2024-2025学年度高三下学期学科素养月度测评数学（五）B版-【真题密卷】2024-2025学年高三下学期数学学科素养月度测评

密真 2024一2025学年度下学期学科素养月度测评 卷题 数学（五） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A={x3≤x<5},B={xx>4},则A∩(CRB)= () A.{xx≥3} B.{xx≤4} C.{x3<x<4》 D.{x3≤x≤4} y2 ?,若双线形1@>0，b>0)的焦距为4，实轴长为2，则其离心率为 () 1 A.2 B.2 C.√2 u号 3.已知角。的终边过点P(-3,4),则tan(e+）= ( 1 A.7 C.7 D.-7 4.在公差不为0的等差数列{a,中，若a,十a,=2a3,则4+的最小值为 ( A号 9 B.5 cs D.2 5.已知向量a,b满足a=b=1,c=√3，且a+b一c=0,则a,c的夹角的余弦值为 () A-日 B、3 1 2 C.2 0 2 6.已知A,B,C是三种电子信息传递元件，第一次由A元件将信息传出，每次传递时，传 递元件都等可能地将信息传递给另外两个元件中的一个，则第三次传递后，信息在A元 件中的概率是 () c 5 A.2 D.16 数学试题（五）第1页（共4页） 真题密卷·学 7.已知A,B是抛物线C:y2=24x上的两点，且线段AB的中点横坐标为7，则|AB的最 班级 大值是 ( A.34 B.29 C.26 D.17 姓名 8.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移g0<9<）个单位长度得到函数g(x)的图 得分 象，以f(x),g(x)图象上相邻的三个交点为顶点的三角形面积为3，则9 ：( B.6 c.3 5π A.12 D.12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数之（之≠0）的共轭复数为之，则下列说法正确的是 A.(z2+z2)∈R B(+)ER C若之2=之2，则之∈R D.1上为纯虚数 10.天道酬勤，主动学习方能追求卓越.高三年级的小艾同学决定对函数、三角、数列、立体 几何这四个内容的复习效果进行一次自我检测，每个内容各准备了10道典型题目.做 完后对照答案记录每道题的失分（均为非负整数）情况，若某内容每道题失分都不超过 7分，则认定该内容为“复习效果达标内容”.已知四个内容失分情况的相关数据信息如 下，则一定为“复习效果达标内容”的是 () A.函数内容的10道题失分记录的中位数为3，极差为4 B.三角内容的10道题失分记录的平均数为2，众数为2 C.数列内容的10道题失分记录的平均数为3，方差为2.4 D.立体几何内容的10道题失分记录的平均数为3，第65百分位数为6 11.已知圆柱轴截面的周长为12，体积为V,外接球的表面积为S,则下列结论正确的是 () A.S有最大值，最大值为36π B.S有最小值，最小值为18π C.V有最大值，最大值为8π D.V有最小值，最小值为4π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若命题“对Vx∈R,ax2十2x十a≥0”为假命题，则a的取值范围是· 13.已知函数f(x)=(红-1De有+一1的图象关于直线x=1对称，则6=一 斗素养月度测评 数学试题（五）第2页（共4页） B 14.某软件公司对软件进行升级，将序列A=(a1,a2,a3,…)升级为新序列A"= (a2一a1,a3一a2,a4一a3,…),A*中的第n项为am+1一am,若(A*）*中的所有项都是 3,且a4=11,a5=18,则a1= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=1,a2=c2+c十1. (1)求A; (2②)若B-年，求△ABC的面积。 16.(15分)某学校有2000人，为加强学生安全教育，该校开展了安全知识讲座，讲座结束 后，学校组织了一场安全知识测试，将测试成绩划分为“不够良好”或“良好”，并得到如 下列联表： 安全知识测试成绩 性别 合计 不够良好 良好 男 800 300 1100 女 700 200 900 合计 1500 500 2000 (1)根据小概率值α=0.01的x2独立性检验，能否认为本次安全知识测试成绩与性别 有关联？ (2)设事件A=“选到的学生是男生”，事件B=“选到的学生的测试成绩为‘良好’”，用 颜率估计概率，请通过计算比较P(BA)与PBA的大小 P(B A)P(BA) n (ad-bc)2 参考公式：X=a十b)c十)a十c)6+D,其中n=a+b+c+d. 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,BC∥AD,AB⊥BC,AB=BC =1,AD=AP=2,点E满足DE=λDP(0<入<1) B 数学试题（五）第3页（共4页） 真题密卷 (1)若CE∥平面PAB,求入的值； (2)若A-名，求平面ACE与平面PCD夹角的正弦值。 18.(17分)已知函数f(x)=e2r+(1一2a)ez-ax(a∈R). (1)当a=0时，求f(x)在x=0处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 7分吧知随圆C老等1a>>0经过点M,其右顶点为A· 为B,0为坐标原点，且离心率为2， (1)设C1在点M处的切线L的斜率为k1,直线OM的斜率为k2,求k1·k2的值 (2)过C1在第一象限的点P1作C1的切线，分别与x轴，y轴交于点A2,B2,且P1为 线段A2B2的中点，记以点O为中心，x轴，y轴为对称轴，且过点A2,B2的椭圆为 C2,依此类推，…，过椭圆Cm在第一象限的点Pm作Cm的切线，分别与x轴，y轴 交于点An+1,Bm+1,且Pn为线段An+1Bm+1的中点，记以点O为中心，x轴，y轴为 对称轴，且过点Am+1,B,+1的椭圆为Cm+1,由此得到一系列椭圆C1,C2,C3,…, Cn,Cn+1. (i)求Cm的方程. T过点，0作直线1与精圆C分别交于Q,R证明石名+号公号 |QnRm|2、n-1L1 +Q.1R,1> 2T2m+1· 附：若T红为椭圆+1上一点，则椭圆在点T处的切线方程为：第 +y=1 +62 学科素养月度测评 数学试题（五）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 2024一2025学年度下学期学科素养月度测评 数学（五） 命题要素细目表 关键能力：I.逻辑思维能力Ⅱ.运算求解能力Ⅲ.空间想象能力Ⅳ.数学建模能力V.创新能力 核心素养：①数学抽象②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 关键能力 核心素养 预估难度 题号 题型 分值 考查内容 ①②③④⑤⑥等级系数 1 单选题 补集和交集的概念与运算 0.80 2 单选题 5 求双曲线的离心率 0.85 单选题 两角和的正切公式 L 0.80 单选题 5 “1”的妙用求最值 L L 0.75 单选题 向量夹角的运算 0.65 6 单选题 计算古典概型问题的概率 L 0.65 7 单选题 5 抛物线的焦半径公式 0.55 8 单选题 三角函数图象变换求三角函数 性质 中 0.50 9 多选题 6 复数的运算 L 易 0.80 二 10 多选题 6 计算几个数的极差，方差，百分 中 0.65 位数 11 多选题 6 圆柱的体积及外接球的表面积 难 0.35 12 填空题 5 根据全称命题的真假求参数 易 0.80 三 13 填空题 由函数对称性求参数 √ 0.55 14 填空题 5 数列新定义 难 0.30 解答题 13 解三角形 0.70 9 解答题 15 独立性检验解决实际问题 L 中 0.65 解答题 15 利用线面平行确定点的位置，求 中 0.60 二面角 解答题 17 根据函数零点求参数范围 中 0.40 解答题 17 圆维曲线，数列，不等式综合 应用 雅 0.30 数学答案（五）第1页（共7页） B 真题密卷 学科素养月度测评 精典评析 TIANSHUJIAOYU ★将函数f(x)=sin2x的图象向右平移g(0<9<2）个单位长度得到函数g(x)的图象，以f(x), W3π g(x)图象上相邻的三个交点为顶点的三角形面积为2，则9= () A音 C. n 【试题解读】 本题综合考查了正弦（型）函数的最小正周期，求图象变化前（后）的解析式，以及结合三角函数的图象 变换考查三角函数的性质，提高了学生逻辑推理的能力. ★某软件公司对软件进行升级，将序列A=(a1,a2,a3,…)升级为新序列A”= (a2一a1,a3一a2,a4一a3,…),A*中的第n项为am+1一am,若(A*)·中的所有项都是3，且a4=11,a5= 18,则a1= 【试题解读】 本题是数列新定义，以实际问题为背景，根据数列递推公式写出数列的项的基本知识应用，考查了学 生的逻辑推理以及数学转化与应用能力. ★17分)已知椭圆C着+若-1a>6>0)经过点M,号） x2,y2 ,其右顶点为A1,上顶点为B1,O为 坐标原点，且离心率为号。 (1)设C1在点M处的切线1的斜率为k1,直线OM的斜率为k2,求k1·k2的值. (2)过C1在第一象限的点P1作C1的切线，分别与x轴，y轴交于点A2,B2,且P1为线段A2B2的中点， 记以点O为中心，x轴，y轴为对称轴，且过点A2,B2的椭圆为C2,依此类推，·，过椭圆Cm在第一象 限的点P,作Cm的切线，分别与x轴，y轴交于点Am+1,Bn+1,且Pn为线段Am+1Bm+1的中点，记以点 O为中心，x轴，y轴为对称轴，且过点A+1,Bn+1的椭圆为Cm+1,由此得到一系列椭圆C1,C2,C3, …,Cm,Cn+1. (i)求Cn的方程： QR112 Q2R212 QR2 (i)过点1,0)作直线1与椭圆C分别交于Q,R,证明：Q,R:十Q,R+…+Q.R+ >n-11 2+ 2n+7: 附：若Ty)为椭圆大 十云1上一点，侧则精圆在点T处的切线方程为：+-) 【试题解读】 本题是直线与圆锥曲线的位置关系、数列通项公式以及不等式的综合应用，此外还有适当放缩进行不 等式证明，在不同知识交汇点设置命题链接点，考查了学生综合应用数学知识解决数学问题的能力，体现 了逻辑推理和数学运算的数学素养， B 数学答案（五）第2页（共7页） ·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 一、选择题 26,当弦AB过焦点F(6,0)时，AB取得最大 1.D【解析】因为B={xx>4},所以CRB= 值26. {x|x≤4}，因为A={x|3≤x<5},所以A∩ 8.B【解析】如图，不妨取纵轴右侧的连续三个交 (CRB)={x|3≤x≤4). ,点，g(x)=sin2(x-p)周期也为元，可得|AB 2.A【解析】由题意可得2c=4,2a=2,所以a=1, 三元，由三角形面积为)及对称性知，⅓二 2 c=2,所以双曲线的离心率e=C=2. a 进而A后，），代入g)=n2-,特合 3,B〔解析】由题意，可得tana=-{, ana+am牙1一 4 09<得g- 61 所以ne+） 1 π 4 1-tan 4tan a 1+3 =一7 t=1,显 4.D【解析】由题意知，s十t=6,所以+ y-g(x) 盛N,所以兰+-（使+）(g+) 二、选择题 9.AB【解析】设z=a十bi(a,b∈R),则之=a-bi, +++甘+层后- 2t s 3 所以z2+z2=a2-b2+2abi+a2-b2-2abi= 当24、 3=6元，即t=2,5=4时取等号. 2a2-b)∈R,故A正确，1+1-+- 之·之 5.D【解析】a+b一c=0,则b=c一a,则b2=c2- a十6∈R,故B正确；取之=i,则=一i,显然 2a 3 2a·c十a2,即1=3-2a·c+1,解得a·c= 2 2=-1=22,但2ER,故C错误；1-=. 设a,c的夹角为0，则cos0=ac-1X5 a·c 2 26 ,1-1∈R,故D a十6，当a≠0,6=0时，之 错误」 2 10.AC【解析】对于A,假设函数内容有一道题失 6.B【解析】依题意，进行三次传递所有的情况为： 分大于等于8分，则由极差为4可知，函数内 A→B→A→B;A→B→A→C; 容失分最少的题的失分数据大于等于4，则失 A→B→>C→A;A→B→C→B; 分记录的中位数不可能为3，与题设中位数为 A→C→A→B;A→C→A→C: 3矛盾，故假设不成立，所以函数内容每一道题 A→C→B→A;A→C→B→C,则共有8种情况， 失分都不超过7分，故函数内容一定为“复习 其中第三次传递后，信息在A元件中的情况有2 效果达标内容”，故A正确；对于B,设三角内 种，所以第三次传递后，信息在A元件中的概率 容这10道题失分记录为0,0,1,1,2,2,2,2， p-- 2,8,满足题目失分记录的平均数为2，众数为 2,由定义知三角内容不一定为“复习效果达标 7.C【解析】由C:y2=24x,可得力=12，焦点 内容”，故B错误；对于C,设数列内容这10道 F(6,0),设A(x1y1),B(x2y2),则x1+x2= 题失分记录从小到大依次为x1,x2,x3,x4, 14,所以|AB|≤|AF|+|BF|=x1+x2十12= 工5，x6,x7,x8,xg,x10,则由平均数为3，方差为 数学答案（五）第3页（共7页） B 真题密卷 学科素养月度测评 2.4,可知2(x,-3)2=2.4,从而2z,-3)2 10=1 f(1+x)=x1-e) 00-=-…吊 =24,若0≥8，则2（x,-3》≥25≠24，所以 f(1十x),满足题意，所以b=2. =1 14.8【解析】由题意得，A=(a1,a2,a3,a4,a5,…), x:≤x10≤7，故数列内容一定为“复习效果达标 A*=(a2-a1,a3-a2,a4-ag,a5-a4,…）, 内容”，故C正确；对于D,设立体几何内容这10 (A')'=(a3-2a2十a1,a4-2a3十a2,a5-2a4 道题失分记录为0,0,0,0,0,0,6,6,6,12，满足 十a3,…),因为(A‘)中的所有项都是3，所以 题设平均数为3，第65百分位数为6的条件，由 a3-2a2十a1=3,a4-2a3+a2=3,a5-2a4十 定义知立体几何内容不一定为“复习效果达标 a3=3,由a5-2a4+a3=3,得18-22+a3=3, 内容”，故D错误. 解得a3=7,由a4-2a3+a2=3,得11-14+a2 11.BC【解析】如图，设圆柱的底面半径为r,高为 =3,解得a2=6,由a3-2a2十a1=3,得7-12 h,外接球的半径为R,由题意得4r十2h=12, +a1=3,解得a1=8. 即2r+h=6.又2R=√4r2+h,0<r<3,圆柱 四、解答题 的体积为V=πr2h=πr2(6-2r)=6πr2 15.解：(1)由a2=c2+c+1及余弦定理，得cosA 2xr3,则V=6πr(2-r),故当0<r<2时，V'> b2+c2-a2b2-c-1 (4分) 2bc 2bc 0;当2<r<3时，V'<0,故函数V=6πr2-2πr 又b=1,所以cosA=2C 1 在(0,2)上单调递增，在(2,3)上单调递减，所 =-2 以当r=2时，V取最大值8π，所以0<V≤8π， 因为A∈(0，π)，所以A= 2π 故C正确，D错误；圆柱的外接球的表面积S 3 (6分) 4πR2=π(4r2+h2)=π[4r2+(6-2r)2]=4π· (2)由正弦定理得a= bsin A_√6 (2r2-6r十9)，函数S=4π(2r2-6r+9)在 sin B 2 (0,)上单调递减，在(3)上单调递增，所以 因为C=元一A-B=2' 当，=时，S取最小值18，所以18<S<36 所以snc=n(骨-） 故A错误，B正确， π. -sin 3cos 4-cos 3 sin4 5√212√6-√2 B 2×2-2× (9分) 2 4 所以△ABC的面积S= 2 ×1 ×6-2_3-3 4 8 (13分) 16.解：(1)零假设为H。:该校学生本次安全知识测 三、填空题 试成绩与性别没有关联。 12.(-∞，1)【解析】由题意得3x∈R,ax2+2x+ 根据列联表中的数据，经计算得到x2= a<0为真命题.当a=0时，不等式为2x<0,有 2000×(800×200-700×300)2 解，满足要求；当a≠0时，若a<0,此时ax2十 1500×500×900×1100 ≈6.734>6.635， 2x十a<0必有解，满足要求；若a>0,则△=4 (4分) -4a2>0,解得0<a<1.综上，a的取值范围 故根据小概率值a=0.01的x2独立性检验，可 为(-∞，1). 以推断H。不成立，即认为本次安全知识测试成 13.2【解析】因为f(x)的图象关于直线x=1对称， 绩与性别有关，此推断犯错误的概率小于0.01. 所以f(1十x)=f(1一x),解得b=2.当b=2时， (6分) B 数学答案（五）第4页（共7页） ·数学· 参考答案及解析 300 《2)因为PBA)=00=,P(BA)号 又因为D啦=D,所以成-Ci+D成=Cd 8-品所ua-i×g-是 P(B A) 11×8=8, +-(好》， (7分) (10分)》 设n1=(x1,y1,z1)为平面ACE的一个法 因为P出a)-器-号P出1A) 700 向量， 900 n1·AC=0, x1十y1=0, 日，所以PBA-名×92 则有 即 1 (14分) n1·C它=0，-x+3yi+ 321=0, P(B A) 令y1=-1,则x1=1,x1=2,则n1=(1,-1,2), 因为号所以BAB (10分) P(BA)P(BA) 设n2=(x2,y2,z2)为平面PCD的一个法 (15分) 向量， 17.解：(1) |n2·CD=0, -x2十y2=0, 则有m,成-，+京：十专=0， 即 1 2 令y2=1,则x2=1,22=1,则n2=(1,1,1), (13分) 所以asa= 延长AB,DC交于F,由BC∥AD,BC=1,AD 11-1+2 2√2 -2,可知6G2 1+1+4X√1+1+ī3W23' 又因为CE∥平面PAB,CEC平面PDF,且平 所以平面ACE与平面PCD夹角的正弦值为 面PDF∩平面PAB=PF,所以CE∥PF, (15分) 哪品 (4分) 18.解：(1)当a=0时，f(x)=e2x+e, 所以D死-D成，故X=2 所以f'(x)=2e2a+e,所以f'(0)=3. (5分) 又f(0)=2,故f(x)在x=0处的切线方程为： (2)由BC∥AD,AB⊥BC,可得AB⊥AD, 3x-y+2=0. (4分) 又PA⊥底面ABCD, (2)f'(x)=2e2z+(1-2a)e-a 所以AB,AD,AP两两相互垂直. =(2e2+1)(e-a). (5分) 以A为坐标原点，以AB,AD,AP分别为x,y, 当a≤0时，f'(x)>0,故f(x)在R上单调 之轴建立如图所示的空间直角坐标系， 递增. (6分) 当a>0时，令f'(x)<0,得x<lna; 令f'(x)>0,得x>lna, 故∫(x)在(-o∞，lna)上单调递减，在(lna, 十∞)上单调递增， (8分) 综上所述，当a≤0时，f(x)在R上单调递增； 当a>0时，f(x)在(-o∞，lna)上单调递减，在 因为AB=BC=1,AD=AP=2,所以D(0,2,0), (Ina,十∞)上单调递增. (9分) A(0,0,0),P(0,0,2),C(1,1,0),则CD=(-1, (3)由(2)知，当a≤0时，f(x)在R上单调递 1,0),AC=(1,1,0),DP=(0,-2,2), 增，不符合题意，故a>0. 数学答案（五）第5页（共7页） B 真题密卷 学科素养月度测评 当a>0时，f(x)min=f(na)=a(1-a-lna). b+1 (11分) b品 =4①. 因为f(x)有两个零点，所以a(1一a一lna)<0. 又直线A+1B,+1的斜率，= ba+1,而koP。 又a>0,所以1-a-lna<0. (12分) 令h(a)=l-a-lna(a>0), bn+l an+1 则A'a)=-1-- a+1<0, a 则由(1)可知m·koP.=一 b员肌b+1b 所以h(a)在(0，+∞)上单调递减，且h(1)=0, a+l az 所以当a>1时，h(a)<0,即f(x)mn<0. 所以+-@，联立0@可得=2，即 a员b a (13分) a+1=2a, 又f(-0=+2“+a=是+ 又a?=2,所以a=a·2-1=2"; (7分) e a(e-2）>0, 同理可知b+1=2b号，即b=b号·2m-1=2m-1, e x2,y2 故C.:2+2=1. (9分) 所以f(x)在(-1，lna)上有一个零点；(14分) 令g(x)=e2-x,则g'(x)=e-1, 当x<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 当x>0时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(x)≥g(0)=1, 所以e2-x>0,即e>x, 所以f(x)>e2x-2ae-ax>e2x-2ae-ae =e(ew-3a), 所以当x≥ln3a时，f(x)>0, 所以f(x)在(lna,ln3a)上有一个零点. (ⅱ)证明：①若直线1的斜率不为0，则设直线 (16分) l:x=my十1，Q(x1k,y1),R(x2,y2), 综上所述，当f(x)有两个零点时，a的取值范 (x=my+1, 联立 围是(1，十∞). (17分) x2+2y2=2, 1 1 19.1)解：依题意得。+2方=1，又由e= ② 整理得(m2+2)y2+2my+1-2=0, ,得 -2m 则yb十y2k= m2+2'y1y24= 1-2% m2+2 (11分) a=√2b,解得b=1,a=√2， 放C号+g-i 因此|QR|=√1十m|y1-y2 (2分) =√1+m4m2-4m3+2)Q-2*) 1 m2+2 又C1在点M处的切线L的方程为)x十V2 2y= =v√1+m2Wm22+21-2 m2+2 (13分) 1 1,则1= √2 |QR22m2十2+1-21 2 从而QA1R中=2*m2+2*-2豆 √2 又k:=1-0=2,所以1·k:= 2·(4分) 1 1 2*1m2+2*+8-2≥2- (2)(1)解：设C.:a y2 1 621， 11 2+1十2+1-222+灯 则P.(,2)代人C.的方程得 Q1R1|2,|Q2R2|2 a 所以 IQR2 Q,R+Q,R+…+Qa1R1 B 数学答案（五）第6页（共7页） ·数学· 参考答案及解析 >g-(保+g+6+…+) QR1|2,QR22 故 QR2 QR+QR+…+1Q.1R. (-) n、n-1, 1 2>2+2 2十2n+1 (15分) |QR1|2 综上，Q,R下 |QR22 Q3R32 ②若直线1的斜率为0，则QR+1下 |QR|2 Q,R2 n-1,1 Q+1R1>2+2 (17分) (2as)21 (2at+1)2=2’ 数学答案（五）第7页（共7页） B