第12章 复数（举一反三讲义·培优篇）高一数学苏教版必修第二册

该高中数学复数单元复习讲义以九大压轴题型为框架系统构建知识体系，涵盖复数相等、参数求解、模的几何意义等核心内容，通过题型归类呈现知识脉络，突出重点如复数运算与几何意义的内在联系。 讲义亮点在于“题型归纳+举一反三”设计，如复数模的几何意义最小值问题培养几何直观（数学眼光），三角表示下乘方推导三倍角公式提升推理能力（数学思维），综合题发展创新意识。分层练习满足不同学生需求，助力教师精准教学与学生自主复习。

第12章 复数全章九大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 复数的相等  1．（24-25高一下·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【解题思路】由复数相等的充要条件即可得出答案. 【解答过程】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得. 故选：C. 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）若，则（   ） A．6 B．5 C．-6 D．-5 【答案】A 【解题思路】根据复数相等得出，计算求值. 【解答过程】因为，所以，，. 故选:A. 3．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 【答案】B 【解题思路】根据复数相等联立方程求得的值. 【解答过程】由得，即， 根据复数相等的充要条件可得，解得. 故选：B. 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，其中、，则 ． 【答案】 【解题思路】根据复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解. 【解答过程】因为，其中、， 由复数相等可得，解得，因此，. 故答案为：. 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）求满足下列条件的实数x，y的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3)，或 (4) 【解题思路】（1）根据实部与虚部对应关系解方程即可 （2）令实部为0且虚部为0解方程即可； （3）根据实部与虚部对应关系解方程即可； （4）令实部为0且虚部为0解方程即可. 【解答过程】（1）由， 可得； （2）由， 可得； （3）由， 可得，或； （4）由， 可得. 题型2 已知复数的类型求参数 1．（24-25高一下·重庆长寿·期末）已知，若（为虚数单位）是实数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据实数的定义即可得出结论. 【解答过程】由题意可知复数的虚部为，即. 故选：B. 2．（24-25高一下·湖北·期末）若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【解答过程】因为复数（为虚数单位）为纯虚数，则，解得. 故选：A. 3．（24-25高三下·安徽安庆·月考）复数为纯虚数的充分不必要条件是（    ） A．0 B． C．或 D．或 【答案】B 【解题思路】利用纯虚数的定义求出，再利用充分不必要条件的定义判断. 【解答过程】复数为纯虚数，等价于，即或， 由选项知，只有是复数为纯虚数的充分不必要条件，其他选项均不符合. 故选：B. 4．（24-25高一下·江苏苏州·期末）设i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为 ． 【答案】 【解题思路】利用纯虚数的性质列方程组求解可得. 【解答过程】由题意可得，所以. 故答案为：. 5．（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【解题思路】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可. （2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可. （3）根据复数为纯虚数的充要条件列式求解即可. 【解答过程】（1）若z是实数，则，解得或． （2）若z是虚数，则，解得且． （3）若z是纯虚数，则解得． 题型3 根据复数的四则运算结果求复数特征 1．（2025·甘肃白银·三模）已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到，结合共轭复数的概念，以及复数的几何意义，即可求解. 【解答过程】由复数满足，则，可得， 故复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 2．（24-25高二下·贵州遵义·月考）已知复数，（为虚数单位），则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用复数的乘法法则可计算出复数，进而可得出复数的虚部； 【解答过程】因为 所以的虚部为 故选：D. 3．（2025·云南曲靖·一模）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解题思路】根据题意求得，得到，化简，结合复数的几何意义，即可求解. 【解答过程】因为复数（其中）为“等部复数，可得， 即，可得， 则在复平面内对应的点为位于第一象限. 故选：A. 4．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 . 【答案】 【解题思路】由复数的乘法、除法运算求得，再结合共轭复数的概念即可求解. 【解答过程】由， 得， 故， 则复数的虚部为， 故答案为：. 5．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知复数，复数在复平面内对应的向量为． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件，利用复数的几何意义得，再利用复数的运算，得到，即可求解； （2）利用复数的运算，结合条件有，即可求解. 【解答过程】（1）因为复数在复平面内对应的向量为，则， 又，则， 由题有，解得，所以的值为. （2）因为， 由题有，解得， 所以的取值范围为. 题型4 复数范围内方程的根的问题 1．（24-25高一下·福建厦门·期末）已知是关于的方程 一个根，则（   ） A．-2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【解题思路】将代入方程，即可得到关于的方程组，解出即可. 【解答过程】将代入方程得， 即，则，解得，故， 故选：B. 2．（24-25高一下·山西·期中）已知复数是关于x的方程（）的一个根，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】根据复数的乘法、加法运算化简复数，结合复数相等列方程组得的值，确定复数，由复数的几何意义确定象限即可. 【解答过程】由题知， 整理得，即解得 所以在复平面内的对应点为，位于第二象限. 故选：B. 3．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先因式分解得，即为的两个根，从而依次判断选项. 【解答过程】根据题意，， 令，其中， 由于为虚数，故为的两个根，且为， 不妨设， 则，， 则， 故只有B正确. 故选：B. 4．（24-25高一下·陕西·期中）已知复数是关于的方程的一个复数根. (1)求，的值； (2)若为纯虚数，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将代入方程化简，然后根据复数相等的条件列出方程组，求解即可得出答案； （2）根据复数的除法化简得出.进而根据纯虚数的概念列出方程组，求解即可得出答案. 【解答过程】（1）因为， 所以有. 所以有，解得. （2）由（1）得， 则， 所以，. 因为为纯虚数， 所以有， 解得． 5．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若（是虚数单位）是此方程的一个根.求、的值； (2)若是此方程的两个虚根，且满足，，求、的值. 【答案】(1)； (2)，. 【解题思路】（1）利用方程根的定义列式，再利用复数为0求得答案. （2）求出方程的两个高根，再利用复数模的意义求解. 【解答过程】（1）由是的一个根，得， 整理得，而，则， 所以. （2）依题意，设， 由，得，即， 又，所以，则， 代入，得， 根据韦达定理，， 当时，；当时，，都满足， 所以. 题型5 根据复数对应坐标的特点求参数 1．（2025·甘肃·一模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数的几何意义，结合题意，列出不等式，求解即可. 【解答过程】复数在复平面内对应的点为，若其在第二象限， 则，解得. 故选：C. 2．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意可得，即可得出. 【解答过程】因为在复平面内对应的点在第四象限，所以，解得. 故选：D. 3．（24-25高一下·河北雄安·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数对应的点位于第二象限，得出实部小于0，虚部大于0，列出不等式组，求出解集即可. 【解答过程】易得在复平面内对应的点为， 由题意可得，解得． 故选：B． 4．（24-25高一下·青海西宁·期中）若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】根据对应的点在第三象限，则实部虚部均小于列不等式即可求解. 【解答过程】由题意得，解得， 则实数的取值范围为 故答案为：. 5．（24-25高一下·海南·月考）已知复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【解题思路】（1）根据实数的概念列方程求解的值； （2）根据纯虚数的概念列式求的值； （3）复数的几何意义及第四象限点的坐标的特征列不等式组求解． 【解答过程】（1）若是实数， 则，解得或. （2）若复数是纯虚数， 则，解得. （3）若在复平面内对应的点位于第四象限，则， 不等式，即，解得或； 不等式，即，解得， 所以，，即的取值范围是. 题型6 复数的模的几何意义 1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】由复数的几何意义求解即可. 【解答过程】由，得， 所以复数在复平面内对应的点到点的距离恒等于1， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的圆， 所以的最小值为圆心到原点的距离减去半径， 即. 故选：B. 2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数减法的几何意义可知图形为圆环，求圆环面积即可. 【解答过程】表示复平面内点到的距离，又，所以点的集合形成的图形为圆环，面积为，    故选：C. 3．（2025·辽宁·模拟预测）已知复数分别满足，，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】先通过模长公式求出复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，再利用的最大值为两圆圆心距加两个圆的半径即可求得结果. 【解答过程】设，则， 如图，复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 复数在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 则． 故选：D． 4．（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】设，利用复数模的意义求出在复平面内对应点的轨迹，再结合复数的几何意义及圆的性质求出最小值. 【解答过程】设，则，由，得， 整理得，即在复平面内对应点的轨迹为直线， 由，得在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 过点作于点，线段交圆于，则为等腰直角三角形，， 而表示在复平面内复数对应点的距离， 所以的最小值为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数与． (1)求及的值； (2)设，满足的点Z的集合是什么图形？ 【答案】(1)， (2)是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界 【解题思路】（1）利用求复数模的公式求解即可； （2）利用复数的几何意义，确定出点的集合即可判断． 【解答过程】（1），； （2）由（1）知，设（x、）． 因为不等式的解集是以为圆心，1为半径的圆上和该圆外部所有点组成的集合， 不等式的解集是以O为圆心，2为半径的圆上和该圆内部所有点组成的集合， 所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．    题型7 复数加、减法的几何意义的应用 1．（2025·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【答案】C 【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解. 【解答过程】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形， 又因为， 所以由复数加法的几何意义可得， . 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【解答过程】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 3．（24-25高一·全国·课后作业）复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ． 【答案】 【解题思路】根据即，求得点对应的复数，进而即得. 【解答过程】因为对应的复数是，对应的复数为，又， 所以对应的复数为，又， 所以点对应的复数为， 所以点的坐标为． 故答案为：． 4．（24-25高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义直接转成复数减法运算即可得解. （2）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义将向量加法运算转化成复数加法运算即可得解. 【解答过程】（1）因为， 所以所表示的复数为. （2）因为， 所以所表示的复数为， 即点对应的复数为. 5．（2025高一下·全国·专题练习）已知复数分别对应向量， (O为原点). (1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围； (2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据复数的几何意义，结合第四象限的点的特征即可求解， （2）根据复数减法的几何意义，由纯虚数的定义即可求解. 【解答过程】（1）因为复数，向量表示的点在第四象限， 所以解得. 所以a的取值范围是. （2）因为 ， 所以向量对应的复数为. 根据向量对应的复数为纯虚数，可得且， 解得. 题型8 三角表示下复数的乘方与开方 1．（24-25高一·全国·课后作业）复数的值是（    ） A． B．16 C． D． 【答案】A 【解题思路】应用复数的三角形式的乘方、除法运算化简求值即可. 【解答过程】 . 故选：A. 2．（25-26高三上·江西南昌·月考）设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用复数三角形式的乘方运算，化简计算即可得到答案. 【解答过程】根据复数的三角形式，复数，模为，极角为， 则.又因为， 所以， 所以， ，所以. ， 故选：A. 3．（24-25高二下·广东佛山·期末）在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先将表示为三角形式，然后结合棣莫弗定理求得正确答案. 【解答过程】由题意，得当时，，， ∴ ． ∵， ∴， 故选：D. 4．（24-25高一·全国·课后作业）设，则 ． 【答案】 【解题思路】将复数表示成三角形式，利用复数三角形式的乘方法则可化简. 【解答过程】因为， 所以，. 故答案为：. 5．（24-25高一下·四川成都·期中）一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是复数的辐角，我们称为复数的三角形式．利用复数的三角形式可以进行复数的乘法、乘方等运算，如：，． (1)若复数，求复数z的实部和虚部； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；； (3)设复平面上单位圆内接正二十四边形的24个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数． 【答案】(1)实部为，虚部为0； (2)证明见解析； (3)8. 【解题思路】（1）求出复数的三角形式，再利用给定的运算求出，进而求出其实部和虚部. （2）设模为1的复数为，直接计算出及借助复数乘方公式得到后，结合复数定义即可得. （3）应用正二十四边形得出中心角为，再设，再应用复数乘方定义结合周期性，求出不同值的个数. 【解答过程】（1）， 则， 所以复数z的实部为，虚部为0. （2）设模为1的复数为， 则 ， 由复数乘方公式得， 所以，. （3）正二十四边形每边所对的中心角为，设（为常数）， 则， 所以 ， 由周期性知，共有8个不同的值， 所以复数所对应不同点的个数为8． 题型9 复数综合 1．（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知（，是虚数单位），，定义：，，给出下列命题： ①对任意，都有； ②若是复数的共轭复数，则恒成立； ③，则； ④对任意，结论恒成立； 则其中真命题是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．①③ 【答案】C 【解题思路】①用特殊值验证，证明为假命题. ②根据的定义，证明为真命题. ③由②可知③为假命题. ④根据的定义，证明为真命题. 【解答过程】对于①，当时，，所以①为假命题. 对于②，令，则，所以②为真命题. 对于③，由于②成立，而和不一定相等，所以③为假命题. 对于④，依题意，根据复数减法的模的几何意义可知，表示复数和对应两点间的距离，表示复数和对应两点间的距离，表示复数和对应两点间的距离.根据三角形两边的和大于第三边可知，当对应的点在和对应的两点连成的线段上时，，所以成立. ④为真命题. 故选：C. 2．（24-25高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【解题思路】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【解答过程】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D. 3．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； (3)已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）利用复数乘法法则得到，根据是实数，可得方程，可求出； （2）利用复数除法法则化简，得到对应的点坐标，根据所在象限，得到不等式组，求出实数的取值范围； （3）分方程的两根为实数根与虚数根两种情况求解即可. 【解答过程】（1）由可得， 所以， 若复数是实数，可得， 解得； （2） ， 易知复数在复平面内所对应的点坐标为， 又复数在复平面内所对应的点位于第四象限，可得， 解得， 即实数的取值范围为. （3）若方程的两根为实数根，则， 解得， 若方程的两根为虚数根，则设，，可得， 则，，，所以，所以， 由韦达定理可得，所以， 此时，满足题意， 综上，或. 4．（24-25高一下·浙江·期中）将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角. (1)求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根； (2)已知，，试推导复数的三角形式； (3)在单位圆的内接六边形中，，P，Q，R分别为，，的中点，判断的形状并证明. 【答案】(1)，，， (2) (3)为正三角形，证明见解析 【解题思路】（1）利用立方和公式因式分解可求解； （2）利用复数的乘法运算求解即可； （3）将六边形按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为，设，进而可得，，，进而计算可得为正三角形. 【解答过程】（1）由立方和公式得，， 可得或， 解得三个根为，，，； （2） ； （3）将六边形按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为， 以单位圆的圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设，由题意，得， ，，， ，，， ，， ， 由（1）知， ， 由复数乘法的几何意义，逆时针旋转与重合，故为正三角形. 5．（24-25高一下·江苏常州·期中）对于一组复数（且），如果存在，使得，其中，那么称是该复数组的“长复数”. (1)设，，若是复数组，，的“长复数”，求实数的取值范围； (2)若，，复数组是否存在“长复数”?给出你的结论并说明理由； (3)若，，是否，对于，都能满足复数组，，中的每一个复数均为“长复数”?若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在“长复数”，且“长复数”为 (3)或 【解题思路】（1），，，是复数组，，的“长复数”，从而，由此能求出结果； （2）由，存在“长复数”，只需要， 列不等式组求出结果； （3）由题意，得，，则可得，同理得，结合二倍角公式可求得的值． 【解答过程】（1）由题意可得：，又， 故，，， 故， 解得； （2）存在“长复数”，且“长复数”为，理由如下： 由题意可得， 若存在“长复数”，只需要， 又， 故，即，， 当或时，符合要求，故存在“长复数”，且“长复数”为； （3）由题意，得，， 即， 即，解得， 同理，所以，解得， 故， 因为，所以或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 复数全章九大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 复数的相等  1．（24-25高一下·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）若，则（   ） A．6 B．5 C．-6 D．-5 3．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，其中、，则 ． 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）求满足下列条件的实数x，y的值： (1)； (2)； (3)； (4). 题型2 已知复数的类型求参数 1．（24-25高一下·重庆长寿·期末）已知，若（为虚数单位）是实数，则（    ） A． B． C．2 D．3 2．（24-25高一下·湖北·期末）若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B．或 C． D． 3．（24-25高三下·安徽安庆·月考）复数为纯虚数的充分不必要条件是（    ） A．0 B． C．或 D．或 4．（24-25高一下·江苏苏州·期末）设i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为 ． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 题型3 根据复数的四则运算结果求复数特征 1．（2025·甘肃白银·三模）已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高二下·贵州遵义·月考）已知复数，（为虚数单位），则的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·云南曲靖·一模）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 . 5．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知复数，复数在复平面内对应的向量为． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 题型4 复数范围内方程的根的问题 1．（24-25高一下·福建厦门·期末）已知是关于的方程 一个根，则（   ） A．-2 B．3 C．6 D．7 2．（24-25高一下·山西·期中）已知复数是关于x的方程（）的一个根，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·陕西·期中）已知复数是关于的方程的一个复数根. (1)求，的值； (2)若为纯虚数，求的值. 5．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若（是虚数单位）是此方程的一个根.求、的值； (2)若是此方程的两个虚根，且满足，，求、的值. 题型5 根据复数对应坐标的特点求参数 1．（2025·甘肃·一模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 2．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北雄安·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·青海西宁·期中）若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ． 5．（24-25高一下·海南·月考）已知复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 题型6 复数的模的几何意义 1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·模拟预测）已知复数分别满足，，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为 . 5．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数与． (1)求及的值； (2)设，满足的点Z的集合是什么图形？ 题型7 复数加、减法的几何意义的应用 1．（2025·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 2．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一·全国·课后作业）复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ． 4．（24-25高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 5．（2025高一下·全国·专题练习）已知复数分别对应向量， (O为原点). (1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围； (2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值. 题型8 三角表示下复数的乘方与开方 1．（24-25高一·全国·课后作业）复数的值是（    ） A． B．16 C． D． 2．（25-26高三上·江西南昌·月考）设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东佛山·期末）在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一·全国·课后作业）设，则 ． 5．（24-25高一下·四川成都·期中）一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是复数的辐角，我们称为复数的三角形式．利用复数的三角形式可以进行复数的乘法、乘方等运算，如：，． (1)若复数，求复数z的实部和虚部； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；； (3)设复平面上单位圆内接正二十四边形的24个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数． 题型9 复数综合 1．（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知（，是虚数单位），，定义：，，给出下列命题： ①对任意，都有； ②若是复数的共轭复数，则恒成立； ③，则； ④对任意，结论恒成立； 则其中真命题是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．①③ 2．（24-25高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 3．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； (3)已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 4．（24-25高一下·浙江·期中）将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角. (1)求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根； (2)已知，，试推导复数的三角形式； (3)在单位圆的内接六边形中，，P，Q，R分别为，，的中点，判断的形状并证明. 5．（24-25高一下·江苏常州·期中）对于一组复数（且），如果存在，使得，其中，那么称是该复数组的“长复数”. (1)设，，若是复数组，，的“长复数”，求实数的取值范围； (2)若，，复数组是否存在“长复数”?给出你的结论并说明理由； (3)若，，是否，对于，都能满足复数组，，中的每一个复数均为“长复数”?若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $