精品解析：湖北孝感市孝昌县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 方程的根为（ ） A. B. C. D. 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，新春佳节即将到来，赵大妈亲手剪制了如下四幅作品烘托节日气氛，其图形属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中是不可能事件的是（　　） A. 水滴石穿 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 守株待兔 4. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（　　） A. B. C. D. 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，，E为的中点，连接．以E为圆心，长为半径画弧，分别与交于点F，G．则图中阴影部分面积为　 　 A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，于．绕点逆时针旋转得到，点C的对应点落在上，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为（ ）　　 A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 把方程化为的形式，则的值是___________． 12. 如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则___________ 13. 如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，若围成圆锥的底面半径为1，则该圆形铁皮的直径是________． 14. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，若四边形的面积为6，则____． 15. 如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，已知它的对称轴为直线，小丽同学得出了以下结论：①；②；③；④．其中正确的序号为：___________． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16. 计算： 17. 关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 如图，在中，以为直径的交于D，点E在上，，连接交于F，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空． （1）平移线段AB，使点A平移到点C，则点B的对应点点D坐标为______；若点为AB上一点，则平移后，点P的对应点的坐标为______（用含a、b的代数式表示）． （2）将线段AB绕点A逆时针旋转，请在图1的网格图中画出旋转后所得的线段AE，并写出点E的坐标为______，连接点BE，EC，CB，得到，请说明的形状，并说明理由； （3）请在图2的y轴上找出一点F（保留画图痕迹），使的周长最小，并直接写出点F的坐标为______． 20. 某项活动的比赛成绩分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，为了解该项活动的比赛成绩，抽取了部分同学的成绩进行统计，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为___________度，并将条形统计图补充完整． （2）若参加比赛的共有1200名学生，则成绩良好的学生有___________人． （3）此次活动中甲，乙，丙，丁四名同学获得满分，现从这四名同学中随机抽取两名同学参加该项目活动的展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲和乙的概率． 21. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出时的取值范围； 22. 已知，在中，，，点D是边上的一点（不与点B，C重合），连接 （1）如图1，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，则与的关系是______； （2）如图2，点D，F都在线段上，且． ①求证： ②若，，求的周长． 23. 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 24. 如图1，已知，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，顶点为． （1）填空：____，点的坐标为______； （2）若该图象上一点不与点重合的横坐标为，满足，求的值； （3）平移的图象，使其顶点始终在直线上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段有公共点时，求抛物线顶点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，方程左边为完全平方式，直接开平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：B． 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，新春佳节即将到来，赵大妈亲手剪制了如下四幅作品烘托节日气氛，其图形属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 下列事件中是不可能事件的是（　　） A. 水滴石穿 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 守株待兔 【答案】C 【解析】 【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断． 【详解】解：A、水滴石穿，是必然事件； B、瓮中捉鳖，是必然事件； C、水中捞月，是不可能事件； D、守株待兔，是随机事件； 故选C． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数顶点式的顶点坐标为，直接匹配参数即可得出答案． 【详解】解：∵是顶点形式，其中，， ∴顶点坐标为． 故选：D． 5. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，延长交于点，如图，设圆的半径为，根据垂径定理得到，根据平行线的性质得到，再利用切线的性质得到，接着证明四边形为矩形得到，所以，然后根据勾股定理得到，于是解方程求出即可． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，如图，设圆的半径为， 四边形为矩形， ，， ， ，， 与相切， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，， 解得， 即圆的半径为3.75， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，切线的性质，矩形的性质及勾股定理，把垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径等问题． 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数的函数值大小，根据解析式可得反比例函数经过的象限和每个象限内的增减性，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 7. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用列表法或画树状图法求概率，根据题意、正确画出树状图成为解题的关键． 正确画出树状图确定所有可能的结果数和能让灯泡发光的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为：． 故选：B． 8. 如图，矩形中，，E为的中点，连接．以E为圆心，长为半径画弧，分别与交于点F，G．则图中阴影部分面积为　 　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了扇形面积求法以及等腰直角三角形的性质，矩形的性质，应用扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．用三角形的面积减去2个扇形的面积即可． 【详解】解：矩形中，， 为的中点， 阴影部分的面积为． 故选：D． 9. 如图，在中，，，于．绕点逆时针旋转得到，点C的对应点落在上，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，如图，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，然后计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 即垂直平分， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在上，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 10. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为（ ）　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键．连接，，由抛物线的解析式可求出，，的坐标，进而求出，，的长，在直角三角形中，由可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：连接，， 抛物线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 的长为5， 设，则， 解得：或5， ， ，， 为半圆的直径， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， 故选：D． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 把方程化为的形式，则的值是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查配方法，求代数式的值．通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，进而求出m，n的值，即可解答． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， ∴，， ∴． 故答案为：3． 12. 如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则___________ 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由垂径定理得到，由得到，故． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，若围成圆锥的底面半径为1，则该圆形铁皮的直径是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．连接，根据扇形圆心角为，得到三点共线，为的直径，首先求得扇形的弧长，再求出圆锥的母线长，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接， ， 三点共线，为的直径， 围成圆锥的底面半径为1， ， ， ， ， ， 该圆形铁皮的直径是， 故答案为：． 14. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，若四边形的面积为6，则____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，熟练掌握图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即是解决此题的关键． 根据反比例函数系数的几何意义得到，，然后利用四边形的面积进行计算． 【详解】解：轴，轴，两个函数图象都在第一象限， ， 四边形的面积． 解得：． 故答案为：9． 15. 如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，已知它的对称轴为直线，小丽同学得出了以下结论：①；②；③；④．其中正确的序号为：___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象与轴交点问题，根据二次函数的性质结合函数图象，逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即，故①正确； 对称轴为， 整理得，故②正确，③错误； 由图像可知，当时，，故④正确． ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握实数混合运算法则，是解题的关键． 根据负整数指数幂运算法则，立方根定义，有理数的乘法和乘方运算法则进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 17. 关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1），且 （2）不存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根；当一元二次方程有两个相等的实数根；当一元二次方程无实数根；一元二次方程根与系数的关系：．熟记一元二次方程根的情况与判别式关系、根与系数的关系，得出方程求解是解决问题的关键． （1）由题意可得，且，解不等式即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得到，代入解方程，再由（1）中，且判断即可得到答案． 【小问1详解】 解：关于的方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得，且； 【小问2详解】 解：不存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0， 理由如下： 设关于的方程的两个不相等的实数根为，， 则， 方程的两个实数根的倒数之和等于0， ， 则， 解得， 由（1）知，，且， 不存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0． 18. 如图，在中，以为直径的交于D，点E在上，，连接交于F，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：（1）连接， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点A在上， ∴是的切线． （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，由题中条件可得出，再根据得出即可解决问题． （2）先利用勾股定理求出，再由等角对等边得出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴． 又∵， ∴， 即， ∴． 在中， ． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了根据等角对等边证明边相等，用勾股定理解三角形，圆周角定理，证明某直线是圆的切线，切线的性质定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空． （1）平移线段AB，使点A平移到点C，则点B的对应点点D坐标为______；若点为AB上一点，则平移后，点P的对应点的坐标为______（用含a、b的代数式表示）． （2）将线段AB绕点A逆时针旋转，请在图1的网格图中画出旋转后所得的线段AE，并写出点E的坐标为______，连接点BE，EC，CB，得到，请说明的形状，并说明理由； （3）请在图2的y轴上找出一点F（保留画图痕迹），使的周长最小，并直接写出点F的坐标为______． 【答案】（1）， （2） ，形状为直角三角形， 理由：将线段AB绕点A逆时针旋转，得线段AE，由旋转可知：， ，， ，， ，， ， 故答案为：， 如图所示，，，， ，，， ， 形状为直角三角形； （3）如图， 【解析】 【分析】（1）利用点的坐标特征得到平移规律，然后利用此平移规律写出点D坐标，及点P的对应点的坐标即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点B所对应的点E，观察图形即可求解； （3）作点B关于y轴对称点，连接交y轴于点F，此时周长最小，并求出直线表达式即可求出点F坐标． 【小问1详解】 解：如图所示，点A先向右平移5个单位，再向下平移5个单位到点C， 所以点先向右平移5个单位，再向下平移5个单位到点， 点为AB上一点， 则平移后，点P的对应点的坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作点关于y轴对称点，连接交y轴于点F， ， ， 根据两点之间线段最短，得此时值最小， 所以此时周长最小； 设直线表达式为，将两点坐标代入， 则：， 解得：， 直线表达式为， 当时，， ． 【点睛】本题考查了平移、旋转、直角三角形判定及最短路径问题，解题的关键是掌握相关的性质． 20. 某项活动的比赛成绩分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，为了解该项活动的比赛成绩，抽取了部分同学的成绩进行统计，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为___________度，并将条形统计图补充完整． （2）若参加比赛的共有1200名学生，则成绩良好的学生有___________人． （3）此次活动中甲，乙，丙，丁四名同学获得满分，现从这四名同学中随机抽取两名同学参加该项目活动的展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲和乙的概率． 【答案】（1）72； 补全条形统计图如图所示 （2）480 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中“一般”等级的人数除以扇形统计图中“一般”的百分比可得抽取的学生人数，用乘以“优秀”等级的百分比，即可得出扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角度数；求出“良好”等级的学生人数，补全条形统计图即可； （2）根据用样本估计总体，用1200乘以扇形统计图中“良好”的百分比，即可得出答案； （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及选中的两名同学恰好是甲和乙的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为（人）， “良好”等级的学生人数为， ∴扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为， 故答案为：72； 【小问2详解】 解：“良好”等级的学生人数为（人）． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲和乙的结果有：甲乙，乙甲，共2种． ∴选中的两名同学恰好是甲和乙的概率为． 21. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出时的取值范围； 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积公式及三角形面积的和差，利用函数图象与不等式的关系解不等式． （1）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式； （2）根据三角形的面积公式，利用三角形面积的和差：，可得答案； （3）根据反比例函数图象在一次函数图象下方的部分是不等式的解集，可得答案． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数得，， ∴， ∴； 将代入反比例函数得，， ∴，则， 将，代入一次函数得，， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 当时，， ∴， ∴； 【小问3详解】 使得成立时，反比例函数图象在一次函数图象下方， 则x的取值范围为：或． 22. 已知，在中，，，点D是边上的一点（不与点B，C重合），连接 （1）如图1，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，则与的关系是______； （2）如图2，点D，F都在线段上，且． ①求证： ②若，，求的周长． 【答案】（1）， （2） ①证明：将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，如图2所示： 则，， ∵ ， ∴， 又∵， ， ， 由（1）可知：，， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，，利用证明即可得到； （2）①将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，证明可得，利用勾股定理从而可证明结论； ②过A作于H，然后根据勾股定理分别求出三边即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ，即， ； 【小问2详解】 ①略 ②解：过A作于H， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴的周长为． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及等腰直角三角形的相关知识，解题的关键是灵活应用全等三角形的判定与性质． 23. 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】（1）A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）至少需要购进B款纪念品200个 （3），W的最大值为4500 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【小问1详解】 解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； 【小问2详解】 解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； 【小问3详解】 解：由题意得， ， ∵， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 24. 如图1，已知，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，顶点为． （1）填空：____，点的坐标为______； （2）若该图象上一点不与点重合的横坐标为，满足，求的值； （3）平移的图象，使其顶点始终在直线上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段有公共点时，求抛物线顶点的横坐标的取值范围． 【答案】（1），； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数平移，面积问题； （1）将点代入解析式，待定系数法求得解析式得出，化为顶点式进而求得点的坐标； （2）根据得出，进而分类讨论，列出方程，解方程即可求解． （3）先求得点的坐标，进而得出直线CD的解析式为，可设平移中的抛物线的解析式为，分当时，时，时，三种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象交轴于， ∴ 解得： ∴ ∴ 【小问2详解】 由（1）知抛物线的解析式为 ∵， ∴， 当点M在x轴下方时，， 由解得，或0(舍去)； 当点M在x轴上方时，， 由解得，， ∴m的值为2或； 【小问3详解】 解：∵，当时， ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴可设平移中的抛物线的解析式为， i)当时，抛物线即， 此时抛物线与线段有两个交点； ⅱ)当时，当抛物线经过点时，有， 解得： 舍去，； 即 当时，抛物线与线段有一个交点； ⅲ)当且抛物线与直线有公共点时， 则方程，即有实数根， ，解得， ． 综上可得， 时，平移后的抛物线与线段有公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $