专题03 坐标系与函数中的规律、图象、动点、面积问题（5大题型7难点1新考法，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习知识清单聚焦坐标系与函数的规律、图象、动点、面积问题，涵盖确定点的坐标、点坐标规律探索、面积计算、实际函数图象、动点函数图象五大题型，搭建从基础知识点到难点突破再到中考应用的递进式复习架构。 清单以“难点分级+母题溯源”设计知识体系，7大难点如“周期变化规律探索”标注明确，新考法融入跨学科案例培养应用意识。通过“口诀助记”（如坐标轴点坐标口诀）和“解题策略总结”（如动点图象趋势判断法），帮助学生用数学思维分析问题，既便于学生自主复习，也为教师提供精准教学支持。

专题03 坐标系与函数中的规律、图象、动点、面积问题 （5大题型7难点1新考法，题型清单） 题型一：确定点的坐标 难点01 结合点到坐标轴的距离确定点的坐标 难点02 结合点的变换确定点的坐标 难点03 建立平面直角坐标系 题型二：点坐标的规律探索 难点04 周期变化性规律探索 难点05 点的分组探索 题型三：平面直角坐标系中的面积问题 题型四：实际生活中函数图象问题 难点06 分析两个函数的图象 新考法01 跨生物学科 题型五：动点的函数图象问题 难点07 根据函数图象判断点的运动轨迹 题型一：确定点的坐标 1.平面直角坐标系中点的坐标特征 各象限内点的坐标特征 (1)P(a,b)在第一象限↔a>0,b>0 (2)P(a,b)在第二象限↔a<0,b>0 (3)P(a,b)在第三象限↔a<0,b<0 (4)P(a,b)在第四象限↔a>0,b<0 坐标轴上点的坐标特征 (1)坐标轴上的点不属于任何象限 (2)P(a,b)在x轴上↔b=0 (3)P(a,b)在y轴上↔a=0 口诀助记：x轴纵坐标零，(x,0)要记清;y轴横坐标零，(0，y)莫看轻;原点相对简单，(0,0)在中间. 象限的角平分线上点的坐标特征 (1)若P(a,b)在一、三象限的角平分线上,则a=b; (2)若P(a,b)在二、四象限的角平分线上,则a+b=0 2.图形变换与点的坐标规律 图形变换 点的坐标规律 对称变换 关于x轴 点A(a,b)关于x轴的对称点为B(a,-b) 关于y轴 点A(a,b)关于y轴的对称点为C(-a,b) 关于原点 点A(a,b)关于原点的对称点为D(-a,-b) 平移变换 左右平移 将点P(a,b)向左或向右平移h个单位，对应点坐标为(a-h,b)或(a+h,b) 上下平移 将点P(a,b)向上或向下平移k个单位，对应点坐标为(a,b+k)或(a,b-k) 【中考母题溯源·学方法】 【典例1】（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】难点01 结合点到坐标轴的距离确定点的坐标 （2025·广西·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是5，则的值为（    ） A． B．2或 C．2 D．8 【变式1-2】难点02 结合点的变换确定点的坐标 （2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】难点03 建立平面直角坐标系 （2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·天津·一模）如图，的顶点O与坐标原点重合，顶点A，B分别在第二、三象限，且轴，若，，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏扬州·一模）如图，点A、B、C、、和均在格点上，若可由绕点P旋转得到，则P的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·广东韶关·二模）在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州贵阳·一模）七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A与点B关于原点成中心对称，且，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江西赣州·一模）如图，坐标平面内有一个矩形，点A位于原点，点B、D在坐标轴上，点C的坐标为，现固定B点并将此矩形按顺时针方向旋转，若旋转后C点的坐标为，则旋转后D点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏泰州·三模）如图，已知矩形的顶点，分别落在轴，轴上，，，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 7．（2025·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的与矩形的边都相切，且经过顶点，与边相交于点．若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上，且，点在轴负半轴上，且．若点是象限内的一点，则使得以，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 9．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为 ． 10．（2025·贵州·一模）经纬网是一种利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系统，能够标示地球上的任何一个位置．在如图所示的经纬网中，已知甲的坐标为，表示的经纬度为西经，北纬，若乙的经纬度为东经，南纬，则乙的坐标为 ． 11．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为 ． 12．（2025·宁夏中卫·二模）如图在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，．把绕点逆时针旋转使与轴重合得到，则点的坐标为 ． 13．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将绕点O旋转得到，此时，则C点坐标为 ． 14．（2025·广东·二模）【阅读理解】 点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若，则称为点的“微距值”；若，则称为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为例如，点到轴的距离为5，到轴的距离为3，因为，所以点的“微距值”为 【知识应用】 (1)点的“微距值”为______； (2)若点的“微距值”为2，求的值； (3)若点在直线上，且点的“微距值”为2，求点的坐标． 题型二：点坐标的规律探索 1. 解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法： 1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标； 2)点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存在的规律． 2. 解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项： 1）求什么找什么的规律；2）变化规律最好用算式而不是得数表示； 3）找算式中数字与序号间的变化规律； 4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）. 【中考母题溯源·学方法】 【典例2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第1条弧；以为边，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为 ． 【变式2-1】难点04 周期变化性规律探索 （2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 【变式2-2】难点05 点的分组探索 （2025·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，，，，……均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，……，根据这个规律，点的坐标为 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南漯河·三模）如图，已知，，，，，，，，…，依此规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的幸运点，已知点的幸运点为，点的幸运点为，点的幸运点为，……，这样依次得到，若点的坐标为则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东·三模）如图，，，，，，，…，按此规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东聊城·三模）如图，已知，．．．．依此规律，则点的坐标为 ． 6．（2025·河北邯郸·三模）两个反比例函数在第一象限内的图像如图所示，点在反比例函数的图像上，它们的横坐标分别是，纵坐标分别是1，3，5，……，共2025个连续奇数，过点分别作轴的平行线，与的图像的交点依次是，则的长为 ． 7．（2025·河南驻马店·三模）在平面直角坐标系中，规定点的“豫点”是，例如：点的“豫点”是即；点的“豫点”是即；…，则的“豫点”的坐标是 ． 8．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为 9．（2025·山东济宁·三模）如图，直线，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；再过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点，…，按此作法进行下去，点的坐标为 ． 10．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，，则点的纵坐标为 ． 11．（2025·山东泰安·一模）三月的泰安，玉兰花迎着春风绽放，数学活动小组在绘制如“玉兰花”形的美丽图案，如图在平面直角坐标系中，等腰三角形．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点的对应点为，称点为第一个“玉兰花”的花瓣，点为第二个“玉兰花”的花瓣；……；按此规律，滚动2025次后停止滚动，则最后一个“玉兰花”的花瓣的坐标为 ． 12．（2026·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“可余点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下． 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则点的坐标为 ． 13．（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若． (1)填空：①点的坐标是_____；②点的坐标是______；③点的坐标是______；④点的坐标是______；（结果可保留乘方形式） (2)观察（1）中的结果，发现规律，求点的坐标． 14．（2025·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为、…，过点、、、…、分别作x轴垂线，交直线于点、、、…，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为…. 【参考公式：连续x个正整数和的计算公式：】 (1)由题意可知：、；、；、；则 、 ； (2) ； (3)的值是否会等于2025？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由. 题型三：平面直角坐标系中的面积问题 类型1 一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算 当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴时，可直接使用三角形的面积公式,其中是在坐标轴上或平行于坐标轴的边,为边上的高 类型2 三边都不在坐标轴上或不平行于坐标轴的三角形面积的计算 分割法 补形法 【中考母题溯源·学方法】 【典例3】（2025·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． (1)求点D的坐标和k的值； (2)延长 交x轴于点F，求的面积． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 2．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形是平行四边形，，，点，矩形的顶点，点，点在第二象限． (1)如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将矩形沿轴平移，得到矩形，点的对应点分别为．设，矩形与重叠部分面积为． ①如图②，当交于点，分别交于点，且重叠部分是五边形，试用含的式子表示，并直接写出的范围； ②当时，求的范围（直接写出结果即可）． 3．（2025·广东东莞·二模）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，平移后的图形记为三角形． (1)求点的坐标； (2)在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题； 用含有的式子表示点的坐标； 当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，求的值； 当三角形面积是三角形面积的倍时，求的值． 题型四：实际生活中函数图象问题 读取图象中的关键信息,包含坐标轴、起点、最高点、拐点、水平线等,并作出正确的结论判断.具体分析如下: 关键信息 函数意义 坐标轴 弄清楚横轴与纵轴所表示的函数变量 拐点 图象上的拐点既是前一段函数的终点,又是后一段函数的起点,反映函数图象在这一时刻开始发生变化 水平线 函数值随自变量的变化而保持不变 【中考母题溯源·学方法】 【典例4】（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 【变式4-1】难点06 分析两个函数的图象 51．（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 【变式4-2】新考法01 跨生物学科 （2025·河南驻马店·二模）光合作用，通常是指绿色植物吸收光能，把二氧化碳和水合成有机物，同时释放氧气的过程，整个过程受光照强度、二氧化碳浓度、温度等多种因素的影响．小明在研究某绿色植物光合作用氧气释放速度（毫克/小时）与光照强度（千勒克斯）之间的关系时，设计了如图1的实验装置，并绘制了和时与之间的关系图 （如图2），下列说法错误的是 （    ） A．两种温度下均是的函数 B．当时，该绿色植物不进行光合作用 C．当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的高 D．光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度越快 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 2．（2025·河南郑州·一模）硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 3．（2026·辽宁阜新·一模）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，则a的值是 ． 4．（2026·辽宁阜新·一模）某物流公司引进A，B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运．A种机器人于某日0时开始搬运，过了，B种机器人也开始搬运．如图，线段表示A种机器人的搬运量（）与时间x（时）的函数图象，线段表示B种机器人的搬运量（）与时间x（时）的函数图象．根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)求关于x的函数解析式． (2)如果A，B两种机器人各连续搬运，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？ 5．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度； (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离； (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 6．（2025·浙江丽水·二模）同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事停留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示． (1)求甲、乙两车各自的平均速度； (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？ 7．（2025·北京·中考真题）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35； (2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习． 题型五：动点的函数图象问题 类型一 动点与函数图象判断的解题策略 方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势； 方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断； 方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除； 方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除． 类型二 动点与函数图象计算的解题策略 一看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等； 二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况； 三结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值； 四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解． 【中考母题溯源·学方法】 【典例5】（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A． B．C．D． 【变式5-1】难点07 根据函数图象判断点的运动轨迹 （2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 2．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江·模拟预测）如图1，在菱形与菱形中，，且，点在射线上，点在直线上．菱形沿射线平移，设点与点的距离为，菱形与菱形重叠部分的图形面积为．若关于的函数图象如图2所示，则下列选项正确的是（　　） A． B． C．当时， D．当时， 5．（2026·浙江·一模）如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．y的最小值为64 6．（2025·四川绵阳·一模）如图，腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小直角三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·湖北·模拟预测）如图1，点P从的顶点B出发，沿方向匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随运动时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的长是 ，的周长是 ． 8．（2026·湖北·模拟预测）如图①，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图②所示，则 ， ． 9．（2026·湖北·模拟预测）如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象． （1） ； （2）连接，若，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 坐标系与函数中的规律、图象、动点、面积问题 （5大题型7难点1新考法，题型清单） 题型一：确定点的坐标 难点01 结合点到坐标轴的距离确定点的坐标 难点02 结合点的变换确定点的坐标 难点03 建立平面直角坐标系 题型二：点坐标的规律探索 难点04 周期变化性规律探索 难点05 点的分组探索 题型三：平面直角坐标系中的面积问题 题型四：实际生活中函数图象问题 难点06 分析两个函数的图象 新考法01 跨生物学科 题型五：动点的函数图象问题 难点07 根据函数图象判断点的运动轨迹 题型一：确定点的坐标 1.平面直角坐标系中点的坐标特征 各象限内点的坐标特征 (1)P(a,b)在第一象限↔a>0,b>0 (2)P(a,b)在第二象限↔a<0,b>0 (3)P(a,b)在第三象限↔a<0,b<0 (4)P(a,b)在第四象限↔a>0,b<0 坐标轴上点的坐标特征 (1)坐标轴上的点不属于任何象限 (2)P(a,b)在x轴上↔b=0 (3)P(a,b)在y轴上↔a=0 口诀助记：x轴纵坐标零，(x,0)要记清;y轴横坐标零，(0，y)莫看轻;原点相对简单，(0,0)在中间. 象限的角平分线上点的坐标特征 (1)若P(a,b)在一、三象限的角平分线上,则a=b; (2)若P(a,b)在二、四象限的角平分线上,则a+b=0 2.图形变换与点的坐标规律 图形变换 点的坐标规律 对称变换 关于x轴 点A(a,b)关于x轴的对称点为B(a,-b) 关于y轴 点A(a,b)关于y轴的对称点为C(-a,b) 关于原点 点A(a,b)关于原点的对称点为D(-a,-b) 平移变换 左右平移 将点P(a,b)向左或向右平移h个单位，对应点坐标为(a-h,b)或(a+h,b) 上下平移 将点P(a,b)向上或向下平移k个单位，对应点坐标为(a,b+k)或(a,b-k) 【中考母题溯源·学方法】 【典例1】（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由坐标系可得点在第一象限，且横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：C． 【变式1-1】难点01 结合点到坐标轴的距离确定点的坐标 （2025·广西·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是5，则的值为（    ） A． B．2或 C．2 D．8 【答案】B 【详解】解：点到轴的距离是5， 则， 或， 或 故选：B． 【变式1-2】难点02 结合点的变换确定点的坐标 （2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵正方形的边长为5，边在轴上，将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形． ∴，在轴上，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A 【变式1-3】难点03 建立平面直角坐标系 （2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、， ∴建立直角坐标系如下： ， ∴“强”的坐标为， 故选：B 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·天津·一模）如图，的顶点O与坐标原点重合，顶点A，B分别在第二、三象限，且轴，若，，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设与x轴交于点C， ∵，轴， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴点A的坐标为， 故选：A． 2．（2025·江苏扬州·一模）如图，点A、B、C、、和均在格点上，若可由绕点P旋转得到，则P的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，，作，的垂直平分线的交于点，则点， 故选：B． 3．（2025·广东韶关·二模）在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点坐标为， ， 以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点， ， 又点位于轴的负半轴， 点的横坐标为， 故选：D． 4．（2025·贵州贵阳·一模）七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A与点B关于原点成中心对称，且，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，如图，建立直角坐标系， 则点C的坐标为． 故选：A． 5．（2025·江西赣州·一模）如图，坐标平面内有一个矩形，点A位于原点，点B、D在坐标轴上，点C的坐标为，现固定B点并将此矩形按顺时针方向旋转，若旋转后C点的坐标为，则旋转后D点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，记旋转后的矩形为， ∵旋转后点的坐标为， ∴点落在轴上， ∵，四边形是矩形， ∴，， ∵旋转， ∴，， ∴点的坐标为， 即旋转后点坐标为 故选：D． 6．（2025·江苏泰州·三模）如图，已知矩形的顶点，分别落在轴，轴上，，，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过作轴于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 7．（2025·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的与矩形的边都相切，且经过顶点，与边相交于点．若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵与矩形的边都相切， ∴，， ∴， ∵矩形中，, ∴， ∴轴， ∵点A的坐标是， ∴点D的纵坐标为3， ∴， ∵矩形中， ∴， ∴， ∴， 连接，根据勾股定理得：， ∴点E的坐标为． 故选：A． 8．（2025·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上，且，点在轴负半轴上，且．若点是象限内的一点，则使得以，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】∵， ∴， 如图，当是平行四边形的边时，且． 点可以看作是由点先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的， 点可以看作是由点按同样的平移方式得到，或者点是由点按同样的平移方式得到， 点的坐标为或，即或． 当是平行四边形的对角线时，的中点与的中点重合， 同理可得． 又点在象限内， 点的坐标为或． 故选：D． 9．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：点Q的坐标为． 故答案为：． 10．（2025·贵州·一模）经纬网是一种利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系统，能够标示地球上的任何一个位置．在如图所示的经纬网中，已知甲的坐标为，表示的经纬度为西经，北纬，若乙的经纬度为东经，南纬，则乙的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：建立平面直角坐标系如图， 因为乙表示的经纬度为东经，南纬， 所以乙的坐标为， 故答案为：． 11．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：过点作，如图所示： 四边形是正方形，点的坐标是， ，， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， 即点的坐标为， 故答案为：． 12．（2025·宁夏中卫·二模）如图在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，．把绕点逆时针旋转使与轴重合得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作， ， 点的坐标是， ，， 由旋转可知，， ，， 在和中，， ， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 13．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将绕点O旋转得到，此时，则C点坐标为 ． 【答案】 【详解】解：延长交于点F，过点C作轴， 垂足为点E，如图所示： 则， 由题意知，，， ∴， 根据旋转可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得：，， ∵点C在第三象限 ∴点C坐标为． 故答案为：． 14．（2025·广东·二模）【阅读理解】 点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若，则称为点的“微距值”；若，则称为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为例如，点到轴的距离为5，到轴的距离为3，因为，所以点的“微距值”为 【知识应用】 (1)点的“微距值”为______； (2)若点的“微距值”为2，求的值； (3)若点在直线上，且点的“微距值”为2，求点的坐标． 【详解】（1）解：∵点到轴的距离，到轴的距离，且， 点的“微距值”为， 故答案为：； （2）解：点到轴的距离， ∵点的“微距值”为2， ∴点到轴的距离， 或； （3）解：设点的坐标为， 点在直线上， 情况一：当时 ，此时，即， 当时，代入，得， 即，解得， 此时， ， 不满足，舍去； 当时，代入，得， 即，解得， 此时， ，满足， 点坐标为； 情况二：当时 ，此时，即， 当时，代入， 得，此时， ， 不满足，舍去； 当时，代入， 得，此时， ，满足， 点坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 题型二：点坐标的规律探索 1. 解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法： 1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标； 2)点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存在的规律． 2. 解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项： 1）求什么找什么的规律；2）变化规律最好用算式而不是得数表示； 3）找算式中数字与序号间的变化规律； 4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）. 【中考母题溯源·学方法】 【典例2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第1条弧；以为边，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意可知：， ， ， ， …… ， ∵点，，作弧为第1条弧， 点，，作弧为第2条弧， ……， ∴组成第2025条弧， ∴第2025条弧上与原点的距离最小的点为， ∴， ∵，，，，……，, ∴12次操作循环一周， ∵， ∴， 过点作轴于点M，如图所示： ∴， ∴， ， ∴， ∴第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为． 故答案为：． 【变式2-1】难点04 周期变化性规律探索 （2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【变式2-2】难点05 点的分组探索 （2025·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，，，，……均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，……，根据这个规律，点的坐标为 【答案】 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，……， 由此发现：点在第四象限的角平分线上，点在第三象限的角平分线上，点在直线的图象上，点在第一象限的角平分线上， ∵， ∴点在第三象限的角平分线上， ∴点． 故答案为：． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点． 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点． 第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即． 故选：A． 2．（2025·河南漯河·三模）如图，已知，，，，，，，，…，依此规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，，，，，，…，， ∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，， ∵， ∴的坐标为． 故选：B． 3．（2025·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的幸运点，已知点的幸运点为，点的幸运点为，点的幸运点为，……，这样依次得到，若点的坐标为则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵的坐标为， ∴…… 以此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ∵， ∴点的坐标与的坐标相同，为． 故选：A． 4．（2025·广东·三模）如图，，，，，，，…，按此规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴的横坐标为， 当为偶数时，的纵坐标为； 当为奇数时，的纵坐标为； ∴点的横坐标为20，其纵坐标为， ∴点的坐标为． 故选：D． 5．（2025·山东聊城·三模）如图，已知，．．．．依此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：即， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 观察坐标序列，发现每个点为一组循环，每组对应规律： ， ， ， ， ， ， ， ，说明是第 组的第 3 个点． 对于第 组第个点，横坐标为，纵坐标为． 的坐标为， 故答案为：． 6．（2025·河北邯郸·三模）两个反比例函数在第一象限内的图像如图所示，点在反比例函数的图像上，它们的横坐标分别是，纵坐标分别是1，3，5，……，共2025个连续奇数，过点分别作轴的平行线，与的图像的交点依次是，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：第2025个奇数为， 的坐标为， 平行y轴， 的横坐标为， 的纵坐标为 ， ， 故答案为． 7．（2025·河南驻马店·三模）在平面直角坐标系中，规定点的“豫点”是，例如：点的“豫点”是即；点的“豫点”是即；…，则的“豫点”的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：依题意，点的“豫点”是即； 点的“豫点”是即； 点的“豫点”是即 点的“豫点”是即 点的“豫点”是即 点的“豫点”是即，…… 4次一循环， ∵ ∴的“豫点”的坐标是， 故答案为：． 8．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为 【答案】 【详解】解：∵图案是用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 依次类推：； 则点G的坐标为； 故答案为：. 9．（2025·山东济宁·三模）如图，直线，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；再过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点，…，按此作法进行下去，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵直线，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点， ， 在中，， ， ∴点的坐标为， ， 在中，， ， ∴点的坐标为， 同理，可得出：点的坐标为， 由此可知的坐标为， 故点的坐标为， 故答案为：． 10．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于，过点作于，过点作于， 把代入，得， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ， ∵点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， ， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 故答案为：． 11．（2025·山东泰安·一模）三月的泰安，玉兰花迎着春风绽放，数学活动小组在绘制如“玉兰花”形的美丽图案，如图在平面直角坐标系中，等腰三角形．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点的对应点为，称点为第一个“玉兰花”的花瓣，点为第二个“玉兰花”的花瓣；……；按此规律，滚动2025次后停止滚动，则最后一个“玉兰花”的花瓣的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作轴于C， ∵， ∴， ∵是等腰三角形，且， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 由题意得， ∴， ∴； ∴的横坐标为，纵坐标为， 由题意得，的纵坐标为，且是（n为正整数）由三角形向右滚动3次得到的，相当于点沿x轴的正方向平移个单位长度得到点， ∵， ∴滚动2025次后，最后一个“玉兰花”的横坐标为，纵坐标为， ∴滚动2025次后，最后一个“玉兰花”的坐标为， 故答案为：． 12．（2026·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“可余点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下． 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则点的坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：根据已知：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为： ①若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，先向右平移个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； ②若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，则按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； ③若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，则按照向左、向上，向左、向上不断重复的规律平移； 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则按照“可余点”反向运动次即可，可以分为两种情况： 若按照②或③方式：则向右平移次，向下平移次即为“可余点”，则，即； 若按照①方式：则需要向下平移10次，向右平移9次，再向左平移1次，则，即， 综上：点的坐标为或 故答案为：或． 13．（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若． (1)填空：①点的坐标是_____；②点的坐标是______；③点的坐标是______；④点的坐标是______；（结果可保留乘方形式） (2)观察（1）中的结果，发现规律，求点的坐标． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) 【详解】（1）解：由题意知，12个以点O为公共顶点的直角三角形相似， ∴每个三角形中以O为顶点的内角均为， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， …， 一般地：； ∴点的坐标是；点的坐标是；点的坐标是；点的坐标是， 故答案为：①；②；③；④； （2）解：由（1）知，，且12次一个循环， ， 则点与点一样落在y轴正半轴上， ， ∴点的坐标为． 14．（2025·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为、…，过点、、、…、分别作x轴垂线，交直线于点、、、…，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为…. 【参考公式：连续x个正整数和的计算公式：】 (1)由题意可知：、；、；、；则 、 ； (2) ； (3)的值是否会等于2025？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由. 【详解】（1）解：∵，，，，，， …… ∴根据规律发现,， ∴，， 故答案为：15；8． （2）解：∵，， ， 故答案为：． （3）解：不能，理由如下： ∵， ， ∵n不是整数， ∴的值不会等于． 题型三：平面直角坐标系中的面积问题 类型1 一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算 当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴时，可直接使用三角形的面积公式,其中是在坐标轴上或平行于坐标轴的边,为边上的高 类型2 三边都不在坐标轴上或不平行于坐标轴的三角形面积的计算 分割法 补形法 【中考母题溯源·学方法】 【典例3】（2025·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． (1)求点D的坐标和k的值； (2)延长 交x轴于点F，求的面积． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为， ∴点， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵反比例函数的图象过点D， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵反比例函数的图象交于点E， ∴设， ∴，∴ 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 令， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵为等边三角形，作轴于点D，如图①所示， 则，，， ∴， 故B的坐标为，的坐标为， 故作案为：，； （2）解：①由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， 在中，，则，，， ∴， 在中，，， ∵， ∴，， 所以 ， 当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形，当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形， ∴t的取值范围是：； ②如图所示，连接和， 以和为邻边构造平行四边形，，设， ∴，，， 解得，， ∴， 由（1）得，点O关于直线的对称点为点， 故，当三点共线时，值最小，连接即为的最小值， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴的坐标为． 2．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形是平行四边形，，，点，矩形的顶点，点，点在第二象限． (1)如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将矩形沿轴平移，得到矩形，点的对应点分别为．设，矩形与重叠部分面积为． ①如图②，当交于点，分别交于点，且重叠部分是五边形，试用含的式子表示，并直接写出的范围； ②当时，求的范围（直接写出结果即可）． 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵，点， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①过点作，垂足为， ∵，， ∴， 由平移可知四边形是矩形， 又∵四边形 是平行四边形， 则四边形为矩形，， ∵点，点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴当时，的值最大，， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，的值最小，， ∴的范围为． 3．（2025·广东东莞·二模）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，平移后的图形记为三角形． (1)求点的坐标； (2)在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题； 用含有的式子表示点的坐标； 当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，求的值； 当三角形面积是三角形面积的倍时，求的值． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度， ； （2）当点在上时，， 此时， ； 当点在上时，， 此时， ； 综上，或； 当时，则， 解得； 当时，， 解得，此时不符合题意，舍去； 综上所述，； ， ， 当时，点在上， ， ， ， ， 解得； 当时，点在上， ，， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或． 题型四：实际生活中函数图象问题 读取图象中的关键信息,包含坐标轴、起点、最高点、拐点、水平线等,并作出正确的结论判断.具体分析如下: 关键信息 函数意义 坐标轴 弄清楚横轴与纵轴所表示的函数变量 拐点 图象上的拐点既是前一段函数的终点,又是后一段函数的起点,反映函数图象在这一时刻开始发生变化 水平线 函数值随自变量的变化而保持不变 【中考母题溯源·学方法】 【典例4】（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 【答案】 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 【变式4-1】难点06 分析两个函数的图象 51．（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 【详解】（1）解：由图象可知，B、C两地的距离为，A、B两地的距离为， ∴， ∵轿车的速度为：， ∴轿车从开往地所需的时间为：， ∴； 故答案为：300，2； （2）∵轿车比货车晚到达终点， ∴货车到达地所用时间为：， ∴， ∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地， ∴， 设， ∴，解得：， ∴； （3）由（2）可知，货车的速度为：， ∴当轿车到达地之前，，解得：； 当轿车到达地，货车离地时，，则：符合题意； 当货车到达地时，此时轿车离点的距离为：，恰好满足题意，此时； 综上：轿车出发或或时与货车相距40． 【变式4-2】新考法01 跨生物学科 （2025·河南驻马店·二模）光合作用，通常是指绿色植物吸收光能，把二氧化碳和水合成有机物，同时释放氧气的过程，整个过程受光照强度、二氧化碳浓度、温度等多种因素的影响．小明在研究某绿色植物光合作用氧气释放速度（毫克/小时）与光照强度（千勒克斯）之间的关系时，设计了如图1的实验装置，并绘制了和时与之间的关系图 （如图2），下列说法错误的是 （    ） A．两种温度下均是的函数 B．当时，该绿色植物不进行光合作用 C．当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的高 D．光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度越快 【答案】D 【详解】解：A、根据题意可知是自变量，所以两种温度下均是的函数，故说法正确，该选项不符合题意； B、当时，即没有光照条件，所以该绿色植物不进行光合作用，故说法正确，该选项不符合题意； C、根据图像可知，当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的高，故说法正确，该选项不符合题意； D、根据题意可知，该绿色植物释放氧气的速度还与温度有关，故说法错误，该选项符合题意． 故选：D． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 【答案】C 【详解】解：由图象可知，A，B两城相距，甲车先出发，乙车先到达B城， 故选项A、B不符合题意； 甲的速度为：， 乙的速度为：， 故选项C错误，符合题意； 由交点的横坐标可知，乙车在追上甲车． 故D不符合题意． 故选：C． 2．（2025·河南郑州·一模）硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 【答案】C 【详解】解：A、题目未给出时硫酸钠的溶解度数据，且固体物质的溶解度一般不为，此选项不符合题意； B、由数据可知，时溶解度为，时溶解度为，说明温度升高到一定程度后，硫酸钠的溶解度反而减小，并非随温度升高而增大，此选项不符合题意； C、时，溶解度曲线为非线性变化（多数固体溶解度曲线并非直线），因此温度每升高，溶解度的增加量不相同，此选项符合题意； D、时溶解度为，时溶解度为，但无法确定之后溶解度是否仍不低于，且题目未明确“仅满足”，此选项不符合题意； 故选：C． 3．（2026·辽宁阜新·一模）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，则a的值是 ． 【答案】1 【详解】解：由图象可知：乙车出发0.5小时后，甲车开始出发，乙车0.5小时行驶了千米，A地与B地之间的距离为100千米，小时后，两车相遇， ∴乙车的速度为（千米/小时）； ∴乙车到达A地所用时间为（小时）， ∴乙车先到达地， ∴甲车从A地到B地所用时间为（小时）， ∴甲车的速度为（千米/小时）， ∴，解得； 故答案为：1． 4．（2026·辽宁阜新·一模）某物流公司引进A，B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运．A种机器人于某日0时开始搬运，过了，B种机器人也开始搬运．如图，线段表示A种机器人的搬运量（）与时间x（时）的函数图象，线段表示B种机器人的搬运量（）与时间x（时）的函数图象．根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)求关于x的函数解析式． (2)如果A，B两种机器人各连续搬运，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？ 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， ∵线段过点和点， ∴，解得 ∴关于的函数解析式为（）． （2）解：设关于的函数解析式为， ∵线段过点， ∴，解得， ∴关于的函数解析式为（）． 当时，（千克）， 当时，（千克）， （千克）． 答：如果、两种机器人各连续搬运5小时，那么种机器人比种机器人多搬运了150千克． 5．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度； (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离； (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 【详解】（1）解：根据“速度路程时间”，轿车的平均速度为，货车的平均速度为， 轿车的平均速度为，货车的平均速度为； （2）解：根据“路程时间速度”，得， 轿车到达终点时，货车离终点的距离为； （3）解：当时， 设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ， 当时，得， 解得； 由图象得：在时，无法达到； 当时， 设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ， 当时，， 解得． 货车出发或后，两车相距． 6．（2025·浙江丽水·二模）同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事停留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示． (1)求甲、乙两车各自的平均速度； (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？ 【详解】（1）解：由题意知A，B两地之间的距离为120， 为乙车的函数关系，则， 点为甲车事前停留位置，则， 故甲车的平均速度，乙车的平均速度； （2）解：由图可知点， ∵甲车途中有事保留了0.5小时． ∴点， 设直线的函数表达式，则 ， 解得， ∴直线的函数表达式； （3）解：由图可知点，， 设直线的函数表达式，则 ，解得， ∴直线的函数表达式， 联立， 解得， 则乙车出发小时后两车相遇， 相遇时乙车离A地的距离为． 7．（2025·北京·中考真题）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35； (2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习． 【详解】（1）解：由曲线看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35 故答案为：6 （2）解：∵日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个 ∴相差（个）， 把5分成两个接近的数，， ∴第4日增加3个，第5日增加2个， ∴， 画出时的曲线： （3）解：①单日制成不少于45个合格品的只有与， ：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ∴； ：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ∴， ∵， 故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书； 故答案为：7； ②当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 4日的合格产品分别是7，8，10，12， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 3日的合格产品分别是12，19，26， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 2日的合格产品分别是20，30， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 1日的合格产品是26； ∵， ∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习． 故答案为：1． 题型五：动点的函数图象问题 类型一 动点与函数图象判断的解题策略 方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势； 方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断； 方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除； 方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除． 类型二 动点与函数图象计算的解题策略 一看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等； 二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况； 三结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值； 四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解． 【中考母题溯源·学方法】 【典例5】（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 【变式5-1】难点07 根据函数图象判断点的运动轨迹 （2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故答案为：． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 【答案】D 【详解】解：由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变． 记中点为， 由函数图象可得，当时，，此时点落在上，如图： 则， 由题意得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴此时为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A、B正确，不符合题意； ∴当时，重叠部分记为， 由题意得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 由函数图象可得，当时运动停止，那么的顶点从点运动到点用时，如图： ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由题意得：为的中点， ∴， ∴， ∴的周长为， 故D错误，符合题意， 故选：D． 2．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当点E在上时，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在上且l与相交时，作，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为直线一部分； 当点E在上且l与相交时，如图， ，，， ， ， ， 此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选A． 4．（2026·浙江·模拟预测）如图1，在菱形与菱形中，，且，点在射线上，点在直线上．菱形沿射线平移，设点与点的距离为，菱形与菱形重叠部分的图形面积为．若关于的函数图象如图2所示，则下列选项正确的是（　　） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】解：由题意可得，当菱形与菱形重合时，重叠部分的面积y最大，此时点P与点C重合时，点E与点A重合，，重合部分的面积y是菱形的面积， 由图象可得，此时，， ∴，， ∵，即， ∴，故A选项错误． 连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴在中，， ∴，故选项B错误； 当时，， ∵在菱形与菱形中，，且， ∴菱形与菱形全等， ∴， ∴， ∴， ∴点O与点E重合，如图所示， 设与相交于点M，与相交于点N，连接，交于点H， ∵在菱形和菱形中，，， 又， ∴，， ∴，， ∵在菱形中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴ ∵在中，， ∴在中，， ∴， ∴， 即，故选项C正确． 由图象可得，当时，，故选项D错误． 故选：C． 5．（2026·浙江·一模）如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．y的最小值为64 【答案】B 【详解】解：由图2可知，当时，，即， ∴， ∵D是边的中点， ∴； ∵， 即，，， 此时，， 如图，过点作交于点，则有为等腰三角形， ∴，； 由图2知，点为最高点， ∵当点和点重合时，最大， ∴，， ∴， ∴， 整理得， 解得或（负值舍去），故选项C错误； ∴，， ∴，，故选项B正确； ∴，故选项A错误； 由上图可知，当，即点和点重合时，有最小值，即最小， 此时， ∴， ∴的最小值为，故选项D错误． 故选：B ． 6．（2025·四川绵阳·一模）如图，腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小直角三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止． ①时，两个等腰直角三角形重叠面积为小的等腰直角三角形的面积， ∴； ②当时， 依题意，，， 移动距离， 则 ∴ ∴重叠的面积=边长为的等腰直角三角形的面积， 即， 此时是开口方向向上的二次函数， ③当时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0， 故选A． 7．（2026·湖北·模拟预测）如图1，点P从的顶点B出发，沿方向匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随运动时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的长是 ，的周长是 ． 【答案】 5 16 【详解】解：根据图象可知点P在上运动时，此时线段不断增大，由图象可知：点P从B向C运动时， 的最大值为5，即，由于M是曲线部分的最低点， ∴此时最小，即时，， ∴由勾股定理，得，由于图象的曲线部分是轴对称图形，曲线右端点纵坐标为5， ∴， ∴此时 (三线合一)， ∴， ∴的周长为， 故答案为：5；16． 8．（2026·湖北·模拟预测）如图①，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图②所示，则 ， ． 【答案】 【详解】解：由图②知：当，P和A重合，则， 当时，y最小，最小值为n，此时，， ∴， 当时，P和C重合，则， 过点B作， ∴，， ∴， 故答案为：；． 9．（2026·湖北·模拟预测）如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象． （1） ； （2）连接，若，则 ． 【答案】 5 1或3 【详解】解：（1），， ． ， ． ， ． ， ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得， ， ， ． 故答案为∶5． （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得或， 故答案为：1或3． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $