 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，整式的混合运算． （1）求出长方体的底面的长、宽，进而根据底面积为列方程即可； （2）根据题意，得到长方形的长等于长方体的长加上两个高，宽等于长方体的宽加上两个高，再根据长方形的面积公式进行计算即可； （3）设纸盒的长和宽分别为，得到纸盒的长和宽分别为，利用长方形的长等于长方体的长加上两个高，宽等于长方体的宽加上两个高，分别求出两个长方形的面积，比较大小即可． 【详解】（1）解：∵图①中长方形纸片的长为，宽为，设截去的小正方形的边长为， ∴图②中长方体的底面的长为、宽为， ∵图②中长方体盒子的底面积为， ∴ 故答案为：； （2）解：（）， 故答案为：； （3）解：设纸盒的长和宽分别为，则：纸盒的长和宽分别为， 则甲同学所用长方形纸片面积为：， 乙同学所用长方形的纸片面积为：， 甲同学所用长方形纸片面积-乙同学所用长方形的纸片面积为： ， ∵纸盒的长和宽分别为，长方形的长大于宽， ∴， ∴， 即， ∴甲同学所用长方形纸片的面积大． 变式1-3 对于“用一根长度为20米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”这个问题，爱钻研的小华从不同的方向来思考这个问题. (1)小华考虑到这个长方形相邻两边的和是定值10，于是分别对相邻的两边取特殊值，通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足________关系时，长方形的面积最大．请你利用所学的数学知识帮助小华解释上面发现的结论． (2)聪明的小华经过深度思考，发现此结论也可以利用数形结合加以说明，方法如下： 已知长方形相邻两边的和是定值10，设一边长是x，则相邻一边的长是． ①当时，将原长方形沿直线l剪成长方形A和长方形B（如图1、图2），再将长方形B割补到长方形A的右侧（如图3），则图3中阴影部分正方形C边长为， 通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式，25，满足的等量关系为________． ②当时，进行类似上述过程的割补（图4~图6)，由图，可得出的等量关系为________． ③当时，该长方形即为正方形，其面积为25． 综上所述，周长是20的长方形的面积的最大值是________． (3)当时，仿照（2）中的割补过程（无需描述割补过程，只需要画出示意图），求代数式的最小值． 【答案】(1)相等 (2)①；②；③25 (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的运用，完全平方公式，单项式乘以多项式，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由小华计算数据即可判断； （2）①根据图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差可得答案； ②计算出的结果即可得到答案； ③根据，，可得，据此可得答案； （3）根据题中图形面积的求法画出相应的图形，进而即可求出的最大值，再根据，即可求解最小值． 【详解】（1）解：通过计算得到对应长方形的面积：，，，，． 观察上面等式，可以发现：当相邻的两边满足相等关系时，长方形的面积最大， 故答案为：相等； （2）解：①∵长方形的一边长是，相邻一边长， ∴阴影部分是一个边长为的正方形， 由图可知，长方形面积大正方形面积小正方形面积， ∴， 故答案为：； ②当时，阴影部分是边长为的正方形， ， 故答案为：； ③当时，该长方形即为正方形，其面积为； ∵，， ∴ ∴周长是20的长方形的面积的最大值是25， 故答案为：25； （3）解：， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， ， 当时，该长方形为边长是7的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是49， ∴， ∴代数式的最小值． 类型二、同底数幂的应用 1、 同底数幂相乘及逆用技巧 核心公式：aᵐ×aⁿ=aᵐ⁺ⁿ（a≠0，m/n为整数） 正向应用：2³×2⁵=2⁸ 逆用要点：将指数和拆分为乘积（如x⁷=x⁴×x³） 解题步骤： (1) 确认底数相同 (2) 合并指数时注意符号（如3⁻²×3⁵=3³） (3) 逆用时常需构造相同底数（如8=2³） 2、 幂的乘方及逆用技巧 核心公式：(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ 正向应用：(5²)³=5⁶ 逆用关键：分解复合指数（如a¹²=(a³)⁴） 易错警示： 勿与同底数幂相乘混淆（(a³)²≠a³⁺²） 处理负号时注意括号位置（(-a²)³=-a⁶） 3、 积的乘方及逆用技巧 核心公式：(ab)ⁿ=aⁿbⁿ 正向计算：(2x)³=8x³ 逆用策略：将指数分配到各因数（如25x²=(5x)²） 综合应用： 配合分配律使用（如(2a-3b)²=4a²-12ab+9b²） 处理分数时分子分母分别乘方（(a/b)³=a³/b³） 例2．若正整数满足，则下面关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和乘法的意义．熟记法则是解题的关键．左边9个相加表示为，右边9个相乘表示为，利用幂的运算性质化简后比较指数． 【详解】解：∵左边， 右边， ， ∴， 即． 故选：A． 变式2-1．表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法： ①； ②当，，，时，在的所有因数中，能被整除但不能被整除的共有个； ③若，是大于的整数，则满足条件的的最小值为． 正确的有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方等．分别求出，，，以此类推即可判断①，求出，列出能被整除但不能被整除的因数，即可判断②，根据求出，结合题意即可求出满足条件的的最小值，判断③，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ， 以此类推，，故①说法错误； ∵，，，， ∴， ∴， 故能被整除但不能被整除的因数有：，，，共有个，故②说法错误； ∵，， ∴， 即， ∵是大于的整数， ∴， ∵，， ∴满足条件的的最小值为，③说法正确． 故选：B． 变式2-2．若，（为整数），则的值是 ．（用含、的代数式表示结果） 【答案】 【分析】根据题意，得，公式变形后代入计算解答即可． 本题考查了幂的运算，完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式，正确变形是解题的关键． 【详解】解：由，得 ， 故， 又， 所以，， 故， 故答案为：． 变式2-3．已知，，，，那么a，b，c，d大小顺序为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握灵活运用幂的乘方法则． 逆用幂的乘方法则，把各个幂写成指数是2的幂，然后比较底数的大小，从而比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∵， ∴, 故答案为：． 类型三、整式乘法中的规律问题 一、基础规律识别 平方差公式应用 核心结构：( (a+b)(a-b)=- ) 关键点：识别"相同项"与"相反项"，如 ( (2x+3y)(2x-3y) ) 中 ( 2x ) 为相同项，( 3y ) 为相反项 完全平方公式拓展 两种形式： ( =+2ab+ ) ( =-2ab+ ) 快速验证技巧：中间项系数=首尾项系数积的2倍 二、特殊结构变形技巧 换元法 适用场景：多项式含重复复杂项时 操作示例： 计算 ( +3x+1)(+3x-5) ) 设 ( t=+3x )，原式=( (t+1)(t-5)=-4t-5 ) 分组配方法 典型例题： ( (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) ) 重组为 ( [(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)] ) 后展开 三、复杂问题拆解策略 降幂排列法 步骤：按字母降幂整理多项式→逐项相乘后合并同类项 示例：( (2 -x+4)( +3) ) 按 ( , ,x ) 顺序展开 系数观察法 高阶技巧： 对于 ( (+ax+b)(+cx+d) )，重点观察： ( ) 项系数：( a+c ) ( x ) 项系数：( ad+bc ) 例3．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把（其中n为自然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第行的每一项，如图所示．根据材料，则展开后含x项的系数为（   ） 杨辉三角 1 1    1 1    2    1 1    3    3    1 1    4    6    4    1 … …… A．720 B． C．360 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化类，整式乘法的规律探索，找到变化规律是解题的关键． 根据题中规律得出杨辉三角的第6行的每一项分别为：，则可得，再得出展开后含x的项为第4项，进而计算即可． 【详解】解：由题意可得杨辉三角的第6行的每一项分别为：， ∴， 在不考虑系数的情况下， ∴展开后含x的项为第4项， 此时系数为． 故选：B． 变式3-1．贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似的，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角形的排列规律，下列结论正确的是（   ） ①展开式的第三项的系数是15； ②； ③展开式中含项的系数是2026； ④展开式中各项系数之和为32． A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了数字变化规律，根据贾宪三角形的排列规律判断各结论的正误即可得解． 【详解】解：①∵展开式的第三项的系数是， ∴该结论正确； ②∵ ， ∴该结论正确； ③∵展开式中含项是第二项，每行的第二项系数都等于行数，展开式在第2026行， ∴展开式中含项的系数是2026， ∴该结论正确； ④∵展开式为， ∴其中各项系数之和为， ∴该结论正确， 综上所述，正确的结论有①②③④， 故选：D． 变式3-2已知，计算：，，． 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算： ．（为正整数）． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，解题的关键是根据题目找出规律表示出一般形式．先观察给定的等式规律，猜想出一般形式，再令，求得的值，再将所求式子变形为，进而得解． 【详解】解：由给定的等式可知，对于任意正整数 ，有 ． 令，则有 ，即， ， ． 故答案为：． 变式3-3已知，n为正整数，则 ． 【答案】385 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意可得，则可得到，…，，把这些等式的左边和右边分别求和，可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴， ， …… ， 将以上等式两边分别相加，左边求和得， 右边求和得 ∴ ∴， 故答案为：． 类型四、乘法公式与几何图形 1、 解题技巧实战示范 ▶ 题型：面积推导证明 例：用几何图形证明(2x+y)²=4x²+4xy+y² 步骤： ① 构造边长为(2x+y)的正方形 ② 分割为4个x²小正方形、4个xy长方形、1个y²正方形 ③ 通过面积求和验证公式 二、避坑指南 公式误用：如(a-b)²错算为a²-b²时，通过绘制缺角正方形图示反证 几何干扰项：遇到不规则图形时，先拆解为基本公式对应结构（如L型面积=大正方形-小正方形） 双重验证法：代数计算后，用图形剪拼验证结果合理性 例4．如图，点，，在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是24，则阴影部分的面积的大小是 ． 【答案】12 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，得出，再根据阴影部分面积的计算方法得出即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则． ∵两个正方形的面积之差是24， ， ． 故答案为：． 变式4-1 【阅读理解】阅读材料：若满足，求的值． 解：设，， 则，， 所以． 【解决问题】 (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． (3)如下图，正方形的边长为，，，长方形的面积是500，四边形和都是正方形，四边形是长方形．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)920 (2)2160 (3)阴影部分的面积为 【分析】本题考查了换元法和完全平方公式的灵活变形，关键是通过换元将复杂的代数式或几何问题转化为已知和、积、差的基础代数问题，再利用完全平方公式的变形求解． （1）通过换元将原式转化为已知两数积与和，求平方和的问题，利用完全平方公式变形求解； （2）换元后，已知两数平方和，求两数积，利用完全平方公式求解； （3）将几何问题转化为代数问题，换元后，已知两数积与差，求两数和的平方，利用完全平方公式求解． 【详解】（1）解：设，， 则，， ． （2）解：设，， 则， ， ， ， 即． （3）解：∵正方形的边长为，，， ，， ． 设，， ，， ∴阴影部分的面积为． 变式4-2图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)用两种方法表示图②中的阴影部分的面积； (2)请运用你得到的关系式计算：若，，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)或者 (2)25 (3) 【分析】（1）方法一：阴影部分是边长为的正方形，可直接用正方形面积公式表示； 方法二：大正方形面积减去四个小长方形面积，大正方形边长为，小长方形面积为． （2）利用（1）中得到的完全平方公式变形，代入已知条件计算； （3）设，，利用完全平方公式变形求解． 【详解】（1）解：方法一： 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为：． 方法二： 大正方形边长为，面积为， 四个小长方形总面积为， 因此阴影部分面积为：． 综上，阴影部分面积可表示为或者． （2）解：由（1），得． 代入，， 原式 ． （3）解：设，，则 已知，由完全平方公式：代入， ． ∴ ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景与代数变形，解题关键是通过几何图形面积的不同表示方法推导出完全平方公式的变形形式，并能灵活运用整体代入思想进行计算． 变式4-3【知识生成】：通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）． （1）比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ． 如图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式： ． 【问题探究】：（2）①已知，，则的值为 ． ②如图3，已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）①12；②7 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式的探索与应用，解决本题的关键是由面积得到乘法公式并进行变形代值求解． （1）图①中的阴影面积为大正方形面积减去小正方形的面积，图②中阴影面积为拼接后的两个长方形的面积，由此可得结论． 根据图3大正方形的面积可表示为边长乘边长，也可以由两个正方形与两个长方形的面积表示，由此可得结论． （2）①根据平方差公式，将变形为代值求解即可． ②根据完全平方公式，先求解，由此可求解． 【详解】解：（1）图①中的阴影面积为大正方形面积减去小正方形的面积，即， 图②中阴影面积为拼接后的两个长方形的面积，即， ∴比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：． 故答案为：． 图3大正方形的面积可表示为边长乘边长，即， 图3大正方形的面积也可表示为两个正方形，即；两个长方形，即， ∴图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式：． 故答案为：． （2）①∵，， ∴． 故答案为：12． ②∵，，即， ∴． 类型五、整式乘法中定义新运算问题 一、新运算的本质理解 符号特征：用★、※等特殊符号替代常规运算符号 核心要点：题干会明确定义规则（如a※b=2a+3ab-b²） 思维转化：将新运算转化为常规整式运算 示例：若x⊗y=(x+1)(y-2)，则2⊗3=(2+1)(3-2)=3×1=3 二、标准解题四步法 识别运算结构 对照题干定义，确认运算符号对应规则 例：遇到a◆b需立即匹配定义式 变量替换操作 将已知数值/代数式代入定义式 注意多层运算时的括号使用 示例：计算(2x)※y²需先展开为2x※(y²) 分步化简验证 按整式乘法法则逐步计算 检查同类项合并是否完整 典型错误：忽略指数运算优先级 逆向应用训练 已知新运算结果反推参数时，需建立方程 例：若a★b=a²-b且3★x=5，则9-x=5→x=4 三、三类必会题型精讲 基础计算型（直接套用公式） 题目：设m▽n=mn+n²，求(-2)▽3 解析：=(-2)×3+3²=-6+9=3 复合运算型（多步嵌套） 题目：a⊕b=2a-b，求(1⊕2)⊕3 关键：先算括号内1⊕2=2×1-2=0，再0⊕3=-3 参数反求型（建立方程） 题目：定义xy=3xy+k，已知21=7，求k 解法：3×2×1+k=7→k=1 四、易错警示 混淆运算顺序：新运算优先级通常等同于括号 符号遗漏：特别是负号与系数需整体代入 规则误解：注意区分"ab"与"ba"的非交换性 例5．若一个整数x能表示为两个连续正整数的平方差的形式，则称这个数为“连续平方差数”．如：，则5是连续平方差数，叫做5的连续平方差分解形式． (1)写出15的连续平方差分解形式：________； (2)若（a为整数），求证：M不是“连续平方差数”． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数的运算，完全平方公式，解题的关键是理解新定义． （1）根据新定义进行求解即可； （2）设连续两个正整数为m和，判定平方差的奇偶，然后与原数进行比较即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）证明：设连续两个正整数为m和， 则， ∴连续平方差数为奇数， ∵为偶数，与连续平方差数为奇数矛盾， ∴M不是“连续平方差数”． 变式5-1 对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换．已知两个依次排列的整式为，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此进行下去．下列说法： ①若第2次作差变换新增整式之积不含的一次项，则的值为3； ②当时，若第1次作差变换得到的整式串之积为3，则； ③第28次作差变换得到的整式串之和为． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算，多项式乘以多项式，数字类规律探究，熟练掌握给定的操作方法，确定规律是解题的关键，根据给定的操作方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：初始整式串为，，整式串之和为； 第1次变换后：，，，整式串之和为； 第2次变换后：，，，，，整式串之和为； 第3次变换后：，，，，，，，，，整式串之和为； ； 故第次变换后整式串之和为； ①若第2次作差变换新增整式之积不含的一次项，则， ∵不含的一次项， ∴，解得；故①正确； ②当时，若第1次作差变换得到的整式串之积为3， 即，整理，得， ∴， ∴；故②正确 ③∵第次变换后整式串之和为； ∴时，整式串之和，③正确 故选：D． 变式5-2如图所示是“整式和幻方”，其每行、每列、每条对角线上的三个整式之和均相等，若，则k的值为（   ） A B C D A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查整式加减的实际应用，多项式与多项式的乘法，利用幻方性质，对角线之和与行之和相等，推出，代入表达式后比较系数解出即可． 【详解】解：由题意， ∵， ∴ ； ； ∵， ∴， ∴； 故选B． 变式5-3配方法是将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． (1)若能用配方法变形为一个完全平方式，则__________． (2)若一个关于的二次三项式，通过配方法变形后能写成，且，则称这个二次三项式为“配方法定形数”，其中为“特征点”．若是配方法定形数，且其“特征点”满足，求的值． 【答案】(1)7或 (2)或 【分析】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方的意义是解答本题的关键． （1）利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值； （2）根据“配方法定形数”和“特征点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵是完全平方式， ∴， 解得或； 故答案为：7或； （2）解：∵， 则， ． ， ， 则；     当时，即 （舍去）， 当时，即 （舍去），， 综上所述：或， 即或 1．对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（   ） ①；   ②；   ③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． 根据新运算定义，分别验证三个结论的正确性． 【详解】解：对于结论①： ， ∴ 结论①错误． 对于结论②： ， ， ． ∴ 结论②正确． 对于结论③： ， 同理， ． ∴ 结论③正确． 综上，正确结论有②和③，共2个． 故选：B． 2．已知为自然数，且满足，则的取值不可能是（） A．2 B．3 C．8 D．－7 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． 将方程化简为同底数幂形式，比较指数得到和，列举所有自然数解计算的值，与选项对比找出不可能的值． 【详解】解：∵， ∴， 即． 又∵， ∴， ∴，． ∵为自然数（包括0）， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴可能值为、、、． 故选：A． 3．若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算法则，掌握幂的乘方中底数不变、指数相乘，以及等式两边同底数幂的指数相等是解题的关键． 根据指数运算法则，将等式两边化简，通过比较指数得到关于和的方程，求解后代入计算． 【详解】解：∵ ， 且等式右边为 ， ∴ ， 即 ， 比较指数得： ，， 解得 ，， ∴ 故选：D． 4．已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方；由和、的定义推出，再结合，将用表示，得到，从而求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5．贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似的，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角形的排列规律，下列结论正确的是（） ①展开式的第三项的系数是15； ②； ③展开式中含项的系数是2026； ④展开式中各项系数之和为32； A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了数字变化类规律．能够运用规律解决问题是解题的关键．根据贾宪三角形的排列规律判断各结论的正误即可得解． 【详解】解：①∵展开式的第三项的系数是， ∴正确； ②∵ ， ∴正确； ③∵展开式中含项是第二项，每行的第二项系数都等于行数，展开式在第2026行， ∴展开式中含项的系数是2026， ∴正确； ④∵展开式为 ， ∴其中各项系数之和为， ∴正确． ∴正确的结论有①②③④， 故选：D． 6．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，正方形的面积，三角形的面积，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则阴影部分的面积的底为，高之和为， 所以阴影部分的面积为，即． 因为大正方形的面积为， 所以，即小正方形的面积为． 故选：D． 7．如图，正方形，正方形的边长分别为，点在边上，这两个正方形的面积之差为，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查代数式计算与面积问题，根据题干信息得出，之间的关系是解题的关键． 根据题意，面积之差为117，即，结合，即，DG的长度恰为，根据平方差公式即可求出的值． 【详解】解：∵两正方形面积之差为117， ∴， ∵， ∴， ∵，将上述数值代入计算， 解出， 则的长度为， 故选C． 8．如图，长为，宽为的大长方形被分成7块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有 ．（填①、②、③、④） ①小长方形的较长边为； ②阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ④当时，阴影和阴影的面积和为定值． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的混合运算、多项式乘多项式等知识点，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合n为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意． 【详解】解：∵大长方形的长为、宽为，小长方形的宽为， ∴小长方形的长为，说法①符合题意； ∵大长方形的长为、宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影A的较短边为，阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为，阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为，阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若n为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为，阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为，阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为， 当时，，说法④符合题意， 综上所述，正确的说法有①③④． 故答案为：①③④． 9．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期一．其中正确的序号有 ． 【答案】①②③ 【点睛】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，根据表中等式的项数和系数的和，找出规律可判断①；利用“杨辉三角”的规律解答可判断②③④，综上即可求解，找出规律是解题的关键． 【详解】解：①∵，展开式有项，系数的和为， ，展开式有项，系数的和为:， ，展开式有项，系数的和为， ，展开式有项，系数的和为， ，展开式有项，系数的和为， ， ∴展开式有项，系数的和为，故①正确； ②∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴， 当代数式的值是时，， 解得，故③正确； ④∵， ∴展开式中除最后一项，均含有因数，都能被整除，展开式的最后一项为， ∴的余数与的余数相同， ∵， ∴的余数为， ∴的余数为， ∴如果今天是星期一，那么天后是星期日，故④错误； 综上，正确的序号有①②③， 故答案为：①②③． 10．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）； 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，杨辉三角，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 【详解】解：展开式中， 第一项是， 第二项是， ∴含项的系数是， 故答案为：． 11．先化简，再求值：，其中． 【答案】，-25 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的各类运算法则是解题的关键． 先根据幂的运算法则对代数式进行化简，然后将代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式=． 12．某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据，知道，就可以求的值．如果知道，，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：若，则． (1)填空： ； ． (2)若，，求的值． (3)探索，与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法等知识点，熟练掌握乘方的定义、同底数幂的乘法法则是解题的关键． （1）根据乘方的定义求解即可； （2）根据乘方的定义求解即可； （3）根据乘方的定义以及同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴；   ， ∴． 故答案为：，． （2）解：∵， ， ∴， ． （3）解：，理由如下： 设， ， ， ， ∴． 13．技巧计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算， （1）根据有理数运算法则计算即可，计算小括号时，利用加法的交换律和结合律凑整可以简便运算， （2）根据分母的特征，先将选择适当的两个分数进行相加，可以简化计算， （3）先对每一项约分。可以得到形式，再裂项相消即可计算； （4）逆用乘法的分配律，分子提出公因数，分母提出公因数后即可约分，由此即可得出计算结果. 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 14．（1）若，，用含的代数式表示． （2）若，用含的代数式表示． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了幂的乘法和幂的乘方，掌握运算法则是解决问题的关键． （1），，利用运算法则计算即可． （2）观察题目中数据可知，构造即可求出结果． 【详解】解：（1），， ． （2）， ， ， ， ． 15．比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，这3个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则（），将不同的幂转化为同底数或同指数的形式进行比较是解题的关键． （1）将三个幂转化为指数相同的形式，再比较底数大小； （2）将三个幂转化为底数相同的形式，再比较指数大小． 【详解】（1）解：，，， ∵， ∴； （2）解：，，， ， ， ． 16．观察下列各式： 第一个等式：；    第二个等式：； 第三个等式：；…… (1)根据上述规律，写出下列等式： ①第个等式为：________； ②第个等式为：________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①________； ②________； (3)有个长方形，第个长方形的长与宽分别是，，第个长方形的长与宽分别是，，第个长方形的长与宽分别是，，……，第个长方形的长与宽分别是，，试求这个长方形的面积之和． 【答案】(1)①；②． (2)①；②． (3)． 【分析】本题主要考查分式的裂项相消法以及规律探究，涉及到分式的运算和数列求和．关键在于准确找出分式的裂项规律，并能灵活运用裂项相消法对式子进行化简计算． （1）通过观察已知的前三个等式，找出等式中分子、分母的变化规律，进而写出第个等式和第个等式． （2）①根据（1）中得到的规律，将原式中的每一项进行裂项，然后通过相互抵消的方式化简式子，从而得出结果．      ②先将原式中的每一项进行变形，找到其裂项规律，再利用裂项相消法进行化简计算． （3）先求出每个长方形的面积表达式，然后将这个长方形的面积相加，根据（2）中①的方法进行裂项相消，进而求出面积之和． 【详解】（1）解：①通过观察得出规律， 故第个等式为：； ②第个等式为：； （2）解：①通过（1）中的规律得出， ， ； ②通过观察规律得出，则 ， ， ， ， ． （3）解：第个长方形的面积是，第个长方形的面积是，第个长方形的面积是，……，第个长方形的面积是，则这个长方形的面积之和 ，由（2）②规律可知 ， ， ， ， ， ． 综上，答案依次为：（1）①；②．     （2）①；②．     （3）. 17．【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 【理解应用】 （1）仿照上面的竖式运算方法计算：； （2）若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； （3）如图，一个长为，宽为的长方形，将它的长增加8，宽增加得到一个新长方形，且长方形的周长是长方形的周长的3倍． （ⅰ）求（用含的代数式表示）： （ⅱ）长方形的面积和另一个一边长为的长方形的面积相等，求长方形已知边长的邻边长． 【答案】（1）；（2）；（3）（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据展示的乘法计算方法解答即可； （2）根据展示的乘法计算方法解答即可； （3）（ⅰ）根据题意，长方形B的长为，宽为，根据周长关系列出等式，解答即可； （ⅱ）把a代入，得到长方形的宽，根据面积公式，除法运算解答即可。 本题考查了多项式的四则运算，列代数式，长方形的周长和面积，熟练掌握四则运算是解题的关键。 【详解】（1）解：根据题意，得 ，； （2）解：根据题意，得 ； （3）解：（ⅰ）根据题意，得长方形B的长为，宽为， 由长方形的周长是长方形周长的3倍， ， 解得：， （ⅱ）长方形的面积为：， 长方形已知边长的邻边长为。 18．数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为、的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得． (1)由图3可以解释的等式是_____； (2)用9张边长为的正方形纸片，12张长为、宽为的长方形纸片，4张边长为的正方形纸片拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长； (3)用5张长为，宽为的长方形纸片按照图4方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为、．通过观察可以发现，的长度固定不变，的长度会发生改变．若无论取何值，的结果始终保持不变，求准备的长方形纸片的宽与长需要满足的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查图形变换与代数表示图形的面积，整式的乘法运算，理清题目中图形变换规律，列代数式，整式的乘法运算是解题的关键． （1）根据图示，大长方形的面积为两个小正方形（边长为），一个大正方形（边长为），三个长方形（长为、宽为）的面积和，由此即可求解； （2）边长为的正方形纸片，长为、宽为的长方形纸片的面积为，边长为的正方形纸片的面积为，用不同数量的纸片拼成大正方形，由此即可求解； （3）设的长为．根据图示可知，，，由此即可求；根据题意有，由此即可求解． 【详解】（1）解：大长方形的面积为：，两个小正方形（边长为），一个大正方形（边长为），三个长方形（长为、宽为）的面积和为：， ∵面积相等， ∴， 故答案为：； （2）解：张边长为的正方形纸片的面积为：，张长为、宽为的长方形纸片的面积为，张边长为的正方形纸片的面积为：， ∴拼成一个大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为：， ∵，， ∴， ∴， ∴大正方形的边长为； （3）解：设的长为， ∴，， ∴， ∴； ∵无论取任何实数时，的结果始终保持不变， ∴中含项的系数为零， ∴，即． 19．观察下列等式： ， ， ， …… (1)特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； (2)规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 【答案】(1) (2) (3)运算规律为：，说明见解析 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． （1）根据题目给出的等式，结合发现的规律列出式子计算即可得解； （2）根据题目给出的等式，结合（2）的题目信息列出式子即可发现规律； （3）根据题目给出的等式，即可发现规律，运用整式的乘法运算即可证得结论． 【详解】（1）解：， ， ，…… ， 故答案为：； （2）解：由题目知：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且， ， 故答案为：； （3）解：，，，，… 且由题目知：设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数）， 可得运算规律为：， 说明如下： ， ． 20．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】 （1）由此可得________； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算的值． （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘多项式及其应用，理解题意、找到规律是解题的关键； （1）由前面三个算式得到规律，根据规律即可求解； （2）算式乘，即可利用所得结论计算； （3）等式两边同乘，左边可利用所得结论计算，进而求得的值，舍去不合题意的值，代入即可求值． 【详解】解：（1）①； ②； ③； 所以． 故答案为：． （2）原式 ． 故答案为：． （3）因为， 所以． 所以实数． 因为， 当时，， 所以，． 所以． 21．【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 【类比探究】解决下列问题： （1）若满足，则的值为______． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）12；（2）；（3）16 【分析】本题主要考查了乘法公式与图形的综合，掌握乘法公式中完全平方公式的变形，整式的混合运算方法是解题的关键． （1）仿照例题，设，，利用完全平方公式进行求解即可； （2）仿照例题，设，，利用完全平方公式进行求解即可； （3）根据正方形的边长表示出相关线段的长度，设，，利用完全平方公式表示出，然后利用作差法求出阴影部分面积即可． 【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， 故答案为：12； （2）设，， ， ， ， ， ， 的值为； （3）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是， ， ， ， ， ， ，． 22．如图，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，．沿着所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形分别为边长为和的正方形，四边形和四边形为长方形，且长方形的面积为192． (1)则__________（用含的式子表示），__________（用含的式子表示）． (2)求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查完全平方公式的应用，关键是利用正方形边长相等建立等式，结合长方形面积公式求解． （1）根据线段的和差关系，结合正方形的边长特征，直接用、表示和； （2）先由正方形边长相等得到与的差，再结合长方形面积得到的值，最后用完全平方公式计算面积和． 【详解】（1）解：∵四边形是边长为的正方形， ∴， 又， ∴； ∵四边形是边长为的正方形， ∴， 又， ∴； 故答案为：；； （2）解：∵正方形中， ∴，即； ∵长方形的面积为，且，， ∴； 正方形和的面积和为； 代入，，得． 答：正方形和正方形的面积和为． 23．定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称为，的“和方差数”． (1)求，的“和方差数”． (2)若两个非零数，的积是，的“和方差数”，求的值． (3)若，，求，的“和方差数”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，完全平方公式的应用．掌握“和方差数”的定义是解题的关键； （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义，可得，即，再将其代入中所求代数式计算即可； （3）根据题意，可知，再将，代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 即：，， ∴； （3）解：∵， 又，， ∴． 24．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴ ∴当时，代数式有最小值1． 材料二：我们定义：若两个关于x的多项式的和为常数，则称这两个多项式互为“和常多项式”，该常数称为它们的“和常值”．例如：，，，则A和B互为“和常多项式”，“和常值”为5． (1)判断多项式与是否互为“和常多项式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出它们的“和常值”； (2)已知多项式，（m，n为常数），且M和N互为“和常多项式”．若N的最小值为2，求M和N的“和常值”； (3)关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为．已知，求式子的最值． 【答案】(1)多项式与互为“和常多项式”，证明见解析，它们的“和常值”为2 (2)2 (3)8 【分析】本题主要考查了新定义，整式的混合运算，完全平方公式，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）计算出的结果，再根据“和常多项式”的定义判断即可； （2）计算出的结果，根据M和N互为“和常多项式”得到含x的项的系数为0，据此可求出m的值，再根据N的最小值为2可求出n的值，进而可得答案； （3）求出的结果，根据“和常多项式”的定义可推出，，根据得到；则可得到，进而可用m表示出，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：多项式与互为“和常多项式”，证明如下： ， ∴多项式与互为“和常多项式”； （2）解： ， ∵M和N互为“和常多项式”， ∴， ∴； ， ∵， ∴， ∵N的最小值为2， ∴， ∴， ∴， ∴M和N的“和常值”为2； （3）解： ， ， ∵关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为8． 25．我们规定：若两个非零实数与满足，则称这两个数为“伴侣数”，并定义（为正整数）． 例：已知与为伴侣数，且，求的值． 解：与为伴侣数 即 根据以上信息，解答下列问题： (1)已知与为伴侣数，，求的值； (2)已知与为伴侣数，，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据伴侣数的定义和完全平方公式解答即可求解； （）根据伴侣数的定义和完全平方公式分别求出的值，进而求出的值，再与比较即可求解； 本题考查了新定义运算，完全平方公式的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：与为伴侣数， ， ， ， ∵， ； （2）解：与为伴侣数， ， ， ， ， 又， ， 即， 又， ， 即， ∴ ， ． 26．我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（，均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘、除的运算与我们学过的整式加、减、乘、除的运算类似，例如计算：．根据上述材料，解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)计算；； (3)将化为（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）． (4)已知，求复数． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式运算的应用，平方差公式的运用，完全平方公式的运用，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意化简即可； （2）利用完全平方公式运算即可； （3）利用平方差公式和分式的性质运算求解即可； （4）根据分式方程的运算法则运算求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；1； （2）解：； （3）； （4）， 解：， ， ∴． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $