专题01 四边形的折叠问题（压轴题专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

专题01 四边形的折叠问题 目录 1 类型一、矩形的折叠问题 1 类型二、正方形的折叠问题 7 17 类型一、矩形的折叠问题 1、 解题四步法详解 步骤1：图形还原 在草稿纸上绘制折叠前后的双状态图，用虚线标注对称轴 示例：将矩形ABCD沿EF折叠，需同步画出原矩形与折叠后A'B'C'D' 步骤2：标记已知条件 边长数据（如AB=6cm） 特殊角度（如∠B'EA=30°） 重叠面积（若涉及） 步骤3：建立等量关系 勾股定理应用（如折叠后形成直角三角形时） 步骤4：验证解的有效性 检查折叠后图形是否满足几何约束 排除不符合实际长度的解（如x>原边长） 2、 易错点警示 忽略折叠后的隐藏垂直关系（如折痕与对应边的垂直线） 、 未考虑多解情况（如对称轴位置不唯一时） 例1．长方形中，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】先证明，得到，，设，则，得到，从而得到，解答即可． 本题考查了矩形，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握折叠的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形，， ∴，， 根据折叠的性质，得，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， 故选：B． 变式1-1．如图①的长方形中，E在上，沿将A点往右折成如图②所示，再作于点F，如图③所示，若，，，则图③中的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质和判定，折叠变换，勾股定理，含角的直角三角形.能作辅助线构造直角三角形是解决此题的关键. 作于，证明四边形是矩形，得出，在中，求得，则根据勾股定理可求出，可求出的长度即为的长度. 【详解】解：如图，作于，则， ∵四边形为长方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴根据折叠的性质可知 ∵ 在中，，， ∴，根据勾股定理， ∴， ∴， 故选：B. 变式1-2．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的性质和得，利用平角的定义可求出，由折叠的性质得，利用平角的定义可求出，由折叠的性质得，则． 本题主要考查了长方形的性质，图形的折叠变换及性质，角的计算，准确识图，理解长方形的性质，熟练掌握图形的折叠变换及性质是解题的关键． 【详解】解：在长方形纸片中，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， 故选：B． 变式1-3．如图1，在长方形中，，，点E为边上一动点，将沿着直线翻折后得到，请解决下列问题． 连接，当为直角三角形时，求出此时 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质、矩形性质、勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 分两种情况：①当时，利用方程根据勾股定理求出；②当时，利用方程根据勾股定理求出即可． 【详解】解：在长方形中，， ，， ∵点E在上运动， 则， ①当时，    三点在同一直线上， 在中，根据勾股定理，得： ， ， 由折叠知：， 在中，根据勾股定理，得： ， 解得：； ②当时，即点F落在上时，    在中，根据勾股定理，得： ， ， 在中，根据勾股定理，得： ， 解得：； 综上所述，当为直角三角形时，求出此时或， 故答案为：或． 变式1-4．如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，作点关于的对称点，连接，由于四边形是矩形，所以，，，则，，在中，，从而得，故当共线时，的值最小，最小值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵是定值， ∴ 当共线时，的值最小，最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 类型二、正方形的折叠问题 对称性应用:所有折叠线必为正方形的对称轴（对角线/中线/角平分线） 折叠后重合的点到折叠线的距离相等（如：点A折叠到点C，则AC⊥折叠线） 几何变换关系:折叠本质是反射变换，满足： 对应点连线被折叠线垂直平分 折叠前后图形全等 关键量关系：角度关系：原角=新角±折叠角（如30°折叠产生60°角） 例2．如图，正方形的边长为4，点E为的中点，连接，将沿折叠，点A的对应点为F．连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定．连接交于点O，过点F作交于点M，交于点N，根据勾股定理求出，根据折叠得出，根据勾股定理得出，求出，最后根据矩形的判定和性质，勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，连接交于点O，则，过点F作交于点M，交于点N， ∵， ∴， ∵，点E是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2-1．如图，将正方形纸片沿折叠，使点落在边的点处（不与重合）点落在点处，交于点，连接，交于点，连接．①垂直平分；②平分：③：④． 上述结论正确的有 （只填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了正方形的折叠问题，做题时，通过折叠的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识求解是解题的关键． 通过折叠的性质得到是的垂直平分线，，，可推出，即可判断①②，作，证明全等三角形，即可判断③，通过已知条件证明是等腰三角形，设正方形的边长为，当P为中点时，根据勾股定理求出，进而求出，在中，根据勾股定理得出，解方程求出，再根据勾股定理求出，即可判断． 【详解】解：由折叠的性质可得是的垂直平分线，故①正确； 折叠， ，， ， ，， ， 由题意可得：， ， 平分， 故②正确； 作， ， 在和中，， ， ，， 四边形为正方形， ， 又， ， ， ， 故③正确； 设正方形的边长为，当P为中点时，如图， 则， 在中，， 是的垂直平分线， ， ，， ，， ， 即， ， 为等腰直角三角形， ，即， ， 在中，， ， ， ， 而， ， 故④错误， 故正确的有：①②③， 故答案为：①②③． 变式2-2．你知道吗？通过规则折纸，我们可以实现分点切割、直角定位、平行线绘制等精准构图，一张普通的纸张也可化作一把“几何神器” 以下是某一折纸的操作流程： 第一步：取一张正方形纸片，对折正方形纸片，折叠后左右两部分完全重合，记折痕为； 第二步：展开折叠纸片，继续沿直线折叠，使折叠后点D与点E重合，点C落在点处． (1)尺规作图：画出折痕； (2)设与的交点为Q．观察并猜想：点Q是线段的几等分点？验证你的猜想． 【答案】(1)图见解析 (2)点为的三等分点，证明见解析 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，正方形与折叠，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据折叠的性质，得到垂直平分，连接，作的中垂线即为直线； （2）设正方形的边长为1，作，连接，设，则，在，勾股定理求出的值，设，则，，在和中，勾股定理表示出，，再在中，利用勾股定理求出的值，即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：点为的三等分点，证明如下： 设正方形的边长为1，作，连接，则四边形为矩形， ∴，， 设，则， ∵折叠， ∴，，， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， 设，则，， 在中，； 在中，， 在中，， ∴，解得； ∴， 即点为的三等分点． 变式2-3．正方形的边长为，点是边上一点不与端点重合，将沿所在直线对折至，延长交边于点，连接，可得，连接． (1) ； (2)如图1，若，点为边的中点，求的面积； (3)如图2，若，判断与是否平行？并说明理由； (4)请直接写出 用含的式子表示． 【答案】(1) (2) (3)与平行，理由见解析 (4) 【分析】本题考查正方形半角模型以及勾股定理和面积的应用，解题关键是能够熟练运用这些知识去解题． （1）通过证明，，进而得到答案； （2）设，结合，利用勾股定理解直角三角形得到的值，再通过相似即可得到答案； （3）通过勾股定理得到为中点，得到，通过倒角得到答案； （4）利用正方形的面积与三角形面积与五边形的面积的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，四边形是正方形， ，， 将沿直线翻折，得到， ，，，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）作，垂足为点，如图， 设，则， 为中点， ， 由（1）知，， 在中，由勾股定理得， ， ， 整理得：， 解得：， ，， ， ， ； （3）与平行，理由如下， 设，则，如图， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 整理得：， ∴ ， ， 由折叠可知，， 又， ， ， ， ； （4）设，，则，，如图， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 整理得：，① 由 ，② ∴把①代入②得， ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 变式2-4 如图，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，若，求的长． 【答案】2 【分析】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握相关性质是解题的关键． 连接，由正方形的性质得，，由点是的中点，得，由折叠得，，，则，，可证明，则，根据勾股定理列方程得，求得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ，， ∵点是的中点， ， 由折叠得，，， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ，解得， 的长度为2． 1．如图，在边长为8的正方形纸片中，E、F分别是边、上的两点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处，则的长度是（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作，交于点，证明四边形是平行四边形，再证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作，交于点， ∵正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度是， 故选：A． 2．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 由第一次折叠可知，，则四边形为正方形，，，由第二次折叠可知，利用平行线的性质得，于是可得，由等边对等角得，以此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ． 由第一次折叠可知，， 四边形为正方形， ， ． 由第二次折叠可知，， ， ， ， ， ． 故选：D． 3．如图，正方形的边长为6，点E，F是边上的点，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接，若折痕，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，证明，得出，然后利用勾股定理求出，假设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由翻折的性质得， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 假设，则， 由勾股定理得， 即 解得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，列方程解决几何问题，解题的关键是掌握以上性质． 4．如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，平角的定义，计算解答． 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平角的定义，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵长方形纸片， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．在矩形中，，，点E为中点，将沿折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形中位线定理．取的中点M，连接，根据矩形的性质和折叠的性质可得：，，，应用勾股定理可求出，用等面积法求出，利用三角形中位线定理可得，再用勾股定理求，进一步即可求出． 【详解】解：取的中点M，连接， ∵矩形中，，，点为中点，将沿折叠，使点落在矩形内的点处， ∴，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，在矩形ABCD中，，．将矩形沿AC折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．本题中设，根据直角三角形中运用勾股定理求是解题的关键． 由折叠的性质得到，根据矩形的性质得到，从而得到，根据等腰三角形的判定定理得到，设，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由折叠可得． ， ， ， ． 设，则，． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ， ． 故选：A． 7．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接，现在有如下4个结论：①；②；③是直角三角形；④．在以上4个结论中，正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是根据“”判定，故①正确；由全等三角形的性质可设，则，，利用勾股定理建立方程求出，，故②正确；由折叠的性质可设，得出，，进而得出，故③正确；先求出，再根据，可求出，故④正确. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质得，，， ∴，， 在与中 ∴ 故①正确； ∵正方形的边长为12， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中， 即 解得 ∴，， ∴， 故②正确； 由折叠的性质得，， 设 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故③正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故④正确， 故答案为：①②③④. 8．如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是边，上的点，连接，将四边形沿折叠，点B 的对应点G恰好落在边上，点A 的对应点为H，连接．当取得最小值时，此时线段的长为 ． 【答案】 【分析】过点A作交于点I，连接，构造，再延长至K，使，连接，，，构造，由全等三角形的性质，将转化为，根据全等三角形的性质得出此时，设此时，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点A作交于点I，连接， 由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形可得，， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 延长至K，使，连接，，， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由翻折可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、G、K三点共线时，最小，即最小， ∵、G、K三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当最小时，， 设此时，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即当最小时，． 故答案为：． 【点睛】本题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等，解题关键是作辅助线构造全等三角形和直角三角形． 9．如图，长方形中，,,点是射线上一动点（不与重合），将沿着所在的直线折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】1或9 【分析】根据折叠的性质得到对应边和对应角相等，再分情况讨论为直角三角形时的情况，利用勾股定理建立方程求解的长度. 此题主要考查了长方形的性质、折叠的性质、勾股定理等.根据直角三角形的性质分情况讨论求解的长度是解题的关键． 【详解】解：①当点在线段上时， 如图所示：∵，            ∴，，三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴； ②当点在的延长线上时， 如图2所示：∵，，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的值为1或9. 10．如图，在矩形中，，，E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，的面积是 ． 【答案】 【分析】连接交于点，作于点，由矩形的性质可得，由题意可得，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，则，根据四边形的面积计算得出，由等边对等角可得，，结合三角形内角和定理求出，再由勾股定理可得，再由等面积法求出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接交于点，作于点， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 11．如图，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，若，求的长． 【答案】2 【分析】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握相关性质是解题的关键． 连接，由正方形的性质得，，由点是的中点，得，由折叠得，，，则，，可证明，则，根据勾股定理列方程得，求得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ，， ∵点是的中点， ， 由折叠得，，， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ，解得， 的长度为2． 12．在边长为的正方形纸片中，点在边上，连接，将沿折叠，得到． (1)如图1，若点落在对角线上，求的长； (2)如图2，若的延长线与相交于点，猜想，，的数量关系，并证明； (3)如图3，点是的中点，连接，当的长最短时，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． (1)根据正方形的性质可知，当点落在对角线上时，由折叠的性质可知，，，，从而可知，根据折叠的性质可知； (2)连接交于点，延长交于点，可证，根据全等三角形的性质可知，根据正方形的对边平行可证，根据等角对等边可知，可证结论成立； (3)连接，在中，，，利用勾股定理可以求出，当点落在上时，的长最短，根据，可知. 【详解】（1）解：在正方形中， ，，， ， 由折叠得，，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：， 证明：如下图所示，连接交于点，延长交于点， 由折叠得，． ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如下图所示，连接，在中，，， ， ， ， 当点落在上时，的长最短， 此时， 由（2）知，， ， 当的长最短时，． 13．综合与实践 【引入】纸飞机是一种普遍的娱乐活动，下面给出了一种简单的纸飞机的叠法． 【操作】①对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，如图1；②按图2的方式沿、折叠使点、均落在上的点处； ③再按图3的方式沿、折叠，使、均落在上； ④得到图4，、均与点重合；沿折叠，再把两个翅膀打开，即可完成． 【探究】 (1)求图3中的度数； (2)求图4中的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质和正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由折叠的性质和正方形的性质得到进而求出，即可求出的度数； （2）由折叠的性质可知，先求出，进而求出，最后利用邻补角即可求出的度数． 【详解】（1）解：由折叠可知， ， ， ， ； （2）解：由折叠知，， ， ， ， ， ． 14．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中是“神奇四边形”的是________；（填序号） (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连接，． ①判定四边形是否为“神奇四边形”； ②如图2，点M，N，P，Q分别是，，，的中点，则四边形________“神奇四边形”；（填“是”或“不是”） (3)如图3，点F，R分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O．若，正方形的边长为9，求线段的长． 【答案】(1)④； (2)①是；②是 (3) 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论；②由三角形中位线定理得出，则四边形为平行四边形，再证四边形是正方形，则可得出结论； （3）在取折叠时点的对应点，连接，可以证明，，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，即可解决问题． 【详解】（1）平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等 正方形是“神奇四边形” 故答案为：④ （2）①是 证明：四边形是正方形 在和中 又 四边形是“神奇四边形” ②解：四边形是“神奇四边形”， 理由如下： 为的中点， 为的中位线， 同理：，， ，， ，， ， 四边形为平行四边形 ， ， 平行四边形为菱形 ， ， ， ， ， 四边形为正方形 四边形是“神奇四边形” （3）解：如图，在上取折叠时点的对应点，连接， ∴， 又∵， ∴、在同一直线上，是与的交点， 由翻折的性质可知，，，，， 四边形是正方形，边长为， ，， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， 即线段的长为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 15．综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 【实践操作】如图1，在矩形纸片中，． 第一步：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 【解决问题】 （1）在图3中，与的数量关系是________，________． （2）在图3中，连接，试判断的形状，并给予证明． 【拓展应用】 （3）已知，在矩形中，，，点P在边上，将沿着折叠，若点A的对应点恰落在矩形的对称轴上，请求线段的长度． 【答案】（1），；（2）为等边三角形，证明见解析；（3）或 【分析】（1）由折叠的性质和勾股定理可求解； （2）由折叠的性质可得，由线段中垂线的性质可得，可得结论； （3）根据点A的对应点恰落在矩形的对称轴，分两种情况讨论，①当点落在上时，②当点落在上时，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解：∵对折矩形纸片，使与重合， ∴，， 由折叠可得：， ∴在中，； ∴ 故答案为：，； （2）解：为等边三角形； 理由如下：由（1）可知：，， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； （3）解：①如图，当点落在上时， 由折叠可知：， ， ∵， ∴点是的中点， ∴点在矩形的对称轴上， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ②如图，当点落在上时 由（2）可知：是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ，即 ， ∴或（舍去）， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 16．如图，在矩形ABCD中，，，E是AB上一点，且，F是BC上一动点．若将沿EF对折后，点B落在点P处，求点P到点D的最短距离． 【答案】10 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，利用数形结合的思想，根据图形确定点到点的最短距离是解题的关键． 如图，连接，．由，则根据勾股定理可得，由翻折可得，由可知，当，，三点共线时，的长最短，进而完成解答． 【详解】解：如图，连接，． ∵四边形是矩形， ． ，， ． ， ． 由折叠的性质，得． ， ∴当，，三点共线时，的长最短， ∴点到点的最短距离． 17．（1）下题是北师大版九年级上册数学课本上的一道题； 如图1，在矩形中，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为．求的值． 如图2，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程． （2）如图3，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合）．过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，求平行四边形的周长． （3）如图4，当点是等边外一点时，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点．若，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）24；（3） 【分析】（1）连接，由矩形的性质得出，，，，，再由勾股定理得，则，，然后由三角形面积即可得出结论； （2）连接，过点作于，证，则，再由勾股定理得，然后由三角形面积求出，即可解决问题； （3）连接，，，由，求得，由，得，从而求出． 【详解】解：（1）如图2，四边形是矩形， ，，，，， ，， ，， ， 解得； （2）四边形是矩形， ，，， ， 连接，过点作于点，如图所示： 则四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，，， ， ， ， 的周长； （3）如图，过点A作于点D，连接，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形与折叠的问题，等腰三角形的判定，勾股定理，等边三角形的性质，正确理解题意并利用等面积法求解是解题的关键． 18．如图1，在矩形中，，，E为射线上一动点，设．连接，点B关于的对称点为，作射线． (1)【基础探究】如图2，点E在线段上，且射线经过点D． ①求证：； ②求此时x的值； (2)【应用拓展】若射线交边于点F，． ①当时，求x的值； ②当时，直接写出x的值． 【答案】(1)①见解析；②2； (2)①当时，或；②当时，或． 【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、分类讨论思想；解题的关键是利用轴对称得到等角等边，结合勾股定理建立方程，并对动点E的位置进行分类讨论． （1）①利用轴对称得，结合矩形中得，从而推出，证得；②由，在中用勾股定理求出，进而得到的长度． （2）①当时，得，连接，利用勾股定理求出，再分E在线段上和延长线上两种情况，结合的不同表达式与勾股定理列方程求解；②当时，得，，同理求出，分两种情况列方程求解． 【详解】（1）① 证明：∵ 点与关于对称 ∴ ， ∴， ∵ 四边形是矩形 ∴ ， ∴， ∴， ∴ ② 解：∵ 四边形是矩形， ∴ ． 由①知， 在中，， ∴ ， 故． （2）解：连接，因， ∴，即是直角三角形． 在与中，， ① 当时，，即，又． 以下分两种情况讨论： 情况一：点E在边上（如图）， ， ∴， 又， 在中，，即， 解得：． 情况二：点E在的延长线上（如图）， 同①情况一，， ∴， 又， 在中，，即， 解得：． 综合两种情况，当时，或． ② 当时，，即，又． 以下分两种情况讨论： 情况一：点E在边上（如图）， ， ∴， 又， 在中，，即， 解得：． 情况二：点E在的延长线上（如图）， 同②情况一，， ∴， 又， 在中，，即， 解得：． 综合两种情况，当时，或． 19．如图，矩形中，．    (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长； ②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 【答案】(1)① ；②的面积 (2)的长为或 【分析】（1）①根据折叠的性质以及F平分，得出，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，得出，即可求解；②延长交的延长线于点G，根据折叠的性质以及矩形的性质得出，进而在中，勾股定理求得的长，等面积法求得边上的高，进而根据三角形的面积公式即可求解； （2）分两种情况，①当E在的延长线上时，证明，②当E在线段上时，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴； ②如图所示，延长交的延长线于点G，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴，， 设中边上的高为h，则， ∴， ∴的面积； （2）当点E、、D三点共线时，分两种情况： ①当E在的延长线上时，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当E在线段上时，    由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键． 20．九年级数学兴趣小组以探究“矩形的性质”为主题开展活动．小星将如图所示的矩形纸片进行折叠，使点落在边上的点处，折痕为，展开后，连接，就可以得到一个四边形． (1)如图①，与的数量关系为_______，与的位置关系为_______． (2)如图②，将图①中的矩形纸片沿过点的直线进行折叠，使得点恰好落在上的点处，展开后，分别连接，，并延长交于点，证明：； (3)如图③，若将图①中的矩形纸片沿中点所在直线进行折叠，使得点恰好与点重合，展开后，折痕所在的直线交的延长线于点，交于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，即可得出答案； （2）根据全等三角形的判定与性质，垂直的判定方法，即可得证； （3）先连接，，，与交于点，根据折叠的性质，得出垂直平分，进一步得出，再通过推导角之间的关系，得出为直角三角形，最后利用直角三角形斜边上的中线的性质，即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ，， ，． 矩形纸片进行折叠，使点落在边上的点处，折痕为， ，，， ， 即与的数量关系为，与的位置关系为． 故答案为：，． （2）证明：由（1）得，，， ． 由折叠得，， ， ． ， ． ， ， ， ． （3）解：，理由如下： 如图，连接，，，与交于点， 由矩形纸片沿进行折叠，使点落在边上的点处， 得，， ． 又矩形纸片沿中点所在直线进行折叠， 垂直平分， ， ， ， ． ， ． ， ，即， 为直角三角形． 点为的中点， . ， ． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 四边形的折叠问题 目录 1 类型一、矩形的折叠问题 1 类型二、正方形的折叠问题 3 4 类型一、矩形的折叠问题 1、 解题四步法详解 步骤1：图形还原 在草稿纸上绘制折叠前后的双状态图，用虚线标注对称轴 示例：将矩形ABCD沿EF折叠，需同步画出原矩形与折叠后A'B'C'D' 步骤2：标记已知条件 边长数据（如AB=6cm） 特殊角度（如∠B'EA=30°） 重叠面积（若涉及） 步骤3：建立等量关系 勾股定理应用（如折叠后形成直角三角形时） 步骤4：验证解的有效性 检查折叠后图形是否满足几何约束 排除不符合实际长度的解（如x>原边长） 2、 易错点警示 忽略折叠后的隐藏垂直关系（如折痕与对应边的垂直线） 、 未考虑多解情况（如对称轴位置不唯一时） 例1．长方形中，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（   ） A． B．4 C．5 D． 变式1-1．如图①的长方形中，E在上，沿将A点往右折成如图②所示，再作于点F，如图③所示，若，，，则图③中的长度为（   ） A． B． C． D． 变式1-2．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 变式1-3．如图1，在长方形中，，，点E为边上一动点，将沿着直线翻折后得到，请解决下列问题． 连接，当为直角三角形时，求出此时 ． 变式1-4．如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是 ． 类型二、正方形的折叠问题 对称性应用:所有折叠线必为正方形的对称轴（对角线/中线/角平分线） 折叠后重合的点到折叠线的距离相等（如：点A折叠到点C，则AC⊥折叠线） 几何变换关系:折叠本质是反射变换，满足： 对应点连线被折叠线垂直平分 折叠前后图形全等 关键量关系：角度关系：原角=新角±折叠角（如30°折叠产生60°角） 例2．如图，正方形的边长为4，点E为的中点，连接，将沿折叠，点A的对应点为F．连接，则的长为 ． 变式2-1．如图，将正方形纸片沿折叠，使点落在边的点处（不与重合）点落在点处，交于点，连接，交于点，连接．①垂直平分；②平分：③：④． 上述结论正确的有 （只填写序号）． 变式2-2．你知道吗？通过规则折纸，我们可以实现分点切割、直角定位、平行线绘制等精准构图，一张普通的纸张也可化作一把“几何神器” 以下是某一折纸的操作流程： 第一步：取一张正方形纸片，对折正方形纸片，折叠后左右两部分完全重合，记折痕为； 第二步：展开折叠纸片，继续沿直线折叠，使折叠后点D与点E重合，点C落在点处． (1)尺规作图：画出折痕； (2)设与的交点为Q．观察并猜想：点Q是线段的几等分点？验证你的猜想． 变式2-3．正方形的边长为，点是边上一点不与端点重合，将沿所在直线对折至，延长交边于点，连接，可得，连接． (1) ； (2)如图1，若，点为边的中点，求的面积； (3)如图2，若，判断与是否平行？并说明理由； (4)请直接写出 用含的式子表示． 变式2-4 如图，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，若，求的长． 1．如图，在边长为8的正方形纸片中，E、F分别是边、上的两点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处，则的长度是（    ） A． B． C．10 D． 2．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 3．如图，正方形的边长为6，点E，F是边上的点，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接，若折痕，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．在矩形中，，，点E为中点，将沿折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C． D． 6．如图，在矩形ABCD中，，．将矩形沿AC折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 7．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接，现在有如下4个结论：①；②；③是直角三角形；④．在以上4个结论中，正确的有 ． 8．如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是边，上的点，连接，将四边形沿折叠，点B 的对应点G恰好落在边上，点A 的对应点为H，连接．当取得最小值时，此时线段的长为 ． 9．如图，长方形中，,,点是射线上一动点（不与重合），将沿着所在的直线折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为 ． 10．如图，在矩形中，，，E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，的面积是 ． 11．如图，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，若，求的长． 12．在边长为的正方形纸片中，点在边上，连接，将沿折叠，得到． (1)如图1，若点落在对角线上，求的长； (2)如图2，若的延长线与相交于点，猜想，，的数量关系，并证明； (3)如图3，点是的中点，连接，当的长最短时，求的长． 13．综合与实践 【引入】纸飞机是一种普遍的娱乐活动，下面给出了一种简单的纸飞机的叠法． 【操作】①对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，如图1；②按图2的方式沿、折叠使点、均落在上的点处； ③再按图3的方式沿、折叠，使、均落在上； ④得到图4，、均与点重合；沿折叠，再把两个翅膀打开，即可完成． 【探究】 (1)求图3中的度数； (2)求图4中的度数． 14．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中是“神奇四边形”的是________；（填序号） (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连接，． ①判定四边形是否为“神奇四边形”； ②如图2，点M，N，P，Q分别是，，，的中点，则四边形________“神奇四边形”；（填“是”或“不是”） (3)如图3，点F，R分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O．若，正方形的边长为9，求线段的长． 15．综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 【实践操作】如图1，在矩形纸片中，． 第一步：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 【解决问题】 （1）在图3中，与的数量关系是________，________． （2）在图3中，连接，试判断的形状，并给予证明． 【拓展应用】 （3）已知，在矩形中，，，点P在边上，将沿着折叠，若点A的对应点恰落在矩形的对称轴上，请求线段的长度． 16．如图，在矩形ABCD中，，，E是AB上一点，且，F是BC上一动点．若将沿EF对折后，点B落在点P处，求点P到点D的最短距离． 17．（1）下题是北师大版九年级上册数学课本上的一道题； 如图1，在矩形中，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为．求的值． 如图2，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程． （2）如图3，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合）．过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，求平行四边形的周长． （3）如图4，当点是等边外一点时，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点．若，请直接写出的面积． 18．如图1，在矩形中，，，E为射线上一动点，设．连接，点B关于的对称点为，作射线． (1)【基础探究】如图2，点E在线段上，且射线经过点D． ①求证：； ②求此时x的值； (2)【应用拓展】若射线交边于点F，． ①当时，求x的值； ②当时，直接写出x的值． 19．如图，矩形中，．    (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长； ②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 20．九年级数学兴趣小组以探究“矩形的性质”为主题开展活动．小星将如图所示的矩形纸片进行折叠，使点落在边上的点处，折痕为，展开后，连接，就可以得到一个四边形． (1)如图①，与的数量关系为_______，与的位置关系为_______． (2)如图②，将图①中的矩形纸片沿过点的直线进行折叠，使得点恰好落在上的点处，展开后，分别连接，，并延长交于点，证明：； (3)如图③，若将图①中的矩形纸片沿中点所在直线进行折叠，使得点恰好与点重合，展开后，折痕所在的直线交的延长线于点，交于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $