专题11 相似三角形中的几何模型（3大题型5难点，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习知识清单聚焦相似三角形中的几何模型，系统梳理一线三等角、飞鱼、手拉手三大核心题型，涵盖5个难点突破方向，构建从母题溯源到变式训练再到中考模拟的递进式复习架构。 清单以“题型+难点”双维度组织知识，每个模型标注具体难点如“作垂线构造一线三垂直”“隐藏线段关系”，通过典例解析培养数学思维与推理能力。设计“中考母题溯源”和“模拟闯关”模块，搭配图形示例与解题思路提示，助力学生直观理解模型应用，既方便学生自主复习，也为教师教学提供精准资源支持。

专题11 相似三角形中的几何模型（3大题型5难点，题型清单） 题型一：一线三等角模型 难点01：作垂线构造一线三垂直模型 难点02：作等线段构造一线三等角模型 题型二：飞鱼模型 难点03：题中隐藏一组线段关系 题型三：手拉手模型 难点04：作共顶点三角形构造手拉手模型 难点05：连接拉手线构造手拉手模型 题型一：一线三等角模型 【中考母题溯源·学方法】 【典例1】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 【变式1-1】难点01：作垂线构造一线三垂直模型 （25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】难点02：作等线段构造一线三等角模型 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，平面直角坐标系中，矩形的边，点，分别在轴，轴上，反比例函数的图象经过点，则值为（    ） A． B． C．7 D．9 2．（25-26九年级上·上海·月考）如图，，且和之间的距离是1，和之间的距离是2，的三个顶点分别在、、上，与交于点，如果，，那么的长是 ． 3．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 4.感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，求的值． 5．（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 6．（2025·江西·模拟预测）如图，将反比例函数 的图象沿直线向下翻折，翻折后的图象与轴交于点，点在该反比例函数图象上，以为边在上方作正方形，点恰好落在轴上，已知点的纵坐标为2， (1)求的值． (2)设边与反比例函数 的图象的交点为，求点的坐标． 7．（1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 8．（2023·吉林长春·一模）【基础问题】 如图①，矩形中，点E为边上一点，连接，作交于点F，且，求证：． 【拓展延伸】 （1）如图②，点E为平行四边形内部一点，，作交延长线于点F，若，则平行四边形的面积为_________． （2）如图③，在正方形中，，在边上取一点E，使，将沿翻折到位置，作于点F，在右侧作，则面积的最大值为_________． 9．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 10．（2024·甘肃天水·二模）综合与实践 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____； (2)如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长； (3)如图3，在四边形中，，，，，求的值． 11．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二：飞鱼模型 【中考母题溯源·学方法】 【典例2】（2025·河南·模拟预测）综合与实践 【问题初探】 (1)数学课上，李老师展示了这样一个问题：“如图，在中，，点是边上一点，点是延长线上的一点，连接交于点，若，求证：．” 如图，小乐同学从中点的角度，给出了一种解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明； 如图，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点作，交的延长线于点，利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明． 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 (2)李老师发现以上两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好地理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答． 如图，在中，点在边上，是的中点，连接，，与相交于点，若，求证：． 【学以致用】 (3)如图，在中，，，平分，点在的延长线上，过点作，交于点，交于点，且，若，请直接写出的长度． 【变式2-1】（24-25九年级上·江西景德镇·期中）马超同学在学完相似三角形的性质后对截任意三角形边的线段展开了如下探究： 如图①，中，点、分别是边、的中点，连接、、线段、交于点，已知的面积为12． （1）__________；__________； （2）_____； 如图②，中，点为边上的动点，过点作射线分别交边及边的延长线于点、，此时，马超同学发现，线段与的三边（或其延长线）都产生了交点，他把线段称为的的截线段； 深入探究： （3）截线段上的三个交点、、与的三个顶点、、所组成的线段（特别是交点所在边所形成的线段如、、等）之间是否存在某种数量关系？爱思考的马超同学立刻展开探究； 根据已有的知识经验，为了找线段之间的关系，可尝试先考虑线段的比，因此，可尝试构造平行线从而得到相似三角形，进而得出线段之间比的关系：对任意，过点作交线段的延长线于点，易得，通过多次对比，马超得出了的重要结论，请根据图②沿着马超的思路尝试着证明该结论； 通过以上结论，马超同学发现了一个有趣的事实，对于结论，该结论从结构上看，作为分子的三条线段首字母为的三个顶点（、、顺序排列），而作为分母的三条线段的第二个字母恰为上方三个字母的延续如，而如字母、、恰为线段、、边上（或延长线上）的点． 方法应用： （4）如图③，中，、、为边、、上的点，，，若点为的中点，连接交线段于点，请直接写出的值． 【变式2-2】难点03：题中隐藏一组线段关系 13．（2023·江苏盐城·二模）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得 的对应线段成比例．    【初步体验】 （1）如图 1，在中，点 D 在上，E 在上，．若，，则 ， ； （2 ） 已知，如图 1 ，在中，点 D 、E 分别在、上，且． 求证：． 证明：过点作的平行线交于点 F … … … … … … 请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）和上面的基本事实，补充上面的证明过程； 【深入探究】 （3 ）如图 2，如果一条直线与的三边、、或其延长线交于 D、F、E 点，那么是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由； （4） 如图 3 ，在中，D 为 的中点，．则 ．    【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·山东济南·三模）【问题初探】 （1）如图1，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 请写出完整的证明过程，以下解题思路仅供参考． 思路1：延长至点，使，连接，构造…… 思路2：过点作交延长线于点，构造…… 【迁移应用】 （2）如图2，已知等边中，为边上一动点，连接，将绕若顺时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图3，已知中，，，点是斜边上的一点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接线段，点为线段的中点，连接．若，，求线段的长度． 2．（2025·广西梧州·一模）如图1，在中，点、分别是与的中点，可得，且． ［初步感知］（1）如图2，在中，，，、是的中线，并相交于点，、分别是和上的点，且，求的长； ［尝试应用］（2）如图3，在中，、分别是、的中点，连接，将绕点逆时针旋转一定角度，连接、，若，求的值； ［拓展运用］（3）如图4，在等边三角形中，是射线上一动点（点在点的右侧），连接，把线段绕点逆时针旋转得到线段，是的中点，连接、．若，，求的值． 3．（24-25九年级上·江苏淮安·月考）综合与实践 【问题初探】 （1）如图1，是的中线，交于点E，交于点F，且， 则下面是小明、小红的部分思路和方法， 小明的思路和方法：如图2，延长到点G，使，连接，构造…． 小红的思路和方法：如图3，过点B作交延长线于点G，于是得到…； 根据小明或小红的方法，可以得到线段与的数量关系是______． 【变式拓展】 （2）如图4，在中，，交于点E，交于点F，且，判断线段与的数量关系，请说明理由 【迁移应用】 （3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图5的线段上作一点P，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【综合提升】 （4）如图，平面直角坐标系中，，，，过B、C点分别作平行线，交x轴于E、F两点，若，直线、之间距离的最大值为_____． 4．（2025·贵州铜仁·三模）【问题解决】（1）如图，在正方形中，点为边上的一点，过点作于点，交于点，求的值； 【灵活运用】（2）如图2，在矩形中，点是边上一点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值； 【知识迁移】（3）如图3，在中，，点是边的中点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值． 5．（2024·湖北荆州·二模）【教材呈现】 人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下： 【类比分析】 （1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长． 【迁移探究】 （2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________． 6.【阅读材料】 教材习题 如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点．   问题分析 由条件易证，从而得到，即点是的中点 方法提取 构造“平行字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法    请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题． 【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点． (1)如图1，若，，求证：点是的中点； (2)如图2，若，，探究与之间的数量关系； 【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为______，扫过的面积为______． 7．（2025·广东深圳·二模）综合与探究 【课本回顾】如图1，在中，中线，，于点，点叫做的重心． 【知识探究】 （1）如图2，数学兴趣小组发现，当的中线，交于点时，不管的边长如何变化，线段与存在固定的数量关系，并经过讨论得到如下两种解决思路： 思路一 思路二 第一步 如图3，取中点，连接，证明； 如图4，作平行交延长线于点，先证明，再证明； 第二步 利用相似三角形的性质及中位线的性质，得到线段与之间的数量关系 利用全等三角形的性质及相似三角形的性质，得到线段与之间的数量关系 图形表达                                  在上述两种思路中，可以选择其中一种，并完成具体解题过程；（若用其他思路解决问题，则写第3种） 【问题解决】 （2）在中，为直径，点是上一点（不与点，重合）． ①如图Ⅱ，若点是弦的中点，交于点，则的值为 　　； ②如图Ⅲ，在①的条件下，若，求的值； ③如图，若，，为弦上一动点，过作，交于点，交于点．设，，直接写出与的函数关系式． 8．（2026·湖北·模拟预测）如图1，在中，，是延长线上一点，，连接，是延长线上一点，． 问题提出：当时，探究的值． （1）先将问题特殊化．如图2，当时，直接写出的值； （2）再将问题一般化．如图1，证明（1）中的结论仍成立； 问题拓展： （3）如图3，过点作于点，若，直接写出的值用含的式子表示． 题型三：手拉手模型 【中考母题溯源·学方法】 【典例3】1（2025·四川·中考真题）和中，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】 （2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． 【变式3-1】难点04：作共顶点三角形构造手拉手模型 （2024·山东聊城·模拟预测）综合与实践 将正方形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，， (1)如图1，当时，的形状为_______，连接，可求出的值为______； (2)当且时． ①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值，若，请直接写出此时点到的距离． 【变式3-2】难点05：连接拉手线构造手拉手模型 （2025·河南濮阳·一模）在矩形中，E是边上一点，以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接． 【特例发现】 （1）如图1，当时，________； 【类比探究】 （2）如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接AE，当时，求的值； 【拓展运用】 （3） 如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D，G，F三点共线．若，，请直接写出的长． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·江苏连云港·一模）综合与实践： 【新知定义】如图1，若，，则．小明称图1中的和互为“手拉手等形三角形”． 【新知探究】 （1）如图2，若，，，D为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接，则的长为______； （2）在图1中，连接，求证：； 【变式应用】 （3）如图3，在中，，，D为的中点，为一边在右侧作，，，连接，求的长； 【综合应用】 （4）如图4，若，，，若D点在线段上运动（，且点D不与点B重合），以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接．以为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度． 2．（2026·陕西西安·一模）问题提出 （1）如图1，在与中，，，，若，则___________； 问题解决 （2）如图2，市政部门计划修建四边形绿地，要求米，，在四边形绿地中修建直道，将绿地分为两个三角形区域，区域铺设草坪作为宠物活动区，为中点，以为斜边在内部修建一个等腰直角用作放养锦鲤的水池，其它区域种植鲜花，求鲜花区的最大面积． 3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图1，将绕直角顶点O旋转至，点A，B的对应点分别为C，D．连接，直线与交于点E． (1)与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由； (2)如图2，连接，若的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线； (3)已知，随着及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为_______． 4．（23-24九年级下·湖北黄冈·期中）某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 5．（2025·河南南阳·二模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 6．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）（1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且点不与、重合，点不与、重合，，，，求的长．小明利用正方形的性质，通过把旋转到的位置（如图2），就计算出了的长为_____． （2）如图3，是正方形的边上的任意一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接．求的度数． （3）如图4，正方形中，过点再作，垂足为，连接．求证：． 7．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点． (1)如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程； (2)①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）； ②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； (3)若，，请直接写出的长． 8．（24-25九年级上·河南洛阳·月考）如图，回答下列题： 【操作发现】 如图（1），在和中，，，，连接，交于点M． ①与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________； 【类比探究】 如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数． 【实际应用】 如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离． 9．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）【问题发现】 （1）如图1，在和中，，，，连接交于点M．求出的值及的度数； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，连接，交的延长线于点M，求出的值及的度数； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．当D、C、B三点共线时时，直接写出的长为__________； 10．（25-26九年级上·福建宁德·期中）在矩形中，点为射线上一点，连接，以为一边，在的右侧作正方形． (1)若，如图1，连接，当射线与射线的交点在线段上时． 求证：①； ②点一定在射线上； (2)如图2，若，，连接，求的最小值． 11（24-25九年级上·四川成都·期末）已知，，直线与直线相交于点． (1)如图1，点在内部，当且点，重合时，请证明：； (2)如图2，点在内部． ①当时，探究线段，，之间的数量关系； ②当时，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系； (3)当，，且为直角三角形时，直接写出表示线段与的比值． 12．（2025·湖北武汉·三模）如图，在和中，，，，点在边上，是的中点．连接，是的中点． (1)求证：； (2)如图（1），若点在上，直接写出的值； (3)①如图（2），若点在下方，判定以，，为顶点的三角形的形状，并证明你的结论． ②如图（2），若线段（m为常数），请直接写出点从点运动到点，点的运动路径长．（请用含 的式子表示）． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题11相似三角形中的几何模型(3大题型5难点，题型清单) 01 题型盘点·中考全景扫描 题型一：一线三等角模型 题型三：手拉手模型 难点01：作垂线构造一线三垂直模型 难点04：作共顶点三角形构造手拉手模型 难点02：作等线段构造一线三等角模型 难点05：连接拉手线构造手拉手模型 题型二：飞鱼模型 难点03：题中隐藏一组线段关系 02 题型突破·解题技巧攻坚 题型一：一线三等角模型 解 ®大招业 “一线三等角”模型是指有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似三角形，这个角 可以是直角，也可以是锐角或钝角.解题步骤如下： 依据特征我摸型 第一步 特征1：是否存在两个三角形共顶点； 特征2：是否存在一条直线上有三个等角 抽离模型 第二步 在题图中抽离出两个相似三角形 第三步 利用性盾解题 利用相似三角形的性质解题 常见基础模型如下： 类型 图示 条件 结论 同侧 两个三角形在直线同 线 △CAP∽ 侧，点P在线段AB 三等 A P △PBD 上，∠1=∠2=∠3 角 锐角一线三等角 一线三垂直 钝角一线三等角 两个三角形在直线异 异侧 侧，点P在AB的延 线 △CAP∽ 长线上，∠1=∠2 三等 △PBD ∠3（∠1，∠2居两 角 锐角一线三等角 一线三垂直 钝角一线三等角 侧，∠3跨中间) 注：异侧一线三等角中，为了方便统一，∠CPD用∠3表示 【中考母题溯源·学方法】 1 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(2025-江苏镇江中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别在反比例函数y=-2和 y=(k>0)的图像上，点A的横坐标为-1，点B的横坐标为nn>3),点C的坐标为(3,0)，AC1BC, AC=2BC. (1)求点A、B的坐标和反比例函数y=《(k>0)的表达式： 2点D、E分别在反比例函数y=k>0)和y=-2的图像上，与点A、B构成以4B为边的平行四边形， 则点D、E的坐标分别为一、一 【详解】(1)解：：点A的横坐标为-1，且点A在反比例函数y=-2的图象上，代入得： y=2-2, -1 A-1,2), 作AF⊥x轴，BN⊥x轴，如图， :AC⊥BC, .∠ACB=90°， ∠ACF+∠BCN=90°， :∠CBN+∠BCN=90°， .LACF=∠CBN, :∠AFC=∠BNC=90°， △AFC~aCNB, AC=2BC, BN CN 1 FC AF2 :A-1,2),点C的坐标为3,0， BN CN 1 452=2 2 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BN=2,CN=1, .0N=0C+CN=4, B(4,2), :B4,2)在反比例函数y=《(k>0)的图像上，代入得： k=2×4=8, 反比例函数解析式为y一 n (2)解：：D、E分别在反比例函数y=8和y=-2的图像上， 》引 :A-1,2),B(4,2), AB∥x轴，且AB=5, :D、E与点A、B构成以AB为边的平行四边形， AB∥DE,且DE=AB,如图， ∴DE川x轴，且DE=5, la-bl=5① 82@ La b 由②得：a=-4b, 代入①得：-4b-b=5 解得：b=1,b2=-1（舍)， 3 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则a=-4, D(-4,-2),E1,-2). 故答案为：D-4,-2),E(1,-2). 【变式1-1】难点01：作垂线构造一线三垂直模型 (25-26九年级上：山东青岛月考)如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=2的图象上，第二象限内 的点B在反比例函数y=k的图象上，且0A10B,0A=2,0B=4,则k的值为() A.-3 B.-6 C.-4 D.-8 【答案】D 【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E,过点B作BF⊥x轴，垂足为F, YA B .∠0FB=L0EA=90°， ∠A0B=90°， ∴∠F0B+∠EOA=∠F0B+∠FB0=90°， ∠FB0=∠EOA △BFOA0EA, S&BFO= S.o卧 :点A在反比例函数y=2的图象上， 以1 2 4 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :S.BFO =4, :第二象限内的点B在反比例函数y=套的图象上， .S.BFO= =4，k<0, 2 k=-8, 故选：D. 【变式1-2】难点02：作等线段构造一线三等角模型 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且LBDA=LBAC=∠AEC=90°，像 这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为”一线三等角“模型， D 图1 图2 图3 图4 应用： (1)如图2，Rt△ABC中，LACB=90°，CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作 BE⊥ED于点E.求证：△BEC≌△CDA. (2)如图3，在ABC中，D是BC上一点，∠CAD=90°，AC=AD, ∠DBA=∠DAB,AB=2√5，求点C到AB边的距离. (3)如图4，在口ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点.若 DEF=∠B,AB=10,BE=6,求E的值 【详解】(1)证明：：∠ACB=90°，∠BCE+∠ACB+∠ACD=180°， .LBCE+∠ACD=180°， :AD⊥ED,BE⊥ED, ∴∠BEC=∠CDA=90°，∠EBC+∠BCE=90°， ∠ACD=LEBC, 在BEC和△CDA中， ∠CDA=∠BEC=90 ∠ACD=∠EBC, CB=CA .△BEC≌△CDA; 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：过点D作DF⊥AB于点F,过点C作CE⊥AB于，交BA的延长线于点E, B 图3 :∠DBA=∠DAB, :AD BD ·AF=BF= 2AB=5, :∠CAD=90°， ∠DAF+∠CAE=90°， :∠DAF+∠ADF=90°， ∴∠CAE=∠ADF, 在△CAE和△ADF中， ∠CEA=∠AFD=90° ∠CAE=∠ADF, AC=AD △CAE≌△ADF, CE=AF=3, 即点C到AB的距离为√5： (3)过点D作DM=DC交BC的延长线于点M, A D B E M 图4 .∠DCM=∠M, :四边形ABCD是平行四边形， .DM CD AB=10,ABI CD .∠B=∠DCM=LM, :∠FEC=∠DEF+∠DEC=∠B+∠BFE,∠B=∠DEF, ∴.∠DEC=∠BFE, 6 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴△BFEn△MED, EF BE 63 DE DM 10 5 【中考模拟闯关·练提分】 1.(25-26九年级上江苏苏州月考)如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB:BC=3:2,点A3,0), B(0,6)分别在x轴，y轴上，反比例函数y=《的图象经过点D,则k值为() VA D A.12 B.14 C.7 D.9 【答案】B 【详解】解：作CH⊥y轴，如图所示： H B 0 A 则∠CBH+∠AB0=∠CBH+∠BCH=90°， :ZABO=ZBCH :∠CHB=∠B0A=90°， .CHB∽BOA: .CH:BO=BH:AO=BC:AB=2:3, A3,0,B(0,6), .AO=3,B0=6, .BH=2,CH=4, ..OH BH +BO=8, 7 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C(4,8: 设点D(x,y), :A3,0),B(0,6),C(4,8,D(x,y)为矩形的四个顶点， x-4=3-0,y-8=0-6,解得x=7,y=2, D(7,2, k=xy=14; 故选：B 2.(25-26九年级上·上海·月考)如图，1∥1，∥1，且1和Z之间的距离是1，Z和Z之间的距离是2， ABC的三个顶点分别在4、人、马上，AC与马交于点D,如果BC上4C, BC_1 C3,那么BD的长是 D 【答案】5 【详解】解：如图，分别过点B,A作BE⊥，AF⊥I3,AF交马于点G, A -l2 DG 则∠BEC=∠AFC=90°， 由题意得：AG=1,BE=FG=2, AF=3, :4∥43∥1， .AD AG 1 三 CD FG2' .CD=2AD, :BC⊥AC, ∠ACB=90°， .∠BCE=∠CAF=90°-∠ACF, 8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠BEC=∠AFC=90°， ∴△BEC∽△CFA, CE_BC_1 AF AC3' ∴.CE=1, BC=EC2+BE2=5, :AC =3BC=35, CD=24C=25, 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=√BC2+CD2=5, 故答案为：5 3.(25-26九年级上.安徽池州期中)如图，在正方形ABCD中，P是CD边上的中点，过点P作PF⊥AP, 交AB的延长线于点F,交BC于点E. E B (1)求证：△APD∽△PEC; 8课茶的数 【详解】(1)：边形ABCD是正方形， ∠D=∠C=90°， .∠DAP+∠DPA=90°. 又：PF⊥AP, ∴∠APF=90°. .∠CPE+∠DPA=90°， ∠DAP=∠CPE, ∴△APD∽aPEC. (2)设正方形ABCD的边长为4k, :P是CD边上的中点， 9 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .DP=PC=2k. 又：△APD∽△PEC, ÷CE-cp1 DP DA2' .CE =k,BE =3k. :PC∥BF, .△CPE∽△BFE, PC CE 1 BF BE3 故 PC 1 BF=3 4.感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且LBDA=∠BAC=∠AEC=90°， 像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为”一线三等角”模型. A D D B E 图1 图2 图3 应用： (1)如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作 BE⊥ED于点E.求证：△BEC≌ACDA. (2)如图3，在口ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点.若∠DEF=∠B,AB=I0,BE=6,求 E的雀 【详解】(1)证明：AD⊥ED,BE⊥ED, ∠BEC=∠CDA=90°， ∠EBC+∠BCE=90°， :∠ACB=90°， ∴.∠ACD+∠BCE=90°， LACD=∠EBC, CB=CA, 在△BCE和△CAD中， 10