专题17.4 全等三角形的判定（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题17.4全等三角形的判定 教学目标 1.掌握全等三角形的4种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，明确每种方法的条件与符号表达。理解SSA不能判定全等，避免判定误区； 2.能根据已知条件，选择合适的判定方法证明两个三角形全等； 3.会利用三角形全等，推导对应边、对应角相等，解决简单几何计算与证明问题. 教学重难点 1.重点 全等三角形的4种判定方法的理解及其应用； 2.难点 准确区分SAS与SSA，理解SSA不能判定全等的原因。在复杂图形中找全等条件、灵活选择判定方法，完成完整、规范的几何证明. 知识点01 全等三角形的稳定性 1. 三角形的稳定性：如果一个三角形的三条_________固定，那么这个三角形的_________和_________就完全确定了，三角形的这个性质叫作__________________； 【即学即练】 例1 下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A． B．C． D． 知识点02 全等三角形的判定 判定1 公理：三边对应相等的两个三角形全等(简记为“_________”或“_________”) 判定2 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简记为“_________”或“_________”)； 判定3 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(简记为“_________”或“_________”) 判定4 定理： 两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简记为“_________”或“_________”) 【即学即练】 例2 考查下列命题 （1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等； （2）两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等； （3）两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等； （4）两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等． 其中正确命题的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 例3 如图，在和中，点，，，在同一条直线上，有四个条件：①；②；③；④．请选择其中的三个条件，使得，并说明（写出一种情况即可）． 知识点03 尺规作图 在数学中，把只使用没有刻度的直尺和圆规在有限步之内完成作图的方法，叫作尺规作图.无刻度的直尺只能用来作经过两点的直线，圆规只能以一个定点为圆心、以给定的线段长为半径作圆(圆弧). 【即学即练】 例4 通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等吗？下面请你来探究． 任务：已知，求作，使（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)【实践与操作】请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）； ①作线段； ②在线段的上方作； ③作，交射线于点； ④连接得所求三角形． (2)【观察与小结】观察你作的图形，你会发现满足条件的三角形有___________个；其中___________（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是：_______命题．（填“真”或“假”） 题型01 三角形的稳定性 【典例1】港珠澳大桥全长约55公里，是迄今世界最长的跨海大桥，其中的斜拉桥是三角形结构．如图，斜拉桥中运用的数学原理是 ． 【变式1】下列图形中不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】空调安装在墙上时，一般都采用右图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有 ． 【变式3】下列图形具有稳定性的是（   ） A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．三角形 【变式4】如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的依据是 ． 题型02 用SSS判定三角形全等 【典例1】如图，已知，，是的中点，求证：． 【变式1】）如图，．求证：． 【变式2】）如图，点E，B，F，C在一条直线上，已知，，．求证：． 【变式3】如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【变式4】如下图，已知，，，B，D，E三点共线．试说明：． 题型03 用SAS判定三角形全等 【典例1】据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知，，，证明．    【变式2】如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝ ． 【变式3】定义：三条边都相等，三个角都相等的三角形叫作等边三角形。已知为等边三角形． 为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：BD=CE； 【变式4】已知：如图，A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，求证： (1)BC＝EF； (2)BC∥EF． 题型04 用ASA判定三角形全等 【典例1】如图，已知，若要用ASA公理来证明，则需要添加的条件是 ． 【变式1】如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 【变式2】如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且．    (1)求证：； (2)如果，求的度数． 【变式3】如图，已知：、相交于点，，，、是上的两点，且．求证：．    证明：， ，∠OAC=∠_____（___________）． 在和中， （___________）． （___________）． ， ． ． ． 【变式4】如图，已知是中边上的中线，、是直线上的点，且说明和全等的理由． 题型05 用AAS判定三角形全等 【典例1】如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 【变式1】如图，在中，点D是边上一点，点E是边的中点，过C作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式2】如图，在四边形中，，，，垂足为点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【变式3】如图，明明同学用10块形状相同的长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，每个小木块的高度都是，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，其中，，点在上，点和点分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离． 【变式4】如图，在和中，，点E是的中点，于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型06 全等三角形相关命题的辨析 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 【变式1】下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 【变式2】下面四个命题： ①两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等； ②两个三角形有两角及一边对应相等，则这两个三角形全等； ③两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等； ④两个三角形的三个角分别对应相等，则这两个三角形全等； 其中真命题是（    ） A．②③ B．①③ C．③④ D．②④ 【变式3】对于命题：①周长相等的等腰三角形全等；②周长相等的等边三角形全等；③周长相等的直角三角形全等；④周长相等的等腰直角三角形全等．真命题的是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【变式4】下列四个命题：①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；②有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；③三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分；④三角形的一条角平分线把三角形分成面积相等的两部分．其中真命题的是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 题型07 添加一个条件得三角形全等 【典例1】如图，，请你添加一个适当的条件，使得： （只需填写一个）． 【变式1】在和中，已知，，请补充一组相等的边，使两个三角形全等，可以是 ． 【变式2】如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是 ．（只需写出一种情况） 【变式3】如图，已知，，添加一个条件，使得，这个条件可以是 （填写一个即可）． 【变式4】如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 题型08 全等三角形性质与判定的综合 【典例1】如图，，分别是和中，边上的中线． (1)若，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． (2)若将（1）中的条件改为“，，”，判断与是否仍然全等，并说明理由． 【变式1】如图，在四边形中，，．求图中有几对全等三角形？并选其中一对加以证明． 【变式2】已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 【变式3】如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【变式4】是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且． (1)如图（1），若直线经过的内部，且、在射线上，当时，线段与有怎样的大小关系？并说明理由． (2)如图（2），若直线经过的外部，当时，则、、三条线段之间有怎样的数量关系？并说明理由． 题型09 尺规作图 【典例1】如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是 ． 【变式1】尺规作图． 已知：（如图）． 求作：，使与全等． 要求： (1)不写作法，保留作图痕迹； (2)写出作图时选取的相等的边或角． 【变式2】已知：，（图1、图2）．在图2中，以为一边，在的内部作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【变式3】已知直线，小明和小亮想画出的平行线，他们的方法如下：    下列说法正确的是(    ) A．小明的方法正确，小亮的方法不正确 B．小明的方法不正确，小亮的方法正确 C．小明、小亮的方法都正确 D．小明、小亮的方法都不正确 【变式4】通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等吗？下面请你来探究． 任务：已知，求作，使（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)【实践与操作】请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）； ①作线段； ②在线段的上方作； ③作，交射线于点； ④连接得所求三角形． (2)【观察与小结】观察你作的图形，你会发现满足条件的三角形有___________个；其中___________（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是：_______命题．（填“真”或“假”） 1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，．直接利用“SSS”可以判定（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，D为边上一点，现要利用尺规作图过点D作，下列作法不可行的是（   ）． A．B．C． D． 4．如图，建筑工地上的塔吊机的框架由数个三角形拼接而成，其数学依据是（    ）    A．两点之间线段最短 B．三角形内角和为 C．三角形具有稳定性 D．三角形两边的和大于第三边 5．如图，已知，添加下列条件之一：①；②；③；④．其中能使成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，中，和是两条高线，相交于点F，若，，，则 ． 7．如图，已知，如果要利用“”证明成立，那么还需增加一个条件 ． 8．如图，已知：点、分别在线段、上，，请加入一个条件 ．使得． 9．如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，，分别为，的中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中（不加任何其余线段），利用两个三角形全等，总能得到，则判定两个三角形全等的依据是 （填字母）． 10．如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，．求证：． 11.如图，，E，F是AC上的两个动点，且． (1)若点E，F运动至图①所示的位置，且．试说明：． (2)若点E，F运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由． (3)若点E，F不重合，且，则AD和CB平行吗？请说明理由． 12．如图，在中，D是的中点，连接． 尺规作图：过点C作，交的延长线于点E（保留作图痕迹，不写作法）． 13. 已知线段，且与不平行． (1)请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (3)根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意． 14. 如图，，，和全等吗？为什么？ 15．如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 16．已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．    17. 如图，在中，于点，于点，于相交于点，且，请说明的理由． 18．如图，已知为的两条高，点在上，已知． (1)求证：． (2)若，求的长度． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17.4全等三角形的判定 教学目标 1.掌握全等三角形的4种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，明确每种方法的条件与符号表达。理解SSA不能判定全等，避免判定误区； 2.能根据已知条件，选择合适的判定方法证明两个三角形全等； 3.会利用三角形全等，推导对应边、对应角相等，解决简单几何计算与证明问题. 教学重难点 1.重点 全等三角形的4种判定方法的理解及其应用； 2.难点 准确区分SAS与SSA，理解SSA不能判定全等的原因。在复杂图形中找全等条件、灵活选择判定方法，完成完整、规范的几何证明. 知识点01 全等三角形的稳定性 1. 三角形的稳定性：如果一个三角形的三条边长固定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性； 【即学即练】 例1 下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A． B．C． D． 解：A、B、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；C选项伸缩门是用到了平行四边形形的不稳定性， 故选：C． 知识点02 全等三角形的判定 判定1 公理：三边对应相等的两个三角形全等(简记为“边边边”或“SSS”) 判定2 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简记为“边角边”或“SAS”)； 判定3 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(简记为“角边角”或“ASA”) 判定4 定理： 两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简记为“角角边”或“AAS”) 【即学即练】 例2 考查下列命题 （1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等； （2）两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等； （3）两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等； （4）两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等． 其中正确命题的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解：（1）如图1，△ABC≌△A’B’C’，AD,AE,AF和A’D’,A’E’,A’F’分别为两个三角形的中线、角平分线、高，可以通过三角形全等来证明这三组线段都相等； 故A选项正确； （2） 两边和其中一边上的中线对应相等易证两个三角形全等，两边和第三边上的中线对应相等，可以先证明两边的夹角相等，再证明两个三角形全等具体证明见《题型8典例1》； 故B选项正确； （3） 如图2，△ABC和△A’B’C’中∠B=∠B’,∠BAC=∠B’A’C’,AD和A’D’分别为两个三角形的角平分线，且ADD=A’D’ 可以用AAS判定△ABD≌△A’B’D’得到AB=A’B’,再用ASA证明两个三角形全等，故C选项正确； （4）如图3,BC＝BC，AC＝A’C，CH=CH,△ABC与△A’BC不全等，故D选项错误．正确的有3个， 故选：B． ． 例3 如图，在和中，点，，，在同一条直线上，有四个条件：①；②；③；④．请选择其中的三个条件，使得，并说明（写出一种情况即可）． 【答案】选择的三个条件是①②③或①③④，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的证明，选择的三个条件是：①②③，或者选择的三个条件是：①③④，根据全等三角形的判定即可得证．熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：选择的三个条件是①②③． 说明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴； 选择的三个条件是①③④． 说明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 知识点03 尺规作图 在数学中，把只使用没有刻度的直尺和圆规在有限步之内完成作图的方法，叫作尺规作图.无刻度的直尺只能用来作经过两点的直线，圆规只能以一个定点为圆心、以给定的线段长为半径作圆. 【即学即练】 例4 通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等吗？下面请你来探究． 任务：已知，求作，使（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)【实践与操作】请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）； ①作线段； ②在线段的上方作； ③作，交射线于点； ④连接得所求三角形． (2)【观察与小结】观察你作的图形，你会发现满足条件的三角形有___________个；其中___________（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是：_______命题．（填“真”或“假”） 解：（1）作图见下图 （2）观察图形，发现满足条件的三角形有2个；其中△EF与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是假命题．（填“真”或“假”） 题型01 三角形的稳定性 【典例1】港珠澳大桥全长约55公里，是迄今世界最长的跨海大桥，其中的斜拉桥是三角形结构．如图，斜拉桥中运用的数学原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：斜拉桥是三角形结构．如图，斜拉桥中运用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【变式1】下列图形中不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是判断图形是否由三角形完全分割（三角形具有稳定性，未被三角形分割的多边形不具有稳定性）． 【详解】解：A、该图形包含未被三角形完全分割的四边形结构，不具有稳定性，此选项符合题意； B、图形由多个三角形组成，三角形具有稳定性，此选项不符合题意； C、四边形被对角线分隔为两个三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意； D、图形是三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】空调安装在墙上时，一般都采用右图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有 ． 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形具有稳定性， 故答案为：稳定性． 【变式3】下列图形具有稳定性的是（   ） A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，掌握并理解三角形的特性是解题的关键．另外补充知识：四边形如正方形、长方形、平行四边形不具有稳定性．根据三角形三边长度固定后，其形状和大小唯一确定，可得答案． 【详解】∵三角形三边长度固定后，其形状和大小唯一确定， ∴三角形具有稳定性． ∵四边形四边长度固定时，其角度可改变，形状不固定， ∴四边形不具有稳定性． 因此，具有稳定性的是三角形． 故选：D． 【变式4】如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的依据是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查的知识点是三角形的稳定性．将四边形的上部固定为两个三角形，根据的原理就是三角形的稳定性． 【详解】解：钉上斜拉的木板条后，门框的结构中会形成三角形，而三角形的三边一旦确定，形状和大小就不会改变，这种特性就是三角形的稳定性，能有效防止门框变形． 故答案为：三角形具有稳定性． 题型02 用SSS判定三角形全等 【典例1】如图，已知，，是的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查两个三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是关键；由是的中点，可得，再结合已知条件用边边边的判定即可证明． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴． 【变式1】）如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形判定定理即可证明． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ． 【变式2】）如图，点E，B，F，C在一条直线上，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在与中， ∴． 【变式3】如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ； （2）解： 由（1)可知：， ， ， ， ． 【变式4】如下图，已知，，，B，D，E三点共线．试说明：． 【答案】说明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 先通过证明，可得，，通过三角形内角和为结合邻补角的性质可得，即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ，． ，， ． 题型03 用SAS判定三角形全等 【典例1】据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得． 【详解】解：在和中， ， ． 故选D． 【变式1】如图，已知，，，证明．    【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由得到，然后由平行线的性质得到，即可由证明全等． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2】如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝ ． 【答案】58°/58度 【分析】先证明△BAD≌△CAE，在利用三角形外角性质计算即可． 【详解】∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝28°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°， 故答案为：58°． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握三角形全等判定和性质是解题的关键． 【变式3】定义：三条边都相等，三个角都相等的三角形叫作等边三角形。已知为等边三角形． 为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：BD=CE； 【分析】由等边三角形的性质可得，再利用证明即可； 【详解】证明：∵为等边三角形， ∴，，， ∴ ∴， ∴； ∴BD=CE； 【变式4】已知：如图，A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，求证： (1)BC＝EF； (2)BC∥EF． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． （2）根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可． 【详解】（1）证明：（1）， ， ， ， 在与 中 ， ， ． （2）（2）， ， ． 【点睛】考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，证明三角形全等是解决问题的关键． 题型04 用ASA判定三角形全等 【典例1】如图，已知，若要用ASA公理来证明，则需要添加的条件是 ． 【答案】∠ADB=∠ADC 【变式1】如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 【答案】；；；；；；；；； 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证，再证即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中 ∵ 所以． 【变式2】如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且．    (1)求证：； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行线性质可得，再由可证； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求出，再由两直线平行内错角相等即可求解． 【详解】（1）证明， ， 在和中， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【变式3】如图，已知：、相交于点，，，、是上的两点，且．求证：．    证明：， ，∠OAC=∠_____（___________）． 在和中， （___________）． （___________）． ， ． ． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定是解题的关键．先根据平行线的性质得到，再证明即可证明，进而求解即可． 【详解】证明：， ,∠OAC=∠OBD（两直线平行，内错角相等）． 在和中， ． （全等三角形的对应边相等）． ， ． ． ． 【变式4】如图，已知是中边上的中线，、是直线上的点，且说明和全等的理由． 【答案】证明见解析． 【分析】根据三角形中线的定义可得，根据平行线的性质得出，，根据即可证明≌． 【详解】证明：是中边上的中线， ， ， ， 又∵∠FMC=∠EMB 在与中， ， ≌． 题型05 用AAS判定三角形全等 【典例1】如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 【答案】理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：中线得到，平行得到，利用，即可得证． 【详解】解：与全等的理由如下： ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，在中，点D是边上一点，点E是边的中点，过C作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明三角形全等及利用全等三角形的性质求解线段的长度”是解本题的关键. （1）先证明 再证明从而可得结论； （2）利用全等三角形的性质证明从而可得答案. 【详解】（1）证明：点E是边的中点， ∵ ； （2），， ， 【变式2】如图，在四边形中，，，，垂足为点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【分析】（1）根据，可得，，再由，即可求证； （2）根据，可得，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴，， ∵， ∴∠AED=∠ABC=90° ∵， ∴（AAS）； （2）解：∵， ∴，， ∴∠ADC=∠ACD， ∴， ∵， ∴∠ADE+∠DAC=90°， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式3】如图，明明同学用10块形状相同的长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，每个小木块的高度都是，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，其中，，点在上，点和点分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)两堵木墙之间的距离是 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质． （1）利用直角三角形两锐角互余先证明，再利用证明即可． （2）利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴ （2）解：∵ ∴， ∴ 答：两堵木墙之间的距离是． 【变式4】如图，在和中，，点E是的中点，于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、余角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定定理可得结论； （2）根据全等三角形的性质得得，，结合线段中点定义可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中， , ∴； （2）解：由（1）得：， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型06 全等三角形相关命题的辨析 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的定义等知识点，掌握全等三角形的概念是解题的关键． 根据全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，原说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、能够完全重合的两个三角形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； D、两个等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 【变式1】下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的定义和性质，掌握全等形的概念、全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的定义和性质判断即可． 【详解】解：A、全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形，该选项错误； B、全等三角形的面积相等，该选项正确； C、面积相等的两个三角形不一定都是全等三角形，该选项错误； D、若两个图形周长相等，则它们不一定是全等图形，D错误，故不符合要求； 故选：B． 【变式2】下面四个命题： ①两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等； ②两个三角形有两角及一边对应相等，则这两个三角形全等； ③两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等； ④两个三角形的三个角分别对应相等，则这两个三角形全等； 其中真命题是（    ） A．②③ B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了命题的判断，全等三角形的判定，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键； 根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：①两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等，说法错误，对应角必须是两条对应边的夹角； ②两个三角形有两角及一边对应相等，则这两个三角形全等，说法正确，可用AAS或ASA证明全等； ③两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等，说法正确，可用SSS证明全等； ④两个三角形的三个角分别对应相等，则这两个三角形全等，说法错误，判定三角形的全等必须要有边的参与； 综上真命题为：②③； 故选：A． 【变式3】对于命题：①周长相等的等腰三角形全等；②周长相等的等边三角形全等；③周长相等的直角三角形全等；④周长相等的等腰直角三角形全等．真命题的是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形与等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定定理的应用，真假命题的判断，根据全等三角形的判定逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①周长相等的等腰三角形不一定全等，故①是假命题； ②周长相等的等边三角形全等，根据，可判断是真命题； ③周长相等的直角三角形不一定全等，是假命题； ④周长相等的等腰直角三角形全等，是真命题； 真命题的是②④ 故选：D． 【变式4】下列四个命题：①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；②有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；③三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分；④三角形的一条角平分线把三角形分成面积相等的两部分．其中真命题的是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定、三角形的中线、高线和角平分线，掌握相关的定义是解决本题的关键． 根据全等三角形的判定、三角形的中线、高线和角平分线的定义逐一判断即可． 【详解】解：①∵两边及其中一边上的中线对应相等，可连续使用和证明全等， ∴①真； ②如图，，，高，但和不全等， ∴②假； ③∵中线分对边相等，且两个小三角形同高， ∴面积相等， ∴③真； ④∵角平分线分对边成比例，但底边不一定相等，面积不一定相等， ∴④假． 综上，真命题是①③， 故选：D． 题型07 添加一个条件得三角形全等 【典例1】如图，，请你添加一个适当的条件，使得： （只需填写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟悉全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），根据已有条件结合定理添加合适条件． 已知，可得，且为公共边，根据全等三角形判定定理，添加一组对应边相等或一组对应角相等的条件即可． 【详解】，而， ． 同时，是和的公共边，即， ①添加（SAS判定）： 在和中， ， ； ②添加（AAS判定）： 在和中， ， ； ③添加（ASA判定）： 在和中， ． 可添加的条件为（或或等，答案不唯一），这里以为例． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】在和中，已知，，请补充一组相等的边，使两个三角形全等，可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，添加可利用证明． 【详解】解：添加，证明如下： ∵，，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是 ．（只需写出一种情况） 【答案】（或等） 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理；要运用“”来证明三角全等，根据条件，添加的条件需要使得三条边对应相等即可． 【详解】解：，， 要运用“”来证明， 可以添加的条件需要使得即可， 故添加的条件是：， 故答案为：． 【变式3】如图，已知，，添加一个条件，使得，这个条件可以是 （填写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL、注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 要使得．由条件可得到，，再加条件，可以用证明其全等． 【详解】解：添加条件； 即：， ， ， ， ， 在和中， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式4】如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（或或） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴即 又∵ 当时， 当时， 当时， 题型08 全等三角形性质与判定的综合 【典例1】如图，，分别是和中，边上的中线． (1)若，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． (2)若将（1）中的条件改为“，，”，判断与是否仍然全等，并说明理由． 【答案】(1)①，②，③，④ (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、中线的定义， （1）由中线的定义证得，进而证得，得，即可得证； （2）延长，截，连接，延长，截，连接，证得，，得，，，进而证得，得，即可得证． 【详解】（1）解：∵，分别是和的中线， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：①，②，③，④． （2）证明：，理由如下： 延长，截，连接，延长，截，连接， ∵，分别是和的中线， ∴，， 在和中， ， ∴， 同理可证，， ∴，，，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴． 【变式1】如图，在四边形中，，．求图中有几对全等三角形？并选其中一对加以证明． 【答案】此图中有对全等三角形，分别是、、，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．根据全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】解：此图中有对全等三角形，分别是、、，证明如下： ，， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ； 在和中， ， ． 【变式2】已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质定理，能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键． （1）先求出，根据“”推出，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质和判定进行分析即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：图中的全等三角形有，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∵在和中， ， ∴． 【变式3】如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 【变式4】是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且． (1)如图（1），若直线经过的内部，且、在射线上，当时，线段与有怎样的大小关系？并说明理由． (2)如图（2），若直线经过的外部，当时，则、、三条线段之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，余角或补角的性质等知识，解题的关键是∶ （1）根据余角的性质可得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据三角形的内角和定理，平角定义以及等式的性质可得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质以及线段的和差关系即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由： ， ，， 同角的余角相等 ，， ， ； （2）解∶，理由： ， ，， ， ，， ， ，， ． 题型09 尺规作图 【典例1】如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键．由作法易得，，，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：由作图方法可知，，， 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）． 故答案为：． 【变式1】尺规作图． 已知：（如图）． 求作：，使与全等． 要求： (1)不写作法，保留作图痕迹； (2)写出作图时选取的相等的边或角． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）利用，作射线，截取，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即可； （2）根据进行作答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由作图，． 【变式2】已知：，（图1、图2）．在图2中，以为一边，在的内部作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图画已知角，掌握尺规作图画已知角是解题的关键． 分别以顶点与点为圆心，任意长度为半径画弧，再以弧与的交点为圆心，以弧与交点长度为半径画弧，连接点与两弧交点并延长，即可得到 ． 【详解】解：如图所示，即为所求： 【变式3】已知直线，小明和小亮想画出的平行线，他们的方法如下：    下列说法正确的是(    ) A．小明的方法正确，小亮的方法不正确 B．小明的方法不正确，小亮的方法正确 C．小明、小亮的方法都正确 D．小明、小亮的方法都不正确 【答案】C 【分析】根据内错角相等两直线平行可知小明的方法正确，根据同位角相等两直线平行可知小亮的方法正确，由此得解． 【详解】解：小明的方法： 设三角板的第三个顶点是F，    依题意得：， ∴，即小明的方法正确； 小亮的方法： 依题意，这是尺规作图—作相等的角， ∴， ∴，即小亮的方法正确； ∴小明、小亮的方法都正确， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定，尺规作图—作相等的角，掌握相关定理是解题的关键． 【变式4】通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等吗？下面请你来探究． 任务：已知，求作，使（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)【实践与操作】请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）； ①作线段； ②在线段的上方作； ③作，交射线于点； ④连接得所求三角形． (2)【观察与小结】观察你作的图形，你会发现满足条件的三角形有___________个；其中___________（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是：_______命题．（填“真”或“假”） 【答案】(1)见解析 (2)2；；假 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定； （1）根据步骤尺规作图，得两个三角形； （2）如图，满足条件的三角形有两个，，，其中与△ABC明显不全等，因此可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定相等． 【详解】（1）解：作图如下， ； （2）解：观察所作的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是假命题． 故答案为：2；；假． 1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图像信息．根据 证明三角形全等即可． 【详解】解：在△和△中， ， ， ． 故选：A． 2．如图，在中，，．直接利用“SSS”可以判定（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用判定三角形全等的方法，逐一分析选项中两个三角形的三边是否对应相等． 【详解】解：A、在和中，已知，但与、与的关系不明确，无法用判定全等，不符合题意； B、在和中，与、与的关系不明确，无法用判定全等，不符合题意； C、在和中，，，，满足 ，可以判定全等，符合题意； D、在和中，，，但与的关系不明确，无法用判定全等，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了判定三角形全等的知识点，解题关键是准确分析每个选项中三角形的三边对应关系，确认是否满足条件． 3．如图，在中，D为边上一点，现要利用尺规作图过点D作，下列作法不可行的是（   ）． A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，一个角等于已知角，过直线外一点作已知直线的平行线，平行线的判定等知识，根据作角平分线，一个角等于已知角，平行线的判定逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由作图可知，， ∴，故不符合题意； 、如图，由作图可知，， ∵， ∴， ∴，故不符合题意； 、如图， 由作图可知，， ∴，故不符合题意； 、由作图可知，不能说明，故符合题意； 故选：． 4．如图，建筑工地上的塔吊机的框架由数个三角形拼接而成，其数学依据是（    ）    A．两点之间线段最短 B．三角形内角和为 C．三角形具有稳定性 D．三角形两边的和大于第三边 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，根据三角形具有稳定性即可得到答案． 【详解】解：塔吊机的框架由数个三角形拼接而成，其数学依据是三角形具有稳定性， 故选：C ． 5．如图，已知，添加下列条件之一：①；②；③；④．其中能使成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，结合已知条件及补充条件，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：， ，即， 又， 添加①时，根据能证； 添加②时，不能证明； 添加③时，根据能证； 添加④时，根据能证； 综上可知，能使成立的有3个， 故选C． 6．如图，中，和是两条高线，相交于点F，若，，，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．利用证明，根据全等三角形的性质得到，，即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3． 7．如图，已知，如果要利用“”证明成立，那么还需增加一个条件 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴要利用“”证明成立，还需增加一个条件． 故答案为：． 8．如图，已知：点、分别在线段、上，，请加入一个条件 ．使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据题意可得添加条件，可利用证明． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵，，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 9．如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，，分别为，的中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中（不加任何其余线段），利用两个三角形全等，总能得到，则判定两个三角形全等的依据是 （填字母）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用线段的中点定义可得，，从而可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，可证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 11.如图，，E，F是AC上的两个动点，且． (1)若点E，F运动至图①所示的位置，且．试说明：． (2)若点E，F运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由． (3)若点E，F不重合，且，则AD和CB平行吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）由推出，结合已知的，用判定 （2）仍由推出，再结合已知边，用SSS判定全等，判断结论成立 （3）由全等三角形的对应角相等，得到内错角相等，从而证明AD∥CB。 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即． 在和中， ∴． （2）解：成立．理由如下： ∵， ∴， 即． 在和中， ∴． （3）解：．理由如下： 由（1）（2）知， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与平行线的判定，掌握 利用判定三角形全等，以及通过全等三角形的对应角相等推导平行线是解题的关键． 12．如图，在中，D是的中点，连接． 尺规作图：过点C作，交的延长线于点E（保留作图痕迹，不写作法）． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定、作一个角等于已知角，准确作图是关键． 作，根据内错角相等两直线平行即可得到所求； 解：如图，即为所求．（答案不唯一） 13. 已知线段，且与不平行． (1)请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (3)根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图： （1）根据作一个角等于已知角的的作法画出射线，即可求解； （2）先作，连接，再作，即可求解； （3）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，点D，E即为所求； （3）解：由作法得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，，，和全等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据已知条件和公共角证明即可． 【详解】解：，理由为： 在和中， ， ∴． 15．如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）根据证明与全等即可； （2）证明，再由可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵ ∴, 又 ∴ ∴． 16．已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据垂直的定义和余角的性质得到，再根据证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 17. 如图，在中，于点，于点，于相交于点，且，请说明的理由． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角度之间的关系找到全等三角形的对应角，再结合已知边相等的条件证明三角形全等，进而得出边的等量关系． 先根据垂直条件得出多个直角，利用同角的余角相等推出两组角相等；结合已知证明和全等；由全等三角形的性质得到和最后通过线段的和差关系说明． 【详解】∵ ∴，． ∵（对顶角相等）， ∴（同角的余角相等）． 在和中， ∴． ． ∵且 ∴． 18．如图，已知为的两条高，点在上，已知． (1)求证：． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． （1）根据“”证明即可； （2）根据，求出．根据三角形全等的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：为的高， ． ， ， 在和中 ． （2）解：， ． 由（1），知 ， ． ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $