2024-2025学年度高三下学期学科素养月度测评数学（二）B版-【真题密卷】2024-2025学年高三下学期数学学科素养月度测评

2024一2025学年度下学期学科素养月度测评 卷题 数学（二） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A={xx>a},B={x|x2一a.x-3>0},若1∈A且1∈CRB,则a的取值范 围是 ( A.[-2,1) B.(-2,1) C.[-2,+∞) D.(-0∞，1) 2.已知tam。-》 一2，则 cos a ( cos a+sin a A-g 1 B.一2 c日 0.2 3.已知样本数据：x1,x2,a,3一b,x3的方差为0，则a2+b2的最小值为 3 C.2 9 A.2 B.3 D.4￥ 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sm,公差为d,a1=2,若数列{√Sm一am}也为等差数 列，则d= ( ) A.2 B.3 C.4 D.8 5.某物质在特殊环境下的温度变化满足：T=151n一0(T为时间，单位为min,w。为 特殊环境的温度，1为该物质在特殊环境下的初始温度，w为该物质在特殊环境下冷 却后的温度)，假设该物质的初始温度为100℃，特殊环境的温度为20℃，则经过15min, 该物质的温度最接近（参考数据：e≈2.72） ( ) A.54℃ B.52℃ C.50℃ D.48℃ y 6已知双曲线C:81的左右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的直线与C交于A B两点，若F1A=2F1B,则AB ) A.4√7 B.27 C.43 D.4 数学试题（二）第1页（共4页） 真题密卷·学手 ga=g=g■ 7.函数f)=3sin(2x-买)-sin3x在区间[0,3m上的零点个数为 班级 A.4 B.5 C.6 D.8 8.已知圆锥SO的轴截面是正三角形，AB是底面直径，C是底面圆O上一点，P是母线 姓名 SC上一点，AB=6,AC=SP=2,若三棱锥P-ABC的所有顶点都在同一球面上，则该 球的表面积为 ( 得分 107π 109π A.3 B.3 C.s D.Ies 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若随机变量X~N(μ，o2),从X的取值中随机抽取K(K∈N*,K≥2)个数据，记这K 个数据的平均值为Y,则随机变量Y一N(,),某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期 望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布，在该店随机挑选16颗圆润华美的珍珠，将它 们串成一条项链.设这16颗珍珠的直径平均值为Y,则 注：P(u-o≤n≤十o)=0.6827,P(u-2o≤n≤u十2o)=0.9545,P(u-3a≤n≤μ十3o)= 0.9973 A.随机变量Y的标准差为16 B随机变量Y~N15,4》 cP≤Y≤1)-.9s9 D.P(Y<14)=0.0455 10.已知点M在直线l:y一4=k(x一3)上，点N在圆O:x2十y2=9上，则下列说法正确 的是 ( ) A.点N到l的距离最大为8 B.若1被圆0所截得的弦长最大，则6=号 3 C,若1为圆0的切线，则的取值为0或24 D.若点M也在圆O上，则点O到l距离的最大值为3 11.已知定义在R上的函数f(x)满足：对Hx,y∈R,f(x+y)f(x一y)=f2(x)一 f(y),且f(1)=2,函数f(3x+1)为偶函数，则 ( A.f(0)=0 B.f(4-x)+f(x)=0 2025 C.f(x)为偶函数 D.∑f(k)=2 斗素养月度测评 数学试题（二）第2页（共4页） B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.定义：平面向量a,b表示夹角为120°的两个单位向量，O为平面上的一个定点，A为平 面上任意一点，当OA=xa+yb时，定义(x,y)为点A的斜坐标.设点B的斜坐标为 (3,一7)，则OB= 13.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:4x一5y+4=0与C的一个交点为M,直线 MF与C的另一个交点为N,则MN|= l4.已知公比为q的等比数列{an}满足a8十3=q,且am+1>am,则a1o的取值范围 为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知△ABC的面积为20√3，O为边BC的中点，OA=5,OA·OB=20. (1)求BC的长； (2)求sinC的值. 16.(15分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别为AC,A1C1的中点，AB=BC =2,AA1=3,∠ABC=120°. A D (1)证明：AC⊥平面BDE. (2)求直线CE与平面ABE所成角的正弦值. B 数学试题（二）第3页（共4页） 真题密卷 17.(15分)已知函数f(x)=ex-ax+1(a∈R). (1)求f(x)的单调区间； (2)若Hx≥0，f(x)≥x2十2，求实数a的取值范围. 8.I7分)已知椭圆C:十1(Q>6>0)的左、右焦点分别为P,F2,且EF, 4区，点M2巨，2)在C上，直线1：y=x+ (1)若直线1与C有两个公共点，求实数t的取值范围； (2)当t=2时，记直线1与x轴，y轴分别交于A,B两点，P,Q为C上两动点，求四边 形PAQB面积的最大值. 19.(17分)一般地，任何一个复数a+bi(a,b∈R)都可以写成r(cos0+isin0),其中r是 复数的模，0是以x轴非负半轴为始边，射线OZ为终边的角，称为复数的辅角.我 们规定在0≤0<2π范围内的辅角称为辅角主值，通常记作arg之，如argl=0, argi=2,arg1+3i）=5发现x1·z:=71(cos01+isin01)·rcos0:+isin9,)= r1r2[cos(01十02)+isin(01十02)门，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积 的辅角等于各复数辅角的和.考虑如下操作：从写有实数0,1，√3的三张卡片中随机抽 取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n为正整数，重复n次 上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为之m· (1)写出一次操作后所有可能的复数； (2)当n=2时，记之m的取值为X,求X的分布列； (3)求z为实数的概率Qm. 学科素养月度测评 数学试题（二）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 2024一2025学年度下学期学科素养月度测评 数学（二） 命题要素细目表 关键能力：I.逻辑思维能力Ⅱ.运算求解能力Ⅲ.空间想象能力V,数学建模能力V.创新能力 核心素养：①数学抽象②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 关键能力 核心素养 预估难度 题号 题型 分值 考查内容 ⅡⅢW V ① ②③④⑤⑥ 等级系数 单选题 集合的补集 多 0.80 2 单选题 简单的三角恒等变换 0.85 3 单选题 6 方差和基本不等式的结合 L L 易 0.80 单选题 5 等差数列相关概念 L 易 0.75 单选题 对数函数模型 中 0.65 b 单选题 双曲线的定义和对称性 中 0.65 单选题 5 三角函数的零点问题 中 0.60 8 单选题 5 圆锥的外接球 难 0.40 9 多选题 6 正态分布的应用 0.80 10 多选题 6 直线和圆的综合 0.65 11 多选题 6 抽象函数的性质 难 0.35 填空题 5 平面向量的数量积 0.80 三 填空题 抛物线与直线的位置关系 0.55 14 填空题 数列与函数结合 0.30 15 解答题 13 正余弦定理的综合应用 易 0.70 16 解答题 15 空间向量的应用 中 0.65 四 17 解答题 15 恒成立求参问题 中 0.45 18 解答题 17 椭圆的综合应用 中 0.40 19 解答题 17 复数的四则运算和古典概型概 率计算 难 0.30 数学答案（二）第1页（共6页） 真题密卷 学科素养月度测评 精典评析 TIANSHUJIAOYU ★已知圆锥SO的轴截面是正三角形，AB是底面直径，C是底面圆O上一点，P是母线SC上一点， AB=6,AC=SP=2,若三棱锥P-ABC的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 （) A.102x 3 g学 c. g 【试题解读】 第8题是以旋转体与多面体为载体，解决与外接球有关的问题.考查了学生的空间想象能力，数学思 维能力，体现了把空间问题转化为平面问题的能力. ★已知公比为q的等比数列{an}满足a8十3=q,且am+1>am,则a1o的取值范围为 【试题解读】 第14题考查了等比数列通项公式的基本量计算，并通过构造函数以及利用导数分析其单调性，找出 函数的取值范围，这种方法可以有效地处理涉及不等式与单调性的相关问题 ★(17分)一般地，任何一个复数a十bi(a,b∈R)都可以写成r(cos0+isin0),其中r是复数的模，0 是以x轴非负半轴为始边，射线OZ为终边的角，称为复数的辅角.我们规定在0≤0<2π范围内的辅角称 为辅角主值，通常记作ag,如argl=0,argi=受，ag1十v)=子发现z·=r,(ecos,十isin0,)· r2(cos02十isin02)=r1r2[cos(01十02)+isin(01十02)]，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的 积，积的辅角等于各复数辅角的和.考虑如下操作：从写有实数0,1，√3的三张卡片中随机抽取两张，将卡 片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它 们的乘积记为之m (1)写出一次操作后所有可能的复数； (2)当n=2时，记之m的取值为X,求X的分布列； (3)求z为实数的概率Qm 【试题解读】 第19题主要考查了复数与离散型随机变量以及数列、复数的三角表示的综合应用，难度较大，通过全 概率公式结合数列的递推关系式从而得到Q+1与Qn之间的关系，体现了数学推理、数学运算的数学核心 素养 心 数学答案（二）第2页（共6页） ·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 一、选择题 1.A【解析】因为1∈A且1∈RB, 所以八a, 1-a-3≤0， 解得-2≤a<1. tan a-tan4 2.D【解析】anl。-） 1+tan atan 4 7.C【解析】由题意可知方程3sin(2x-） tan a-1 1+tan a =一2，解得tana=一3， 1 sin3x=0在区间[0,3π]上的根的个数，即为曲 cos a 1 则 13 线y=3sin2x-好)的图象与y=sn3z的图象 csa+sina1+tana1-】2 在[0,3π]上的交点个数，作出两函数的图象，如 3 图所示， 3.C【解析】因为样本数据：x1,x2,a,3一b,x3的 方差为0，由方差的意义可知，x1=x2=a=3一b y=3sin(2x-】 =x,则a十6b=3,可得a2+b2≥a十6)2=9 sin 3x 2 =2 、3 当且仅当a=b=2时等号成立，所以a2+62的 最小值为 由图象可知共有6个交点，所以f(x)=3sin(2x 4.c【解折1S,-a,=号+（亿-多dn+d-2, ）-S如3z在区间D,3别上的零点个数为6 8.C【解析】如图，由题得△ABC是直角三角形， 若S.-a,也为等差数列，别号+2-dn O是△ABC的外心，OS⊥平面ABC,所以三棱 锥P-ABC外接球的球心D在SO上，过P作 +山-2为完金平方或，即2-) -2d(d- PE⊥SD于点E,则PE∥OC,所 PE_SP= OCSC 2)=0,解得d=4. SE 1 5.C【解析】将w1=100℃，w0=20℃，T=15min 0器-号所以PE-号00-1,0E-号0s- 代入温度变化公式，得15=151n 00则 2√3.设外接球的半径为R,OD=h,则PD=CD =R.在Rt△OCD中，由勾股定理得OC十OD 80 80 =CD2,即32十h2=R2.在Rt△DEP中，由勾股 ,2=e,即w=20十e≈20十2.72 定理得PE2+DE2=PD2,即1+(23-h)2= 49.41℃. R=9十，舒得负-所以尽2，所以 6,A【解析】如图，因为C:年-81，所以a=2,b 三棱锥P-ABC外接球的表面积为S=4πR2 =2√2，c=√4+8=25，由C的对称性可知 =112π |F1B|=|AF2|,所以FA|=2|F1B= 3 2|AF2|,又由C的定义可得|F1A|-|AF2|= 2AF2|-|AF2|=|AF2|=2a=4,所以|F1A|= PE 8,又|FF2=2c=43,所以|F1A|2=|AF2|2 十|FF2|2,即AF2⊥F1F2,所以|OA|= D √OF22+AF2下=√/12+16=2√7，故|AB= 4 B 2OA|=4W7. 数学答案（二）第3页（共6页） B 真题密卷 学科素养月度测评 二、选择题 1OB|=√9a2+49b2-42a·b=√/9+49+21 9.BC【解析】由题可知μ=15，o=2,K=16,则随 =√79. 机变量y一N15,),可得随机支量y的标准差 5 13.4 【解析】由题得F(1,0), 为2，故A错误，B正确：因为P(份≤Y<16) 1 14x-5y+4=0, x=- 联立 解得 2P(gsY≤)+号Pa4Y≤16)= y2=4x, y=1 (y=4, 0.9545+号×0.973=0.9759，故C正境； 即点M4,4或（，1小当点M的坐标为4， 4-0 P0Y<1071-0515)=00275,放D错民 时，直线MF:y-4-(x-1),即4x一3y一4 10.ABD【解析】对于A,由题意可知，l过定点 0,联立 二8g-4=0得N(层，-小，此时 P(3,4),圆O的圆心为原点O,半径为3，设圆心 y2=4x, O到l的距离为d,当OP⊥l时，d=|OP|=5; IMN=MF1+INF=4+1++1=25,是 当OP不与l垂直时，总有d<|OP|,综上，d≤ |OP|=5,所以点N到1的最大距离为5+3= 然点（仔，）与N(行，-1关于x轴对称，则当点 8,故A正确；对于B,若1被圆O所截得的弦长 最大，则1过圆心O,可得一3k=一4，所以k= M的坐标为（行）时，点N(4,-4)与点(4,4)关 专故B正确：对子C若1为圆0的切线，则 于z轴时，此时MN-空所以MN-至 4-3k=3,解得k=24,另一条切线为x=3,此} 14.(-2,0)U(0,十∞)【解析】由am+1>am,得 √2+1 an>0时，q>1;an<0时，0<q<1.由ag十3= 时斜率不存在，故C错误；对于D,若M也在圆O 上，则1与圆O相切或相交，当1与圆O相切时， g,得2+3=q,所以a0=g3一3g2= ,点O到L的距离取最大值3，故D正确. q2(q-3),令g(q）=q3-3g2,则g(q)=3q2 11.ABD【解析】对于A,令x=y=0,则f(0)= 6q=3q(q-2),当a10>0时，q>3,故g'(g)> f(0)一f(0)=0,故f(0)=0,故A正确；对于 0,g(q)单调递增，所以g(q)>g(3)=0,当q→ C,令x=0,y∈R,则f(y)f(-y)=f(0)- +∞时，g(g)→+∞，故a10=g(q)∈ f(y)=-f(y),于是f(y)[f(-y)+f(y)] (0,十∞)；当a10<0时，g<3,又0<q<1,故 =0,因为对Hy∈R,f(y)=0不成立，所以f 0<q<1,g'(q)<0,g(q)单调递减，又g(0)= (一y)+f(y)-0,因此f(x)是奇函数，故C错 0,g(1)=-2,故g(q)∈(-2,0)，故a10= 误；对于B,由f(3x十1)为偶函数，得 g(q)∈(-2,0).综上，a10的取值范围是 f(-3x+1)=f(3x+1),即f(-x+1)= (-2,0)U(0,+∞). f(x+1),于是f(x+1)=-f(x-1),即f(x+ 四、解答题 2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),因 15.解：(1)已知O为边BC的中点， 此4是f(x)的一个周期，f(4-x)=f(-x)= 一f(x),故B正确；对于D,由f(x十2)= 所以56m=2Sue=2·Oi·0i1· -f(x),得f(1)+f(3)=0,f(2)+f(4)=0, sin∠AOB=20W3, 因光/)=506[/D+f(2+/3) 即|OA|·|OB|sin∠AOB=20V3,(3分) f(4)]+f(1)=2,故D正确. 又OA·OB=|OA|·|OB|·cos∠AOB=20, 三、填空题 12.√79【解析】平面向量a,b表示夹角为120°的 则tan∠AOB=3,即∠AOB= 39 (5分) 两个单位向量，则|a|=|b=1,a·b=a|× 又0A=5,则80B=20, 1b1cos120=- 2,依题意，0启=3a-7b,则 即OB=8,所以BC=2OB=16. (7分) 8 数学答案（二）第4页（共6页） ·数学· 参考答案及解析 (2)由(1)得∠A0B=了，0C=0B=8,则 则sina=|cos(C2,m)l= |C2·m39 1c元1|m13’ ∠A0C=2 3 所以直线CE与平面ABE所成角的正弦值为 在△AOC中，由余弦定理得AC2=OA2+OC2 √39 13 (15分) -2OA·OC·cos∠AOC, 17.解：(1)f(x)的定义域为R,且f'(x)=e-a, 即AC2=25+64+2×5X8×2=129, (1分) 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，f(x)在R上单 则AC=√129， (10分) 调递增； (2分) OAACI 又由正弦定理可知 sin C sin,∠AOc' 当a>0时，由f'(x)<0,得x<lna,f(x)单调 递减；由f'(x)>0,得x>lna,f(x)单调递增， 则sinC=|OA|·sin∠AOC 6十③ 2 5w√/43 综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间是R; LACI √129 86 当a>0时，f(x)的单调递减区间是（一∞， (6分) (13分) lna),递增区间是(lna,十∞). 16.(1)证明：因为AA1⊥平面ABC,ACC平面 (2)由不等式f(x)≥x2+2,可得e-ax+1≥ ABC,所以AA1⊥AC, (2分) x2+2,即ax≤e-x2-1, (7分)》 又因为D,E分别为AC,A1C1的中点，所以 当x=0时，不等式0≤0恒成立，即a∈R; (8分) DE∥AA1,则AC⊥DE, 因为AB=BC,D为AC的中点，所以AC⊥BD, 依题意，当x>0时，a≤g-z —一上一百成之、 (4分) 且BD∩DE=D,BD,DEC平面BDE, 令g(x)=e ,x>0,则g'(x)= 所以AC⊥平面BDE, (6分) (2)解：由(1)知AC⊥DE,AC⊥BD,DE∥ e(x-1D-1+1-e-1-x-D 22 AA1,且AA1⊥平面ABC,则DE⊥平面ABC, (11分) 因为BDC平面ABC,则DE⊥BD,所以DA, 令h(x)=e一1-x,x>0,则h'(x)=e-1 DB,DE两两相互垂直. (8分) >0, 故以D为坐标原点，DA,DB,DE分别为x,y, 所以h(x)在(0，十∞)上单调递增，h(x)>h(0) 之轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xy之， =0, 则当0<x<1时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当 x>1时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(x)mn=g(1)=e-2, (13分) 则只需a≤e-2, 所以实数a的取值范围是（一∞，e-2].(15分） 18.解：(1)设C的半焦距为c,则c=2√2，故a2-b2 =8, 则E(0,0,3),A(3,0,0),B(0,1,0),C(-√3,0,0)， 可得CE=(5,0,3),AB=(-3,1,0),AE= 面a(22,2）在C上，故是+=1. 84 (-√3,0,3). (9分) 故a2=12b2=4,故C的方程为2十车二1. 设平面ABE的法向量为m=(x,y,之)， 则m·A店=一x+y=0, (5分) 联立 y=x+t, m·AE=-√3x+3z=0, x2+3y2=12, ,。可得4x2+6tz+3t2-12 令x=3,则y=3,之=1，所以m=(5,3,1). =0, (12分) 故△=36t2-16(3t2-12)>0,即16-t2>0,即 设直线CE与平面ABE所成角为a, -4<t<4. (8分) 数学答案（二）第5页（共6页） B 真题密卷 学科素养月度测评 (2)当t=2时，直线1：y=x十2，故A(-2,0), 1 P(X=3)= 2 B(0,2), 云，（安23）—云，<×—4)—2， (8分) 所以X的分布列为 1 √3 2 3 23 4 9 9 9 9 (9分) 由题设可得P,Q位于直线AB的两侧，不妨设 (3)若z为实数，则arg(z)=0或π. Q在直线AB上方，P在直线AB下方， 而1，i,W3,W3i,1+√3i,W5+i的辅角主值分别 当过Q的直线与直线AB平行且与椭圆相切 πππ (10分) 时，Q到直线AB的距离最大，即△QAB的面 是0,70,2日日， 积最大， 设在n次操作中，得到i,√3i的次数为a,得到 当过P的直线与直线AB平行且与椭圆相切 1十√3i的次数为bn,得到√3+i的次数为cn, 时，P到直线AB的距离最大，即△PAB的面 积最大， 于是ange)-a,·十6.…暂+c·行- 3 设平行于l的直线为y=x十n,联立 =(a. 2b十C-ko元， 22+3y=12,得42+6mx+32-12=0, y=x+n, 3 从而am 相切时△=0，即n=土4， (12分) 26,+cn-k。=to∈{0,1)，即2b.十c 3 当n=4时，切点坐标为(-3,1)，在直线AB =3(t0十k0-am), 上方， 因此所有的概率Qm即为2bn十cm是3的倍数 此时(-3,1)到直线AB的距离为一3-1+2 的概率. (13分) √2 下面研究Qm+1与Q.之间的关系： (1)2bn十cm是3的倍数，且第n+1次操作得 =√2； 当n=一4时，切点坐标为(3，一1)，在直线AB 到的复数是1iww5(每率为号)： 下方， (ii)2bn十cm被3除余1，且第n十1次操作得到 此时(3，-1)到直线AB的距离为3+1+2一 √2 的复数是1十3（概率为日）： 3√2， (16分) (川)2bn十cm被3除余2，且第n十1次操作得到 又|AB=2√2，故四边形PAQB面积的最大值 的复数是3+i(概率为6 为号×22×E+3@)-8 (17分) 因此由全概率公式可以得到Q1-号Q.十 19.解：(1)一次操作后所有可能的复数有：1，i,√3， 1 W3i,1+3i,W3+i. (3分) (2)一次操作后复数的模所有可能的取值为1， 1,√5，√5,2,2， 变形得0号号Q.》其中Q.-号 由之1·2=之1·|之2|，故X的取值为1， (17分) √3,2,3,2√3,4， (5分) 故Q.=份》+ PX=1)-gPx-3)-号PX-2-号 心 数学答案（二）第6页（共6页）