2024-2025学年度高三下学期学科素养月度测评数学（四）B版-【真题密卷】2024-2025学年高三下学期数学学科素养月度测评

·数学· 参考答案及解析 2024一2025学年度下学期学科素养月度测评 数学（四） 命题要素细目表 关键能力：I.逻辑思维能力Ⅱ.运算求解能力Ⅲ.空间想象能力Ⅳ.数学建模能力V.创新能力 核心素养：①数学抽象②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 关键能力 核心素养 预估难度 题号 题型 分值 考查内容 ⅡⅢNV①②③④⑤ ⑥等级系数 1 单选题 集合运算 0.85 2 单选题 二项式展开式系数计算 0.85 3 单选题 扇形的弧长计算 L L 0.80 单选题 平面与直线的位置关系 0.75 单选题 数列的递推关系 L 0.70 6 单选题 对数运算求值 L L 中 0.65 7 单选题 椭圆与圆的性质综合 L 0.45 8 单选题 赋值法的应用与不等式的应用 」 难 0.40 9 多选题 6 复数的基本概念与运算 L 中 0.75 二 10 多选题 6 三角函数性质综合 中 0.60 11 多选题 6 导数的应用 」 难 0.35 12 填空题 5 平面向量的基本运算 0.85 三 13 填空题 抛物线几何性质 0.80 14 填空题 球的截面性质应用与二面角 难 0.30 求法 解答题 13 正弦定理、垂直条件与勾股定理 易 0.75 解答题 15 线面垂直的证明、线面角正弦值 L 中 计算与存在性问题 0.55 2 解答题 15 双曲线的定义与性质、直线与圆 0.50 锥曲线的综合应用 解答题 17 离散型随机变量的分布列和 中 0.45 期望 解答题 17 等差等比数列、导数的几何意义 雅 0.25 数学答案（四）第1页（共7页） B 真题密卷 学科素养月度测评 精典评析 TIANSHUJIAOYU ★在|x+y|,|x-y|,|x-之，|y+之-3四个数中 () A.任意三个数都不能同时等于0 B.任意两个数之和不等于另外两个数之和 C.至少有一个数不大于3 D.至少有一个数不小于1 【试题解读】 本题考查了应用不等式的性质证明不等式、以及利用绝对值的三角不等式解决问题，此外还考查了赋 值法判断命题的真假、分段讨论绝对值，体现了应用数学逻辑推理解决数学问题的核心素养. ★在长方体ABCD-A1B,C1D1中，AB=√3，AA1=1,M是棱AD的中点，平面ABCD截一球面得 圆M,平面AB1C,D截该球面得圆N,且圆M和圆N的半径分别为2和3，则该球的表面积为 【试题解读】 本题考查了球的截面性质、二面角的求法的综合应用，解题关键在于根据球的截面性质设想图形，考 查了学生直观想象的核心素养的应用 ★(17分)定义：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1<x2<x3)是曲线y=f(x)上三个不同的点， 直线AC与曲线y=f(x)在点B处的切线平行，若x1,x2,x?成等差数列，则称f(x)为“等差函数”，若 x1,x2,x3成等比数列，则称f(x)为“等比函数” (1)若函数f(x)是二次函数，证明：f(x)是“等差函数”. (2)判断函数f(x)=lnx是否为“等差函数”，并说明理由. (3)判断函数f(x)=xlnx是否为“等比函数”，并说明理由. 【试题解读】 本题属于函数的新定义题，同时结合数列与几何知识并利用导数研究函数的零点，考查了函数与方程 思想，锻炼了学生利用数学知识解决数学综合问题的能力. B 数学答案（四）第2页（共7页） ·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 一、选择题 8.D【解析】当x=y=之=0时，|x十y|=|x一y 1.B【解析】由题意可得-1≤√元≤1，故0≤x≤1， =x一之|=0，故A错误；令y=0,2x=之，则 即B={x0≤x≤1}，所以A∩B=[0,1],所以 |x+y|=|x-y|=|x-z|=|x|,|y+z-3|= CA(A∩B)=[-1,0). |2x-3,若x=2x-3,即x=3或1，则四个 2.A【解析】二项式(x一2)5的展开式中，含x2的 数相等，故B错误；不妨取x=6,y=一2，之=1，则 项为Cx2(-2)3=一80x2,所以x2的系数为-80. |x十y|=4,x-y|=8,x-z|=5,ly+x-3|=4, 3.C【解析】设该扇形的孤长为l,圆心角为α，半径 故C错误；记M为四个数中最大的数，当xy≥0 为，向S-日-日r,可得×8r-2,部得 时，|x+y|=x|+|y≥|x-y|, 故M=max{x+yl,lx-z|,ly+之-3|} r=4,故1=ar=12. ≥z+y+|x-e++。-3 4.A【解析】充分性：若aB,因为a∩B=l,mC 3 a,m⊥l,所以m⊥B,因为nCB,所以m⊥n,则充 ≥x+y-x++3-y==1, 3 分性成立；必要性：当n∥l时，a与B不一定垂 直，则必要性不成立.综上，“a⊥β”是“m⊥n”的 13 当x=)y=22=2时，M=1(M=1时的条件不 充分不必要条件 唯一)；当xy<0时，|x十y<|x一y,不妨设 4,得a2=2-3 5.B【解析】由a1=3,am+1=2- 4 x<0,y>0,则只需考虑0<y<1且之<1的情 况，此时y十z<2,故|y十z-3|>1,故当xy<0 42 4 =-4,ag=2-（-40=3,a4= =3,a5= 时，M>1.综上所述，M≥1，故D正确. 二、选择题 一4，…，可知{am}的一个周期为3，依次为3， 9.BCD【解析】由题意，设之=a+bi(a,b∈R).对 2 2 于A,由于|之|=2，所以a2十b2=4,则复数之=a -4,33,-4,5,显然B正确. 十bi不确定，故A错误；对于B,由于之十2i∈R, 6.B【解析】因为这台计算机平均每秒可进行104 所以b十2=0，则b=一2，故B正确；对于C,之2> 0,即a2-b2+2abi>0,则ab=0,所以a≠0，b= 次运算，所以进行250次运算需要 20 04秒，而 0,故C正确；对于D,由于|z=1,所以a2+b2= 250 1g10=lg20-1g104=501g2-14≈50×0.3 1,所以复数之在复平面内对应的点的集合为以 原点为圆心，以1为半径的圆，即单位圆，因为 4=1,两以器0 之一2表示单位圆上的点与点(2,0)的距离，所 以之一2的最小值为2-1=1，最大值为2十1= 7.D【解析】由圆M方程得圆心M(4,0),半径r 3,所以1≤之-2≤3，故D正确. =1,由题得a=3,c=2,设C的下焦点为F',则 F'(0,-2),由椭圆定义知|PF'|十|PF|=2a 10.BC【解析】f(x)=sinx十acos x=√a2+1· =6,所以|PQ+|PF|=6+|PQ|-|PF'|, 1 因为|PQ|≤|PM+r(当且仅当P,M,Q三点 a=cos0, 共线时取等号)，所以|PQ十PF|=6+ a =sin0,则f(x)=√a2+1·(sinxcos0+ |PQ|-IPF'|≤7+|PM|-IPF'I,又 a2+1 |PM|-|PF'|≤|MF'|(当且仅当M,P,F'三 cos xsin0)=√/a2+1sin(x+0),因为f(x)= 点共线时取等号)，所以|PQ|+|PF|≤7+ sinx十acos x图象的一条对称轴方程为z=,所 MF'|=7+√4+2=7+25，即|PQ+ PF的最大值为7+2√5. 以√a2+1= 数学答案（四）第3页（共7页） 真题密卷 学科素养月度测评 √a2+I,化简可得(3a十1)2=0，所以a=- 3, 故A错误，B正确；f(x)=sinx一 又N是箱物线上一点，所以停】 =8X 2gn-看）合x-吾-至+x∈z,择 2V3 (2+2）,即3a-16a-64=0,每得a=8成d x-经+xEZ0,当及=-1时，得x=-子， =一号（会去），所以线段M的长为8 6 14.96π【解析】如图，设球心为O,球的半径为R, 故C正病；令-营+2张<：-百<受+2张元 由题意和球的性质得OM⊥平面ABCD,ON⊥ ∈)，得-号+2kx<x<+2张xk∈D, 平面AB1C1D,则OM=√R2-4,ON= √R2-9,因为AD⊥平面DCC1D1,DC1C平面 当灰=0时，-智<1<放D错说 DCCD1,则AD⊥DC1,又AD⊥DC,故 1l.BCD【解析】由题得lnem+e=n+lnn=4. ∠CDC1为平面ABCD与平面AB1C1D的夹 设f(x)=x+lnx(x>0),则f(e")=f(n)= 角，在Rt△DC,C中，由tan∠C,DC=是= 4图为了(x)=1+>0,所以fx)在 53 可得∠C,DC=30°，在Rt△OMN中，易得 (0,十∞)上单调递增，所以em=n,所以m十n ∠OMN=∠D1DC1=90°-30°=60°，所以ON =m十em=4,ne"=eme"=em+n=e,故C,D正 OMsin60,即VR-=gR=4,解得R9 确；又f(e)=e+lne=e+1<4,f(3)=3+ln3 >4,所以e<em=n<3,所以1=lne<m<ln3 =24,故球的表面积为4πR2=96元. <2,所以m<n,故A错误；设g(x)=xe,则 g'(x)=(x+1)e.令g'(x)=(x十1)e>0,得 x>-1;令g'(x)=(x+1)e<0,得x<-1, B 所以g(x)在（一1，十∞）上单调递增，在 （-∞，-1)上单调递减，因为1<m<2,所以 B g(m)>g(1),即mem>e,所以mn=me">e,故 四、解答题 B正确. 15.(1)证明：由已知及正弦定理得a(a2+b2-c2)= 三、填空题 12.-23【解析】由题意得a+3b=(-1,10),a 2ba2sinB,即a2+b2-c =sin B, 2ab (2分) b=(3,-2),所以(a+3b)·(a-b)=-1×3 由余弦定理得cosC=sinB, (4分) +10×(-2)=一23. 13.8【解析】如图所示： 因为B为钝角，且sin(C+）=cosC=sinB, M =8x 所以B=C+ (6分) (2)解：因为ECLMB,B=C+2,所以∠ABM E =C, 又△ABC与△AMB有公共角A,所以△ABC p△AMB, (7分) 设MF|=a,易得F(2,0),作ME⊥x轴于点E, 因为∠MFO=120°，所以∠MFE=60°，所以在 即∠AMB=B=C+答，所以A=X一∠AMB R△MEF中，|ME=|MF|sn60°= 2a, ∠ABM=7-2C, 8 数学答案（四）第4页（共7页） ·数学· 参考答案及解析 在△ABC中，由正弦定理得 a b 设直线CP与平面DCE所成角为 sin A sin B A市.C sin( 则sin0=|cos(AP,cp)1= APCP 所以=sinB cos C 4×4 a sin A -2C cos 2C' V(-4)2+4√(-4)2+422’ (9分) 做直线CP与平面DCE所成角的正弦值为号 又在Rt△ABC中，M是边AC上靠近A的三 (10分) a 3a 等分点，则cosC= 2 26' (10分) (3)解：设M是线段BC上的一点，则存在入∈ [0,1],使BM=λBC,由于B(4,3,0),则BC 3a =(-4,1,0), 所以= cos C 2b -,所以b2=3a2, 从而DM=DB+BC=(4-4x,3+入，0). a cos 2C /3a2 22b -1 由点A,P的坐标可得DG=(2,0,2).(11分) 设n=(x,y,z)为平面DGM的一个法向量， 即=5、 (13分) ·Di=0即4-以)z+3+y=0, 则 16.(1)证明：因为PD⊥平面ABCD,CDC平面 n·DG=0,2x+2z=0, ABCD,所以PD⊥CD. 令x=3+入，则n=(3十λ，41-4，-3-入)， 又因为CD⊥AD,AD∩PD=D,AD,PDC平 (13分) 面PAD,所以CD⊥平面PAD. 令n·C户=0，即-4(4-4)+4(-3-λ)=0， 又APC平面PAD,所以CD⊥AP.(2分) 解得X-日 (14分) 又因为AD=DP,G为线段AP的中点， 所以AP⊥DG. 此时n⊥CP,又显然有CP中平面DCM,从而 因为PQ∥CD,AB∥CD,所以PQ∥AB. CP∥平面DGM,所以线段BC上存在点M,使 因为E,G分别为BQ,AP的中点，所以EG∥AB. BM 1 (15分) 又CD∥AB,所以EG∥CD,即C,D,G,E四 得CP∥平面DGM,此时BC=: 点共面. (5分) 又CD∩DG=D,DG,CDC平面DCE, 17.解：(1)由题得a2’解得a=√2，c=√3， 所以AP⊥平面DCE. (6分) 2c=2W5, (2)解：因为PD⊥平面ABCD,AD,DCC平面 所以62=3-2=1， ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥DC.又AD⊥ 所以工的方程为2y21】 (5分) CD,所以DA,DC,DP两两垂直，故建立如图 所示的空间直角坐标系D-xy之， (2)由题意可知直线1的斜率存在，设直线1的 方程为y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2), A 由1)知，P的渐近线方程为y= 2, 不妨设xc<xD, 联立 =?工，解得cc= ② √2k-1 y=kx-1, 于是A(4,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4). √2 √2 可得AP=(-4,0,4),CP=(0,-4,4). 联立y 一2'解得xD (7分) 由(1)可得AP⊥平面DCE,所以AP=(-4,0,4) y=kx-1, √2k+11 为平面DCE的一个法向量. (8分) 所以|CD|=√1+2|xc-xD|=√1+k2X 数学答案（四）第5页（共7页） B 真题密卷 学科素养月度测评 √2 √2 2J21+k 4 、12 (9分) √2k-1√2k+1 2k2-1 则P(X=0)=5×2=5' 22 4、1、11 联立 y2=1, 2 得(1-2k2)x2+4kx-4=0, P(X=2)=5×2×2=5' 1111 y=kx-1, P(X=3)=5×2X2-20, 4k -4 则x1+x1=1-20x12:=1-26,（11分) 1-2k2≠0， 1、1,1、1,13 △=16k2-4X(1-2k2)×(-4)>0, P(X=5)=5X2+5×2×2=20 一4 1 21x2=1-26<0, (X)=2×义 十4× +5× 1 5 解得0<<宁， =2.1. (13分) Y的可能取值为0,2,4,5， 所以|AB|=√1+k2|x1一x2|=√1十× √@+z2)-4红1x,=-V1+x161-5 则P-0)-×号-子 1-2k2 =4V①+2)(1-) 1.11 1-2k2 P(Y=4)= 2×2=4: 所以8 x1一x2 =√2(1-k),(13分) 1111 xc-xD P0Y=5)=Cx2×2×5-i0, 又0k<所以v21-∈1w2], 放Em=2X号-4X+5X02.s>2L 1 所以 的取值范围为(1,2]： (15分) 故为使投篮最终累计得分的期望最大，甲同学 应先投2分球. (17分) 18.解：(1)记甲同学先投3分球，投篮2次就终止投 19.(1)证明：令f(x)=a.x2+bx十c(a≠0). 篮为事件A, 设A(x1y1),B(x2y2),C(x3y3)(x1<x2<x3) 则Pa)-×名+-》×(1-》- 是曲线y=f(x)上三个不同的点.直线AC的斜率 (4分) k Ac= y3-y1a(x3-xi)+b(x3-x1) x3-x1 x3一x1 (2)记甲同学先投3分球通过测试的概率为P1, =a(x3十x1)+b, 因为f'(x)=2ax十b,所以曲线y=∫(x)在点 B处的切线斜率kB=f'(x2)=2ax2十b,(3分) 1-》×2×-品 (6分) 直线AC与曲线y=f(x)在点B处的切线平 行，则kAc=kB,即2ax2十b=a(x3十x1)十b, 记甲同学先投2分球通过测试的概率为P2, 则2x2=x3十x1,故f(x)是“等差函数”. 则P,=日×+1-)×× 1 1 十2 (5分) (2)解：假设函数f(x)=lnx为“等差函数”. -)×品 (8分) 因为0<x1<x2<x3,且x1,x2,x3成等差数 因为P1=P2,故甲同学先投2分球或先投3分 列，所以x1十x3=2x2 球通过测试的概率是一样的 (9分) 直线AC的斜率&c=-y=nx-一ln马 x3一x1 x3x1 (3)记甲同学先投3分球投篮最终累计得分为 3 X,先投2分球投篮最终累计得分为Y. In- T1 X的可能取值为0,2,3,4,5， x3-x1 B 数学答案（四）第6页（共7页） ·数学· 参考答案及解析 因为)=士所以曲线y=fc)在点B处 (3)解：假设函数f(x)=xlnx为“等比函数”. 因为0<x1<x2<x3,且x1,x2,x3成等比数 2 的切线斜率kB=f'(x2)= 1 列，设公比为q(q>1),所以x2=x1q,xa x2xg十x1 =x1q2, 直线AC与曲线y=f(x)在点B处的切线平 行，则kAC=B, 直线AC的斜率c=y-x,lhx一xh西 x3一x1 3一x1 整理得2=：十1n 3十1 s_1ln， T3 _g2nx1+21n9）-ln2=1nx1+2gn9. q2-1 g2-1 x,-x"x13-1 因为f'(x)=lnx+1,所以曲线y=f(x)在点 B处的切线斜率kg=f'(x2)=lnx2十1=lnx 令t=x3>1,即(e+1)1nt-2(t-1)=0. +Ing+1, (8分) 直线AC与曲线y=f(x)在点B处的切线平 令h(t)=(t+1)1nt-2(t-1)(t>1), q2-1 行，则kac=&a,整理得ngg十0. 则A'e)=n+41-2=n+-1. t (14分) 令0)-1+-1c>D,则ra)-}日 令g(x)=lnx- >10，则ga) x2-1 (x2-1)2 -‘分>0，放0)在1，十0)上单调递增， (x2+1)2x(x2+1)>0, k(t)>k(1)=0,即h'(t)>0,则h(t)在 所以g(x)=lnx一 x2-1 +在(1，+∞)上单调递 (1,十∞)上单调递增，h(t)>h(1)=0. 增，所以g(x)>g(1)=0, 故当t>1时，(t+1)lnt-2(t-1)>0, 即(t+1)lnt-2(t一1)=0无实数解， 所以当>1时，g一智-0无实数解。 故f(x)=lnx不是“等差函数”. (11分) 所以f(x)=xlnx不是“等比函数”.(17分) 数学答案（四）第7页（共7页）2024一2025学年度下学期学科素养月度测评 卷题 数学（四） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.设集合A={x|-1≤x≤1}，B={x元∈A},则CA(A∩B)= ( A.[0,1] B.[-1,0) C.[-1,0] D.(0,1] 2.在(x一2)5的展开式中，x2的系数为 A.-80 B.80 C.-40 D.40 3.已知扇形的圆心角为3rad,面积为24，则该扇形的弧长为 ( A.4 B.4π C.12 D.12π 4.已知m,n,l是三条不同的直线，a,B是两个不同的平面，mCa,nCB,a∩B=l,m⊥l, 则“a⊥β”是“m⊥n”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4 5.在数列{am}中，若a1=3,am+1= ，则下列是{am}中的项的是 2-a A.4 B.-4 c D.-3 6.近年来，人工智能快速发展，AI算法是人工智能的核心技术之一.现有一台计算机平均 每秒可进行1014次运算，在这台计算机上运行某个AI算法来生成一个文案需要20次 运算，则生成这个文案需要的时间约为(1g2≈0.30) () A.1秒 B.10秒 C.20秒 D.50秒 7.已知F为椭圆C号+写-1的上焦点，P为C上-点，Q为圆M:+y-8x+15-0 上一点，则PQ+PF的最大值为 () A.1+25 B.3+2√5 C.5+25 D.7+25 数学试题（四）第1页（共4页） 真题密卷·学手 8.在|x+y,x一y,x-之，y+-3|四个数中 班级 A.任意三个数都不能同时等于0 B.任意两个数之和不等于另外两个数之和 姓名 C.至少有一个数不大于3 --一- D.至少有一个数不小于1 得分 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数之，则下列说法正确的是 A.若之=2，则之=士2 B.若x十2i∈R,则之的虚部为一2 C.若z2>0,则a≠0，b=0 D.若z=1,则1≤x-2≤3 l0.若函数f(x)=sinx十acos图象的一条对称轴为直线x三，则 () A.a=3 3 B.a=- 3 Cf(x)图象的一条对称轴为直线x=一号 D.f(x)在（子，）上单调递增 11.若m十em=n十lnn=4,则 () A.m>n B.mn>e C.m+n=4 D.ne"=e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2,1),b=(-1,3),则(a+3b)·(a-b)= 13.已知M是抛物线y2=8x上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点.若∠MFO= 120°，则线段MF的长为 14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=√3，AA1=1,M是棱AD的中点，平面ABCD 截一球面得圆M,平面AB1C1D截该球面得圆N,且圆M和圆N的半径分别为2和 3,则该球的表面积为 斗素养月度测评 数学试题（四）第2页（共4页） B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a(sinA+sinB-sinC)= 2bsin2 Asin B,且B为钝角. (1)证明：B=C+2 (2)若M是边AC上靠近A的三等分点，且BC⊥MB,求二的值. 16.(15分)如图，在五面体ABCDPQ中，PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB∥CD,PQ∥ CD,AD=CD=DP=4,AB=3,E,G分别为BQ,AP的中点，连接DG,EG,CE. (1)证明：AP⊥平面DCE. (2)求直线CP与平面DCE所成角的正弦值. BM (3)线段BC上是否存在点M,使得CP∥平面DGM?若存在，求BC的值；若不存在， 请说明理由. 17.(15分)已知双曲线工：-31@>0,6>0)的离心率为2，焦距为23 (1)求T的方程； (2)若过点(0，一b)作直线1分别交T的左、右两支于A,B两点，交T的渐近线于C,D 两点，求AB CD 的取值范围. B 数学试题（四）第3页（共4页） 真题密卷 18.(17分)某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，在M处投一次三分 球，投进得3分，未投进不得分；在N处连续投2次两分球，每投进一次得2分，未投进 不得分，测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮（若前两次投篮后确定不能 通过测试也终止投篮).甲同学为了通过测试，刻苦训练，已知他投中3分球的概率为 日，投巾2分球的概率为日，且每次投篮结果互不彬响 (1)若甲同学先投3分球，求他投篮2次就终止投篮的概率. (2)为使通过测试的概率最大，甲同学应先投几分球？ (3)为使投篮最终累计得分的期望最大，甲同学应先投几分球？ 19.(17分)定义：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1<x2<x3)是曲线y=f(x)上三个 不同的点，直线AC与曲线y=f(x)在点B处的切线平行，若x1,x2,x3成等差数列， 则称f(x)为“等差函数”，若x1,x2,x3成等比数列，则称f(x)为“等比函数”. (1)若函数f(x)是二次函数，证明：f(x)是“等差函数” (2)判断函数f(x)=lnx是否为“等差函数”，并说明理由. (3)判断函数f(x)=xlnx是否为“等比函数”，并说明理由 学科素养月度测评 数学试题（四）第4页（共4页）