6.4 生活中的圆周运动 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

人教版高中物理必修第二册 第六章 第四节 生活中的圆周运动 ——模型专题讲义 一、基础知识梳理 1. 圆周运动的解题基本思路 分析生活中的圆周运动问题，关键在于把握 “供需”关系——即“所需向心力”与“实际提供的力”是否匹配： · “需” ：物体做圆周运动需要的向心力 · “供” ：实际受力在指向圆心方向上的合力 解题步骤： 1. 定圆心、定半径——明确物体运动的圆心位置和轨道半径。 1. 受力分析——画出物体受力示意图，标出重力、支持力、摩擦力等全部力。 1. 找向心力——分析所有力在半径方向（指向圆心）的合力，这就是提供向心力的力。 1. 列方程求解——根据牛顿第二定律，令半径方向的合力等于 或 ，解出未知量。 2. 知识结构总览 本节涉及的主要模型分为两大类： 水平面内的圆周运动： - 汽车转弯（水平路面） - 火车转弯（外轨高于内轨） - 圆锥摆 竖直平面内的圆周运动： - 拱形桥（凸形桥） - 凹形桥（凹形路面） - 绳子模型（无支撑） - 轻杆模型（有支撑） - 过山车（轨道模型，无支撑） 二、模型分类详解 1. 汽车转弯 受力分析： 汽车在水平路面上转弯，受重力 （竖直向下）、支持力 （竖直向上）和静摩擦力 （水平指向圆心）作用。重力和支持力在竖直方向平衡，不参与向心力的提供。 向心力来源： 车轮与路面间的静摩擦力 提供向心力。 核心公式： （1）一般情况下的向心力公式： （2）最大安全速度（由最大静摩擦力提供向心力时）： 设路面动摩擦因数为 ，最大静摩擦力 ，则有： 要点总结： · 若 ，静摩擦力不足以提供所需向心力，汽车将发生侧滑（离心运动）。 · 增大安全转弯速度的方法：①增大转弯半径 ；②增大路面粗糙程度（增大 ）；③将路面设计成外高内低，利用重力与支持力的合力提供部分向心力。 · 汽车在水平面内转弯时，向心力与速度的平方成正比，与转弯半径成反比。 补充模型——路面倾斜的汽车转弯： 当弯道路面设计成外侧高于内侧（倾角为 ）时，若汽车以某一特定速度行驶，重力与支持力的合力恰好提供向心力，此时汽车不受侧向摩擦力： 2. 火车转弯 受力分析： 火车转弯时，铁路弯道处通常将外轨设计得略高于内轨，使轨道平面与水平面形成倾角 。火车受重力 和支持力 作用，两力的合力沿水平方向指向圆心。 向心力来源： 重力 与轨道支持力 的合力提供向心力。 核心公式： （1）规定速度 （火车恰好不受轨道侧压力的临界速度）： 设轨道倾角为 ，弯道半径为 ，则： （2）内外轨高度差 与规定速度的关系： 当 很小时，（ 为两轨间距）。设 为内外轨高度差， 为轨距，则有： 不同速度下的情况： · ：重力和支持力的合力恰好提供向心力，内外轨均不受轮缘的侧向挤压。 · ：所需向心力大于合力，火车有向外侧运动的趋势，外轨对轮缘产生向内的侧压力来补充向心力。 · ：所需向心力小于合力，火车有向内侧运动的趋势，内轨对轮缘产生向外的侧压力。 要点总结： · 若内外轨道一样高，火车转弯时所需的向心力只能由外轨对轮缘的弹力提供，这会导致铁轨和车轮严重磨损，甚至发生脱轨事故。 · 规定速度与火车质量无关，只与弯道半径 和轨道倾角 有关。 · 实际铁路设计中，根据弯道半径和规定行驶速度来确定合适的内外轨高度差 。 3. 拱形桥 受力分析： 汽车过拱形桥最高点时，受重力 （竖直向下）和支持力 （竖直向上）作用。圆心在桥下方，向心加速度向下。 向心力来源： 重力与支持力的合力提供向心力，方向向下： 核心公式： （1）最高点处的一般公式： （2）临界速度（汽车恰好脱离桥面）： 当 时，汽车对桥面压力为零，此时： 要点总结： · 支持力 ，汽车处于失重状态。 · 速度 越大， 越小，汽车对桥面的压力越小。 · 当 时，，汽车恰好脱离桥面。 · 当 时，汽车将做离心运动，飞离桥面做平抛运动。 · 汽车通过拱形桥时要限速， 是安全通过的最大速度。 4. 凹形桥 受力分析： 汽车过凹形桥最低点时，受重力 （竖直向下）和支持力 （竖直向上）作用。圆心在桥上方，向心加速度向上。 向心力来源： 支持力与重力的合力提供向心力，方向向上： 核心公式： 要点总结： · 支持力 ，汽车处于超重状态。 · 速度 越大， 越大，汽车对桥面的压力越大。 · 速度过大会导致轮胎承受过大压力，可能发生爆胎危险，因此过凹形桥时也需要限速。 5. 绳子模型 模型特征： 轻绳一端固定，另一端系小球在竖直平面内做圆周运动。绳子只能提供拉力，不能提供支持力（无支撑模型）。 最低点动力学方程： 小球受重力 向下和绳子拉力 向上，合力指向圆心（向上）： 最高点动力学方程： 小球受重力 向下和绳子拉力 向下（若有），合力指向圆心（向下）： 临界条件： 小球恰好能通过最高点（做完整圆周运动）的条件是：在最高点，绳子拉力恰好为零，仅由重力提供向心力。 不同速度下的情况： 速度范围 最高点受力情况 不能到达最高点，中途脱离圆周轨道 绳子拉力为零（临界状态），恰好通过最高点 绳子产生向下的拉力，能通过最高点 要点总结： · 绳子模型中，小球必须具有足够的速度才能完成完整的圆周运动。 · 最高点的最小速度 ，与小球质量无关。 · 速度越大，最高点时绳子的拉力越大。 · 典型实例：绳系小球、水流星。 6. 轻杆模型 模型特征： 轻杆一端固定，另一端连接小球在竖直平面内做圆周运动。杆既能提供拉力，也能提供支持力（有支撑模型）。 最低点动力学方程： 与绳模型相同： （ 为杆对小球的作用力，此时向上为拉力） 最高点动力学方程： 杆对小球的作用力 方向可向上（支持力）也可向下（拉力）： 临界条件： 由于杆能提供向上的支持力，小球恰好能到达最高点的临界速度条件为： 此时 （杆提供向上的支持力）。 不同速度下的情况： 速度范围 最高点杆的作用力 杆提供向上的支持力， 杆提供向上的支持力， 杆的作用力为零，只受重力 杆提供向下的拉力， 要点总结： · 轻杆模型的临界最小速度为零，因为杆可以“推”着小球。 · 当 时，杆对小球的作用力为零，这是杆的受力方向发生改变的转折点。 · 典型实例：轻杆连接小球、小球在光滑圆管内运动。 7. 圆锥摆 模型特征： 细线一端固定，另一端系小球，小球在水平面内做匀速圆周运动，摆线与竖直方向成固定夹角 ，轨迹为一个水平圆。 受力分析： 小球只受两个力：重力 （竖直向下）和绳子拉力 （沿摆线方向）。两个力的合力水平指向圆心，提供向心力。 向心力来源： 重力与拉力的合力提供向心力： 核心公式： （1）向心力方程： 其中 （ 为摆长， 为摆线与竖直方向的夹角） （2）绳子拉力： （3）角速度与夹角的关系： 由 得： （4）周期公式： 其中 为圆锥摆的高度（悬点到圆平面的垂直距离）。 要点总结： · 角速度 越大，夹角 越大，摆球做圆周运动的半径也越大。 · 高度相同的圆锥摆，周期 、角速度 均相等，与小球质量 和摆长 无关。 · 圆锥摆是匀速圆周运动，向心力大小恒定。 8. 过山车 模型特征： 过山车沿竖直平面内的环形轨道运动，属于无支撑模型（轨道只能提供向下的压力，不能提供向上的拉力）。其规律与绳子模型类似。 受力分析： 过山车在轨道最高点受重力 向下和轨道对车的弹力 向下，两力合力指向圆心（向下）： 向心力来源： 重力与轨道弹力的合力提供向心力。 核心公式： （1）最高点动力学方程： （2）临界速度（过山车恰好通过最高点）： 当 时，仅由重力提供向心力： 不同速度下的情况： 速度范围 过山车在最高点的状态 无法到达最高点，中途脱离轨道 轨道弹力为零，恰好通过最高点 轨道对车产生向下的压力，顺利通过 要点总结： · 过山车模型与轻绳模型本质相同，都是无支撑模型，临界速度 。 · 当过山车在最高点速度大于临界速度时，轨道对车产生向下的压力；速度越大，压力越大。 · 过山车在最低点时，轨道对车的支持力大于重力（超重），方程为 。 三、模型对比与规律总结 1. 各模型向心力来源与公式速查 模型 向心力来源 核心公式 临界条件 汽车转弯 静摩擦力 ， 火车转弯 重力与支持力的合力 ， 时侧压力为零 拱形桥 凹形桥 无限速，但速度过大会爆胎 绳子模型 拉力与重力的合力 最低点：；最高点： 最高点： 轻杆模型 杆的弹力与重力的合力 最高点： 圆锥摆 重力与拉力的合力 ， 无 过山车 轨道弹力与重力的合力 最高点： 最高点： 2. 竖直平面内圆周运动两类模型对比 对比项 绳模型（无支撑） 杆模型（有支撑） 力的性质 只能产生拉力，不能产生支持力 既能产生拉力，也能产生支持力 最高点最小速度 最高点临界条件 ，仅重力提供向心力 （ 时向上支持力） 最高点受力情况 ① ：不能到最高点；② ：拉力为零；③ ：拉力向下 ① ：支持力向上 ；② ：支持力向上；③ ：弹力为零；④ ：拉力向下 典型实例 绳系小球、水流星、过山车 轻杆连接小球、光滑圆管内小球 3. 拱形桥与凹形桥对比 对比项 拱形桥 凹形桥 圆心位置 桥下方 桥上方 向心加速度方向 向下 向上 动力学方程 支持力表达式 支持力与重力的关系 超失重状态 失重 超重 速度对压力的影响 越大，压力越小 越大，压力越大 临界情况 时 （飞离桥面） 无限速，但需防爆胎 四、重点例题分析 例题 1（火车转弯） 某铁路弯道半径为 ，轨距 ，规定通过速度为 。求内外轨的高度差 。（） 解答： 规定速度公式： 变形得高度差公式： 代入数据 ，解得： 例题 2（拱形桥） 质量为 的汽车通过半径 的拱形桥最高点，速度为 。求：（1）汽车对桥面的压力；（2）汽车能安全通过的最大速度。（） 解答： （1）最高点动力学方程： 解得支持力： 代入数据解得： 根据牛顿第三定律，汽车对桥面的压力为 。 （2）临界条件为 ，此时： 解得最大速度公式： 代入数据解得： 例题 3（绳子模型） 质量为 的小球用长 的轻绳系住，在竖直平面内做圆周运动。求：（1）小球恰好能通过最高点的最小速度；（2）若小球在最低点的速度为 ，此时绳子的拉力。（） 解答： （1）最高点临界条件为绳拉力 ，仅由重力提供向心力： 解得最小速度公式： 代入数据解得： （2）最低点动力学方程： 解得绳子拉力公式： 代入数据解得： 例题 4（圆锥摆） 长度为 的细绳，一端固定，另一端系质量为 的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳与竖直方向夹角 。求：（1）小球的角速度；（2）周期。（） 解答： （1）圆锥摆向心力方程： 解得角速度公式： 代入数据解得： （2）周期公式： 代入数据解得： 五、学习建议 1. 先判断运动平面：分清是水平面内的匀速圆周运动，还是竖直平面内的变速圆周运动。 1. 明确圆心和半径：这是列方程的基础，一定要先找准。 1. 受力分析要全面：画出受力图，标出所有力，再找指向圆心的合力。 1. 牢记临界条件：绳子模型 ，杆模型 ，拱形桥 。 1. 注意超重与失重：凹形桥超重（），拱形桥失重（）。 1. 掌握“供需”思想：当“供”小于“需”时，物体做离心运动；当“供”大于“需”时，物体做向心运动。 2 学科网（北京）股份有限公司 $