2024-2025学年度高三下学期学科素养月度测评数学（三）B版-【真题密卷】2024-2025学年高三下学期数学学科素养月度测评

2024一2025学年度下学期学科素养月度测评 卷题 数学（三） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3,4},B={3,4,5},则{1,2}= () A.A∩(CuB) B.AU(CB) C.(CuA)∩B D.(CvA)UB 2.已知复数之≠0，若|之一3=之一3i,则之的实部与虚部的比值为 () A.3 B.2 C.1 D.2 3.已知a=2024.5,b=0.52024,c=l0g20240.5,则 A.c>b>a B.c>a>b C.a>b>c D.a>c>b 4.已知向量a=(1,一2)，b=(t,3),若(a一b)与(2a十b)平行，则t= () A.-6 B.6 a- 0.2 5.若抛物线C:x2=8y上一点A(xoyo)到焦点F的距离是该点到x轴距离的2倍，则yo= () 1 A.2 B.1 c D.2 6.已知2a,a2,a,2a+2的中位数为- ,则a= () A.-3 B.-2 C.-1 D.1 ,y2 2子21(a≥b>0的左石焦点分别为F,F2,点卫 PF2的中点，且F1Q⊥PF2,F1Q=b,则M的离心率为 () A号 B c日 8.记数列{am}的前n项和为Sm,若a+1=a十2am十1，且a1=0,则|So的最小值为() A.0 B.1 C.2 D.3 数学试题（三）第1页（共4页） 真题密卷·学手 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 班级 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数fx)=inz,g)=sin2x+》,则 姓名 A.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 B.f(x)与g(x)的值域相同 得分 C.f(x)与g(x)有相同的零点 D.f(x)与g(x)的最小正周期相同 10.已知一1,2,8是等比数列{am}的前5项中的3项，且a2>0,则{am}的前7项和可能为 () B.43 43 A.-43 4 D.2 1.已知定义在(-∞，0U0,+∞)止的函数fa)满是足fy)-f(月）=2f),且当z >1时，f(x)<0,则 () A.f(x)是偶函数 B.fG)+f()-0 C.f(a)+f(b)=2f(ab)》 D.f(x)在(-∞，0)上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知m>0,使得不等式一m<x<m成立的一个充分不必要条件是x2-2x一3<0，则 m的取值范围是 13.若A,B为曲线x2十y2=2x十2y上任意两点，则A,B两点间距离的最大值为 14.金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹， 大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看作一个正四棱 锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成 部分.（用数字作答） 斗素养月度测评 数学试题（三）第2页（共4页） B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=ax一lnx,且f(x)在x=1处的切线方程是x一y+b=0. (1)求实数a,b的值； (2)求f(x)的单调区间和极值. 16.15分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,bc,已知anB-2c-1, tan Aa (1)求B的大小； (2)设a=3,b=3√7. (1)求c的值； (i)求tan(2A-B)的值. 17.(15分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，CA=CB=1,AA1=2,M, N,P分别为A1B1,AA1,BB1的中点. (1)证明：CP∥平面C1MN. (2)求平面C1MN与平面BMC1夹角的余弦值. (3)求点P到平面C1MN的距离. B 数学试题（三）第3页（共4页） 真题密卷 18.(17分)已知y=2x是双线C名-)a>0,b>0)的一条渐近线，点2,2)在 C上. (1)求C的方程. (2)已知直线1的斜率存在且不经过原点，l与C交于A,B两点，AB的中点在直线 y=2x上. (ⅰ)证明：l的斜率为定值. (i)若M(1,1),△MAB的面积为√6，求l的方程. 19.(17分)某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山 票.为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下 山票和双程票的人数分别为36、60和24. (1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人 中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率. (2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人 和购买回程票的m(m>2且m∈N*)人组成一组，负责人从某组中任选2人进行 询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A,否则该组标为B,记询问的某 组被标为B的概率为力 (ⅰ)试用含m的代数式表示p; (iⅱ)若一共询问了5组，用g(p)表示恰有3组被标为B的概率，试求g(p)的最大 值及此时m的值. 学科素养月度测评 数学试题（三）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 2024一2025学年度下学期学科素养月度测评 数学（三） 命题要素细目表 关键能力：I.逻辑思维能力Ⅱ.运算求解能力Ⅲ.空间想象能力V,数学建模能力V.创新能力 核心素养：①数学抽象②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 关键能力 核心素养 预估难度 题号 题型 分值 考查内容 ① ②③④⑤⑥等级系数 单选题 5 集合的基本运算 0.85 单选题 复数的基本运算 L 多 0.85 3 单选题 6 判断指数式和对数式的大小 关系 L / ®」 0.80 单选题 平面向量的基本运算 易0.80 单选题 抛物线定义的理解与应用 中 0.70 单选题 中位数运算 中 0.70 单选题 5 椭圆离心率求解 L 中 0.65 单选题 5 累加法求数列通项及最值判断 难 0.40 9 多选题 6 三角函数的基本性质 0.85 10 多选题 6 等比数列通项公式求解及前n 项和运算 0.60 多选题 6 抽象函数及函数基本性质判断 √W 难 0.35 填空题 5 根据充分不必要条件求解参数 L 易 0.80 三 填空题 以圆为背景求解两点间距离 最值 L 0.65 填空题 5 以正四棱锥为背景求解平面划 分空间的区域数量 L L 1 0.35 15 解答题 已知切线求参数，函数单调性与 13 极值 L 0.80 16 解答题 15 解三角形 易 0.75 四 17 解答题 15 线面平行的证明，二面角与点到 中 平面距离的向量求法 0.55 18 解答题 17 双曲线标准方程求解，定值问 中 0.50 题，直线方程求解 19 解答题 17 统计概率与导数综合 难 0.30 数学答案（三）第1页（共6页）》 心 真题密卷 学科素养月度测评 精典评析 TIANSHUJIAOYU ★记数列{am}的前n项和为Sn,若a+1=a员十2an+1,且a1=0,则|So|的最小值为 () A.0 B.1 C.2 D.3 【试题解读】 第8题考查数列的递推公式以及数列求和与最值的综合应用，举例验证取等号的条件是求解本题的 关键，很好地体现了应用数学逻辑推理解决数学问题的数学核心素养. ★金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其 中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看作一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的 平面将空间分成 部分.（用数字作答） 【试题解读】 第14题的解题关键在于对四面进行极限倾斜相交分析，考查棱锥的结构特征和分类、平面分空间的 区域数量，很好地考查了学生的直观想象的数学核心素养的实际应用. ★(17分)某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票.为提高 服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、 60和24. (1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人， 求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率， (2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的 (m>2且m∈N')人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则 该组标为A,否则该组标为B,记询问的某组被标为B的概率为p. (ⅰ)试用含m的代数式表示p; (ⅱ)若一共询问了5组，用g(p)表示恰有3组被标为B的概率，试求g(p)的最大值及此时m的值. 【试题解读】 第19题综合考查了古典概型、排列组合、n次独立重复试验与导数的相关知识，点，有一定的阅读理解 要求，可以有效地训练学生逻辑思维、数学运算、数据分析的能力. ⊙ 数学答案（三）第2页（共6页） ·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 一、选择题 1.A【解析】因为U=1,2,3,4,5,6},A={1,2,3, 得2+ar-a-0,即22+e-1-0,解得e-号 4},B={3,4,5},所以CA={5,6},CB={1,2, 或e=-1(舍). 6},A∩(CuB)={1,2},故A正确；AU(CvB)= 8.C【解析】由a+1=a员十2an+1,得2am十1= {1,2,3,4,6},故B错误；(CuA)∩B={5},故C错 a员+1-a,则2S2o十20=(a3-a)+(a3-a)+ 误；(CuA)UB={3,4,5,6},故D错误. …十(a2。-a)十(a员一a)=a虽1-a?=a,因此 2.C【解析】设之=a十bi,a,b∈R,则由之-3= 1Ss=2a-201,又a4l=la.+1且a=0 |之-3i,可得(a-3)2十b2=a2+(亿-3)2，化简 则an是整数，于是|S0是整数，a是偶数的平方， 得a=b≠0，故之的实部与虚部的比值为1. 3.C【解析】a=2024.5>2024°=1,0<b= 则1Sa-a-20≥号f-20-2,当且仅当 0.52024<0.50=1,c=log2240.5<1og20241=0, a21=4时取等号.下面举例说明a21可以取到4，当 所以a>b>c. n≤9时，a2m-1=0,n∈N,当n≤8时，a2n=-1,n∈ 4.C【解析】由a=(1,-2),b=(t,3),可得a-b N*,a18=1,a19=2,a20=3,a21=4,此时|S20|= =(1-t,-5),2a+b=(2+t,-1),由(a-b)与 |a1+a2+…+a201=|9×0+8×(-1)+1+2+ (2a+b)平行，可得(1-t)×(-1)=-5× 3|=2,所以|S20的最小值为2. 20,解得= 二、选择题 9.AD【解析】f(x)=|sinx的图象如图所示： 5.D【解析】已知C:x2=8y,所以F(0,2),准线 1:y=-2.C上一点A(x0,yo)到焦点F的距离 sin x 等于到准线l的距离，即|AF|=y0十2.又点A 到x轴的距离为yo,由已知得y0十2=2y0,解得 y0=2. 6.A【解析】因为2a,a2,a,2a十2共四个数， 易知f)的对稀轴为x-,k∈乙，值战为 中位数为-号<0，e≥0,1al≥0，所以 [0,1],零点为x=kπ，k∈Z,最小正周期为π； 12a+2<0, ga)=sin(2x+）=cos2x,其图象如图所示： 解得a<-1,所以2a<2a+2< 2a<0, la<a,所以2a+2,+lal_2a+2-a-1， 2 2 2 解得a=-3. 7.C【解析】如图所示： 易知g()的对称轴为2x=kπ，k∈乙，即工- 2 k乙位或为[-1，]，幸点为=行+经k∈ Z,最小正周期为元.综上可得，f(x)与g(x)的图 象有相同的对称轴，且最小正周期相同. 10.AB【解析】设等比数列{an}的公比为q,因为在 根据题意可知PF1|=|F1F2=2c,由椭圆定义 等比数列中所有奇数项同号，所有偶数项同号，结 |PF1|+|PF2|=2a可得|PF2|=2a-2c,又Q 合已知可得q<0,其中2,8这两项的奇偶性相同， 为PF2的中点，故|PQ|=a-c,又因为|FQ|= 又因为a2>0,可知a2=2或8.若a2=2,a4=8,则 b,由勾股定理可得|F1Q2+|PQ|2=|PF2, fa2=a19=2, 解得1-1， 合题意，此时{an} 即b2+(a-c)2=(2c)2,结合b2+c2=a2整理可 a4=a1q3=8 q=-2, 数学答案（三）第3页（共6页） B 真题密卷 学科素养月度测评 的前7项和为-1×0-(-2)] =-43;若a2 0,y<0时，曲线方程可化为(x十1)2十(y十1)2= 1-(-2) 2,圆心C4(-1,一1).当x=0时，y=士2；当y=0 a1=-16, a2=a1q=8, 时，x=士2.作出曲线在平面直角坐标系中的图象， 8,a4=2,则 解得 a4=a1q3=2, 如图所示： =一1，符合题意，可得{an》的前7项和为 16x(门 43 4 ,故综上，{an}的前7 项和为一相或-号 曲线上任意两，点距离的最大值为C1C4|+2r= 11.ABD【解析】令y=1,得f(x)-f(x)=2f(1),则 √W1-(-1)]2+1-(-1)+2×√2=4√2. f0-0.再令x=1,得f)-/(）=2f0)0, 14.23【解析】假想一个没有上顶的正方体，该正 方体会把空间分割成18块，把四面进行极限倾 即o)+f号）=0，所以f)+f()=0,故B 斜相交，如图所示， 正确冷x=-1,得f(-)-f(-）=2f),由 ①得f()-f(-）=25(-0,所以f-) f0y),故A正确；令a=y,b=)y=ab,y 在倾斜的过程中，在不管底面的情况下，4个侧 面在顶点以下的“水平范围”内最多可以切割出 西，得fx)+f(）=2f0)=2f(y), 9个空间，与没有极限倾斜的情况一样，多出来 即f(a)+f(b)=2f(√ab),故C错误；设x1>x2 的空间是交叉的切割出来的空间，在空间上是 对称的，四个倾斜的侧面在空间中的延伸还是 >0,则>1，由B,C的分析及题意可得f(x1) 这样的倾斜侧面，如图所示，对称的锥面同样会 切割出9个空间，即顶点之上的4个延伸的倾斜 f)=f✉)+()=2r(图 <0,即 的面同样会切割出9个空间，但是有四个空间 f(x1)<f(x2),所以∫(x)在(0，十∞)上单调递 和下面的四个倾斜的侧面切出的是同一个，即 减，又f(x)是偶函数，所以f(x)在（一∞，0）上单 标记“X”的位置，所以在18的基础上加9减4， 调递增，故D正确. 即结果是23. 三、填空题 12.[3,+∞)【解析】x2-2x-3<0,即(x十1)(x -3)<0,解得一1<x<3,依题意(-1,3) （-m,m),则m≥3，此时-m≤-3<-1<m,满 足题意，所以m的取值范围是3，十∞). 13.4√2【解析】由题意可得曲线关于x轴，y轴，原 四、解答题 点对称，当x≥0，y≥0时，曲线方程可化 15.解：(1)因为f(x)=ax-lnx, 为(x-1)2+(y-1)2=2,圆心C1(1,1);当x≥0， 1 y<0时，曲线方程可化为(x-1)2+(y十1)2=2， 所以f'(x)=a立' 圆心C2(1,一1)；当x<0,y≥0时，曲线方程可化 又f(x)在x=1处的切线方程为y=x十b, 为(x+1)2+(y-1)2=2,圆心C3(-1,1);当x< 所以f'(1)=a-1=1,f(1)=a=1+b, B 数学答案（三）第4页（共6页） ·数学· 参考答案及解析 解得a=2,b=1. (6分) 53 (2)由(1)可得f(x)=2x-lnx,定义域为 tan 2A-tan B tan(2A-B)= 11 -3 0,+∞)，则f(x)=2-1_2x-1 1+tan 2Atan B 1+5 x 11 -X/3 当x∈(0,2)时，'x)<0,f)单调递减： 33 13 (15分) 当x∈（分，十∞）时，fx)>0,fx)单调递增， 17.(1)证明：如图，以C为坐标原点，CA,CB,CC 所在直线分别为x,y,之轴，建立如图所示的空 则fx)在x=2处取得极小值，f合》 =1+ln2, 间直角坐标系，则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0, (10分) 00.Co.0,2Mg72N1,01DP0 所以f(x)的单调递诚区间为(0，号），单调递增 1,1),则CP=(0,1,1),C1N=(1,0,-1), 区间为(2，十)，极小值为1+n2,无极大值。 (13分) 设m=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量， 16.解：(1)在△ABC中，由anB_2c tan Aa 1及正弦定 理，得sin Bcos A 2sin C sin Acos B十1- sin A' in Bcos A+cos Bsin A 2sin C sin Acos B sin A' 则sinC cos B=2sin C, 由0<C<π，得sinC≠0，故cosB= 2 fm·C1N=x-之=0， 又0CB<,所以B-行 (5分) 则 m·Ci=1,1 取m=(1,-1,1), 2x+2y=0, (2)(1)由(1)及余弦定理， (3分) 63=62=a2+c2-2accos B=9+c2-3c, 由于CP·m=0,所以CP⊥m. 整理得c2-3c-54=0,又c>0,解得c=9, 又因为CP丈平面C1MN,所以CP∥平面C,MN. 所以c的值为9. (9分) (5分) （i)由正弦定理a b sin A sin B sin C' (2)解：设n=(a,b,c)为平面BMC1的一个法 向量， 得sinA=asin B 3√714， (12分) 由可知.G店=01，-2).C应=-（兮7o, 由a<b,得A<B, (n·C1B=b-2c=0, 则 1 则cosA-√-smA-5V7 14 ,tan A=sin A3 c-2a+2b=0, cosA5’ (13分) 取n=（-2,2,1). (7分) 设平面C1MN与平面BMC1的夹角为0， 2tan A 2X3 5 5V3 lm·n√3 因此tan2A= 1-tan2A /W3 11,所以 则cos0=co(m,n)川=mm=3, 1 所以平面C1MN与平面BMC1夹角的余弦值 数学答案（三）第5页（共6页） B 真题密卷 学科素养月度测评 3 (10分) 又点M到1的距离d=1-1+t_t √2 2 (3)解：C1P=(0,1,-1), (14分) 设点P到平面CMN的距离为d, 则4=1C庐·ml2w5 所以Sa=号AB1·d=号×4vT7X m 3， =2.a+2)=6, 所以点P到平面C,MN的距离为2 √2 3.(15分) 解得t=士1，所以l的方程为x-y士1=0. b =2, (17分) a |a2=2, 18.(1)解：由题可得 解得 19.解：(1)因为购买单程上山票、单程下山票和双程 2222 b2=4, a26-1, 票的人数之比为3：5：2，所以这10人中，购买 所以C份方是为号艺1 单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为： (4分) (2)(1)证明：设1：y=kx十t(t≠0)，A(x1,y1), 10x=.1ox0-5.10x-2, (2分) B(x2y2),AB的中点坐标为(xo,y), 故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票 [y=kx十t, 的板率P答-品 (5分) 联立x2y2,得(2-b2)x2-2ktx-t2-4=0, =1, 24 (2)(i)从m十2人中任选2人，有C+2种选 由题意得2-k2≠0，△=(-2kt)2-4(2-k2)· 法，其中购票类型相同的有C+C号种选法，则 (-t2-4)=8(t2-2k2+4)>0, (6分) 询问的某组被标为B的概率D=1-C+G-1 2kt C+2 x1+x2=2-k2' m2-m+2_4m m2+3m+2m2+3m+2 (8分) t2+4 x1x2= 2-k2’ (ⅱ)由题意，5组中恰有3组被标为B的概率 所以xo=1十2=、 2t g(p)=Cgp3(1-p)2=10p3(1-2p+p2)= 2 2—ky0=bx十1=2=k) 10(p3-2p4+p5), (8分) 所以g'(p)=10(3p2-8p3+5p4)=10p2(p 因为AB的中点在直线y=2x上，所以y。= 1)(5p-3),0<<1, (10分) 2即2产-2 所以当∈0，）时，g)>0,函数gp)单 因为t≠0，所以k=1,故1的斜率为定值1. 调递增， (10分) 当p∈（停，1）时，g'o)<0,函数g(p)单调 (i)解：由(1)得1的方程为x-y十t=0, 递减， 且|AB|=√1+k√(x1十x2)2-4x1x2 /2kt12 所以当D=3时，gp)取得最大值，且最大值为 =4√t2+2, (）=c×()》×-) (14分) (13分) 4m 5m>2且m∈N', -+=0 由p=m2+3m+2 得m=3. 当m=3时，5组中恰有3组被标为B的概率最 大，且g)的威大位为 (17分) B 数学答案（三）第6页（共6页）