6.3 向心加速度（重难点）-2025-2026学年高一物理同步课堂（人教版必修第二册）

本讲义聚焦高中物理“向心加速度”核心知识点，系统梳理匀速圆周运动加速度的定义、公式（an=v²/r=ω²r=ωv等）及方向（指向圆心且垂直线速度），分析其与半径的关系（v一定时反比、ω一定时正比），并延伸至变速圆周运动的切向与法向加速度分量，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 该资料亮点在于结合记里鼓车、修正带、风扇扇叶等生活实例设计例题，强化物理观念中的运动和相互作用观念，通过齿轮传动等模型建构培养科学思维。课中辅助教师引导学生推理公式应用，课后学生可通过实例巩固知识，有效查漏补缺。

6.3向心加速度 精讲考点 考点一 匀速圆周运动的加速度 1 考点二 比较向心加速度的大小 6 考点一 匀速圆周运动的加速度 考点精讲 一、向心加速度的定义 1．定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向_圆心__，这个加速度叫作向心加速度。 2．公式：根据牛顿第二定律F＝ma和向心力表达式Fn＝m，可得向心加速度的大小an＝或an＝_ω2r__。 3．方向：沿半径方向指向_圆心__，时刻与线速度方向_垂直__。 二、对向心加速度及其方向的理解 1．向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变． 2．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小． 3．圆周运动的性质：由于向心加速度方向时刻发生变化，所以圆周运动都是变加速曲线运动． 4．变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度改变速度方向，切向加速度改变速度大小． 三、向心加速度的大小 1．向心加速度公式 (1)an＝＝ω2r. (2)由于v＝ωr，所以向心加速度也可以写成an＝ωv. (3)由于ω＝＝2πf，所以向心加速度也可以写成an＝r＝4π2f2r. 2．向心加速度与半径的关系(如图所示) 3．向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心． 【例1】（2025·四川泸州·一模）东汉时期出现的记里鼓车”通过齿轮传动的方式来记录车辆行驶的距离。某人根据其原理制作了如图所示的装置，车轮与齿轮，齿轮与齿轮同轴转动，齿轮与齿轮齿轮与齿轮相互咬合。已知齿轮的齿数之比为，咬合处齿的宽度均相等，齿轮边缘的半径为。当车轮在时间内匀速转动圈时，下列说法中正确的是（　　） A．齿轮与的角速度大小之比为 B．齿轮与边缘处线速度大小之比为 C．齿轮边缘处的线速度大小为 D．齿轮边缘处的向心加速度大小为 【答案】AC 【详解】A．由题意可知，c、d的线速度大小相等，c、d的齿数之比为1:6，根据可知，c、d的角速度之比为6:1，故A正确； B．齿轮a与b的边缘处线速度大小相等，故B错误； C．由题意可知，齿轮的角速度为 a、b的齿数之比为2:4，且线速度大小相等，根据可知，a、b的角速度之比为2:1，即齿轮的角速度为 b、c同轴传动，角速度相等，即齿轮的角速度为 c、d的齿数之比为1:6，且线速度大小相等，根据可知，c、d的角速度之比为6:1，即齿轮的角速度为 则齿轮d边缘处的线速度大小为，故C正确； D．齿轮d边缘处的向心加速度大小为，故D错误。 故选AC。 【例2】（25-26高一上·北京海淀·期末）如图，修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，其原理可简化为图中所示的模型。A、B是转动的大小齿轮边缘的两点。若大轮半径是小轮的两倍，则使用修正带时A、B两点（　　）    A．线速度之比是2:1 B．角速度之比是1:1 C．向心加速度之比是1:2 D．转速之比是2:1 【答案】C 【详解】A．修正带两个齿轮是齿轮传动，线速度相等，所以线速度之比为，故A错误。 B．设小轮半径为，则大轮半径为，根据可得，故B错误。 C．根据向心加速度可得，故C正确。 D．根据角速度可得，转速，故D错误。 故选C。 【例3】（2026·四川广安·一模）如图，风扇断电后，转速逐渐减小的过程中，扇叶上半径不同的、两点在同一时刻的运动情况描述正确的是（　　） A．线速度相同 B．角速度相同 C．向心加速度相同 D．受到合外力方向始终指向圆心 【答案】B 【详解】AB．A、B两点同轴转动，角速度相同，由于转动半径不同，根据可知，A、B两点的线速度不相同，故A错误，B正确； C．根据可知，由于A、B两点的角速度相同，而转动半径不同，所以向心加速度不同，故C错误； D．风扇慢慢停下，不是匀速圆周运动，所以受到的合外力方向不是始终指向圆心，故D错误。 故选B。 【例4】（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）如图所示，A、B、C分别是自行车的大齿轮、小齿轮和后轮的边缘上的三个点，到各自转动轴的距离分别为3r、r和10r．支起自行车后轮，在转动踏板的过程中，链条不打滑，则A、B、C三点（    ） A．角速度大小关系是 B．线速度大小关系是 C．转速大小关系是 D．加速度大小关系是 【答案】C 【详解】AB两点同缘转动，则线速度相等，即，根据，因可知；根据，可得；根据可知； 对BC两点同轴转动，则角速度相等，即；根据，因，可知；根据，可得；根据可知； A．角速度大小关系是    ，A错误； B．线速度大小关系是，B错误； C．转速大小关系是，C正确； D．加速度大小关系是，D错误。 故选C。 【例5】（2026高二上·广东·学业考试）“指尖篮球”是篮球爱好者喜欢的一种运动。如图所示，将篮球放在指尖上，轻轻一拨，篮球就在指尖上稳定旋转。关于图示中、两点的运动，下列说法正确的有（　　） A．点的角速度比点的大 B．点的线速度比点的大 C．点的周期比点的小 D．点的向心加速度比点的小 【答案】BD 【详解】A．篮球就在指尖上稳定旋转，P、Q两点相同时间转过相同的角度，角速度相同，A错误； B．由，，可知，B正确； C．由，可知P、Q周期相同，C错误； D．由，，可知，D正确。 故选BD。 考点二 比较向心加速度的大小 考点精讲 1．向心加速度的大小与半径的关系 (1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比。随频率的增大或周期的减小而增大。 (2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比。 (3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比。 (4)an与r的关系图像：如图所示，由an－r图像可以看出，an与r成正比还是反比，要看是ω恒定还是v恒定。 2．向心加速度方向的推导 如图甲所示，一物体沿着圆周运动，在A、B两点的速度分别为vA、vB，可以分四步确定物体运动的加速度方向。 第一步，根据曲线运动的速度方向沿着切线方向，画出物体经过A、B两点时的速度方向，分别用vA、vB表示，如图甲所示。 第二步，平移vA至B点，如图乙所示。 第三步，根据矢量运算法则，作出物体由A点到B点的速度变化量Δv，其方向由vA的箭头位置指向vB的箭头位置，如图丙所示。由于物体做匀速圆周运动，vA、vB的大小相等，所以Δv与vA、vB构成等腰三角形。 第四步，假设由A点到B点的时间极短，在匀速圆周运动的速度大小一定的情况下，A点到B点的距离将非常小，作出此时的Δv，如图丁所示。 仔细观察图丁，可以发现，此时，Δv与vA、vB都几乎垂直，因此Δv的方向几乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度a与Δv的方向是一致的，所以从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。 除去课本上的向心加速度推导外还有另一种向心加速度的大小推导： 如图所示： a＝＝，vA、vB、Δv组成的三角形与△ABO相似，则有＝Δv＝ an＝＝· 当Δt→0时，＝＝Δl＝＝＝van＝v＝ 【例6】（25-26高三上·河南郑州·期中）如图所示，做匀速圆周运动的质点在时间t内由A点运动到B点，弧长为L，所对的圆心角为。根据矢量运算的法则，这段时间内的平均加速度大小与向心加速度大小的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】质点的角速度大小 轨迹圆的半径 故质点的向心加速度大小 质点做圆周运动的速度大小 根据几何关系，质点从A点到B点的速度变化量大小 质点从A点到B点的平均加速度大小 这段时间内的平均加速度大小与向心加速度大小的比值为 故选A。 【例7】（25-26高三上·安徽淮南·期中）在竖直平面内，质点绕定点沿逆时针方向做匀速圆周运动，质点沿竖直方向做直线运动，、在运动过程中始终处于同一高度。时，、与点位于同一直线上，如图所示。此后在运动一周的过程中，运动的加速度随时间变化的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为M、N在运动过程中始终处于同一高度，所以N的速度与M在竖直方向的分速度大小相等，设M做匀速圆周运动的角速度为，半径为r，其竖直方向分速度 即 加速度等于速度对时间得导数，所以 如果取向下为正，则 加速度时间图像是正弦函数图像。 故选C。 【例8】（2026高二·山东·学业考试）如图所示，一个球绕中心轴线以角速度做匀速圆周运动，则（　　） A．、两点线速度相同 B．、两点角速度相同 C．若，则、两点的速度之比 D．若，则、两点的向心加速度之比 【答案】B 【详解】AB．、两点同轴转动，、两点角速度相同，根据，由于、两点做圆周运动半径不相等，所以、两点线速度大小不相等，故A错误，B正确； C．若，根据可得，、两点的速度之比，故C错误； D．若，根据可得，、两点的向心加速度之比，故D错误。 故选B。 【例9】（25-26高三上·宁夏银川·月考）如图为某修正带照片及其结构示意图，已知出带轮有45齿，收带轮有15齿，a、b分别是出带轮、收带轮边缘上的两点，下列选项中错误的是（　　） A．使用时，出带轮与收带轮转动方向相同 B．a、b两点线速度大小之比为3：1 C．a、b两点角速度大小之比为1：3 D．a、b两点向心加速度大小之比为1：9 【答案】BD 【详解】A．由于收带轮与出带轮之间通过“传动轮”中间啮合，因此出带轮与收带轮的转动方向相同，故 A 正确，不符合题意； B．齿轮传动，边缘上的两点线速度相等，则a、b两点线速度大小之比为1：1，故B错误，符合题意 C．齿轮啮合满足角速度反比于齿数，故出带轮与收带轮的角速度比为 1∶3，故 C正确，不符合题意； D．根据加速度公式可知，a、b两点向心加速度大小之比为1：3，故D错误，符合题意； 本题选择错误选项，故选BD。 【例10】（24-25高一下·海南海口·期末）如图，A、B两艘快艇在海面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比4：3，速度方向改变的角度之比是2：3，则它们（　　） A．所受的合力均保持不变 B．线速度大小之比为 C．角速度大小之比为 D．向心加速度大小之比为 【答案】D 【详解】B．根据线速度的定义公式 可知，线速度大小之比为4:3，故B错误； C．根据角速度的定义公式 可知，角速度大小之比为2:3，故C错误； D．根据向心加速度公式 可知，向心加速度大小之比为8:9，故D正确 A．因为两艘快艇均做曲线运动，因此所受的合力的方向不断改变，所以合力不断变化，故A错误。 故选D。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3向心加速度 精讲考点 考点一 匀速圆周运动的加速度 1 考点二 比较向心加速度的大小 6 考点一 匀速圆周运动的加速度 考点精讲 一、向心加速度的定义 1．定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向_圆心__，这个加速度叫作向心加速度。 2．公式：根据牛顿第二定律F＝ma和向心力表达式Fn＝m，可得向心加速度的大小an＝或an＝_ω2r__。 3．方向：沿半径方向指向_圆心__，时刻与线速度方向_垂直__。 二、对向心加速度及其方向的理解 1．向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变． 2．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小． 3．圆周运动的性质：由于向心加速度方向时刻发生变化，所以圆周运动都是变加速曲线运动． 4．变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度改变速度方向，切向加速度改变速度大小． 三、向心加速度的大小 1．向心加速度公式 (1)an＝＝ω2r. (2)由于v＝ωr，所以向心加速度也可以写成an＝ωv. (3)由于ω＝＝2πf，所以向心加速度也可以写成an＝r＝4π2f2r. 2．向心加速度与半径的关系(如图所示) 3．向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心． 【例1】（2025·四川泸州·一模）东汉时期出现的记里鼓车”通过齿轮传动的方式来记录车辆行驶的距离。某人根据其原理制作了如图所示的装置，车轮与齿轮，齿轮与齿轮同轴转动，齿轮与齿轮齿轮与齿轮相互咬合。已知齿轮的齿数之比为，咬合处齿的宽度均相等，齿轮边缘的半径为。当车轮在时间内匀速转动圈时，下列说法中正确的是（　　） A．齿轮与的角速度大小之比为 B．齿轮与边缘处线速度大小之比为 C．齿轮边缘处的线速度大小为 D．齿轮边缘处的向心加速度大小为 【例2】（25-26高一上·北京海淀·期末）如图，修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，其原理可简化为图中所示的模型。A、B是转动的大小齿轮边缘的两点。若大轮半径是小轮的两倍，则使用修正带时A、B两点（　　）    A．线速度之比是2:1 B．角速度之比是1:1 C．向心加速度之比是1:2 D．转速之比是2:1 【例3】（2026·四川广安·一模）如图，风扇断电后，转速逐渐减小的过程中，扇叶上半径不同的、两点在同一时刻的运动情况描述正确的是（　　） A．线速度相同 B．角速度相同 C．向心加速度相同 D．受到合外力方向始终指向圆心 【例4】（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）如图所示，A、B、C分别是自行车的大齿轮、小齿轮和后轮的边缘上的三个点，到各自转动轴的距离分别为3r、r和10r．支起自行车后轮，在转动踏板的过程中，链条不打滑，则A、B、C三点（    ） A．角速度大小关系是 B．线速度大小关系是 C．转速大小关系是 D．加速度大小关系是 【例5】（2026高二上·广东·学业考试）“指尖篮球”是篮球爱好者喜欢的一种运动。如图所示，将篮球放在指尖上，轻轻一拨，篮球就在指尖上稳定旋转。关于图示中、两点的运动，下列说法正确的有（　　） A．点的角速度比点的大 B．点的线速度比点的大 C．点的周期比点的小 D．点的向心加速度比点的小 考点二 比较向心加速度的大小 考点精讲 1．向心加速度的大小与半径的关系 (1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比。随频率的增大或周期的减小而增大。 (2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比。 (3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比。 (4)an与r的关系图像：如图所示，由an－r图像可以看出，an与r成正比还是反比，要看是ω恒定还是v恒定。 2．向心加速度方向的推导 如图甲所示，一物体沿着圆周运动，在A、B两点的速度分别为vA、vB，可以分四步确定物体运动的加速度方向。 第一步，根据曲线运动的速度方向沿着切线方向，画出物体经过A、B两点时的速度方向，分别用vA、vB表示，如图甲所示。 第二步，平移vA至B点，如图乙所示。 第三步，根据矢量运算法则，作出物体由A点到B点的速度变化量Δv，其方向由vA的箭头位置指向vB的箭头位置，如图丙所示。由于物体做匀速圆周运动，vA、vB的大小相等，所以Δv与vA、vB构成等腰三角形。 第四步，假设由A点到B点的时间极短，在匀速圆周运动的速度大小一定的情况下，A点到B点的距离将非常小，作出此时的Δv，如图丁所示。 仔细观察图丁，可以发现，此时，Δv与vA、vB都几乎垂直，因此Δv的方向几乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度a与Δv的方向是一致的，所以从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。 除去课本上的向心加速度推导外还有另一种向心加速度的大小推导： 如图所示： a＝＝，vA、vB、Δv组成的三角形与△ABO相似，则有＝Δv＝ an＝＝· 当Δt→0时，＝＝Δl＝＝＝van＝v＝ 【例6】（25-26高三上·河南郑州·期中）如图所示，做匀速圆周运动的质点在时间t内由A点运动到B点，弧长为L，所对的圆心角为。根据矢量运算的法则，这段时间内的平均加速度大小与向心加速度大小的比值为（　　） A． B． C． D． 【例7】（25-26高三上·安徽淮南·期中）在竖直平面内，质点绕定点沿逆时针方向做匀速圆周运动，质点沿竖直方向做直线运动，、在运动过程中始终处于同一高度。时，、与点位于同一直线上，如图所示。此后在运动一周的过程中，运动的加速度随时间变化的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【例8】（2026高二·山东·学业考试）如图所示，一个球绕中心轴线以角速度做匀速圆周运动，则（　　） A．、两点线速度相同 B．、两点角速度相同 C．若，则、两点的速度之比 D．若，则、两点的向心加速度之比 【例9】（25-26高三上·宁夏银川·月考）如图为某修正带照片及其结构示意图，已知出带轮有45齿，收带轮有15齿，a、b分别是出带轮、收带轮边缘上的两点，下列选项中错误的是（　　） A．使用时，出带轮与收带轮转动方向相同 B．a、b两点线速度大小之比为3：1 C．a、b两点角速度大小之比为1：3 D．a、b两点向心加速度大小之比为1：9 【例10】（24-25高一下·海南海口·期末）如图，A、B两艘快艇在海面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比4：3，速度方向改变的角度之比是2：3，则它们（　　） A．所受的合力均保持不变 B．线速度大小之比为 C．角速度大小之比为 D．向心加速度大小之比为 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $