第12章 复数 章末整合提升(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

该高中数学复数单元复习讲义通过结构化框架系统梳理知识体系，涵盖复数的有关概念、四则运算及几何意义，结合例题解析与“通性通法”“反思感悟”呈现重难点，清晰展现各知识点内在联系。 讲义亮点在于高考真题融入与分层训练设计，如例2选用2024全国甲卷题，跟踪训练包含选择与填空，培养数学思维与几何直观，帮助不同层次学生掌握方法，支持教师实施精准教学提升复习效率。

章末整合提升 【例1】　解：（1）由得m＝3. ∴当m＝3时，z是纯虚数. （2）由 得m＝－1或m＝－2. ∴当m＝－1或m＝－2时，z是实数. （3）由 得－1＜m＜1－或1＋＜m＜3. ∴当－1＜m＜1－或1＋＜m＜3时，复数z在复平面内对应的点位于第二象限. 跟踪训练 1.A　因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋＝（1＋i）2＋（1－i）2＝2i＋（－2i）＝0. 2.［－，7］　解析：由题设及复数相等的定义，知m＝2cos θ，且4－m2＝λ＋3sin θ，消去参数m，得λ＝4－4cos2θ－3sin θ＝4sin2θ－3sin θ＝4（sin θ－）2－.∵－1≤sin θ ≤1，∴当sin θ＝时，λmin＝－；当sin θ＝－1时，λmax＝7.故－≤λ≤7，即λ∈. 【例2】　（1）A　因为z＝5＋i，所以＝5－i，所以i（＋z）＝10i.故选A. （2）解：因为z1＝3－2i，z2＝5＋4i. 所以z1＋z2＝3－2i＋5＋4i＝8＋2i， z1z2＝（3－2i）（5＋4i）＝23＋2i， ＝＝ ＝＝－i. 跟踪训练 1.C　法一　因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C. 法二　由＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i. 2.C　∵（1＋i）2＝2i，∴（1＋i）4＝－4，又（1－i）2＝－2i，∴（1－i）4＝－4，∴（1＋i）20－（1－i）20＝（－4）5－（－4）5＝0. 【例3】　（1）A　（2）－3　－10　 解析：（1）∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8），即（1＋3i）·（3－i）在复平面内对应的点在第一象限.故选A. （2）∵＝2＋，∴1－4i＝2（2＋3i）＋（a＋bi），即∴ 跟踪训练 1.D　∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1，），∴z＝－1＋i，则z的共轭复数＝－1－i，故选D. 2.B　因为复数z满足｜z｜＝1，所以复数z对应的点Z的轨迹为单位圆，圆心为原点，半径r＝1，圆心O到复数i对应的点（0，1）的距离为1，所以的最大值为1＋r＝1＋1＝2.故选B. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 一、复数的有关概念 　　复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答. 【例1】　已知z＝lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i，试求实数m的取值，使： （1）z是纯虚数； （2）z是实数； （3）z在复平面内对应的点位于第二象限. 通性通法 处理复数概念问题的两个注意点 （1）当复数不是a＋bi（a，b∈R）的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部； （2）求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根. 【跟踪训练】 1.若复数z＝1＋i（i为虚数单位），是z的共轭复数，则z2＋的虚部为（　　） A.0　 B.－1 C.1　 D.－2 2.已知复数z1＝m＋（4－m2）i（m∈R）和z2＝2cos θ＋（λ＋3sin θ）i（θ∈R），若z1＝z2，则实数λ的取值范围为　　　　. 二、复数的四则运算 　　复数运算是本章的重要内容，掌握复数的加法、减法、乘法和除法法则是关键，注意与多项式的四则运算法则做类比. 【例2】　（1）（2024·全国甲卷理1题）若z＝5＋i，则i（＋z）＝（　　） A.10i　 B.2i C.10　 D.2 （2）设z1＝3－2i，z2＝5＋4i，求z1＋z2，z1z2，的值. 反思感悟 进行复数代数运算的策略 （1）复数运算的基本思路就是应用运算法则进行计算； （2）复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式. 【跟踪训练】 1.（2024·新高考Ⅰ卷2题）若＝1＋i，则z＝（　　） A.－1－i　 B.－1＋i C.1－i　 D.1＋i 2.（1＋i）20－（1－i）20＝（　　） A.－1 024　 B.1 024 C.0　 D.512 三、复数的几何意义 　　复数的几何意义是本章学习的难点，解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为a＋bi（a，b∈R）的形式，再利用复数与复平面内的点、向量之间的关系解题. 【例3】　（1）（2023·新高考Ⅱ卷1题）在复平面内，（1＋3i）（3－i）对应的点位于（　　） A.第一象限　 B.第二象限 C.第三象限　 D.第四象限 （2）已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi（a，b∈R），z3＝1－4i，它们在复平面内所对应的点分别为A，B，C.若O为原点，且＝2＋，则a＝　　　　，b＝　　　　. 反思感悟 在复平面内确定复数对应的点的步骤 （1）由复数确定有序实数对，即由z＝a＋bi（a，b∈R）确定有序实数对（a，b）； （2）由有序实数对（a，b）确定复平面内的点Z（a，b）； （3）由复平面内的点Z（a，b）确定向量＝（a，b）（O为坐标原点），同时也对应复数z＝a＋bi（a，b∈R）. 【跟踪训练】 1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1，），则z的共轭复数＝（　　） A.1＋i　 B.1－i C.－1＋i　 D.－1－i 2.已知i为虚数单位，复数z满足｜z｜＝1，则的最大值为（　　） A.1　 B.2 C.3　 D.4 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $