专题17.2 三角形的内角和（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题17.2三角形的内角和 教学目标 1.掌握三角形内角和为180°定理及直角三角形两锐角互余的推论，能熟练计算内角角度； 2. 理解三角形外角的定义、外角的两个性质，能区分内角与外角并运用性质求解角度； 3. 会用平行线性质、平角定义证明内角和定理，能规范书写简单的几何推理过程; 4.掌握常见的导角模型，熟练地运用三角形内角和定理及三角形外角性质解题. 教学重难点 1.重点 三角形内角和定理的推导证明及简单角度计算；内角和与外角性质的综合运用，解决基础几何推理和计算问题。 2.难点 综合运用内角和、外角性质解决复杂的多角计算问题。 知识点01 三角形的有关概念 1.三角形的内角和 （1）三角形内角和定理：三角形内角和等于_________. （2）三角形内角和定理的证明 剪拼法 平行线+内错角+同位角 平行线+内错角 2.三角形的外角及其性质 （1）三角形外角的定义 三角形一个内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作三角形(与此内角相邻)的_________. ∠1和∠3 都是△ABC的外角， 但∠2不是△ABC的外角. （2）三角形外角的性质 ① 三角形的外角等于___________________________. ②三角形的外角大于___________________________. ∠ACD=∠A+∠B ∠ACD∠A，∠ACD>∠B （3）三角形的外角和：三角形的外角和等于__________. 注意：在三角形的每个顶点处只能取一个外角. ∠1+∠2+∠3=360 3.常见的导角模型 （1）常见的三种基本模型 8字型 A字型 燕尾型 图形 结论 ∠A+∠B=∠C+∠D ∠B+∠C=∠ADE+∠AED ∠BOC=∠A+∠B+∠C （2）三角形中的叠角模型 不压边求角 压一边求角 压两边求角 图形 结论 ∠1+∠2=2∠A ∠1-∠2=2∠A ∠1+∠2=2∠A （3）双角平分线的夹角模型 题型01 三角形内角和的证明 【典例1】我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 【变式1】在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过的顶点A作直线l平行于的边，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于”这个结论． 如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边上的任意一点P”，过点P分别作另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于”这个结论．请你先作出辅助线，再完成这个证明过程． 已知，如图2，在中，点P是边上的任意一点．求证：． 【变式2】在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．B． C． D． 【变式3】“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【变式4】如图，点D、E、F分别在、、上，且，， 下面写出了说明“”的过程，请填空： 解：，（       ） ， ．（ ） （已知）， ．（ ） （已知）， ．（两直线平行，同位角相等） （ ） (平角的定义) （等量代换） 题型02 利用三角形内角和定理计算 【典例1】在中，，，和分别为的高线和角平分线，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【变式2】如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4】如图，直线，，，则的度数为 ． 题型03 利用方程思想求角的度数 【典例1】在中，，且是的5倍，那么该三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 【变式1】）在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】在中，，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【变式3】如图，在中，，过点作的垂线，交于点，则 °． 【变式4】在中，，若，则m的值是 ． 题型04 利用三角形外角的性质计算 【典例1】如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式1】已知如图，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于　　 A． B． C． D． 【变式2】如图，，，则度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知：如图，在中，，分别是斜边上中线，且测得AC=8，BC=6，AB=10， （1）画出△BDC中BD、BC边的高； （2）求证：△ADC的AC边上的高等于BC的一半. 【变式4】如图，已知，根据下列要求画出图形并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的平行线，交于点； (4)点到直线的距离是线段___________的长度． 题型05 利用三角形外角性质进行推理、证明 【典例1】【课本再现】已知：如图1，P是三角形内一点，连接，． 求证：． 证明：如图2，延长，交于点D． ∵是的一个外角， ∴． ∵是的一个外角， ∴． ∴． 【知识迁移】如图3，求证： （1）； （2）． 【变式1】我们知道，三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 请利用这条定理解决下列问题∶如图，． (1)求证∶ ． (2)若，，求的度数． 【变式2】已知，如图，B、C、E三点共线，A、F、E三点共线， ，，，求证：． 【变式3】如图， 连接， 求证： 【变式4】如图1，在三角形中，外角平分线和相交于 求证：． 下面是嘉琪的证明过程： 解：，（根据①______）， ， 又平分，平分， ，， ， 在中，， (1)嘉琪的证明中，根据①的内容是：______； (2)如图3，在三角形中，，若，，射线与交于点O，直接写出的度数用含的代数式表示 题型06 常见的导角模型 【典例1】在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 【变式2】如图，将纸片沿折叠，则、和这三个角有什么数量关系（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠A=n°（0＜n＜180），那么∠COD的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图，、分别是的一条内角平分线与一条外角平分线，，那么的度数（　　） A． B． C． D．无法确定 一、单选题 1．在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．将一把直尺和一把等腰三角尺按如图方式摆放．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．马扎（图1）是中国传统手工艺制品，可以合拢，方便携带．图2为其侧面示意图．，与交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．已知中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．如图，中，，E、D分别在和上，点F在的延长线上，平分，，，，则的度数为（    ） A．105° B．95° C．90° D．85° 二、填空题 7．若三个角的大小满足，则的度数为 ． 8. 两面镜子按如图所示的位置摆放，入射光线经过镜子两次反射后的反射光线平行于，若，则的度数是 ． 9. 为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车．图①是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，．当时，的度数为_________ 10. 将一副标准三角板按如图位置放置．其中A，E，F，B四点在一直线上，则的度数是 ． 11．如图，在中，，是的角平分线，则 ， ， ． 12．当三角形中一个内角β是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为 ． 13．如图，在中，是延长线上一点，过点的直线分别交、于点E、F，若，则 度（用含x、y的代数式表示）． 14. 如图，一轮船在海上向正东方向行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，则的度数是（   ） A． B． C． D． 三、解答题 15．在，，，求，，的度数． 16．如图，在中，，是的角平分线，延长至点E，． (1)求的度数． (2)若F是边上一点，，求证：是直角三角形． 17．在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 18．如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17.2三角形的内角和 教学目标 1.掌握三角形内角和为180°定理及直角三角形两锐角互余的推论，能熟练计算内角角度； 2. 理解三角形外角的定义、外角的两个性质，能区分内角与外角并运用性质求解角度； 3. 会用平行线性质、平角定义证明内角和定理，能规范书写简单的几何推理过程; 4.掌握常见的导角模型，熟练地运用三角形内角和定理及三角形外角性质解题. 教学重难点 1.重点 三角形内角和定理的推导证明及简单角度计算；内角和与外角性质的综合运用，解决基础几何推理和计算问题。 2.难点 综合运用内角和、外角性质解决复杂的多角计算问题。 知识点01 三角形的有关概念 1.三角形的内角和 （1）三角形内角和定理：三角形内角和等于180. （2）三角形内角和定理的证明 剪拼法 平行线+内错角+同位角 平行线+内错角 2.三角形的外角及其性质 （1）三角形外角的定义 三角形一个内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作三角形(与此内角相邻)的外角. ∠1和∠3 都是△ABC的外角， 但∠2不是△ABC的外角. （2）三角形外角的性质 ① 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. ∠ACD=∠A+∠B ∠ACD∠A，∠ACD>∠B （3）三角形的外角和：三角形的外角和等于360. 注意：在三角形的每个顶点处只能取一个外角. ∠1+∠2+∠3=360 3.常见的导角模型 （1）常见的三种基本模型 8字型 A字型 燕尾型 图形 结论 ∠A+∠B=∠C+∠D ∠B+∠C=∠ADE+∠AED ∠BOC=∠A+∠B+∠C （2）三角形中的叠角模型 不压边求角 压一边求角 压两边求角 图形 结论 ∠1+∠2=2∠A ∠1-∠2=2∠A ∠1+∠2=2∠A （3）双角平分线的夹角模型 题型01 三角形内角和的证明 【典例1】我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 【答案】(1) (2)三角形内角和为； (3)见解析 【分析】题目主要考查证明三角形内角和定理及平行线的性质，理解题意是解题关键． （1）根据图形直接写出结果即可； （2）根据（1）写出猜想即可； （3）根据题意，延长，过点C作，然后利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：通过、、的拼接，发现； （2）猜想：三角形内角和为； （3）延长，过点C作，如图所示：    ∴， ∵， ∴． 【变式1】在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过的顶点A作直线l平行于的边，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于”这个结论． 如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边上的任意一点P”，过点P分别作另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于”这个结论．请你先作出辅助线，再完成这个证明过程． 已知，如图2，在中，点P是边上的任意一点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，方位角的定义，三角形内角和定理，过点P作，，由平行线的性质及平角的定义可得出答案； 【详解】证明：过点P作，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； 【变式2】在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意； D、如图， ∵，∴，，∵，∴，∵，∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式3】“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答． 【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角， 即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理． 故选：A． 【变式4】如图，点D、E、F分别在、、上，且，， 下面写出了说明“”的过程，请填空： 解：，（       ） ， ．（ ） （已知）， ．（ ） （已知）， ．（两直线平行，同位角相等） （ ） (平角的定义) （等量代换） 【答案】已知，；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等量代换． 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等．利用平行线的性质进行推理即可． 【详解】证明：，，（已知） ，．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ．（两直线平行，内错角相等） ，（已知） ．（两直线平行，同位角相等） ．（等量代换） ，（平角的定义） ．（等量代换） 题型02 利用三角形内角和定理计算 【典例1】在中，，，和分别为的高线和角平分线，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直定义，由三角形内角和定理可得，通过角平分线定义可得，根据，，从而求得，最后通过角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是， 故选：． 【变式1】如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式2】如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 【变式3】如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【变式4】如图，直线，，，则的度数为 ． 【答案】/102度 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质求出相关角的度数，再结合三角形内角和为求出的度数． 【详解】 如图： 故答案为：． 题型03 利用方程思想求角的度数 【典例1】在中，，且是的5倍，那么该三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 设，则，根据列方程求出，，然后根据三角形内角和定理求出，进而求解即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． ∴为直角三角形． 故选：A． 【变式1】）在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定义，三角形的分类．根据题意得出，根据三角形的内角和列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴是直角三角形， 故选：B． 【变式2】在中，，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，设，则，，根据三角形内角和定理建立方程，求出α的值，进而求出，即可得出结论． 【详解】解：设，则，， 根据三角形内角和定理可知，， ∴， ∴， ∴， ∴是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【变式3】如图，在中，，过点作的垂线，交于点，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、垂直的性质以及邻补角的定义，熟练掌握三角形内角和定理构造 是解题的关键．先根据角度比例设未知数，利用三角形内角和为求出各角的度数，再结合垂直的性质得到，进而求出的度数，最后利用邻补角的关系求出的度数． 【详解】解：设，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． ． 【变式4】在中，，若，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余．根据，，得出，求出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， ∴， 由可得，， ∴； 故答案为：2． 题型04 利用三角形外角的性质计算 【典例1】如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，利用性质求解即可． 【详解】是的外角 解得： 故选：D． 【变式1】已知如图，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．利用三角形内角与外角的关系解答即可． 【详解】解：如图，、是的外角， ，， 即， ， ． 故选：B． 【变式2】如图，，，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查了三角形外角的性质，根据，得出答案即可．熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是解题的关键． 【详解】解：∵，，为的外角， ∴． 故选：C． 【变式3】已知：如图，在中，，分别是斜边上中线，且测得AC=8，BC=6，AB=10， （1）画出△BDC中BD、BC边的高； （2）求证：△ADC的AC边上的高等于BC的一半. 【变式4】如图，已知，根据下列要求画出图形并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的平行线，交于点； (4)点到直线的距离是线段___________的长度． 题型05 利用三角形外角性质进行推理、证明 【典例1】【课本再现】已知：如图1，P是三角形内一点，连接，． 求证：． 证明：如图2，延长，交于点D． ∵是的一个外角， ∴． ∵是的一个外角， ∴． ∴． 【知识迁移】如图3，求证： （1）； （2）． 【答案】【知识迁移】（1）见解析；（2）见解析；【拓展延伸】180 【分析】本题考查三角形内角和定理及外角性质的应用，作出恰当的辅助线是解题的关键． 知识迁移：（1）如图，延长交于，证明，，从而可得结论； 【详解】知识迁移： （1）证明：如图，延长交于， 是的一个外角， ∴， ． 是的一个外角， ∴， ． ，即． （2）∵，， ∴，即． 【变式1】我们知道，三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 请利用这条定理解决下列问题∶如图，． (1)求证∶ ． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质，并准确识图，找出图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和用和表示出，再根据整理即可得证； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和用和表示出，再根据整理可得，然后利用三角形的内角和等于求解即可． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， 即； （2）解：在中，， ， ， 即， ，， 在中，． 【变式2】已知，如图，B、C、E三点共线，A、F、E三点共线， ，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理、三角形外角的性质. 【详解】证明： AB//CD ∠1=∠ACD ∠1=∠2 ∠2=∠ACD =∠CAF+∠ACD， ∠CAD=∠CAF+∠2 ， ， ， ∠3=∠CAD， ． 【变式3】如图， 连接， 求证： 【答案】见解析 【分析】设和交于点F，和交于点G，根据三角形外角的性质可得，，再根据三角形内角和等于即可得解． 本题主要考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】证明：设和交于点F，和交于点G， ∴是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∵中，， ∴． 【变式4】如图1，在三角形中，外角平分线和相交于 求证：． 下面是嘉琪的证明过程： 解：，（根据①______）， ， 又平分，平分， ，， ， 在中，， (1)嘉琪的证明中，根据①的内容是：______； (2)如图3，在三角形中，，若，，射线与交于点O，直接写出的度数用含的代数式表示 【答案】(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理及外角定理，角的倍数关系，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据三角形的外角性质定理求解即可； （2）根据三角形的外角定理得出，再利用三角形的内角和定理及角的倍数关系求解即可． 【详解】（1）解：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和， 故答案为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）在三角形ABC中，，又，， ， ， ，， ， ， ． 题型06 常见的导角模型 【典例1】在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查了三角形内角和定理及对顶角相等，理解题意是解题关键． （1）根据对顶角相等及三角形内角和定理即可证明； （2）根据角平分线得出，再由题意结合图形确定，，求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意得， ∵， ∴； （2）∵和的平分线交于点， ∴， ∴①， 由（1）得， 即②， 得：， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 【答案】43 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和为180度是解题的关键． 如图：连接，由三角形内角和定理可得出，根据角的和差关系即可得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由题意可知，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴，即， 在中，， ∴． 故答案为：43． 【变式2】如图，将纸片沿折叠，则、和这三个角有什么数量关系（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中的折叠问题，熟练掌握折痕是角平分线以及三角形的内角和定理，外角的性质，是解题的关键． 根据折叠和平角的定义，求出，根据外角的性质和三角形的内角和定理推出，进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：C． 【变式3】如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠A=n°（0＜n＜180），那么∠COD的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形的内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，再利用三角形外角的性质可求解． 【详解】解：∵∠A=n°， ∴∠ABC+∠ACB=（180-n）°， ∵BD、CE分别是△ABC的角平分线， ∴∠OBC+∠OCB=（180-n）°=90°-n°， ∴∠COD=∠OBC+∠OCB=90°-n°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，求解∠OBC+∠OCB的度数是解题的关键． 【变式4】如图，、分别是的一条内角平分线与一条外角平分线，，那么的度数（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义及三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键，由角平分线得，．再根据三角形的外角性质得，，从而得． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，． ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：． 一、单选题 1．在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形内角和是180°，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：在中，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 2．将一把直尺和一把等腰三角尺按如图方式摆放．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、直角三角形的角度计算，熟练掌握平行线的性质以及角度的和差计算是解题的关键． 先根据已知的直角和角度计算出的度数，再结合求出的度数，最后利用平行线的性质，得出与相等，从而求出的度数． 【详解】解：如图， 由题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3．马扎（图1）是中国传统手工艺制品，可以合拢，方便携带．图2为其侧面示意图．，与交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，等边对等角，根据题意得出，再由对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 4. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边对等角和三角形外角的性质，通过等边对等角找到相等角是解题关键． 先通过等边对等角，找到相等角，再通过三角形的外角性质找到角的等量关系，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选： D． 5．已知中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，设，则，，根据三角形的内角和是180度分别求出各个角的度数即可判断三角形的种类． 【详解】解：∵ ∴设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， 则这个三角形是是钝角三角形， 故选：C 6．如图，中，，E、D分别在和上，点F在的延长线上，平分，，，，则的度数为（    ） A．105° B．95° C．90° D．85° 【答案】D 【分析】先利用平行线的性质求出∠AEF与∠ABC的度数，再利用角平分线求出∠ABD的度数，最后利用三角形外角的性质求出∠BDC的度数． 【详解】∵，， ∴∠AEF=∠F=50°， ∵， ∴∠ABC=∠AEF=50°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠ABC=， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=60°+25°=85°， 故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 二、填空题 7．若三个角的大小满足，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据角度比设未知数，利用三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：设，，，由三角形内角和定理得 ，即， 解得， 所以． 故答案为． 两面镜子按如图所示的位置摆放，入射光线经过镜子两次反射后的反射光线平行于，若，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由光的反射原理可知，，因为，若，所以，，根据三角形内角和定理即可求． 【详解】解：由光的反射原理可知，， ∵，若， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 9. 为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车．图①是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，．当时，的度数为_________ 【答案】71 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据平行线得出相等角，然后利用三角形的内角和定理得出，然后再用平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵都与地面平行， ∴， ∴ 10. 将一副标准三角板按如图位置放置．其中A，E，F，B四点在一直线上，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等． 根据对顶角相等得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 11．如图，在中，，是的角平分线，则 ， ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键．由平分，得．由平分，得，进而解决此题． 【详解】解：平分， ． 平分， ． ． 故答案为：、、． 12．当三角形中一个内角β是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形内角和，理解“友好三角形”的意义是解题的关键；分三种情况：当为的时；当为时；当角外的另两个内角有倍数关系时，分别计算即可． 【详解】解：当为的时，即； 当一个角为的时，即； 当角外的另两个内角满足一个角是另外一个内角的时，， ； 综上，“友好角”的度数为或或． 故答案为：或或 13．如图，在中，是延长线上一点，过点的直线分别交、于点E、F，若，则 度（用含x、y的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，先求解，，进一步利用三角形的外角的性质可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∴； 故答案为： 14. 如图，一轮船在海上向正东方向行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余角性质，三角形内角和计算即可． 本题考查了方向角的计算，熟练掌握方向角的意义，三角形内角和是解题的关键． 【详解】解：根据题意，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，得，， 故， 故选：A． 三、解答题 15．在，，，求，，的度数． 【答案】，， 【分析】本题考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，正确的计算是解题的关键． 设，则，，根据三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：∵，， 设，则，， 根据题意得，， 解得 ∴， ∴，． 16．如图，在中，，是的角平分线，延长至点E，． (1)求的度数． (2)若F是边上一点，，求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的分类，掌握相关知识点是解题关键． （1）由三角形外角的性质和角平分线的定义求解即可； （2）由（1）可知，再根据三角形内角和定理证明即可． 【详解】（1）解：∵是的外角，，， ∴． ∵是的角平分线， ∴． （2）证明：由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 17．在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 【答案】的度数为；的度数为 【分析】本题考查了角平分线的定义，高线的定义，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的性质求得，，进而根据高线的定义以及三角形内角和定理求得，根据，即可求得，根据即可求得． 【详解】解：，， ， 、是的角平分线，， ，， ， 是高线， ， ， ． 18．如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换，熟知以上知识是解题的关键． （1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得即可求得结果； （2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，整理可得结论； （3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理即可得到答案． 【详解】（1）解：沿直线折叠，且， 点落在上，如图（1）， ∴， ； 故答案为：； （2）解：， 理由：连接，如图， ∵，， ， 又， ； （3）解：． 理由：如图（3），由翻折可得：，，， ∵， ∴ ， ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $