专题07 几何图形初步与三角形（5大题型4难点2新考法，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习知识清单聚焦“几何图形初步与三角形”专题，系统涵盖正方体展开图相对面、相交线角度计算、平行线拐角问题、三角形面积关系、双角平分线求角度5大核心题型，构建从基础图形到综合应用的知识网络。 清单采用“题型-难点-新考法”分级架构，标注4大难点（如利用垂线性质求角度、多拐角类比探究）和2种新考法（重心确定、新定义阅读），通过母题溯源学方法、变式训练强能力、模拟闯关提分的设计，培养学生几何直观与推理意识。例如“正方体展开图”配中考母题及变式练习，“三角形面积”结合重心性质探究，助力学生高效掌握考点，方便教师针对性教学与学生自主复习。

专题07 几何图形初步与三角形 （5大题型4难点2新考法，题型清单） 题型一：正方体展开图的相对面积问题 题型二：与相交线有关的角度计算 难点01：利用垂线的性质求角度 题型三：平行线中的拐角问题 难点02：类比探究平行线中多拐角问题 题型四：三角形中面积关系问题 难点03：结合多个三角形的中线求面积 新考法01：与确定重心方法结合问题 题型五：双角平分线求角度问题 难点04：类比探究三等角平分线下角之间的关系 新考法02：新定义型阅读理解题 题型一：正方体展开图的相对面积问题 【中考母题溯源·学方法】 【典例1】（2025·四川攀枝花·中考真题）攀枝花市被誉为“中国钒钛之都”．下面是一个正方体的表面展开图，与“钒”字相对面上的字是（   ） A．中 B．国 C．之 D．都 【变式1-1】（2025·吉林·中考真题）一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（    ） A．我 B．中 C．国 D．梦 【变式1-2】（2026·广西钦州·模拟预测）将如图所示的平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数互为相反数，则 ． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·四川内江·中考真题）如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是（   ） A．安 B．全 C．校 D．园 2．（2026·全国·模拟预测）如图是一个正方体的平面展开图，它的每个面上都有一个汉字．在正方体展开前，与“苏”字所在面相对的面上的汉字是（   ） A．强 B．富 C．美 D．高 3．（2025·四川雅安·二模）如图，是一个正方体的展开图，把这个展开图折叠成正方体后，有“国”字一面的相对面上的字是（    ） A．中 B．梦 C．复 D．兴 4．（2025·云南红河·模拟预测）如图，正方体的表面展开图上写有“中国石榴之乡”六个字．还原成正方体后，写有“中”字一面的相对面上的字是 ． 题型二：与相交线有关的角度计算 【中考母题溯源·学方法】 【典例2】（2025·广东广州·中考真题）如图，直线，相交于点O．若，则的度数为 ． 【变式2】难点01：利用垂线的性质求角度 （2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·中考真题）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川自贡·中考真题）如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若、则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西西安·一模）如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西西安·一模）如图，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西西安·一模）如图，线段绕其中点逆时针旋转得到线段（点、的对应点分别为点、），平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川眉山·中考真题）如图，直线l与正五边形的边分别交于点M、N，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，，直线与射线相交于点．若，则 ．    9．（2026·陕西西安·一模）如图，AB，为的直径，点E为的中点，连接，若，则的度数为 ． 题型三：平行线中的拐角问题 【中考母题溯源·学方法】 【典例3】（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】难点02：类比探究平行线中多拐角问题 （2025·云南·模拟预测）某班新购进了一批课桌便携式挂钩，某数学小组利用课余时间完成了如下实践探究，形成了实验报告： 调查方式 测量，查看说明书 测量图示 已知地面、桌面均为水平面， 调查问题：的度数为（ ） A． B． C． D． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川达州·中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·云南·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，若点F为球的中心，入射波与法线的夹角，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2025·山西临汾·二模）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁·模拟预测）在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图1．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图2，若在某一时刻，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西·模拟预测）如图，，，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 7．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河北·一模）老师在黑板上出了一道题目，让学生解答．如图1，，，，求的度数．以下是两位同学提供的作辅助线的方案．方案Ⅰ：如图2，过点C作．方案Ⅱ：如图3，延长交于点F．对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（　　） A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行 C．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 9．（2026·江西·模拟预测）如图，直线，直线c交直线a于点A，交直线b于点B，直线c，若，则的度数为 ． 10．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，若，，，，则 ． 11．（2025·河北唐山·三模）如图1，嘉淇用一把可以调节大小的活动扳手拧一枚正六边形螺母． 测量 如图2，已知活动扳手的钳口，正六边形螺母的两个顶点，分别在，上，经测量，已知正六边形螺母的边长为，． （1）求的度数； 操作  如图3，调节活动扳手钳口的大小，使得，所在直线分别与直线，重合． 探究  （2）经上述操作后，求钳口和之间的距离减少了多少（结果保留整数）？ （参考数据：取，取，取，取1.73） 题型四：三角形中面积关系问题 【中考母题溯源·学方法】 【典例4】（2025·山东威海·中考真题）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】难点03：结合多个三角形的中线求面积 （2025·吉林长春·模拟预测）如图，的面积为为边上的中线，点是线段的五等分点，点、、是线段的四等分点，点是线段的中点，则四边形的面积为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式4-2】新考法01：与确定重心方法结合 （2025·广东韶关·二模）综合与实践 【主题】悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】 步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线相反方向竖直向下的重力的作用线； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点即为硬纸板的重心． 【实践探索】 (1)根据实践操作步骤，画出题图2中不规则形状硬纸板的重心； (2)我们在八年级学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，如图3，在中，、、分别是的三条中线，点是的重心； ①若的面积是6，则的面积是____________； ②通过测量，发现三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍，请用你所学的数学知识进行证明． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·陕西西安·二模）如图，在中，D为的中点，，且，若的面积为24，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（2025·浙江杭州·三模）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，若四边形的面积为5，则的面积为（    ）    A．15 B．16 C．18 D．20 3．（2025·上海徐汇·二模）如图，在中，点D是边的中点，点E在边上，，和交于点O，那么和四边形的面积比是 ．    4．（2025·河北唐山·三模）如图，点是线段的中点，点，是线段的三等分点，点，，是线段的四等分点．若的面积为36，则的面积为 ． 5．（2025·吉林长春·三模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均是格点．在内部找一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，连接、、，使； (2)在图②中，连接、、，使； (3)在图③中，连接、、，使，且． 6．（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，老师为了激发同学们的数学思维，让同学们模拟把一块三角形蛋糕均分成小三角形蛋糕，分发给若干名小朋友． (1)【初步感知】 小红得到的题目如下：把如图①的等腰三角形蛋糕均分成两块小三角形蛋糕，分发给两名小朋友．于是他沿着底边上的中线切成了两块小三角形蛋糕．他用的数学原理是________； （A）三角形的稳定性    （B）等腰三角形是轴对称图形    （C）三角形内角和等于 (2)【思考操作】 小星得到的题目如下：把如图②的三角形蛋糕均分成四块小三角形蛋糕，分发给四名小朋友．请你用两种不同方法，在图中作出尺规作图条件下能够完成的“切痕”（直接画出“切痕”，写出切割依据即可）； (3)【拓展延伸】 小梅得到的题目如下：如图③，在中，、、边上的中线、、相交于点． ①求证； ②若，，，求的面积． 请你给小梅写出解答过程． 7．（2025·福建福州·三模）综合与实践 对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤，根据以下素材，探索完成任务． 素材1 在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置 图形 重心 说明 矩形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 顶点坐标为， 面 几何中心 圆心 素材2 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： 1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等. 2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积， 3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． 4．代入公式计算：把，代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标，其中，． 素材3 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如矩形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为，其中． 任务一 求阴影部分图形的重心坐标． 任务二 求阴影部分图形的重心坐标． 任务三 求阴影部分图形的重心坐标（结果保留）． 8．（2025·山东青岛·模拟预测） 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小亮证明此性质的过程： 已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点． 求证：． 证明：连接． 分别是边、的中点， ， ， ， ． 性质应用： (1)如图①，在中，点是的重心，连接并延长交于点，若，则___________； (2)如图②，在中，中线相交于点，若的面积为96，则的面积为_________． (3)如图③，在中，若的面积为，则的面积为_________． 题型五：双角平分线求角度问题 【中考母题溯源·学方法】 【典例5】（2024·甘肃武威·一模）如图，是的外角，平分，平分，且相交于点D．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】难点04：类比探究三等角平分线下角之间的关系 （2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 【变式5-2】新考法02：新定义型阅读理解题 在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”． （1）若△ABC为开心三角形，∠A＝132°，则这个三角形中最小的内角为 　 ； （2）若△ABC为开心三角形，∠A＝60°，则这个三角形中最小的内角为 　　 ； （3）已知∠A是开心三角形ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，则∠A的取值范围为 　 　 ； （4）如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延长BA和DC交于点P，已知∠P＝30°，若∠B是开心三角形ABE中的一个开心角，设∠B＝∠α，求∠α的度数． 【中考模拟闯关·练提分】 1.如图，点是的内心，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC180°∠A＝90°∠A．如图2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1，O2，求证：∠BO1C＝120°∠A． （2）如图3，当∠ABC，∠ACB被n等分时，内部有（n﹣1）个点，则∠BO1C与∠A的关系为：∠BO1C＝　 （用含n的代数式表示）． 3．【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝25°，则∠A 与∠B 互为“和谐角”，△ABC为“和谐三角形”． 【理解】 （1）若△ABC为和谐三角形，∠A＝140°，则这个三角形中最小的内角为 　　 °； （2）若△ABC为和谐三角形，∠A＝90°，则这个三角形中最小的内角为 　 　 °； （3）已知∠A是和谐△ABC中最小的内角，并且是其中的一个和谐角，试确定∠A的取值范围，并说明理由； 【应用】 （4）如图，△ABC中，AC＝BC，，EB交AC于点F，点D是BC延长线上一点，，若∠FCB是和谐△BCF中的一个和谐角，设∠E＝α，则α＝　 　 ． 4．我们把从一个角的顶点引出把这个角分成两个完全相同的角的射线叫做这个角的平分线．如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD或BE叫做∠ABC的“三等分线”． 【基础运用】 （1）已知△ABC，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，若∠BAC＝α（α＜60°），则BM、CN所在直线的夹角的度数为 　 ．（用含α的代数式表示） 【概念提升】 （2）在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三等分线与∠C的外角的三等分线交于点D，则∠BDC的度数为 　　 ． 【问题解决】 ∠EAB是四边形ABCD的外角，设∠B＝α、∠C＝β． （3）如图②，∠ADC和∠EAB的三等分线DN、AN相交于点N（∠CDN∠ADC，∠BAN∠EAB），求证：∠N（α+β）﹣120°； （4）如图③，∠ADC和∠EAB的n等分线分别相交于点P1、P2、P3、…、Pn﹣1，则∠P1+∠P2+∠P3+…+∠Pn﹣1＝ 　 　 （用含α、β、n的代数式表示）． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 几何图形初步与三角形 （5大题型4难点2新考法，题型清单） 题型一：正方体展开图的相对面积问题 题型二：与相交线有关的角度计算 难点01：利用垂线的性质求角度 题型三：平行线中的拐角问题 难点02：类比探究平行线中多拐角问题 题型四：三角形中面积关系问题 难点03：结合多个三角形的中线求面积 新考法01：与确定重心方法结合问题 题型五：双角平分线求角度问题 难点04：类比探究三等角平分线下角之间的关系 新考法02：新定义型阅读理解题 题型一：正方体展开图的相对面积问题 【中考母题溯源·学方法】 【典例1】（2025·四川攀枝花·中考真题）攀枝花市被誉为“中国钒钛之都”．下面是一个正方体的表面展开图，与“钒”字相对面上的字是（   ） A．中 B．国 C．之 D．都 【答案】C 【详解】解：与“钒”字相对面上的字是：之， 故选：C． 【变式1-1】（2025·吉林·中考真题）一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（    ） A．我 B．中 C．国 D．梦 【答案】C 【详解】A、“我”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意； B、“中”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意； C、“的”字一面的相对面上的字为“国”，不符合题意； D、“梦”字一面的相对面上的字为“我”或“中”，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（2026·广西钦州·模拟预测）将如图所示的平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数互为相反数，则 ． 【答案】 【详解】解：观察展开图的结构，此为“--”型展开图． ∵折叠成正方体后，数字所在的面与所在的面是相对面，数字所在的面与所在的面是相对面， 又∵相对面上两个数互为相反数， ∴，，解得，． 将，代入， 故答案为：． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·四川内江·中考真题）如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是（   ） A．安 B．全 C．校 D．园 【答案】B 【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形， ∴在此正方体上与“共”字相对的面上的字是“全”． 故选：B． 2．（2026·全国·模拟预测）如图是一个正方体的平面展开图，它的每个面上都有一个汉字．在正方体展开前，与“苏”字所在面相对的面上的汉字是（   ） A．强 B．富 C．美 D．高 【答案】B 【详解】解：在原正方体中，与“苏”字所在面相对的面上的汉字是“富”， 故选：B． 3．（2025·四川雅安·二模）如图，是一个正方体的展开图，把这个展开图折叠成正方体后，有“国”字一面的相对面上的字是（    ） A．中 B．梦 C．复 D．兴 【答案】D 【详解】解：由正方体的展开图可知，“中”字相对面上的字是“梦”，“国”字相对面上的字是“兴”， “复”字相对面上的字是“梦”． 故选：D． 4．（2025·云南红河·模拟预测）如图，正方体的表面展开图上写有“中国石榴之乡”六个字．还原成正方体后，写有“中”字一面的相对面上的字是 ． 【答案】榴 【详解】解：由正方体展开图的特点可知：“之”与“国”相对，“石”与“乡”相对，“中”与“榴”相对， 故答案为：榴． 题型二：与相交线有关的角度计算 【中考母题溯源·学方法】 【典例2】（2025·广东广州·中考真题）如图，直线，相交于点O．若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵直线，相交于点O，且， ∴， 故答案为： 【变式2】难点01：利用垂线的性质求角度 （2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点在直线上，， ， ， ， ． 故选B． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵集热板与太阳光线垂直， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（2025·广东深圳·中考真题）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．（2025·四川自贡·中考真题）如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若、则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D 4．（2026·陕西西安·一模）如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可得， ∴， ， ， ．      故选：A． 5．（2026·陕西西安·一模）如图，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6．（2026·陕西西安·一模）如图，线段绕其中点逆时针旋转得到线段（点、的对应点分别为点、），平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得， ∵平分， ∴， ∴， 故选：D． 7．（2025·四川眉山·中考真题）如图，直线l与正五边形的边分别交于点M、N，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C. 8．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，，直线与射线相交于点．若，则 ．    【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2026·陕西西安·一模）如图，AB，为的直径，点E为的中点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型三：平行线中的拐角问题 【中考母题溯源·学方法】 【典例3】（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 【变式3】难点02：类比探究平行线中多拐角问题 （2025·云南·模拟预测）某班新购进了一批课桌便携式挂钩，某数学小组利用课余时间完成了如下实践探究，形成了实验报告： 调查方式 测量，查看说明书 测量图示 已知地面、桌面均为水平面， 调查问题：的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 延长交于点Q，则， 过点B作，则， ∵地面、桌面均为水平面，， ∴， ∴， 则 故选：C 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选B． 2．（2025·四川达州·中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，根据题意可得， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 3．（2025·云南·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，若点F为球的中心，入射波与法线的夹角，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作，为法线，如图：    ∵， ∴， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．（2025·山西临汾·二模）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．（2025·辽宁·模拟预测）在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图1．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图2，若在某一时刻，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．（2025·陕西·模拟预测）如图，，，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8．（2025·河北·一模）老师在黑板上出了一道题目，让学生解答．如图1，，，，求的度数．以下是两位同学提供的作辅助线的方案．方案Ⅰ：如图2，过点C作．方案Ⅱ：如图3，延长交于点F．对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（　　） A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行 C．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【详解】解：方案Ⅰ：如图2，过点C作， ∵， ∴， ， ， ∴； 方案Ⅱ：如图3，延长交于点F， ∵， ， ， ∴， ∴方案Ⅰ、Ⅱ都可行． 故选D． 9．（2026·江西·模拟预测）如图，直线，直线c交直线a于点A，交直线b于点B，直线c，若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵直线c，， ∴， ∵直线， ∴， 故答案为：． 10．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，若，，，，则 ． 【答案】/40度 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11．（2025·河北唐山·三模）如图1，嘉淇用一把可以调节大小的活动扳手拧一枚正六边形螺母． 测量 如图2，已知活动扳手的钳口，正六边形螺母的两个顶点，分别在，上，经测量，已知正六边形螺母的边长为，． （1）求的度数； 操作  如图3，调节活动扳手钳口的大小，使得，所在直线分别与直线，重合． 探究  （2）经上述操作后，求钳口和之间的距离减少了多少（结果保留整数）？ （参考数据：取，取，取，取1.73） 【详解】解：（1）连接，如图： 六边形为正六边形， ， 根据对称性，平分和， ， ， ， ， ； （2）过点作于点，连接，如图： ，， ， ， 在中，，， ， ， 由（1）可知，， 在中，， ， 由题意可知，和之间的距离由的长变成的长， ， 即经上述操作后，钳口和之间的距离减少了． 题型四：三角形中面积关系问题 【中考母题溯源·学方法】 【典例4】（2025·山东威海·中考真题）如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵的中线交于点F， ∴， ∴，，故D选项结论正确； ∴，， ∴，，，故A、C选项结论正确，B选项结论错误； 故选：B. 【变式4-1】难点03：结合多个三角形的中线求面积 （2025·吉林长春·模拟预测）如图，的面积为为边上的中线，点是线段的五等分点，点、、是线段的四等分点，点是线段的中点，则四边形的面积为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【详解】解：连接、、、、， ∵的面积为，为边上的中线， ∴， ∵点、、是线段的四等分点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点、、是线段的四等分点， ∴， ∴， ∵点是线段的五等分点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点是线段的五等分点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：B； 【变式4-2】新考法01：与确定重心方法结合 （2025·广东韶关·二模）综合与实践 【主题】悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】 步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线相反方向竖直向下的重力的作用线； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点即为硬纸板的重心． 【实践探索】 (1)根据实践操作步骤，画出题图2中不规则形状硬纸板的重心； (2)我们在八年级学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，如图3，在中，、、分别是的三条中线，点是的重心； ①若的面积是6，则的面积是____________； ②通过测量，发现三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍，请用你所学的数学知识进行证明． 【详解】（1）解：如图所示，重心即为所求： （2）①解：∵、、分别是的三条中线， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； 故答案为：2； ②证明： ∵、、是的中线， ∴、，， 、、 同理可证 被三条中线分成六个面积相等的小三角形 令到的高为 ， ∴三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·陕西西安·二模）如图，在中，D为的中点，，且，若的面积为24，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：∵在中，D为的中点，的面积为24， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·浙江杭州·三模）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，若四边形的面积为5，则的面积为（    ）    A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【详解】解：连接交于点，连接，， 点是的重心，点是边的中点， 点三点共线， ， 在的延长线上取一点，使，连接，如图所示：    则， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，设， 四边形的面积为5， ， ， ， ，即 解得：， ， 的面积为：． 故选：C． 3．（2025·上海徐汇·二模）如图，在中，点D是边的中点，点E在边上，，和交于点O，那么和四边形的面积比是 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接．    设， ，点D是边的中点， ， ， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 4．（2025·河北唐山·三模）如图，点是线段的中点，点，是线段的三等分点，点，，是线段的四等分点．若的面积为36，则的面积为 ． 【答案】2 【详解】解：如图，连接， 假设的面积为， ∵点是线段的中点， ∴的面积为， ∵点，是线段的三等分点， ∴的面积为，的面积为， ∴的面积为， ∵点，，是线段的四等分点， ∴的面积为， 同理，的面积为， ∴的面积为， 解得， ∴的面积为2， 故答案为：2． 5．（2025·吉林长春·三模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均是格点．在内部找一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，连接、、，使； (2)在图②中，连接、、，使； (3)在图③中，连接、、，使，且． 【详解】（1）解：如图，点即为所作， （2）解：如图，点即为所作， （3）解：如图，作边的中线，交的垂直平分线于，点即为所作， ， ∵为边边的中线， ∴，， ∴，即． 6．（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，老师为了激发同学们的数学思维，让同学们模拟把一块三角形蛋糕均分成小三角形蛋糕，分发给若干名小朋友． (1)【初步感知】 小红得到的题目如下：把如图①的等腰三角形蛋糕均分成两块小三角形蛋糕，分发给两名小朋友．于是他沿着底边上的中线切成了两块小三角形蛋糕．他用的数学原理是________； （A）三角形的稳定性    （B）等腰三角形是轴对称图形    （C）三角形内角和等于 (2)【思考操作】 小星得到的题目如下：把如图②的三角形蛋糕均分成四块小三角形蛋糕，分发给四名小朋友．请你用两种不同方法，在图中作出尺规作图条件下能够完成的“切痕”（直接画出“切痕”，写出切割依据即可）； (3)【拓展延伸】 小梅得到的题目如下：如图③，在中，、、边上的中线、、相交于点． ①求证； ②若，，，求的面积． 请你给小梅写出解答过程． 【详解】（1）解：由题意得，他用的数学原理是等腰三角形是轴对称图形， 故选：B； （2）解：如图，作的四等分点E、D、F，连接， 则，折痕为， ∴ 如图，分别作的中点E、F，连接，折痕为， 则； （3）解：①∵是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴，即； ②延长到M，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 由（1）可得， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（2025·福建福州·三模）综合与实践 对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤，根据以下素材，探索完成任务． 素材1 在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置 图形 重心 说明 矩形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 顶点坐标为， 面 几何中心 圆心 素材2 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： 1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等. 2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积， 3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． 4．代入公式计算：把，代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标，其中，． 素材3 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如矩形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为，其中． 任务一 求阴影部分图形的重心坐标． 任务二 求阴影部分图形的重心坐标． 任务三 求阴影部分图形的重心坐标（结果保留）． 【详解】任务一：如图：矩形的重心，面积，矩形的重心，面积， 重心坐标为 任务二：如图：①直角三角形，，，重心，面积， ②矩形重心，面积， ③直角三角形，重心，面积， 重心坐标为 任务三：由任务一可知：整体重心坐标为，整体面积， 挖空部分重心坐标为，整体面积， 重心坐标为 8．（2025·山东青岛·模拟预测） 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小亮证明此性质的过程： 已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点． 求证：． 证明：连接． 分别是边、的中点， ， ， ， ． 性质应用： (1)如图①，在中，点是的重心，连接并延长交于点，若，则___________； (2)如图②，在中，中线相交于点，若的面积为96，则的面积为_________． (3)如图③，在中，若的面积为，则的面积为_________． 【详解】（1）解：在中，点G是的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． （2）解：∵在中，中线相交于点G， ∴G为的重心． ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． （3）解：如图：连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型五：双角平分线求角度问题 【中考母题溯源·学方法】 【典例5】（2024·甘肃武威·一模）如图，是的外角，平分，平分，且相交于点D．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵平分，平分， ∴． ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式5-1】难点04：类比探究三等角平分线下角之间的关系 （2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 【答案】 【详解】解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． 【变式5-2】新考法02：新定义型阅读理解题 在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”． （1）若△ABC为开心三角形，∠A＝132°，则这个三角形中最小的内角为 　 ； （2）若△ABC为开心三角形，∠A＝60°，则这个三角形中最小的内角为 　　 ； （3）已知∠A是开心三角形ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，则∠A的取值范围为 　 　 ； （4）如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延长BA和DC交于点P，已知∠P＝30°，若∠B是开心三角形ABE中的一个开心角，设∠B＝∠α，求∠α的度数． 【解答】解：（1）设最小角为α，△ABC为开心三角形，∠A＝132°，α+2α＝180°﹣132°＝48， ∴∠α＝16°， 故答案为：16°； （2）当∠A是“开心角”，则最小角为30°； 当∠A不是“开心角”，设最小角为α，α+2α＝180°﹣60°＝120°， ∴α＝40°， 故答案为：30°或40°； （3）∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角， 另一个开心角是2∠A， ∴第三个内角是180°﹣3∠A， ∵∠A是最小内角， ∴∠A≤180°﹣3∠A， ∴0°＜∠A≤45°； 故答案为：0°＜∠A≤45°； （4）∵AD平分△ABC的内角∠BAC，CD平分△ABC的外角∠DCF， ∴∠CADCAB，∠FCDFCB， ∵∠FCB＝∠B+∠CAB， ∴FCBBCAB， 即∠FCDB+∠CAD， ∵∠FCD＝∠D+∠CAD， ∴∠DB， ∵∠P＝30°，∠DAB30°， ∴∠AEB＝180°﹣α﹣（30）＝150α， ①当∠B与∠AEB互为开心角时，2∠B＝∠AEB或2∠AEB＝∠B， ∵2α＝150α或 2（150α）＝α， 解得∠α＝（）°或∠α＝75°； ②当∠B与∠EAB互为开心角，2∠B＝∠EAB或2∠EAB＝∠B， ∴2α30或α＝2（30）， 解得∠α＝20° 综上所述：∠α的度数为：（）°或75°或20°． 【中考模拟闯关·练提分】 1.如图，点是的内心，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点是的内心， ∴分别是的角平分线， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC180°∠A＝90°∠A．如图2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1，O2，求证：∠BO1C＝120°∠A． （2）如图3，当∠ABC，∠ACB被n等分时，内部有（n﹣1）个点，则∠BO1C与∠A的关系为：∠BO1C＝　 （用含n的代数式表示）． 【解答】（1）证明：∵点O1是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点， ∴∠O1BC+∠O1CB （∠ABC+∠ACB） （180°﹣∠A） ＝60°∠A， ∴∠BO1C＝[180°﹣（60°∠A）]＝120°∠A； （2）解：∵如图1，∠BOC＝90°∠A180°∠A， 如图2，∠BO1C180°∠A， ∠BO2C180°∠A． ∴∠BO1C180°∠A． 故答案为：180°∠A． 3．【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝25°，则∠A 与∠B 互为“和谐角”，△ABC为“和谐三角形”． 【理解】 （1）若△ABC为和谐三角形，∠A＝140°，则这个三角形中最小的内角为 　　 °； （2）若△ABC为和谐三角形，∠A＝90°，则这个三角形中最小的内角为 　 　 °； （3）已知∠A是和谐△ABC中最小的内角，并且是其中的一个和谐角，试确定∠A的取值范围，并说明理由； 【应用】 （4）如图，△ABC中，AC＝BC，，EB交AC于点F，点D是BC延长线上一点，，若∠FCB是和谐△BCF中的一个和谐角，设∠E＝α，则α＝　 　 ． 【解答】解：（1）设最小角为α， ∵△ABC为和谐三角形，∠A＝144°， ∴α+3α＝180°﹣140°＝40°， ∴α＝10°， ∴这个三角形中最小的内角为10°． 故答案为：10； （2）∵∠A＝90°， 当∠A与∠B互为“和谐角”时，则最小角为30°； 当∠C与∠B互为“和谐角”时，设最小角为α， ∴α+3α＝180°﹣90°＝90°， ∴α＝22.5°， 综上：△ABC为和谐三角形，∠A＝90°，则这个三角形中最小的内角为30°或22.5°； 故答案为：30或22.5； （3）∵∠A是和谐△ABC中最小的内角，并且是其中的一个和谐角， ∴另外两个角分别为3∠A和（180°﹣4∠A）， ∴∠A≤180°﹣4∠A， ∴0°＜∠A≤36°； （4）∵∠ECD是△EBC的外角，∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ECD＝∠EBC+∠E，∠ACD＝∠ABC+∠A， ∵， ∴∠ABC+∠A＝3（∠EBC+∠E）＝3∠EBC+3∠E）＝3∠EBC+3α， ∵， ∴∠ABC+∠A＝∠ABC+3α， ∴∠A＝3α， ∵AC＝BC， ∴∠ABC＝∠A＝3α， ∴，∠FCB＝180°﹣∠ABC．∠A＝180°﹣6α， ∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝5α； ①当∠FBC与∠FCB互为和谐角时，3∠FBC＝∠FCB或∠FBC＝3∠FCB， ∴3α＝180°﹣6α或α＝3（180°﹣6α）， 解得 α＝20° 或 （°； ②当∠BFC与∠FCB互为和谐角时，3∠BFC＝∠FCB或∠BFC＝3∠FCB， ∴3×5α＝180°﹣6α或5α＝3（180°﹣6α）， 解得 或 ， 综上所述：α的值为20°或或 或． 故答案为：20°或或 或． 4．我们把从一个角的顶点引出把这个角分成两个完全相同的角的射线叫做这个角的平分线．如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD或BE叫做∠ABC的“三等分线”． 【基础运用】 （1）已知△ABC，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，若∠BAC＝α（α＜60°），则BM、CN所在直线的夹角的度数为 　 ．（用含α的代数式表示） 【概念提升】 （2）在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三等分线与∠C的外角的三等分线交于点D，则∠BDC的度数为 　　 ． 【问题解决】 ∠EAB是四边形ABCD的外角，设∠B＝α、∠C＝β． （3）如图②，∠ADC和∠EAB的三等分线DN、AN相交于点N（∠CDN∠ADC，∠BAN∠EAB），求证：∠N（α+β）﹣120°； （4）如图③，∠ADC和∠EAB的n等分线分别相交于点P1、P2、P3、…、Pn﹣1，则∠P1+∠P2+∠P3+…+∠Pn﹣1＝ 　 　 （用含α、β、n的代数式表示）． 【解答】解：（1）如图所示，设∠ABC＝β，∠ACB＝γ，直线BM与直线CN相交于点F， 由题意可得，β+γ＝180°﹣α， ∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线， ∴，， ∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线， ∴，， ∴，， ∴∠F＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°180°， 故答案为：； （2）如图所示，∠ABC的三等分线与∠ACB的外角的三等分线的交点为D1、D2、D3和D4， ∵∠A＝70°，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝180°﹣70°﹣45°＝65°， ∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝115°， ∴∠BD1C＝180°﹣15°﹣65°， ∴∠BD2C＝∠BD1C﹣15°，∠BD3C＝∠BD1C， ∴∠BD4C＝∠BD3C﹣15°， 故答案为：或或或； （3）证明：如图所示， ∵∠1＝∠2+∠N， ∴∠N＝∠1﹣∠2， ∵，， ∴120°（∠BAD+∠ADC）， ∵∠BAD+∠ADC+α+β＝360°， ∴∠BAD+∠ADC＝360°﹣（α+β）， ∴∠N＝120°（∠BAD+∠ADC）＝120°（α+β）﹣120°； （4）∵∠P1AE＝∠P1+∠P1DA， ∴∠P1＝∠P1AE﹣∠P1DA （180°﹣∠BAD）∠ADC ， 同理可得，，，， ∴∠P1+∠P2+∠P3+…+∠Pn﹣1 ＝（）（α+β﹣180°） （α+β﹣180°） ， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $