专题17.3 全等三角形及其性质（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题17.3全等三角形及其性质 教学目标 1. 理解全等图形、全等三角形的概念、全等图形与全等变换之间的关系； 2. 理解全等三角形的性质，全等三角形对应边相等、对应角相等，并能应用全等三角形的性质进行简单的计算、推理、证明； 3. 能熟练地识别全等变换图形，准确地在全等三角形中找到对应顶点、对应角、对应边. 教学重难点 1.重点 全等三角形的核心性质：全等三角形对应边相等，对应角相等； 2.难点 在复杂图形中准确、快速辨认出对应元素。 知识点01 全等三角形的概念 1.定义 如果一个图形经过平移、旋转、翻折后，与另一个图形能够完全重合，那么这两个图形叫作全等形，是全等形的两个三角形叫作全等三角形. 2.全等变换 常见的全等变换有：平移、旋转、翻折 【即学即练】 例1 如图所示，图中有四对三角形，每对中的△ABC通过怎样的运动能与另一个三角形重合？ 解：图（1）△ABC向下平移四个单位与△DEF重合； （2） △ABC绕点A顺时针旋转90与△AEF重合； （3） △ABC沿着直线BC翻折与△DBC重合； （4）△ABC绕点A顺时针旋转90再沿着AC边所在的直线翻折与△AED重合. 【点睛】全等变换的辨析是学好三角形全等的基础与核心应用的紧密关联，全等变换是理解全等性质的前提，也是学习全等判定、证明的基础，有利于我们从整体上培养“图感”，直观地发现全等证明所需的条件。 知识点02 全等三角形的性质 1. 对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角. 如图(1)中，△ABC和△DEF是全等三角形，记作△ABC≌△DEF,符号“≌”表示全等，读作“全等于”. 2. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3. 全等三角形的传递性 如果两个三角形都和第三个三角形全等，那么这两个三角形全等，这个性质叫作三角形全等的传递性. 【即学即练】 例2 如图，已知，平分，与交于点G．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 解：∵，， ∴（三角形外角的性质）， ∵平分， ∴， ∴ ∵， ∴（全等三角形对应角相等） ∴(三角形内角和定理)， 故选：C． 【点睛】理解全等三角形的对应角相等的性质是解决本题的关键. 例3 如图，已知（与，与分别对应），，，则的值为 ． 解：∵，， ∴， ∵， ∴．（全等三角形对应边相等） 故答案为：5． 【点睛】理解全等三角形的对应边相等是解决本题的关键. 题型01 全等变换与全等图形的识别 【典例1】如图，已知图形是由通过图形的变换得到的，请说出图中的与△ABC全等的三角形，并说出它们是如何经过变换得到的？ 【详解】解：如图，与△ABC全等的三角形有、、； 是由△ABC沿BC的垂直平分线翻折得到的； 是由△ABC绕着BC的中点旋转180得到的； 是由△ABC沿着BC所在的直线翻折得到的； 【变式1】下列各组中的两个图形为全等形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．利用全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意； B、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意； C、两个图形是全等图形，故此选项符合题意； D、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】如图，和都是等边三角形，AD与BE相交于F． 可以看作是由经过平移、翻折或旋转中的一种变换得到，请写出得到的变换过程； 解：可以看作是由绕着点C，逆时针旋转得到的； 【变式3】如图，四边形是正方形，，分别是和的延长线上的点，且，连接，，．    可以看作是经过平移、轴对称或旋转中的一种变换得到，请写出得到的变换过程； 解：可以由绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到的； 【变式4】如图，已知中，，． (1)可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换； (2)求的度数． 【答案】(1)绕点顺时针旋转得到； (2)． 【分析】（1）根据，，即可确定图形所做的变换； （2）根据全等三角形的性质可得：，，进一步可得的度数和的度数，再根据三角形外角的性质求出的度数． 【详解】（1）解：，， 绕点顺时针旋转得到． （2）解：，， ，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，旋转的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 题型02 全等三角形的对应关系 【典例1】如图，与全等，可表示为________，与是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是________，其余的对应边是________． 【答案】 与，与 AB与BA，BC与AD 【分析】由，结合图形可得其余的对应角与对应边． 【解析】解：，与是对应角，AC与BD是对应边， 其余的对应角是与，与； 其余的对应边是AB与BA，BC与AD． 故答案为：，与，与，AB与BA，BC与AD 【点睛】本题考查的是三角形全等的表示，全等三角形的对应边与对应角的理解，掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】）已知图中的两个三角形全等，则度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形对应角相等即可求出结果． 【详解】解：∵两个三角形全等，在第一个三角形中，为，两边的夹角度数， 在第二个三角形中，为，两边的夹角， ∴． 故选：A． 【变式2】）已知，，则 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查三角形的内角和定理，全等三角形的性质，先根据三角形的内角和定理求出，再由全等三角形的性质得到即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【变式3】如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，再由求出，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式4】如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，进而求得，根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵，，． ∴，， ∴， ∴的周长为 故答案为：． 题型03 利用全等三角形的性质计算、推理和证明 【典例1】如图，已知中，，． (1)请说明：； (2)可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换； (3)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)82° 【分析】本题主要考查全等三角形的性质、旋转的性质、三角形外角性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）由全等三角形的性质可得，根据等角加同角相等即可得到； （2）根据旋转的性质即可求解； （3）由（1）知，由全等三角形的性质可得，根据三角形外角性质可得，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴绕点顺时针旋转得到； （3）解：∵，， ，， ， ． 【变式1】）如图，，且点B，D，C在一条直线上，点F在上，延长交于点E． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）根据全等三角形的对应角相等可得，，再由等量代换即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等可得，，再由等量代换即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵点B，D，C在一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式2】如图，，且点D在上，求证：．    【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的性质得到，根据三角形外角的性质可得，由此即可得到． 【解析】证明：∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键． 【变式3】如图，已知，点E在上，与相交于点F． (1)当，时，求线段AE的长； (2)已知，，求与的度数． 【答案】(1)3 (2)， 【分析】(1)根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，即可得到答案； (2)根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可求得． 【解析】（1）解：，，， ，， ； （2）解：，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【变式4】如图，，，三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，．理由见解析 【分析】（1）由得出，再进行相应等量代换； （2）当时，．由，得出，，若，则，因而，所以，进而，从而得证． 【解析】（1）证明：， ，， ． （2）解：当时，．理由如下： ， ． ， ，， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、平行线的判定及三角形内角和定理；根据全等的条件，得出等角及等量线段，进行相应的等量代换是解题的关键． 题型04 全等三角形性质的简单应用 【典例1】如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由证明三角形全等得出是解题的关键． 通过证明三角形全等得出再根据即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，将围绕点C逆时针旋转90可以得到△ABC， 故答案为：. 【变式1】图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键． （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形即可； （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形即可． 【详解】（1）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形， ； （2）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形， ． 【变式2】一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 ． 【答案】17 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 先根据全等三角形的性质，得出x和y的值，再根据三角形三边之间是关系，得出该等腰三角形的底边和腰长，即可解答． 【详解】解：∵一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5， ∴， ∵， ∴等腰三角形底边长为3，腰长为7， ∴等腰三角形的周长， 故答案为：17． 【变式3】如图1和图2，点B，C，D，E在同一条直线上，且，． (1)如图 1，点 D 与点 C 重合，求证：； (2)将图 1中的 沿直线向左平移至点D与点B 重合时停止，如图2所示，与交于点 G． ①判断此时与之间的位置关系，并说明理由； ②已知 ，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②16 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质： （1）根据全等三角形的性质可得，即可求证； （2）①根据全等三角形的性质可得，从而得到，即可解答；②根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：①与之间的位置关系是；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为16． 【变式4】如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为 米． 【答案】或/24或45 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当；当；根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，设运动时间为，则，， ①点是中点，时，，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②时，，， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，线段的长度为或， 故答案为：或． 1．下列图形与如图所示的图形全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答．即可解答． 【详解】解：根据全等的定义可得D和原图形全等， 故选：D． 2．下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【答案】D 【分析】根据全等三角形的定义进行判断作答即可． 【详解】解：两个面积相等的图形，不一定是全等图形，A错误，故不符合要求； 若两个图形周长相等，则它们不一定是全等图形，B错误，故不符合要求； 两个等边三角形不一定是全等图形，C错误，故不符合要求； 能够完全重合的两个图形是全等图形，D正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 3．下列说法其中正确的个数有（   ） ①能够完全重合的两个三角形是全等三角形； ②通过旋转得到的两个图形全等，全等的两个图形旋转后一定能重合； ③大小相同的两个图形是全等图形； ④一个图形经过平移、翻折、旋转后，得到的图形一定与原图形全等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的定义及图形的全等变换．需根据全等三角形的定义及图形的全等变换相关概念对每个说法逐一进行分析判断得到结果． 【详解】解：①能够完全重合的两个三角形是全等三角形，符合题意； ②通过旋转得到的两个图形全等，全等的两个图形旋转后不一定能重合，不符合题意； ③形状相同、大小相同的两个图形是全等图形，不符合题意； ④一个图形经过平移、翻折、旋转后，得到的图形一定与原图形全等，符合题意． 综上所述，说法正确的有①④，共2个， 故选：C． 4．如果，那么的推理依据是 ． 【答案】三角形全等的传递性 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据三角形全等的传递性进行解答即可． 【详解】解：如果，那么的推理依据是三角形全等的传递性． 故答案为：三角形全等的传递性． 5．如图，若，，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键，先根据全等三角形的性质求出，再计算即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：2． 6．如图，已知，，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质及其应用．根据全等三角形的性质，，再由线段和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．如图，已知，如果，，那么 ． 【答案】75 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由全等三角形的性质得到，再证明，据此利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 8.一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． (1)，对应边是 ，对应角是 ； (2)，对应边是 ，对应角是 ； (3)，对应边是 ，对应角是 ； (4)，对应边是 ，对应角是 ． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可得到结论． （2）根据全等三角形的性质即可得到结论． （3）根据全等三角形的性质即可得到结论． （4）根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：，对应边是， 对应角是； 故答案为：；； （2）解：，对应边是， 对应角是； 故答案为：；； （3）解：，对应边是， 对应角是； 故答案为：；； （4）解：，对应边是， 对应角是． 故答案为：；． 9.如图，，和，和是对应边．写出其他对应边及对应角． 【答案】其他对应边：和．对应角：和，和，和． 【分析】根据全等三角形的概念，写出相对应的边和角即可． 【解析】解：∵△ABC≌△CDA， ∴其他对应边：AC和CA．对应角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，∠ACB和∠CAD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的概念，解题的关键在于能够熟记概念． 10.如图，△ABC ≌△DEF，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在一条直线上，∠A = 85°，∠E = 50°，AB = 4，EF = 6． （1）求∠ACB的度数． （2）求AC边的取值范围． 【答案】（1）45°；（2）2＜AC＜10 【分析】（1）根据全等三角形的性质求出∠B，再利用三角形内角和求解； （2）根据全等三角形的性质求出BC，再根据三角形的三边关系求解即可． 【解析】解：（1）∵△ABC ≌△DEF， ∴∠B=∠E=50°， ∵∠A=85°， ∴∠ACB=180°-∠B-∠A=45°； （2）∵△ABC ≌△DEF， ∴BC=EF=6， ∵AB=4， ∴AC的范围是2＜AC＜10． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的三边关系，三角形内角和定理，解题的关键是利用全等三角形得到相等边和角． 11.如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，再由进行计算即可得到答案； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可得，最后由进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 12．如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数等于 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是关键．根据三角形全等得到，则，进一步根据平角定义和三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 由题意可得，， 又∵ ∴ 故答案为； 13.如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 14．如图，在中，厘米，厘米，且，点D为的中点．如果点P在线段上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点在线段上由C点向A点运动．若点的运动速度为4厘米/秒，则当与全等时，v的值为 ． 【答案】3或4 【分析】此题考查了全等三角形的性质．分两种情况讨论：①若，根据全等三角形的性质，则厘米，（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若，则厘米，，得出，解得：．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【详解】解：中，厘米，点为的中点， 厘米， 若，则需厘米，（厘米）， 点的运动速度为4厘米秒， 点的运动时间为：， （厘米秒）； 若，则需厘米，， ， 解得：； 的值为3或4． 故答案为：3或4． 15.如图，在等腰三角形中，，过点作直线，若点从点出发，以每秒的速度沿射线向左运动，同时，点也从点出发，以每秒的速度在直线上向上或向下运动．连接，，设运动时间为，当为何值时，与全等？（分两种情况讨论） 【答案】秒或秒 【分析】本题考查了全等三角形的性质，动点问题（一元一次方程的应用）．根据当点N在射线上时，当点N在的反向延长线上时，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵点从点出发，以每秒的速度沿射线向左运动， ∴， 依题意，与全等 ∴当点N在射线上，如图所示： ∵也从点出发，以每秒的速度在直线上向上或向下运动． ∴， 则， ， ∴， 解得； 当点N在的反向延长线上时，如图所示： 此时 ∴， 依题意，，， ， ． 综上所述，当秒或秒时，与全等． 16.综合与探究． 将两块全等的特制直角三角板（）按如图所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】一块直角三角板的面积为． 【分析】由，得，，，又点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，所以，，设，，利用面积关系，构建方程组求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上， ∴，， 设，， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 答：一块直角三角板的面积为． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17.3全等三角形及其性质 教学目标 1. 理解全等图形、全等三角形的概念、全等图形与全等变换之间的关系； 2. 理解全等三角形的性质，全等三角形对应边相等、对应角相等，并能应用全等三角形的性质进行简单的计算、推理、证明； 3. 能熟练地识别全等变换图形，准确地在全等三角形中找到对应顶点、对应角、对应边. 教学重难点 1.重点 全等三角形的核心性质：全等三角形对应边相等，对应角相等； 2.难点 在复杂图形中准确、快速辨认出对应元素。 知识点01 全等三角形的概念 1.定义 如果一个图形经过平移、旋转、翻折后，与另一个图形能够完全重合，那么这两个图形叫作___________，是全等形的两个三角形叫作___________. 2.全等变换 常见的全等变换有：________、________、________ 【即学即练】 例1 如图所示，图中有四对三角形，每对中的△ABC通过怎样的运动与另一个三角形重合？ 解：图（1）△ABC向下________四个单位与△DEF重合； （2） △ABC绕点________顺时针旋转________与△AEF重合； （3） △ABC沿着直线________翻折与△DBC重合； （4）△ABC先绕点________顺时针旋转________，再沿着________边所在的直线翻折与△AED重合. 【点睛】全等变换的辨析是学好三角形全等的基础与核心，全等变换是理解全等性质的前提，也是学习全等判定、证明的基础，有利于我们从整体上培养“图感”，直观地快速、准确发现全等对应元素是基本功。 知识点02 全等三角形的性质 1. 对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫作________，重合的边叫作________，重合的角叫作________. 在上图(1)中，△ABC和△DEF是全等三角形，记作△ABC________,符号“≌”表示________，读作“________”. 2. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边________，对应角________. 3. 全等三角形的传递性 如果两个三角形都和第三个三角形全等，那么这两个三角形全等，这个性质叫作________________. 【即学即练】 例2 如图，已知，平分，与交于点G．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 解：∵，， ∴（________________________）， ∵平分， ∴， ∴ ∵， ∴（________________________）， ∴（________________________）. 故选：C． 【点睛】理解全等三角形的对应角相等的性质是解决本题的关键. 例3 如图，已知（与，与分别对应），，，则的值为 ． 解：∵，， ∴， ∵， ∴（________________________）． 故答案为：5． 【点睛】理解全等三角形的对应边相等的性质是解决本题的关键. 题型01 全等变换与全等图形的识别 【典例1】如图，已知图形是由通过图形的变换得到的，请说出图中的与△ABC全等的三角形，并说出它们是如何经过变换得到的？ 【变式1】下列各组中的两个图形为全等形的是（    ） A．B． C． D． 【变式2】如图，和都是等边三角形，AD与BE相交于F． 可以看作是由经过平移、翻折或旋转中的一种变换得到，请写出得到的变换过程； 【变式3】如图，四边形是正方形，，分别是和的延长线上的点，且，连接，，．    可以看作是经过平移、轴对称或旋转中的一种变换得到，请写出得到的变换过程； 【变式4】如图，已知中，，． (1)可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换； (2)求的度数． 题型02 全等三角形的对应关系 【典例1】如图，与全等，可表示为________，与是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是________，其余的对应边是________． 【变式1】）已知图中的两个三角形全等，则度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】）已知，，则 ． 【变式3】如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为 ． 【变式4】如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，则的周长为 ． 题型03 利用全等三角形的性质计算、推理和证明 【典例1】如图，已知中，，． (1)请说明：； (2)可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换； (3)求的度数． 【变式1】）如图，，且点B，D，C在一条直线上，点F在上，延长交于点E． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【变式2】如图，，且点D在上，求证：．    【变式3】如图，已知，点E在上，与相交于点F． (1)当，时，求线段AE的长； (2)已知，，求与的度数． 【变式4】如图，，，三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？并说明理由． 题型04 全等三角形性质的简单应用 【典例1】如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为 ． 【变式1】图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 【变式2】一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 ． 【变式3】如图1和图2，点B，C，D，E在同一条直线上，且，． (1)如图 1，点 D 与点 C 重合，求证：； (2)将图 1中的 沿直线向左平移至点D与点B 重合时停止，如图2所示，与交于点 G． ①判断此时与之间的位置关系，并说明理由； ②已知 ，求四边形的面积． 【变式4】如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为 米． 1．下列图形与如图所示的图形全等的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 3．下列说法其中正确的个数有（   ） ①能够完全重合的两个三角形是全等三角形； ②通过旋转得到的两个图形全等，全等的两个图形旋转后一定能重合； ③大小相同的两个图形是全等图形； ④一个图形经过平移、翻折、旋转后，得到的图形一定与原图形全等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．如果，那么的推理依据是 ． 5．如图，若，，，则的长是 ． 6．如图，已知，，，则的长度为 ． 7．如图，已知，如果，，那么 ． 8.一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． (1)，对应边是 ，对应角是 ； (2)，对应边是 ，对应角是 ； (3)，对应边是 ，对应角是 ； (4)，对应边是 ，对应角是 ． 9.如图，，和，和是对应边．写出其他对应边及对应角． 10.如图，△ABC ≌△DEF，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在一条直线上，∠A = 85°，∠E = 50°，AB = 4，EF = 6． （1）求∠ACB的度数． （2）求AC边的取值范围． 11.如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数 12．如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数等于 ． 13. 如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 14．如图，在中，厘米，厘米，且，点D为的中点．如果点P在线段上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点在线段上由C点向A点运动．若点的运动速度为4厘米/秒，则当与全等时，v的值为 ． 15. 如图，在等腰三角形中，，过点作直线，若点从点出发，以每秒的速度沿射线向左运动，同时，点也从点出发，以每秒的速度在直线上向上或向下运动．连接，，设运动时间为，当为何值时，与全等？（分两种情况讨论） 综上所述，当秒或秒时，与全等． 16. 综合与探究． 将两块全等的特制直角三角板（）按如图所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $