第9章 平面向量（高效培优单元自测·强化卷）数学苏教版高一必修第二册

第9章 平面向量（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.以下说法正确的是（ ） A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B. 零向量没有方向 C. 共线向量又叫平行向量 D. 若和都是单位向量，则 【答案】C 【分析】根据向量的基本概念逐一判断即可. 【解析】只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A错误， 零向量是没有方向的向量，B错误； 共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C正确； 若，都是单位向量，两向量的方向不定，D错误； 故选：C. 2.化简得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用向量的加法、减法法则求解. 【解析】. 故选：B 3.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由向量减法坐标表示可得答案. 【解析】因，则. 故选：A 4.若向量和向量垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由向量垂直得到方程，求出x＝1，进而求出，利用模长公式进行求解即可. 【解析】由，得，解得x＝1； ∴， ∴． 故选：A． 5.已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用投影向量公式计算即可. 【解析】因为，， 所以在上的投影向量为 故选：C. 6.如图在梯形中，，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据题中，由向量的线性运算，直接求解，即可得出结果. 【解析】因为，， 所以， 又，， 所以. 故选：D. 7.在中，，，则的形状为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰（非直角）三角形 【答案】A 【分析】由数量积的运算律得到，即可得到，再由数量积的定义求出，即可判断. 【解析】因为，即，即， 所以，即，则， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 所以，又，所以， 所以， 所以是等腰直角三角形． 故选：A 8.已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由向量模与夹角的公式得，进而结合向量的夹角范围求解即可. 【解析】因为是单位向量，且的夹角为， 所以， 又， 所以， 又，所以，所以. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 对于任意向量，都有 B. 模为的向量是单位向量 C. 若，则与中至少有一个为 D. 若且，则或 【答案】ABD 【分析】根据零向量的性质判断A，根据单位向量的定义判断B，根据两向量数量积的定义判断C、D. 【解析】对于A，向量与任何向量平行，所以对于任意向量，都有，A正确； 对于B，根据单位向量定义模为的向量是单位向量，B正确； 对于C，，则或与中至少有一个为，所以C错误； 对于D，，则，即或，所以D正确. 故选：ABD 10. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 若为非零向量，则不与垂直 B. 、为实数，若，则与共线 C. 若平面内有四个点，则必有 D. 在中，为的中点，若，则是在上的投影向量 【答案】CD 【分析】对于A，取，即可求解；对于B，取，即可求解；对于C，利用向量的运算，即可求解；对于D，根据条件，利用向量的运算，可得，再利用投影向量的定义，即可求解. 【解析】对于选项A，若，则有， 此时与垂直，所以选项A错误， 对于选项B，若，则，但与不一定共线，所以选项B错误， 对于选项C，因为，即，所以选项C正确， 对于选项D，因为分别是与同向的单位向量， 又，且为的中点，知，即， 所以是在上的投影向量，故选项D正确， 故选：CD. 11.已知两个不相等非零向量，两组向量和均由3个和2个排列而成，记，表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则与无关； B. 若，则与有关； C. 若，则； D. 若，，则的夹角为. 【答案】ABC 【分析】根据题意确定可能有三种情况，比较大小，确定，利用，可得，判断A; 若，设,求得，判断B;若，则化简，判断C, 若，，利用数量积定义求得，判断D. 【解析】因为两组向量和均由3个和2个排列而成， 故可能有三种情况; ;②;③, ， ， 故； 若，则,则与无关,故A正确； 若，设，则，则与有关，B正确； 若，则，故C正确； 若，，则， 故，由于，故，故D错误； 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.在平行四边形中，为一条对角线，若，，则________ 【答案】 【分析】在平行四边形中，由，，利用减法得到，然后利用加法求. 【解析】在平行四边形中， ，， 所以， 所以. 故答案为： 13.已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为___________． 【答案】且. 【分析】根据已知可得，且不共线，求解即可. 【解析】由得，，. 由已知得，，所以，即，且不共线. 则，. 又不共线，则. 所以，的取值范围为且. 故答案为：且. 14.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．是圆的一条直径，且．是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】设为圆心，连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段上，即可求出的取值范围，即可得解. 【解析】如图，为圆心，连接， 则, 因为点在线段上且，则圆心到弦的中点的距离，这也是的最小值. 所以，所以， 则，即的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知向量，，，且， （1）求x的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据题意可得，结合向量平行的坐标表示运算求解； （2）根据题意可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【解析】（1）由题意可得：， 因为，则，解得. （2）由题意可得：， 因为，则，解得. 16.设，是不平行的向量，且，． （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若，用，的线性组合表示． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由向量共线的定理计算可得； （2）由向量的线性运算和共线定理计算可得； 【解析】（1）因为向量与共线，所以设， 即， 所以， （2）设， 又因为， 由向量基本定理，得，解得 所以． 17.已知平行四边形中，，点是线段的中点． （I）求的值； （II）若，且，求的值． 【答案】（I）4；（II）. 【分析】（I）建立坐标系，利用坐标求解数量积，或者利用数量积的定义求解； （II）求出向量的坐标，结合向量垂直的坐标表示可求的值，或者位置关系求解. 【解析】法1：（I） 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， ； （II） ， ． 法2： （I）； （II），∴， ∵，， ∴与重合， ∴． 18.如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. （1）若，求和的值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用基底法，用表示出，即可求解. (2)先根据已知条件，得到，，再根据，即可得，再根据三点共线，得，再由基本不等式，即可求解. 【解析】（1）因为，所以， 所以， 又是线段的中点，所以， 又，且不共线， 所以. （2）因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即 又， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 19.在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC= （1）试用，表示； （2）若，求∠ARB的余弦值 （3）若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围. 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案；（2）由（1）及题目条件，结合两向量夹角余弦公式可得答案.（3）设，结合及（1）可得，即可得答案. 【解析】（1）因P,R,C共线，则存在使， 则，整理得. 由共线，则存在使， 则，整理得. 根据平面向量基本定理，有， 则. （2）由（1），，， 则，，. 则； （3）由（1）知，则. 由共线，设. 又. 则 . 因，则，则. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 平面向量（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.以下说法正确的是（ ） A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B. 零向量没有方向 C. 共线向量又叫平行向量 D. 若和都是单位向量，则 2.化简得（ ） A. B. C. D. 3.已知，则（ ） A. B. C. D. 4.若向量和向量垂直，则（ ） A. B. C. D. 5.已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6.如图在梯形中，，，设，，则（ ） A. B. C. D. 7.在中，，，则的形状为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰（非直角）三角形 8.已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 对于任意向量，都有 B. 模为的向量是单位向量 C. 若，则与中至少有一个为 D. 若且，则或 10. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 若为非零向量，则不与垂直 B. 、为实数，若，则与共线 C. 若平面内有四个点，则必有 D. 在中，为的中点，若，则是在上的投影向量 11.已知两个不相等非零向量，两组向量和均由3个和2个排列而成，记，表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则与无关； B. 若，则与有关； C. 若，则； D. 若，，则的夹角为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.在平行四边形中，为一条对角线，若，，则________ 13.已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为___________． 14.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．是圆的一条直径，且．是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知向量，，，且， （1）求x的值； （2）若，求实数的值. 16.设，是不平行的向量，且，． （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若，用，的线性组合表示． 17.已知平行四边形中，，点是线段的中点． （I）求的值； （II）若，且，求的值． 18.如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. （1）若，求和的值； （2）若，求的最小值. 19.在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC= （1）试用，表示； （2）若，求∠ARB的余弦值 （3）若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $