专题06 瓜豆原理和胡不归模型（几何模型讲义）（重庆专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“瓜豆原理”和“胡不归模型”两大中考压轴题核心考点，系统梳理动点轨迹最值问题的模型特征、转化方法及解题关键，通过“模型定义-核心要素-解题步骤”的架构，结合中考真题案例分析，帮助学生突破几何变换与化归思想的应用难点，体现复习教学的系统性和针对性。 亮点在于“模型识别-轨迹转化-最值求解”的三步教学法，如瓜豆原理通过“定旋转角+定缩放比”推导从动点轨迹，胡不归模型构造三角函数将“kAC+BC”转化为垂线段最短问题，培养学生的几何直观与模型意识。配套分层例题和真题训练，确保学生在有限时间内掌握解题策略，提升应考能力，为教师提供精准复习的节奏把控指导。

专题06 瓜豆原理和胡不归模型 瓜豆原理聚焦动点轨迹最值，从动点随主动点按 “定角定比” 运动，先确定主动点轨迹，再推导从动点轨迹，结合圆或直线性质求最值。解题关键是识别模型特征，精准转化条件。胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 2 16 18 模型1.瓜豆原理 18 模型2.胡不归模型 47 68 “瓜豆原理”的名称源自中国传统文化，其数学模型则源于现代几何学对动点轨迹规律的总结，“瓜豆原理”直接借用了中国古代农谚“种瓜得瓜，种豆得豆”的因果关联意象，强调从动点（豆）轨迹与主动点（瓜）轨迹的相似性：即主动点沿直线运动则从动点轨迹亦为直线；主动点沿圆周运动则从动点轨迹亦为圆。 21世纪初中数学教育者将此类主从联动轨迹问题命名为“瓜豆原理”，借农谚的通俗性帮助学生理解几何变换（旋转、位似）的抽象规律。典型案例包括动点最值、路径相似性证明等。如今瓜豆原理成为解决动点最值、路径证明等中考几何问题的核心工具，典型案例如求线段最小值、轨迹长度比例关系等。 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点。 （2023·重庆·中考真题）在中，，，点为线段上一动点，连接．      (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． 若，求证：． (3)在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到． 连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图所示，延长使得，连接，    ∵是的中点则，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴四点共圆， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，    在取得最小值的条件下，即， 设，则，， ∴，， ∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到． ∴ ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 取的中点，连接， 则是的中位线， ∴在半径为的上运动， 当取最大值时，即三点共线时，此时如图，过点作于点，过点作于点，    ∵是的中点， ∴， ∴是等边三角形， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 如图所示，连接，交于点，则四边形是矩形，      ∴，是的中点， ∴ 即是的中位线，同理可得是的中位线， ∴， ∵是等边三角形，将沿所在直线翻折至所在平面内得到， ∴ ∴ 则 在中， ∴．      （2025·重庆·中考真题）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，，求的度数； (2)如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明： (3)如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，理由见解析. (3) 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 由旋转得， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接，， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即； （3）解：取中点，中点，连接，，， ∵，， ∴，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动， 由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线， 即点和点重合时，最小， 此时如图， 由翻折可知， ∴点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值， 此时如图，连接，过点作于点，过点作于点， 由旋转知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵，， ∴． （2021·重庆·中考真题）在等边中，， ，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF． （1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG． ①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长； ②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：； （2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当最小时，直接写出的面积． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【详解】（1）解：①如图所示，连接AG， 由题意可知，△ABC和△GEF均为等边三角形， ∴∠GFB＝60°， ∵BD⊥AC， ∴∠FBC＝30°， ∴∠FCB＝30°，∠ACG＝30°， ∵AC＝BC，GC＝GC， ∴△GBC≌△GAC（SAS）， ∴∠GAC＝∠GBC＝90°，AG＝BG， ∵AB＝6， ∴AD＝3，AG＝BG＝， ∴在Rt△ADG中，， ∴； ②证明：以点F为圆心，FB的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K，连接KF，如图， ∵△ABC和△GEF均为等边三角形， ∴∠ABC＝60°，∠EFH＝120°， ∴∠BEF+∠BHF＝180°， ∵∠BHF+∠KHF＝180°， ∴∠BEF＝∠KHF， 由辅助线作法可知，FB＝FK，则∠K＝∠FBE， ∵BD是等边△ABC的高， ∴∠K＝∠DBC＝∠DBA＝30°， ∴∠BFK＝120°， 在△FEB与△FHK中， ∴△FEB≌△FHK（AAS）， ∴BE＝KH， ∴BE+BH＝KH+BH＝BK， ∵FB＝FK，∠BFK＝120°， ∴BK＝BF， 即：； （2）方法一：以为顶点，为一边，作，交于，过作于，设交于，如图： 中，， 最小即是最小，此时、、共线， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， 在射线上运动，则在射线上运动，根据“瓜豆原理”， 为主动点，是从动点，为定点，，则、轨迹的夹角， ， ， ， ， ， ， ， ， 而， ， 四边形是矩形， ， 边中，，， ， 又， ， 等边中，，点为中点时，点为中点， ，， 中，，， ，， 中，， ， ． 方法二：如图，连接EQ， ∵在等边中，， ， ∴∠A＝60°，∠BDA＝90°，∠ABD＝30°， ∵点E、Q分别为AB、BD的中点， ∴EQ为△ABD的中位线， ∴EQAD， ∴∠BEQ＝∠A＝60°，∠BQE＝∠BDA＝90°， ∵∠BQE＝90°，∠ABD＝30°， ∴EQ＝， ∵点M为BE的中点， ∴ME＝＝EQ， ∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP， ∴△EPF为等边三角形，∠PEF＝60°，PE＝EF＝PF， ∴∠BEQ＝∠PEF， ∴∠BEQ－∠PEQ＝∠PEF－∠PEQ， 即∠MEP＝∠QEF， 在△MEP与△QEF中， ， ∴△MEP≌△QEF（SAS） ∴∠EMP＝∠EQF＝90°， ∴MP⊥BE， ∴点P在射线MP上运动， 如图，以为顶点，为一边，作，交于，过作于，设交于， 则在中，， 最小即是最小，此时、、共线，如下图： ∵∠EMP＝90°，∠PML＝30°， ， ， ， ， 又∵， ， 四边形是矩形， ， 在等边中，，， ， 又， ， 在等边中，，点为中点时，点为中点， ，， ∴在中，，， ，， ∴在中，， ， ． 1）瓜豆原理模型 核心结论：瓜豆原理（“种瓜得瓜，种豆得豆”）是动点轨迹问题的核心模型，核心逻辑是 “一个主动点、一个从动点、一个定点，从动点随主动点运动时，满足‘定旋转角 + 定缩放比’，则两者轨迹形状完全相同（直线仍为直线，圆仍为圆），可通过旋转 + 缩放构造从动点轨迹，进而求最值”。 1、 模型核心定义 三大核心元素： 定点 O（旋转中心 / 缩放中心，固定不变）； 主动点 P（运动轨迹已知，如直线、圆）； 从动点 Q（随 P 运动，满足固定关系）。 关键约束关系（从动点的运动规则）： 定旋转角：∠POQ=α（α 为固定角度，旋转方向可顺时针或逆时针）； 定缩放比：OQ/OP=k（k 为固定正数，k=1 时仅旋转不缩放）。 核心性质：主动点 P 的轨迹与从动点 Q 的轨迹形状相同、位置相似（直线→直线，圆→圆），轨迹大小比为 OP:OQ=1:k。 2、 模型核心三要素 定点 O：明确旋转和缩放的中心（题目直接给出或隐含，如线段中点、固定顶点）； 约束关系：确定旋转角 α 和缩放比 k（题目直接给出或通过条件推导，如 “OQ=2OP”“∠POQ=60°”）； 主动点轨迹：已知 P 的运动轨迹（直线 l 或圆⊙O₁，需先明确轨迹类型）。 三、解题通用步骤 条件：1如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 2）胡不归模型 一动点在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小。 1.，记，即求BC+kAC的最小值. 2.构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC，将问题转化为求BC+CH最小值. 3.过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 模型1.瓜豆原理 例1在等腰中，，，点为边上一点，连接； (1)如图1，若平分，过点作的平行线交于点，求； (2)如图2，为左侧一点，连接交于，连接，满足且，点为上一点，满足，过点作交于，求证：； (3)如图3，将沿着直线翻折到处，连接，，以为斜边构等腰（使得、、三点呈逆时针排布），当取得最小值时，求． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，且， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． （2）如图，过点D作，设， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，即，解得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，故． （3）如图，过点A作，过点B作， 是等腰直角三角形， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 根据翻折可知， ， 点N在以点P为圆心，为半径的圆上运动， 如图，当三点共线时，最短，最短为， 过点A作，过点M作， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握作适当的辅助线，构造相似三角形或全等三角形是解题的关键． 例2．如图，在中，，为直线上一点，点为直线上一点，在线段上．    (1)如图1，，，平分，求的长度； (2)如图2，，以为边向上作一个等边三角形，连接，，点为的中点，连接，求证：； (3)如图3，，，点在直线上运动的过程中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当取最小值时，连接，，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3) 【详解】（1）解：如图，过点E作于点F．    ∵，， 又， ∴，，． ∵平分，， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 解得． （2）证明：如图，分别以，为边，向上作等边三角形，得到，，连接，，，延长交于点H．    由作法可得，，，，， ∴． 又， ∴． ∴． 又，， ∴． 同理，． ∴，． ∴． ∴点，，三点共线，即点在线段上． ∵，， ∴． ∴点，，三点共线． 又， ∴点A为的中点． 又点为的中点， ∴是的中位线， ∴，． ∵， ∴． ∴． 又是等边三角形， ∴，． ∴，． ∴点在线段上． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （3）解：如图，分别将点B、点C绕点A逆时针旋转45°，得到，，作直线交于点H．    同（2）理，可得，， ∴点M在直线上． ∴当时，取最小值． 由旋转的性质，可知，，知，， ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴，． ∵， ∴． ∴． 由翻折的性质，可知， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上． 如图，当点N在上时，取得最小值，连接，过点作于点．    此时． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中，． ∴． ∵，， ∴． ∴，即． 解得． ∴． 例3．已知：在菱形中，，点E为直线上的一点，连接． (1)如图1，，若，求的长； (2)如图2，与对角线交于点F，，求证：； (3)如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴ ， ∵ 在中，， ∴ ，则，根据勾股定理得： ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ （2）∵菱形中， ∴ ，， ∵， ∴ ∴ 如图；延长，在上取点，作 ∵ ， ∴ ， ∵ 是菱形的对角线， ∴ 在与中 ∴ ∴， 在与 ∴ ∴ ∵ ∴ （3）如图；∵点E为直线上的一点，线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当时取最小值； ∴ ∵ ∴ ∴ ，即： ∴   ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 作交于点， ∵ ， ∴ ，即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 例4．在中，，，为的中点，为上一点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若为外部一点，为的中点，将绕点按顺时针方向旋转到（，均在直线的左侧），连接、．若，求证：； (3)将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：在中，， ∴ ∵， ∴， 如图，作的中点，连接， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 在中，; （2）证明：如图，连接，过点作交于点，延长交于点，交的延长线于点， ∵在中，，，为的中点，为的中点， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转到 ∴， ∴，即 ∴ ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∴ 在 ∴ ∴ ∴，即 （3）解：如图所示，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到线段， ∴ ∵将绕点按顺时针方向旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，，为的中点， ∴ 设，则，， ∵将沿直线翻折至所在平面内得到， ∴ ∴，即在以为圆心的上运动 连接过点作于点，则 ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形，则 ∴ ∴ ∵ ∴当在上，取得最小值，最小值为 ∴ 例5．在等边中，，垂足为D，点E是线段上一点，连接，将绕点C顺时针旋转到，连接交于点G． (1)如图1，若的延长线恰好过点B，且，求的长度； (2)如图2，在上取一点H，使，在的延长线上取一点K，连接，且满足，求证：； (3)如图3，，点M为平面内任意一点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，点T是线段中点，将线段绕点T逆时针旋转到，点P为线段中点，连接，直线与直线交于点Q，当取最大值时，请直接写出此时的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，，即垂直平分， ∴，则， 由旋转可知， ∴，则， ∴， ∴， 如图，过点作，交于，则， ∴，则， ∵， ∴，， ∴； （2）证明：由（1）可知，，，， 如图，过点作交延长线于，连接， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，，则， ∴， ∵， ∴； （3）解：由题意可知， ∵， ∴， 由翻折可知， 连接，如图①， ∵点是线段中点， ∴为的中位线，则， 由旋转可知，， ∴，， 在上取，连接，则，，，， ∴， ∴，则， ∴， 连接， ∵点为线段中点， ∴，则， 由三角形三边可知， 当点在的延长线时取等号，如图②，过点作交于，此时有最大值，则， ∵， ∴， ∴，则，即， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴ ． 例6．【问题探究】 （1）如图 1，在 中， 为 的中点，连接 ，则 与 的位置关系是_____．     （2）如图 2，在 中， ， ， 是线段 上一动点(不与 、 重合)，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，点 和点 分别是边 的中点． 试探究 和 的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图 3，正方形 是一块蔬菜种植基地，边长为 3 千米，对角线 为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路 上确定一点 (不与点 重合)，连接 ，以线段 为斜边，在 右侧建等腰直角 区域( )，用来种植新品有机蔬菜，并在 处设立蔬菜仓库． 点和 点为基地的两个蔬菜打包装运点， 在 上且 ． 现要沿 修建蔬菜运输轨道，请确定运输轨道 的最小值． 并求出当 最小时，有机蔬菜种植区域的面积 (即 的面积)．      【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）运输轨道的最小值为千米，的面积为平方千米． 【详解】解：（1）由题意知，在与中， ，（中点定义），， ， ， 又（平角定义）， ，即． 故答案为：． （2），理由如下： 如图，连接，， ， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， ． （3）取中点，连接，过作，交于， 由正方形可得 , ， , ， ， , 是等腰直角三角形， 从而确定出的运动轨迹即如下图： , ，即最小值等于最小值, 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，取最小值， 正方形边长为3千米，是中点， 在中，由勾股定理得千米, ， 千米，千米， 千米， 在中，由勾股定理得千米， 即运输轨道的最小值为千米， 过作,交于点，如图， , , , 千米， 此时的面积为平方千米． 例7．在中，D为直线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接与相交于点F． (1)如图1，若D为的中点，，，，连接，求线段的长； (2)如图2，G是线段延长线上一点，D在线段上，连接，，若，，，，证明； (3)如图3，若为等边三角形，，点M为线段上一点，且，点P是直线上的动点，连接，，，请直接写出当最小时的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【详解】（1）解：∵为的中点，，， ∴，则由勾股定理，可得：， 作，交于， 由题意可知，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴（AAS）， ∴，， 则， 由勾股定理可得：； （2）证明：由旋转可知，为等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中，， ∴（AAS）， ∴，， 则：， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵， 由三角形内角和定理可得：， 即：， ∴， 作，交延长线于，连接， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∴； （3）作，交于， ∵是等边三角形， ∴，，平分， 则， 将绕点逆时针旋转，则，， ∴， ∴（SAS）， ∴ ∴， 作点关于的对称点，连接，，由对称易知，， ∴ 当最小时，即最小，亦即、、在同一直线，且，如图： 作，交于，则， ∴，， ∵，， ∴，，四边形是矩形， 则，，即， 由轴对称可知，， ∴是等边三角形，则：， ∵， ∴，， ∴，， 则由勾股定理可得：，， ∵，， 则为，之间的距离， ∴，即的高 ∴， ∴． 例8．在等边三角形中，点D为上一点，连接，将绕D逆时针旋转角度得到，连接，已知，； (1)如图1，若，，连接，求的长； (2)如图2，若，分别取的中点H，的中点F，连接，，求证：； (3)如图3，若，P为上一点，且满足，连接，将沿着所在直线翻折得到，连接，当最大时，直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【详解】（1）解：由旋转性质可知，， ∵旋转角， ∴是等边三角形，则，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴（SAS）， ∴， ∵，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：延长，使，连接，，则， 即为的中点， ∵为的中点， ∴为的中位线，即， 旋转角，由旋转性质可知：， ∵为的中点， ∴，平分， ∴，，则， ∴为等边三角形， ∴，， 又∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴（SAS）， ∴，即， ∵为的中点， ∴， ， ∴ ∴． （3）由（1）知，，，， ∵，则， ∴， 由，得， 作，则：， ∴，则，，， 即点的轨迹为：以为圆心，为半径的圆， 由翻折可知，，而，当，，在同一直线上时取最大值，即：取最大值，如图 此时，，， 则． 模型2.胡不归模型 例1．如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示： 在中，， ∴， ∵ ＝， ∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12， 故选：D． 例2．如图，矩形，，，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，．若，则m的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到G，使，连接、，得到，从而可得，再利用勾股定理即可求出最小值． 【详解】解：如图，延长到G，使，连接、，    在矩形，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴，即， ∵， ∴， ∴当G、E、C三点共线时，m取最小值为GC， ， ∴m的最小值为． 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．本题通过构造，得到，利用两点间线段最短解决m取最小值的问题． 例3．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（1）10；（2）8；（3）． 【分析】本题是三角形综合题，涉及了解特殊的直角三角形、对角互补模型、最值胡不归模型、角平分线性质及判定、全等三角形的判定，解题关键是利用三角形全等转化线段和角的关系，由30度角、45度角的解直角三角形，求边长，构造胡不归模型利用垂线段最短求出最值． （1）易证，从而可得，，进而由含30度直角三角形性质可得； （2）如图2，取的中点O，连接、， 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可证明是等腰直角三角形，，即可求出． （3）由已知可以求得证明，，再构造含30度的直角三角形求出，再利用胡不归模型构造的折线段，根据垂线段最短，得出的最小值即可求解． 【详解】解：（1）∵，，； ∴； ∴， ∴， ∴． （2）如图②，取的中点O，连接、， ∵， ∴，， ∴，， ∴，； ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， （3）如图③，过点A作， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点A作交于点Q， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图④，作，过点P作，垂足为H，过点D作，垂足为N，交于M， ∴，， ∴，， ∵，当点P在点M位置时，点H与N重合，取最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∴最小值为． 例4．已知，在正方形ABCD中，点E，F分别为AD上的两点，连接BE、CF，并延长交于点G，连接DG，H为CF上一点，连接BH、DH， (1)如图1，若H为CF的中点，且，，求线段AB的长； (2)如图2，若，过点B作于点I，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，P为线段AD（包含端点A、D）上一动点，连接CP，过点B作于点Q，将沿BC翻折得，N为直线AB上一动点，连接MN，当面积最大时，直接写出的最小值． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，设正方形的边长为，，可得，在中，根据勾股定理建立方程，即可求解； （2）过点作于点，证明是等腰直角三角形，，进而证明是等腰直角三角形，根据即可得证； （3）取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形，根据直角三角形中斜边上的中点等于斜边的一半可得，则当时，的面积最大，由，可得当三点共线时，取得最小值，证明四边形是矩形，可得，即的最小值为． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， H为CF的中点，， ， 设正方形的边长为，，可得， 在中，， 即， 解得， ； （2）如图，过点作于点， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即； （3）如图甲所示，取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形， ， ， 是直角三角形， 将沿BC翻折得， 是直角三角形， ， 当时，的面积最大， 是的中点， 是等腰直角三角形， 则也是等腰直角三角形， ， 此时如图乙所示，则点与重合， ， 三点共线时，取得最小值， ， ，， 则四边形是矩形， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，两点之间线段最短，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 例5．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD． (1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线； (2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度． (3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值． 【答案】(1)直线AD是△ABC的自相似分割线； (2)当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时； (3)∠QAC的正弦值为 【分析】（1）根据定义证明△DBA∽△ABC即可得证； （2）根据垂直平分线的性质可得，当点与重合时，,此时最小，设，则 根据，列出方程，解方程求解即可求得，进而即可求得的长，即最小值； （3）过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点，根据已知条件求得，进而转化为，则当点落在上时，点与点重合，此时的值最小，最小值为，进而根据求解即可． 【详解】（1）∵△ABC中，AB=AC=1，∠BAC = 108° ∴∠B =∠C =（180°-∠BAC）= 36° ∵DE垂直平分AB ∴AD = BD ∴∠B =∠BAD = 36° ∴∠C =∠BAD 又∵∠B =∠B ∴△DBA∽△ABC ∴直线AD是△ABC的自相似分割线． （2）如图，连接，， 垂直平分AB， 当点与重合时，,此时最小， ， 设，则 解得： PA+PC= 当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时； （3）如图，过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点， ， 由（2）知， 平分 点落在上时，点与点重合， 即此时的值最小，最小值为 ∠QAC的正弦值为 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求角的正弦，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关键． 例6．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝，连接AE，CF． (1)求证：△ABE≌△CBF． (2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面积） (3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值． 【答案】(1)见解析 (2)2或6 (3) 【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBF； （2）由“SSS”可证△ADE≌△ABE，可得∠DAE＝∠BAE＝45°，可证AH＝EH，由勾股定理可求BE的长，即可求解； （3）先确定点P的位置，过点B作BQ⊥CF于Q，由勾股定理可求CE的长，由平行线分线段成比例可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∵∠EBF＝90°＝∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBF， 又∵BE＝BF，AB＝BC， 在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）； （2）解：如图2，过点E作EH⊥AB于H， ∵△ABE≌△CBF， ∴S△ABE＝S△CBF， ∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE， ∴△ADE≌△ABE（SSS）， ∴∠DAE＝∠BAE＝45°， ∵EH⊥AB， ∴∠EAB＝∠AEH＝45°， ∴AH＝EH， ∵BE2＝BH2+EH2， ∴10＝EH2+（4﹣EH）2， ∴EH＝1或3， 当EH＝1时 ∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×1＝2， 当EH＝3时 ∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×3＝6， ∴S△BCF的值是2或6； （3）解：如图3，过点P作PK⊥AE于K， 由（1）同理可得△ABE≌△CBF， ∴∠EAB＝∠BCF， ∵∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°， ∴∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°， ∴∠AGC＝90°， ∵∠AGC＝∠ADC＝90°， ∴点A，点G，点C，点D四点共圆， ∴∠ACD＝∠AGD＝45°， ∵PK⊥AG， ∴∠PGK＝∠GPK＝45°， ∴PK＝GK＝PG， ∴MP+PG＝MP+PK， ∴当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+PG值最小，即MP+PG最小， 如图4，过点B作BQ⊥CF于Q， ∵BE＝BF＝，∠EBF＝90°，BQ⊥EF， ∴EF＝2，BQ＝EQ＝FQ＝， ∵CQ＝， ∴CE＝CQ﹣EQ＝， ∵MK⊥AE，CE⊥AE， ∴MK∥CE， ∴， 又∵M是CD的中点， ∴DC＝2DM， ∴MP＝CE＝． 【点睛】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质是解题的关键． 例7．如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点． （1）求的值； （2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标； （3）求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用矩形的性质，用表示点的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）首先求出四边形的面积，再根据条件求出的面积，即可解决问题； （3）过点作轴交于点，则，即可转化为求的最小值，作点关于一次函数的对称点，过点作轴的垂线交轴于点，交一次函数于点，即的最小值为，算出长度即可． 【详解】（1）在中，令，则， 点的坐标为， ，， ， 把代入中得：， 解得：； （2）由（1）得一次函数为，，， ，，， ， 的面积与四边形的面积之比为， 的面积与四边形的面积之比为， ， 设点的横坐标为，则， 解得：， 把代入中得：， ； （3） 如图所示，过点作轴交于点， ， ， ， 作点关于一次函数的对称点，且OO’与直线DF交于Q点，过点作轴的垂线交轴于点， ， ， 当、、在同一直线时最小， 即的最小值为， ， ，，， 在中，， ， 在中．， 的最小值为． 【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积，解直角三角形以及胡不归问题，属于中考压轴题． 例8．（1）如图①，已知，，，若，，则________； （2）如图②，等腰中，，，点为边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转至，连接、，求证：； （3）如图③，等边中，，于，为线段的中点，点为边的中点，点为线段的中点．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，，，当的值最小时求的面积．      【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵为等边三角形，点E为的中点，点H为的中点，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， 取的中点，连接、，，，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转得线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∵H为的中点， ∴，， ∴， ∴点在直线上， 以点H为角的顶点，为角的一条边，在下方作，交于点M，过点G作于点K， 则， ∴， ∴， 过点C作于点，延长，交于点，连接， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点G在点处时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：，负值已舍去， ∴， 即当的值最小时求的面积为． 一、单选题 1．如图，矩形中，，，与相交于为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点， 设直线交于点， ∵点是中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵P为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当在线段上即时，此时线段有最小值， 同理可得四边形是矩形， ∴， 故选：D. 2．如图，，，，，点D为的中点，点E为斜边 上一个动点，将沿折叠得到，连接，，下列结论错误的是（   ） A．若点与点C不重合时，的面积最大值为4.5 B．若点不在斜边上时，的周长最小值为 C．若时，的长为 D．若时，的长为 【答案】C 【详解】解：A.若点与点C不重合时，在以点为圆心的圆上，则当时的面积最大，则， ∴ ，故A选项正确，不符合题意； B.在，得， 由折叠性质：，周长为：，由于，如图： 因为 当在上时取等号，最小周长：，故B选项正确，不符合题意； C.如图，作 于点F ， 为中点， 当由折叠对称性得， 在中， ， ， ，故C选项不正确，符合题意； D.若时，则，在中， ，故D选项正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题考查了折叠问题中的对称性问题，从而求最小面积和运动轨迹，圆的相关内容知识，勾股定理求线段长，三角函数求线段，解题关键在于熟练掌握各个知识点联系. 3．如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】以为边向上作等边三角形，连接，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，在求出点D到线段的最大距离，即可求出面积的最大值． 【详解】解：如图，以为边向上作等边三角形，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，要使的面积最大，则求出点D到线段的最大距离， ∵是边长为4的等边三角形， ∴点M到的距离为， ∴点D到的最大距离为， ∴的面积最大值是， 故选A． 【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值． 4．如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接． 由翻折变换的性质可知垂直平分线段，， ， ，G，N三点共线， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为(   ) A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】连接BD，证明△EDB≌△FCD，可得∠BPD＝120°，由于BD的长确定，则点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值． 【详解】解：连接AD，因为∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°， 因为CB＝CD，所以△CBD是等边三角形， 所以BD＝DC 因为DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°， 所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD＝∠FDC， 因为∠FDC＋∠BDF＝60°， 所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°， 所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上， 直角△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，所以AB＝2，AC＝4， 所以AP＝2 当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值， CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2 故选D． 【点睛】求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值． 二、填空题 6．如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】以为边作等边，连接．证明，得到，从而，因此是定值，即点G在与成定角的直线上运动．过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长．当点E与点A重合时，过点G作于点M，过点F作于点N，求出，，的面积，得到，根据勾股定理求出，再由三角形的面积求出，即可解答． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接． ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴是定值，即点G在与成定角的直线上运动． 过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长． 如图，当点E与点A重合时， 过点G作于点M，过点F作于点N， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ，， ∴在中， ∵， 又， ∴， ∴， ∴点从点运动到点的过程中，线段的最小值是． 故答案为： 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确找出点G的运动轨迹，根据三角形的面积求解是解题的关键． 7．如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形等知识的综合，理解等边三角形的性质，构造三角形全等，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接，证明，得到，当时，的值最小，根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，结合坐标与图形即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：4 ． 8．在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，将线段绕点顺时针旋转得，得，将线段绕点顺时针旋转得，得，证明，得判断要使最大，则三点共线时最大，最大值为，根据勾股定理可求出即可得出结论 【详解】解：∵在平面内，且， ∴在以为圆心，3为半径的圆上，如图， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴在点为圆心，3为半径的圆上， 要使最大，则三点共线时最大，最大值为； ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴的最大值为， 故答案为：． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ． 【答案】4 【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果． 【详解】解：如图， 在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P， 此时PA+2PB最小， ∴∠AFB＝90° ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠BAD＝， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°， ∴PF＝， ∴PA+2PB＝2＝＝2BF， 在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°， ∴BF＝AB•sin45°＝4， ∴（PA+2PB）最大＝2BF＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线． 10．如图，△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝60°，AC＝4，则△ABC的面积为 ；点D，点E，点F分别为BC，AB，AC上的动点，连接DE，EF，FD，则△DEF的周长最小值为 ． 【答案】 6+2 【详解】解：①如图，过点A作AH⊥BC于H． ∴∠AHB=∠AHC=90°， ∵∠BAC＝75°，∠C＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝45°，∠HAC=30° ∴BH=AH， ∴ ∴AH＝BH＝2， ∴BC＝BH+CH＝2+2， ∴S△ABC＝•BC•AH＝•（2+2）＝6+2． ②如图，过点B作BJ⊥AC于J，作点F关于AB的对称点M，点F关于BC的对称点N，连接BM，BN，BJ，MN，MN交AB于E′，交BC于D′，此时△FE′D′的周长＝MN的长． ∵BF＝BM＝BM，∠ABM＝∠ABJ，∠CBJ＝∠CBN， ∴∠MBN＝2∠ABC＝90°， ∴△BMN是等腰直角三角形， ∴BM的值最小时，MN的值最小， 根据垂线段最短可知，当BF与BJ重合时，BM的值最小， ∵, ∴MN的最小值为BJ＝， ∴△DEF的周长的最小值为． 故答案为：6+2，． 三、解答题 11．∠AOB＝30°，OM＝2，D为OB上动点，求MDOD的最小值． 【答案】 【详解】思路引领：(胡不归经典)作∠BON＝∠AOB＝30°，过点M作MC⊥ON于点C，交OB于点D′，当MC⊥ON时，（此时点D′即为点D）MDOD＝MD+CD的值最小，最小值是CM的长， 答案详解：如图， 作∠BON＝∠AOB＝30°，过点M作MC⊥ON于点C，交OB于点D′， ∴CD′OD′ 所以当MC⊥ON时，（此时点D′即为点D） MDOD＝MD+CD的值最小，最小值是CM的长， ∴在Rt△OCM中，∠OMC＝30°，OM＝2 ∴OC＝1， ∴CM． 答：MDOD的最小值为． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋和直线l2：y＝﹣x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C． （1）求△ABC的面积； （2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF＋OP的最小值． 【答案】（1）S△ABC=；（2）点F坐标为（1，）；PF＋OP的最小值为． 【详解】（1）∵l1：y＝x＋， ∴当x=0时，y=，当y=0时，x=-3， ∴A（-3，0），B（0，）， ∵点B直线l2：y＝﹣x＋b上， ∴b=， ∴直线l2的解析式为y＝﹣x＋， ∴当y=0时，x=1， ∴C（1，0）， ∴AC=4，OB=， ∴S△ABC===． （2）如图，作点C关于直线l1的对称点C′，连接C′E，交l1于F， ∵A（-3，0），B（0，），C（1，0）， ∴AB2=（-3）2+（）2=12，BC2=12+（）2=4，AC2=42=16， ∵AC2=AB2+BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴点C′在直线l2上， ∵点C与点C′关于直线l1的对称， ∴CC′=2BC=4， 设点C′（m，﹣m＋，） ∴（m-1）2+（﹣m＋）2=42， 解得：m1=-1，m2=3， ∵点C′在第二象限， ∴m=-1， ∴﹣m＋=， ∵FC=FC′， ∴EF＋CF=EF+FC′， ∴当C′、F、E三点共线时EF＋CF的值最小， 设直线C′E的解析式为y=kx+b， ∴， 解得：， ∴直线C′E的解析式为， 联立直线C′E与l1解析式得， 解得：， ∴F（1，）． 如图，作二、四象限对角线l3，过点F作FG⊥l3于G，交y轴于P，过点F作FQ⊥x轴，交l3于Q， ∴直线l3的解析式为y=-x，∠GOP=45°， ∴△GOP是等腰直角三角形， ∴PG=OP， ∴G、P、F三点共线时，PF＋OP的值最小，最小值为FG的长， ∵∠GOP=45°，∠POE=90°， ∴∠EOQ=45°， ∴∠FQO=45°， ∴△FGQ是等腰直角三角形， ∴FG=FQ， ∵F（1，），直线l3的解析式为y=-x， ∴Q（1，-1）， ∴FQ=-（-1）=+1， ∴FG=FQ=×（+1）=， ∴PF＋OP的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数的综合、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质是解题关键． 13．如图所示，在中，，点是上一点，以为一边向右下方作等边，当由点运动到点时，求点运动的路径长． 【答案】点运动的路径长为． 【分析】根据是等边三角形，得出点运动的路径长等于点运动的路径长，即为的长，根据勾股定理即可得出答案 【详解】点为定点， 可以看作是绕点顺时针旋转60°而来， 点运动的路径长等于点运动的路径长，即为的长， ，， ． 点运动的路径长为． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点E的运动轨迹，属于中考常考题型． 14．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE． （1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE； （2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．                                                               【答案】（1）见解析；（2） 【详解】解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°， 由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE， ∴∠ACD=∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE． （2）如图2，过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F． ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CBE=∠A=60°， ∴点E的运动轨迹是直线BE， 根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小， 此时CD=CE=CF， ∵∠ACB=∠CBE=60°， ∴AC∥EF， ∵AF⊥BE， ∴AF⊥AC， 在Rt△ACF中， ∴CF===， ∴CD=CF=. 15．在菱形中，，是对角线上的一点，连接． （1）当在的中垂线上时，把射线绕点顺时针旋转后交于，连接．如图①，若，求的长． （2）在（1）的条件下，连接，把绕点顺时针旋转得到如图②，连接，点为的中点，连接，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）通过菱形性质证明，在中，利用勾股定理求出AE的长度，再中，可以得到，在等腰中，利用角度推导出，代入数值求解即可． （2）判断出点Ｈ的运动轨迹，从而知道点Ｎ的运动轨迹，根据三角形三边关系，即可得到AN的最大值． 【详解】（1）解：过点F作于点M，如下图： ∵四边形ABCD是菱形,且 ∴ ∵为菱形对角线 ∴, 又∵在的中垂线上 ∴ ∴ ∴, 在中， ∴ 设：，则 ∵ 即： 解得： ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）连接AC,延长AE交BC于点M，则有,点H的运动轨迹是以点B为圆心，BH为半径的圆，因为点C为固定点，点Ｎ为CH的中点，所以点N的运动轨迹是以点M为圆心，NM为半径的圆，如下图： 此时：在在，,当 A、M、N三点共线时，AN最大 则：在中， ∵ ∴ ∴ 又∵M点是BC的中点，N是CH的中点 ∴ ∴ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 瓜豆原理和胡不归模型 瓜豆原理聚焦动点轨迹最值，从动点随主动点按 “定角定比” 运动，先确定主动点轨迹，再推导从动点轨迹，结合圆或直线性质求最值。解题关键是识别模型特征，精准转化条件。胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 2 3 5 模型1.瓜豆原理 5 模型2.胡不归模型 10 13 “瓜豆原理”的名称源自中国传统文化，其数学模型则源于现代几何学对动点轨迹规律的总结，“瓜豆原理”直接借用了中国古代农谚“种瓜得瓜，种豆得豆”的因果关联意象，强调从动点（豆）轨迹与主动点（瓜）轨迹的相似性：即主动点沿直线运动则从动点轨迹亦为直线；主动点沿圆周运动则从动点轨迹亦为圆。 21世纪初中数学教育者将此类主从联动轨迹问题命名为“瓜豆原理”，借农谚的通俗性帮助学生理解几何变换（旋转、位似）的抽象规律。典型案例包括动点最值、路径相似性证明等。如今瓜豆原理成为解决动点最值、路径证明等中考几何问题的核心工具，典型案例如求线段最小值、轨迹长度比例关系等。 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点。 （2023·重庆·中考真题）在中，，，点为线段上一动点，连接．      (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． 若，求证：． (3)在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到． 连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值． （2025·重庆·中考真题）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，，求的度数； (2)如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明： (3)如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． （2021·重庆·中考真题）在等边中，， ，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF． （1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG． ①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长； ②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：； （2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当最小时，直接写出的面积． 1）瓜豆原理模型 核心结论：瓜豆原理（“种瓜得瓜，种豆得豆”）是动点轨迹问题的核心模型，核心逻辑是 “一个主动点、一个从动点、一个定点，从动点随主动点运动时，满足‘定旋转角 + 定缩放比’，则两者轨迹形状完全相同（直线仍为直线，圆仍为圆），可通过旋转 + 缩放构造从动点轨迹，进而求最值”。 1、 模型核心定义 三大核心元素： 定点 O（旋转中心 / 缩放中心，固定不变）； 主动点 P（运动轨迹已知，如直线、圆）； 从动点 Q（随 P 运动，满足固定关系）。 关键约束关系（从动点的运动规则）： 定旋转角：∠POQ=α（α 为固定角度，旋转方向可顺时针或逆时针）； 定缩放比：OQ/OP=k（k 为固定正数，k=1 时仅旋转不缩放）。 核心性质：主动点 P 的轨迹与从动点 Q 的轨迹形状相同、位置相似（直线→直线，圆→圆），轨迹大小比为 OP:OQ=1:k。 2、 模型核心三要素 定点 O：明确旋转和缩放的中心（题目直接给出或隐含，如线段中点、固定顶点）； 约束关系：确定旋转角 α 和缩放比 k（题目直接给出或通过条件推导，如 “OQ=2OP”“∠POQ=60°”）； 主动点轨迹：已知 P 的运动轨迹（直线 l 或圆⊙O₁，需先明确轨迹类型）。 三、解题通用步骤 条件：1如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 2）胡不归模型 一动点在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小。 1.，记，即求BC+kAC的最小值. 2.构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC，将问题转化为求BC+CH最小值. 3.过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 模型1.瓜豆原理 例1在等腰中，，，点为边上一点，连接； (1)如图1，若平分，过点作的平行线交于点，求； (2)如图2，为左侧一点，连接交于，连接，满足且，点为上一点，满足，过点作交于，求证：； (3)如图3，将沿着直线翻折到处，连接，，以为斜边构等腰（使得、、三点呈逆时针排布），当取得最小值时，求． 例2．如图，在中，，为直线上一点，点为直线上一点，在线段上．    (1)如图1，，，平分，求的长度； (2)如图2，，以为边向上作一个等边三角形，连接，，点为的中点，连接，求证：； (3)如图3，，，点在直线上运动的过程中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当取最小值时，连接，，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 例3．已知：在菱形中，，点E为直线上的一点，连接． (1)如图1，，若，求的长； (2)如图2，与对角线交于点F，，求证：； (3)如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当取最小值时，直接写出的值． 例4．在中，，，为的中点，为上一点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若为外部一点，为的中点，将绕点按顺时针方向旋转到（，均在直线的左侧），连接、．若，求证：； (3)将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，请直接写出的值． 例5．在等边中，，垂足为D，点E是线段上一点，连接，将绕点C顺时针旋转到，连接交于点G． (1)如图1，若的延长线恰好过点B，且，求的长度； (2)如图2，在上取一点H，使，在的延长线上取一点K，连接，且满足，求证：； (3)如图3，，点M为平面内任意一点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，点T是线段中点，将线段绕点T逆时针旋转到，点P为线段中点，连接，直线与直线交于点Q，当取最大值时，请直接写出此时的面积． 例6．【问题探究】 （1）如图 1，在 中， 为 的中点，连接 ，则 与 的位置关系是_____．     （2）如图 2，在 中， ， ， 是线段 上一动点(不与 、 重合)，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，点 和点 分别是边 的中点． 试探究 和 的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图 3，正方形 是一块蔬菜种植基地，边长为 3 千米，对角线 为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路 上确定一点 (不与点 重合)，连接 ，以线段 为斜边，在 右侧建等腰直角 区域( )，用来种植新品有机蔬菜，并在 处设立蔬菜仓库． 点和 点为基地的两个蔬菜打包装运点， 在 上且 ． 现要沿 修建蔬菜运输轨道，请确定运输轨道 的最小值． 并求出当 最小时，有机蔬菜种植区域的面积 (即 的面积)．      例7．在中，D为直线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接与相交于点F． (1)如图1，若D为的中点，，，，连接，求线段的长； (2)如图2，G是线段延长线上一点，D在线段上，连接，，若，，，，证明； (3)如图3，若为等边三角形，，点M为线段上一点，且，点P是直线上的动点，连接，，，请直接写出当最小时的面积． 例8．在等边三角形中，点D为上一点，连接，将绕D逆时针旋转角度得到，连接，已知，； (1)如图1，若，，连接，求的长； (2)如图2，若，分别取的中点H，的中点F，连接，，求证：； (3)如图3，若，P为上一点，且满足，连接，将沿着所在直线翻折得到，连接，当最大时，直接写出的面积． 模型2.胡不归模型 例1．如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 例2．如图，矩形，，，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，．若，则m的最小值为（    ）    A． B． C． D． 例3．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 例4．已知，在正方形ABCD中，点E，F分别为AD上的两点，连接BE、CF，并延长交于点G，连接DG，H为CF上一点，连接BH、DH， (1)如图1，若H为CF的中点，且，，求线段AB的长； (2)如图2，若，过点B作于点I，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，P为线段AD（包含端点A、D）上一动点，连接CP，过点B作于点Q，将沿BC翻折得，N为直线AB上一动点，连接MN，当面积最大时，直接写出的最小值． 例5．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD． (1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线； (2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度． (3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值． 例6．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝，连接AE，CF． (1)求证：△ABE≌△CBF． (2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面积） (3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值． 例7．如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点． （1）求的值； （2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标； （3）求的最小值． 例8．（1）如图①，已知，，，若，，则________； （2）如图②，等腰中，，，点为边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转至，连接、，求证：； （3）如图③，等边中，，于，为线段的中点，点为边的中点，点为线段的中点．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，，，当的值最小时求的面积．      一、单选题 1．如图，矩形中，，，与相交于为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，，，点D为的中点，点E为斜边 上一个动点，将沿折叠得到，连接，，下列结论错误的是（   ） A．若点与点C不重合时，的面积最大值为4.5 B．若点不在斜边上时，的周长最小值为 C．若时，的长为 D．若时，的长为 3．如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 4．如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为(   ) A．1 B． C． D．2 二、填空题 6．如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是 ． 7．如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为 ． 8．在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为 ． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ． 10．如图，△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝60°，AC＝4，则△ABC的面积为 ；点D，点E，点F分别为BC，AB，AC上的动点，连接DE，EF，FD，则△DEF的周长最小值为 ． 三、解答题 11．∠AOB＝30°，OM＝2，D为OB上动点，求MDOD的最小值． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋和直线l2：y＝﹣x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C． （1）求△ABC的面积； （2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF＋OP的最小值． 13．如图所示，在中，，点是上一点，以为一边向右下方作等边，当由点运动到点时，求点运动的路径长． 14．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE． （1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE； （2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．                                                               15．在菱形中，，是对角线上的一点，连接． （1）当在的中垂线上时，把射线绕点顺时针旋转后交于，连接．如图①，若，求的长． （2）在（1）的条件下，连接，把绕点顺时针旋转得到如图②，连接，点为的中点，连接，求的最大值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $