专题25一次函数题型突破讲义（3）(知识点梳理+常考题型精析+强化题型+寒假预习)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题25一次函数题型突破讲义（3） 基础 过关题 1.由直线与坐标轴交点求方程解 2.由方程解判断直线交点问题 3.图象法解一元一次方程 4.两线交点与方程组的解 5.图象法解二元一次方程组 能力 提升题 6.由两直线交点求不等式解集 7.由直线与坐标轴交点求不等式解集 拓展 拔高题 8.求直线围成图形面积 一、一次函数与一元一次方程 核心关系：求一元一次方程 kx+b=0 的解，等价于找一次函数 y=kx+b 图象与x 轴交点的横坐标。 举例：解方程 2x−4=0 → 看 y=2x−4 与 x 轴交于(2,0) → 方程解为x=2。 一句话口诀：函数值为 0，x 轴交点横坐标就是方程解。 二、一次函数与一元一次不等式 核心关系： kx+b>0 → 函数图象在 x 轴上方时，对应的x 的取值范围； kx+b<0 → 函数图象在 x 轴下方时，对应的x 的取值范围。 通用步骤：画函数直线→看直线在 x 轴上 / 下的部分→找对应 x 的范围。 一句话口诀：不等号看上下，x 轴上下定范围。 三、一次函数与二元一次方程组 核心关系：二元一次方程组的解，等价于两个一次函数图象的交点坐标。 三种情况： 有唯一解：两直线相交（一个交点）； 无解：两直线平行（无交点）； 有无数解：两直线重合（无数交点）。 一句话口诀：方程组的解，就是两条直线的交点。 四、解题关键提醒 数形结合：看图象比单纯算更快捷、直观； 看清符号：不等式的不等号方向直接决定看 x 轴上方还是下方； 交点坐标：横、纵坐标对应方程组的x、y值，别写反。 【题型1.由直线与坐标轴交点求方程解】 1．若直线经过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线经过点，则关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． 3．如图，在同一平面直角坐标坐标系中，一次函数与的图像分别为，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．关于x的方程的解是一个负数 4．如图，直线分别与 轴、轴交于点、，是线段上一点，连接，将沿着翻折得，若点落在第四象限，且，则点的坐标为 ． 解答题 5．一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知两点的坐标分别为，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是___________； (2)若点的坐标为，则关于的不等式的解集是___________； (3)关于的不等式组的解集是___________． 【题型2.由方程解判断直线交点问题】 6．若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（　　　） A．（2，0） B．（0，3） C．（4，0） D．（2，5） 7．在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为，点在轴上，且使线段的值最小，则点的坐标是 ． 8．已知直线和直线，其中k为不小于2的自然数．当，3，4，…，2025时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 9．如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点一次函数的图象与直线相交于点，与轴相交于点，若点是直线上一动点，且满足的面积是面积的倍，则点的坐标为 ． 【题型3.图象法解一元一次方程】 10．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（　　） A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20 11．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是 ． 12．如图，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是 （    ） A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 解答题 13．函数的图象如图所示，利用函数图象解答下列问题： (1)解方程； (2)解不等式； (3)解不等式组． 【题型4.两线交点与方程组的解.】 14．已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 15．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ． 16．在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向上平移m个单位长度，平移后的图象与一次函数的图象的交点在第二象限，则m的值可以为（    ） A．1 B．4 C．5 D．6 17．如图直线与x轴、y轴分别交于点C，B，与直线交于点A．如果在x轴上存在一点P，使为等腰三角形，则点P的坐标是 ． 【题型5.图象法解二元一次方程组】 18．一次函数与的图象相交于如图点，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 19．用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 20．如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，现有以下结论： ①当x＝﹣2时，两函数值相等； ②直线y＝﹣x+m与坐标轴围成的是等腰直角三角形； ③直线y＝nx+4n（n≠0）与x轴的交点为定点； ④x＞﹣2是关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集； 其中正确的是 （填写序号）． 解答题 21．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组，的解； （2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积．    【题型6.由两直线交点求不等式解集】 22．如图，直线交轴于点，直线y=mx+n交x轴于点，这两条直线相交于点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 23．如图，一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 24．如图，若一次函数与的图象交于点，根据图象回答，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 25．一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图像交于点，下列结论正确的序号是 ． ①关于的方程的解为； ②一次函数（）图像上任意不同两点和满足：； ③若（），则； ④若，且，则当时，． 解答题 26．如下图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与直线：交于点，直线分别与轴、轴交于点，，连接． (1)根据图象直接写出关于的不等式的解集． (2)求的面积． 【题型7.由直线与坐标轴交点求不等式解集】 27．如图，直线（，是常数，且）与轴交于点，与轴交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 28．函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 29．在平面直角坐标系内，一次函数（为常数）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 30．已知关于的方程恰有两个实数解，则的取值范围为 ． 解答题 31．在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如图），两直线交于点，分别与轴交于，两点．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是 ；关于的不等式的解集是 ． (2)若点的坐标为，求的面积． 【题型8.求直线围成图形面积】 32．直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线与直线关于y轴对称，直线与x轴交于点C，的面积为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 33．如图，已知直线与y轴交于点，与直线交于点，则它们与轴所围成的的面积是 ． 34．一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．， B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为 C．关于的方程组的解为 D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3 35．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，过点的直线平分的面积且与轴交于点，则直线对应的函数解析式为 ． 解答题 36．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点轴的负半轴上有一点． (1)求点的坐标． (2)过点作轴的垂线（垂线位于点的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数的图象于点，连接． ①线段的长为___________（用含的代数式表示）． ②若，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25一次函数题型突破讲义（3） 基础 过关题 1.由直线与坐标轴交点求方程解 2.由方程解判断直线交点问题 3.图象法解一元一次方程 4.两线交点与方程组的解 5.图象法解二元一次方程组 能力 提升题 6.由两直线交点求不等式解集 7.由直线与坐标轴交点求不等式解集 拓展 拔高题 8.求直线围成图形面积 一、一次函数与一元一次方程 核心关系：求一元一次方程 kx+b=0 的解，等价于找一次函数 y=kx+b 图象与x 轴交点的横坐标。 举例：解方程 2x−4=0 → 看 y=2x−4 与 x 轴交于(2,0) → 方程解为x=2。 一句话口诀：函数值为 0，x 轴交点横坐标就是方程解。 二、一次函数与一元一次不等式 核心关系： kx+b>0 → 函数图象在 x 轴上方时，对应的x 的取值范围； kx+b<0 → 函数图象在 x 轴下方时，对应的x 的取值范围。 通用步骤：画函数直线→看直线在 x 轴上 / 下的部分→找对应 x 的范围。 一句话口诀：不等号看上下，x 轴上下定范围。 三、一次函数与二元一次方程组 核心关系：二元一次方程组的解，等价于两个一次函数图象的交点坐标。 三种情况： 有唯一解：两直线相交（一个交点）； 无解：两直线平行（无交点）； 有无数解：两直线重合（无数交点）。 一句话口诀：方程组的解，就是两条直线的交点。 四、解题关键提醒 数形结合：看图象比单纯算更快捷、直观； 看清符号：不等式的不等号方向直接决定看 x 轴上方还是下方； 交点坐标：横、纵坐标对应方程组的x、y值，别写反。 【题型1.由直线与坐标轴交点求方程解】 1．若直线经过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数与轴交点的横坐标即为其所对应的一元一次方程的解是解题的关键．利用一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：由直线经过点，即与轴交点坐标为， 则直线对应的一元一次方程的解是， 故选：C． 2．如图，直线经过点，则关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程和不等式的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 根据一元一次方程的解即为直线与轴交点的横坐标求解；关于x的不等式的解集转化为直线在直线下方时的取值范围． 【详解】解：∵直线经过点， ∴方程的解是， ∵直线经过点， ∴不等式的解集是， 故答案为：，； 3．如图，在同一平面直角坐标坐标系中，一次函数与的图像分别为，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．关于x的方程的解是一个负数 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程的关系．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数图象过一、二、三象限， ∴，， ∵一次函数的图象过一、三、四象限， ∴，， ∴，，故A、B选项错误； 交点左边，则C选项错误； 由于两直线的交点位于第三象限， ∴关于x的方程的解是一个负数，故D选项正确； 故选：D． 4．如图，直线分别与 轴、轴交于点、，是线段上一点，连接，将沿着翻折得，若点落在第四象限，且，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与轴对称性质的综合应用，能够综合题中条件作出辅助线并巧妙的借助勾股定理建立方程是本题的关键． 先灵活运用直线方程求出与坐标轴的交点坐标，明确各点坐标．再利用翻折的性质得到，，从而建立起等量关系．最后巧妙借助勾股定理，求出长度表达式，利用，最终通过建立方程求解得出点的坐标． 【详解】解：过点作轴，垂足为点． 令，则， 解得：． ． 令，则． ． ，． 由勾股定理可得： ． 沿着翻折得． ． 设 ． 在中，，即． 在中，，即． ， 解得：． ． ． 设，则． 由勾股定理得：． 即． ， 解得：． ． 故答案为：． 解答题 5．一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知两点的坐标分别为，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是___________； (2)若点的坐标为，则关于的不等式的解集是___________； (3)关于的不等式组的解集是___________． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）利用直线与x轴的交点即为时，对应的x的值为方程的解，据此即可解答； （2）利用两直线与x轴的交点坐标，结合图象即可即可解答； （3）利用图象求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴的交点为， ∴关于x的方程的解是， 故答案为：； （2）解：∵一次函数和一次函数的交点， ∴根据图象可得关于x的不等式解集为； 故答案为：； （3）解：∵一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知A、两点的坐标分别为，， ∴关于的不等式组的解集是． 【题型2.由方程解判断直线交点问题】 6．若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（　　　） A．（2，0） B．（0，3） C．（4，0） D．（2，5） 【答案】A 【分析】根据方程可知当x＝2，y＝0，从而可判断直线y＝−2x＋b经过点（2，0）． 【详解】解：由方程的解可知：当x＝2时，−2x＋b＝0， 即x＝2，y＝0， ∴直线y＝−2x＋b的图象一定经过点（2，0）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 7．在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为，点在轴上，且使线段的值最小，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】作点B关于x轴的对称点，根据题意得到当点，P，A三点共线时，的值最小，即的长度，然后求出直线的表达式，即可求出点P的坐标． 【详解】如图所示，作点B关于x轴的对称点，    ∴， ∴， ∴当点，P，A三点共线时，的值最小，即的长度， ∵点B的坐标为， ∴点的坐标为， ∴设直线的表达式为， ∴将，代入得，， ∴解得， ∴， ∴当时，即，解得， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会待定系数法求函数解析式是解题的关键． 8．已知直线和直线，其中k为不小于2的自然数．当，3，4，…，2025时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中图形的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征求出两直线与x轴交点间的距离是解题的关键． 先求出两个函数与轴的交点坐标，从而求出的值，分别代入，求出、值，将其相加即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：， ∴直线与轴的交点坐标为， 同理，可得出：直线与轴的交点坐标为， ∴两直线与轴交点间的距离． 联立直线成方程组， 得：， 解得：， ∴直线的交点坐标为． ∵， ∴当时，， 当时，； 当时，； 当时，； ， 故选D． 9．如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点一次函数的图象与直线相交于点，与轴相交于点，若点是直线上一动点，且满足的面积是面积的倍，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质、两条直线相交或平行问题、三角形的面积计算，熟练掌握以上知识点是关键． 先求出点的坐标，再求出，根据待定系数法求出直线的解析式，设点，利用三角形面积关系建立方程求出值，继而得到点的坐标． 【详解】解：在中，当时，， ， ∵ ∴， 由图象得：， ， 由条件可知：， 解得， 直线的解析式为， 设点， ， 解得或， 或． 故答案为：或． 【题型3.图象法解一元一次方程】 10．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（　　） A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20 【答案】A 【分析】根据两直线的交点的横坐标为两直线解析式所组成的方程的解，可以得到关于x方程x+5＝ax+b的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴x+5＝ax+b的解是x＝20， 故选A． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 11．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象与一元一次方程的综合，根据题图示，两条直线的交点即为方程的解，由此即可求解，掌握一次函数的交点与一元一次方程的解的知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，两直线的交点坐标为， ∴关于的方程的解为：， 故答案为：． 12．如图，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是 （    ） A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组，图象法确定方程的解，不等式的解集和二元一次方程组的解，逐一进行判断即可． 【详解】解：由题意和图象可知： 关于x的方程的解是；故A正确； 关于x的不等式的解集是；故B错误； 当时，函数的值比函数的值大；故C正确； 关于x，y的方程组的解是，故D正确； 故选B． 解答题 13．函数的图象如图所示，利用函数图象解答下列问题： (1)解方程； (2)解不等式； (3)解不等式组． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由函数图象即可得解； （2）待定系数法求出函数为，当时，，解得，再结合函数图象即可得解； （3）结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：由图象可得，方程的解为； （2）解：将，代入函数可得：， 解得：， ∴函数为， 当时，， 解得， 由函数图象可得，不等式的解集为； （3）解：由函数图象可得：不等式组的解集为． 【题型4.两线交点与方程组的解.】 14．已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解是解题的关键． 两条直线的交点坐标即为对应方程组的解． 【详解】解：∵ 方程组 的解为 ， 方程组的解表示两条直线的交点坐标， ∴ 直线 与 的交点坐标为 ． 故选：A． 15．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线与交点的横坐标为1， ∴纵坐标为， ∴两直线交点坐标， ∴x，y的方程组的解为， 故答案为：． 16．在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向上平移m个单位长度，平移后的图象与一次函数的图象的交点在第二象限，则m的值可以为（    ） A．1 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：将正比例函数向上平移个单位后，得到的新函数为， 联立该函数与得： ，解得交点坐标为， 因交点在第二象限，需满足： 解得：， 的值可以是5． 故选：C． 17．如图直线与x轴、y轴分别交于点C，B，与直线交于点A．如果在x轴上存在一点P，使为等腰三角形，则点P的坐标是 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了两条直线相交问题、一次函数的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 先求出交点的坐标，再分三种情况讨论求出满足条件的点的坐标即可． 【详解】解：联立方程组，解得， ， ， 当时，点坐标为或； 当时，设点， 则， ∵ ∴ ∴ 解得；， ． 当时，过点A作轴于E， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 综上分析，点的坐标为或或或． 故答案为：或或或． 【题型5.图象法解二元一次方程组】 18．一次函数与的图象相交于如图点，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，本题考查了利用函数图像求二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解与一次函数交点的关系． 【详解】解：把代入得：， 解得， 所以点坐标为， 所以关于、的二元一次方程组的解是：， 故答案为：． 19．用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得． 【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则这个一次函数的解析式为， 同理可得：另一个一次函数的解析式为， 则所解的二元一次方程组为， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 20．如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，现有以下结论： ①当x＝﹣2时，两函数值相等； ②直线y＝﹣x+m与坐标轴围成的是等腰直角三角形； ③直线y＝nx+4n（n≠0）与x轴的交点为定点； ④x＞﹣2是关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集； 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据两直线的交点坐标判断两函数值是否相等；根据直线与坐标轴的交点坐标，判断三角形的形状；根据直线与x轴的交点坐标，判断交点是否为定点；根据直线的上、下位置关系，判断不等式的解集是否正确． 【详解】解：∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2， ∴当x＝﹣2时，两函数值相等，故①正确； ∵在直线y＝﹣x+m中，当x＝0时，y＝m，当y＝0时，x＝m， ∴直线与坐标轴的交点离原点的距离都等于m， 即直线y＝﹣x+m与坐标轴的围成等腰直角三角形，故②正确； ∵直线y＝nx+4n（n≠0）中，当y＝0时，x＝﹣4， ∴直线与x轴交于定点（﹣4，0），故③正确； ∵由图象可得，当x＞﹣2时，直线y＝nx+4n在直线y＝﹣x+m的上方， ∴x＞﹣2是关于x的不等式﹣x+m＜nx+4n的解集，故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了一次函数的性，两直线的交点问题，直线与坐标轴交点问题，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 解答题 21．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组，的解； （2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积．    【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键． （1）作出函数和函数的图象，由二元一次方程组，的解即函数和函数的图象的交点的横、纵坐标即可求解； （2）分别由图象得出两函数与轴的交点坐标，代入三角形面积公式即可． 【详解】解：（1）在平面直角坐标系中作出函数和函数的图象：    ∵二元一次方程组，的解即函数和函数的图象的交点的横、纵坐标， ∵由图象知：函数和函数的图象的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解为； （2）由图象知：函数与轴的交点坐标为， 当时，即， ∴， ∴函数的图象与轴的交点坐标， ∴（1）中图象与轴所围成的三角形的面积为：． 【题型6.由两直线交点求不等式解集】 22．如图，直线交轴于点，直线y=mx+n交x轴于点，这两条直线相交于点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 结合函数图象，写出对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象，当时，， 所以不等式的解集为． 故选：A． 23．如图，一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确理解一次函数与一元一次不等式间的关系是解题的关键．从函数的角度看，就是寻求使的值大于的值的自变量的取值范围，即在两直线交点的右侧部分自变量的值是不等式的解集，由此即得答案． 【详解】解：根据图象得，当时，， 即关于的不等式的解集是． 故答案为：． 24．如图，若一次函数与的图象交于点，根据图象回答，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是根据一次函数的图象特征，结合交点坐标和函数与ⅹ轴的交点，确定不等式的解集．根据一次函数图象交点的意义，交点是两函数值相等的点；结合、的性质，判断当或时两函数的大小关系；找到函数与x轴的交点，确定其函数值大于0时x的范围；综合两者得出不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点 ∴当时，． ∵观察图像增减性可知 ∴当时，当时，（根据一次函数增减性：时y随x增大而减小，时y随x增大而增大）． 由图象可知，函数与x轴的交点横坐标为4，即当时，． 要满足不等式需同时满足和即 与的交集，即． 故选：D． 25．一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图像交于点，下列结论正确的序号是 ． ①关于的方程的解为； ②一次函数（）图像上任意不同两点和满足：； ③若（），则； ④若，且，则当时，． 【答案】①②④ 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，绝对值的性质等知识．熟练掌握一次函数的图像和性质是解题关键． 根据两直线的交点即为其解析式所组成的方程组的解，即可判断①； 利用待定系数法求出，结合一次函数的性质即可判断②； 求出，结合，即得出，解得或，故③错误； 将代入，即可求出 ，进而可得出，且，画出大致图像，可得出当时，一次函数的图像位于一次函数的图像上方，即，可判断④正确． 【详解】解：∵一次函数与的图像交于点， ∴联立的解为， 即方程的解为，故①正确； 将代入，得：， 解得：， ∴． ∵， ∴对于一次函数，y的值随x的增大而减小， ∴当时，；当时，， ∴无论何时与都为异号， ∴，故②正确； ∵，且， ∴． ∵， ∴， ∴或， ∴或，故③错误； 将代入，得：， ∴． ∵，且， ∴，且， ∴画出图像如图所示．    由图可知当时，一次函数的图像位于一次函数的图像上方， ∴当时，，故④正确． 故答案为：①②④． 解答题 26．如下图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与直线：交于点，直线分别与轴、轴交于点，，连接． (1)根据图象直接写出关于的不等式的解集． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个直线的交点横坐标，结合图象中直线在上方的区域，直接得出不等式的解集； （2）先将点代入​求出其坐标，再代入求出得到的解析式，找到相关点的坐标后，将的面积拆分为两个三角形的面积和进行计算． 【详解】（1）解：直线与交于点，且不等式表示的函数值大于​的函数值． 则关于的不等式的解集为． （2）解：把代入，得， ． 把代入，得，解得， 直线的函数解析式为． 如图，设直线与轴交于点． 对于，令，则， ． 对于，令，则， ； 令，则，解得， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系、一次函数解析式的求解及三角形面积的计算，掌握利用函数图象解不等式，及通过拆分图形求复杂三角形面积是解题的关键． 【题型7.由直线与坐标轴交点求不等式解集】 27．如图，直线（，是常数，且）与轴交于点，与轴交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，只需要找到函数值大于0时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得不等式的解集为， 故选：A． 28．函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，先求出直线与轴的交点坐标，再根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：当时，，则 直线与轴的交点坐标为， 当时，的取值范围是． 故答案为：． 29．在平面直角坐标系内，一次函数（为常数）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质及一次函数与一元一次方程，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据函数的图象直接进行解答即可． 【详解】解：由函数的图象可知， A、当时，，原说法错误，不符合题意； B、方程的解是，原说法错误，不符合题意； C、当时，，正确，符合题意； D、不等式的解集是，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 30．已知关于的方程恰有两个实数解，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式的性质，两直线交点问题；设问题转化为与的图象恰好有两个不同的交点，画出函数图象，结合图形，即可求解． 【详解】解：设 ∴ 画函数图象如图，要使原方程恰好有两个实数解， 所以与的图象恰好有两个不同的交点， ∴或 解得：且， 故答案为：且． 解答题 31．在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如图），两直线交于点，分别与轴交于，两点．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是 ；关于的不等式的解集是 ． (2)若点的坐标为，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，一次函数与一元一次方程以及不等式的关系； （1）由一次函数的图象与轴的交点坐标结合函数图象可得答案； （2）利用坐标含义，结合三角形的面积公式求解面积即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， 关于的方程的解是； 直线与轴交于点， 当时，，即， 关于的不等式的解集是． 故答案为：；． （2）解：点，点，点的坐标为， ， ． 【题型8.求直线围成图形面积】 32．直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线与直线关于y轴对称，直线与x轴交于点C，的面积为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由直线的解析式为即可求得、的坐标，然后根据轴对称求得的坐标，由此即可求出． 【详解】解：∵已知直线的解析式为与y轴交于点A，与x轴交于点B， ，， 直线与直线关于y轴对称，直线与x轴交于点C， ， 如图所示： ∴的面积=， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴围成图形面积和轴对称图形性质．根据解析式求出与坐标轴交点AB坐标是解题关键． 33．如图，已知直线与y轴交于点，与直线交于点，则它们与轴所围成的的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题．对于，令，可求出点A的坐标，然后联立两函数解析式可求出点B的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：对于， 当时，， ∴点A的坐标为， ∴， 联立得：， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴． 故答案为：6． 34．一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．， B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为 C．关于的方程组的解为 D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 根据两个一次函数与y轴的交点坐标即可求出，，进而判断A选项；由图象得到两条直线交于点，即可判断C选项；然后利用三角形面积公式求解即可判断B选项；根据图象得到当时，，且的图象在图象的上面，进而求解即可． 【详解】解：∵一次函数与y轴交于点， ∴， ∵一次函数与y轴交于点， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵一次函数与的图象交于点， ∴这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为，故B选项正确，不符合题意； ∵一次函数与的图象交于点， ∴关于的方程组的解为，故C选项正确，不符合题意； 由图象可得，当时，，且的图象在图象的上面， ∴当从0开始增加时，函数比的值先达到3说法错误，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 35．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，过点的直线平分的面积且与轴交于点，则直线对应的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、三角形中线性质，熟练掌握以上知识点是关键． 先求出点、的坐标，根据中线性质得到点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， 令，则，令，则， ，． 过点的直线平分的面积， ， ． ， 设直线对应的函数解析式为． 把代入，得，解得， 直线对应的函数解析式为． 故答案为：． 解答题 36．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点轴的负半轴上有一点． (1)求点的坐标． (2)过点作轴的垂线（垂线位于点的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数的图象于点，连接． ①线段的长为___________（用含的代数式表示）． ②若，求的面积． 【答案】(1) (2)①；②28 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理： （1）联立函数解析式，进行求解即可； （2）①分别求出的坐标，再根据两点间的距离公式求出线段的长即可；②过点作轴于点，勾股定理求出的长，根据，求出的值，进而求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：联立函数解析式，得方程组，解得， 点的坐标为． （2）解：①由题意，可知：的横坐标均为， 当时，， ∴； 故答案为：； ②如图，过点作轴于点． 由（1），可得． 在中，由勾股定理，得． ， ． ， ，解得， ∴点， ， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $