专题05 费马点模型和将军饮马模型（几何模型讲义）（重庆专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“费马点模型”和“将军饮马模型”两大中考几何最值核心考点，系统梳理模型定义、结论证明及应用场景，通过“原理剖析-方法归纳-真题精析”三阶教学环节，帮助学生构建知识网络，突破转化与化归思想的应用难点。 亮点在于“模型可视化”和“思想渗透”教学策略，如通过旋转构造法推导费马点120°夹角结论，利用轴对称将折线转化为直线解决将军饮马问题，培养学生几何直观与推理能力。设置基础例题、中考真题、分层练习三级训练体系，配合即时反馈机制，确保高效突破考点，助力教师精准把控复习进度，提升学生应考能力。

专题05 费马点模型和将军饮马模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。将军饮马模型针对线段和差最值，核心是利用轴对称转化线段，将折线变为直线，依据 “两点之间线段最短”。本专题就最值模型中的费马点问题和将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 2 3 7 模型1.费马点模型 7 模型2.将军饮马模型 10 13 费马点最早由法国数学家‌皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）‌ 在17世纪提出。他研究了一个经典问题：‌如何在三角形内找一点P，使PA + PB + PC的值最小？ 费马最初提出该问题时未给出完整证明，后由其他数学家完善并把该问题命名为费马点问题（模型）。费马点模型通过几何变换将分散线段转化为共线路径，是解决最值问题的核心思想之一，需熟练掌握旋转构造法及角度分析技巧。其本质是‌优化理论在几何中的体现‌，也是变分法的早期雏形。现代应用包括网络基站选址、物流中心优化等实际场景。 将军饮马模型的来源可追溯至古代经典应用题，古人求解 “军营到河岸饮马再到营地” 的最短路径问题时，依托 “两点之间线段最短” 的基本公理与轴对称性质，通过作对称点将折线距离转化为直线距离，后经数学抽象提炼，形成标准化解题模型，成为解决定直线相关距离和差最值的核心工具。 （2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． （2020·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF． （1）求证：； （2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长． 1）.费马点模型 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。（费马点：三角形内的一点到三个顶点距离之和最小的点。） 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图2，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 法2（费马点的作法）：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1） 2）将军饮马模型 核心结论：将军饮马模型的核心是 “利用轴对称转化线段”，将折线距离转化为直线距离（两点之间线段最短），解决 “直线上找一点，使该点到两定点的距离和 / 差最小” 的问题，核心逻辑是 “对称转化 + 线段最短”。 1、模型核心定义 核心场景：平面内有直线 l（如河流），定点 A、B（如将军营地、目的地），在 l 上找一点 P（饮马点），使 PA+PB 最小（或 | PA-PB | 最大）。 转化逻辑：通过作其中一个定点关于直线 l 的对称点（如 A 的对称点 A'），将 PA 转化为 PA'（轴对称性质：PA=PA'），则 PA+PB=PA'+PB，最小值为 A'B 的长度（两点之间线段最短）。 2、模型核心三要素 定直线 l：“河流”，是找点 P 的载体（P 在 l 上）。 两定点 A、B：直线 l 同侧或异侧的固定点（决定对称点的作发）。 对称点：作一个定点关于 l 的对称点，是转化线段的关键。 3、解题通用步骤 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（2）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（3）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 将军饮马模型： 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 模型1.费马点模型 例1如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是 ． 例2．在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 例3．如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值． 例4．如图，在中，，P是内一点，求的最小值为 ． 例5．在等边中，点D是边上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，则，连接交于点F，交于点H． (1)如图1，当点为中点时，且，求点到直线的距离； (2)如图2，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在内部有一个动点P，连接，，，若等边的高等于6，当的值最小时，直接写出此时线段的长． 例6．已知等腰，，点为三角形内一点，连，，． (1)如图，若为等边三角形，且，，求的度数以及边长； (2)如图，若，，求的最小值． 例7．阅读下面材料，并解决问题： (1)思维指引 如图①等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； (2)知识迁移 如图②，中，，，、为上的点且，，求的长度； (3)方法推广 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，直接写出的最小值． 例8．中，． (1)如图1，若，平分交于点，且．证明：； (2)如图2，若，取中点，将绕点逆时针旋转至，连接并延长至，使，猜想线段、、之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，为平面内一点，将沿直线翻折至，当取得最小值时，直接写出的值． 模型2.将军饮马模型 例1如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是、上的动点，则的最小值是 ． 例2．如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标为，，，按下列要求作图，并回答下列问题． (1)画出关于轴对称的图形（点，、分别对应）； (2)的面积________； (3)请在轴上找出一点，满足线段的值最小，画出点，并写出点坐标． 例3．如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的动点，线段绕点按逆时针方向旋转至线段，点是轴上的动点，连接，则的最小值是 ． 例4．如图，在中，,,，直线垂直平分线段，若点为边BC的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（） A．9 B．13 C．12 D．14 例5．平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)在图中作，使和关于轴对称，并写出，，的坐标； (2)求出的面积； (3)在x轴上找一点，使的值最小（保留作图痕迹）． 例6．已知如图所示（顶点、、都在格点上）． (1)请画出将绕点逆时针旋转后得到的，其中点对应点，点对应点． (2)请画出与关于原点对称的． (3)在轴上求作一点，使的值最小，并直接写出P点的坐标为______． 例7．综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 例8．问题探究 （1）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的动点．当取得最小值时，的值是 ； （2）如图，在中，，，，点为边的中点，过点作于点，求的长； 问题解决 （3）如图，四边形的四边是某市产业新区的外环路，已知，，，，是其中的一条贯穿路，点、分别是线段、上的动点，且满足，分别过点、作，，垂足分别为、，连接、，现计划将区域修建成一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能的小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长是5，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值是（   ） A．5 B． C． D． 3．如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　） A． B． C． D． 5．如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 二、填空题 6．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝ ． 7．如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为 ．    8．如图，在中，，的面积为12，的垂直平分线交于点F，若D为边的中点，M为线段上的一动点，则周长的最小值为 ．    9．如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ． 10．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是 ． 三、解答题 11．如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)在平面直角坐标系中画出，并求的面积； (2)画出关于轴对称的； (3)在轴找一点，使最小．（保留作图痕迹，在图中标出点） 12．教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容． (1)问题解决：请结合图①，写出例1的完整解答过程． (2)问题探究：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，∠BAD＝2∠ABC．过点D作DE//AC交BC的延长线于点E．如图②，连结OE，则OE的长为____． (3)如图③，若点P是对角线BD上的一个动点，连结PC、PE，则PC＋PE的最小值为_____． 13．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2 (1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE； (2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长； (3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积． 14．背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． (2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点． (3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值． (4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值． 15．【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】 （3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 费马点模型和将军饮马模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。将军饮马模型针对线段和差最值，核心是利用轴对称转化线段，将折线变为直线，依据 “两点之间线段最短”。本专题就最值模型中的费马点问题和将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 2 9 14 模型1.费马点模型 14 模型2.将军饮马模型 31 44 费马点最早由法国数学家‌皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）‌ 在17世纪提出。他研究了一个经典问题：‌如何在三角形内找一点P，使PA + PB + PC的值最小？ 费马最初提出该问题时未给出完整证明，后由其他数学家完善并把该问题命名为费马点问题（模型）。费马点模型通过几何变换将分散线段转化为共线路径，是解决最值问题的核心思想之一，需熟练掌握旋转构造法及角度分析技巧。其本质是‌优化理论在几何中的体现‌，也是变分法的早期雏形。现代应用包括网络基站选址、物流中心优化等实际场景。 将军饮马模型的来源可追溯至古代经典应用题，古人求解 “军营到河岸饮马再到营地” 的最短路径问题时，依托 “两点之间线段最短” 的基本公理与轴对称性质，通过作对称点将折线距离转化为直线距离，后经数学抽象提炼，形成标准化解题模型，成为解决定直线相关距离和差最值的核心工具。 （2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)的最小值为； (3)符合条件的点的坐标为或． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 由旋转的性质得到， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． （2020·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF． （1）求证：； （2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）证明如下：∵， ∴， ∵，， ∴在和中， ∴， ∴， ∴， 在中，F为DE中点（同时），， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （2）连接AF，由（1）得，，， ∴， 在中，， ∵F为DE中点， ∴， 在四边形ADCE中，有，， ∴点A，D，C，E四点共圆， ∵F为DE中点， ∴F为圆心，则， 在中， ∵， ∴F为CG中点，即， ∴， 即； （3）如图1，在△ABC内取一点P，连接AP、BP、CP，将三角形ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBD，得到△BPD为等边三角形，所以PD=BP， ∴AP+BP+CP=DE+DP+CP， ∴当的值取得最小值时，点P位于线段CE上； 如图2，将三角形ACP绕点C顺时针旋转60°得到△FCG，得到△PCG为等边三角形，所以PC=GP， ∴AP+BP+CP=GF+GP+BP， ∴当的值取得最小值时，点P位于线段BF上； 综上所述：如图3，以AB、AC为边向外做等边三角形ABE和等边三角形ACF，连接CE、BF，则交点P为求作的点， ∴△AEC≌△ABF， ∴∠AEC=∠ABF， ∴∠EPB=EAB=60°， ∴∠BPC=120°， 如图4，同理可得，，    ∴， 设PD为， ∴， 又， ∴， 又 ∴． 1）.费马点模型 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。（费马点：三角形内的一点到三个顶点距离之和最小的点。） 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图2，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 法2（费马点的作法）：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1） 2）将军饮马模型 核心结论：将军饮马模型的核心是 “利用轴对称转化线段”，将折线距离转化为直线距离（两点之间线段最短），解决 “直线上找一点，使该点到两定点的距离和 / 差最小” 的问题，核心逻辑是 “对称转化 + 线段最短”。 1、模型核心定义 核心场景：平面内有直线 l（如河流），定点 A、B（如将军营地、目的地），在 l 上找一点 P（饮马点），使 PA+PB 最小（或 | PA-PB | 最大）。 转化逻辑：通过作其中一个定点关于直线 l 的对称点（如 A 的对称点 A'），将 PA 转化为 PA'（轴对称性质：PA=PA'），则 PA+PB=PA'+PB，最小值为 A'B 的长度（两点之间线段最短）。 2、模型核心三要素 定直线 l：“河流”，是找点 P 的载体（P 在 l 上）。 两定点 A、B：直线 l 同侧或异侧的固定点（决定对称点的作发）。 对称点：作一个定点关于 l 的对称点，是转化线段的关键。 3、解题通用步骤 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（2）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（3）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 将军饮马模型： 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 模型1.费马点模型 例1如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当点四点共线且时，取得最小值， ∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为： ． 例2．在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 【答案】 【详解】解：如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，点是的中点， ∴，且， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小，最小为的值， 如图所示，过点作延长线于点， ∵点是的中点， ∴， ∵是等边三角形，绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 例3．如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值． 【答案】 【详解】解：延长到，使得，则，在的内部作射线，使得，使得，连接，，． ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 的值最小，最小值为． 例4．如图，在中，，P是内一点，求的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，连接PF、AD、DB，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E； ∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD， ∴△PCF、△ACD是等边三角形， ∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC= ∴， ∴当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长； ∵，∠CAD=， ∴∠EAD=， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值最小值为． 故答案为：． 例5．在等边中，点D是边上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，则，连接交于点F，交于点H． (1)如图1，当点为中点时，且，求点到直线的距离； (2)如图2，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在内部有一个动点P，连接，，，若等边的高等于6，当的值最小时，直接写出此时线段的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)4 【详解】（1）解：如图，过点作，交延长线于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴在中，， ∴点到直线的距离． （2）解：猜想，证明如下： 如图，在取一点，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 如图，由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小， 设交于点，连接， 由旋转的性质得：，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴垂直平分，也垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵等边的高等于6，于点， ∴， ∴， 又∵是等边三角形，于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以当的值最小时，线段的长为4． 例6．已知等腰，，点为三角形内一点，连，，． (1)如图，若为等边三角形，且，，求的度数以及边长； (2)如图，若，，求的最小值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点于点重合，连接，过点作交的延长线于点，如图所示： 由旋转的性质得：，，， 是等边三角形， ，， 在中，，，， ， ， 是直角三角形，即， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 的度数是，边的长为； （2）解：将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，过点作于点，连接，如图所示： 由旋转的性质得：，，，， 和均为等边三角形， ，， ， 在中，，，于点， ，， 在中，由勾股定理得：， 是等边三角形，， ， ， ， 点，，在同一条直线上， ， 在中，由勾股定理得：， ， 根据“两点之间线段最短”得：， ， 即， 的最小值为． 例7．阅读下面材料，并解决问题： (1)思维指引 如图①等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； (2)知识迁移 如图②，中，，，、为上的点且，，求的长度； (3)方法推广 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴， 由旋转得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， 故答案为：； （2）解：如图②，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转得，，，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图③，在内部任取一点，连接， 将绕点顺时针旋转得到， 由旋转得，，，， ， ∴， ∴， ∴当四点共线时，取最小值，最小值为， 如图，过点作的垂线交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 例8．中，． (1)如图1，若，平分交于点，且．证明：； (2)如图2，若，取中点，将绕点逆时针旋转至，连接并延长至，使，猜想线段、、之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，为平面内一点，将沿直线翻折至，当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【详解】（1）证明：过点分别作，的垂线，垂足为，， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴，则， 又∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 延长，使得，连接，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵绕点逆时针旋转至， ∴，，则， ∴， ∴， ∴，，则， ∵， ∴， 又∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴是等边三角形， 如图，作，且，作，且， 则，， ∴，， 则， ∴，则 ∴， ∴，即：， ∴ 即：点，都在线段上时，有最小值，如下图， 过点作，过点作交延长线于， 则， ，， 又∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，设 ∴，，则， ∵， ∴，则，， 则由可得：， 整理得：，得， 由翻折可知，， ∴． 模型2.将军饮马模型 例1如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是、上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：作于T，在上截取，连接． ， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴当B、M、F三点共线且（即F与T重合）时为最小值， 故答案为：． 例2．如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标为，，，按下列要求作图，并回答下列问题． (1)画出关于轴对称的图形（点，、分别对应）； (2)的面积________； (3)请在轴上找出一点，满足线段的值最小，画出点，并写出点坐标． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)见解析，点坐标为 【详解】（1）解：如图1所示： （2）解：的面积， 故答案为：2． （3）解：点位置如图2所示，点坐标为． 例3．如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的动点，线段绕点按逆时针方向旋转至线段，点是轴上的动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点B作轴于点H， 由旋转可知，， ， 又， ， 又， ， ， 设点C坐标为， ，， 则点B坐标为， 故点B始终在直线上， 根据图象，可知， ， 如图，过直线作点O的对称点，连接， 根据图象，可知点坐标为， 由对称可知， ， ， ， 则的最小值是． 故答案为：． 例4．如图，在中，,,，直线垂直平分线段，若点为边BC的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（） A．9 B．13 C．12 D．14 【答案】C 【详解】解：连接，， ∵直线垂直平分线段． ， ∵点为边的中点，， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ∵,， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：C． 例5．平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)在图中作，使和关于轴对称，并写出，，的坐标； (2)求出的面积； (3)在x轴上找一点，使的值最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)图见试题详解，，，； (2)； (3)图见试题详解． 【详解】（1）解：如图所示，，，； （2）， ， ， ， ； （3）如图点为所求作． 例6．已知如图所示（顶点、、都在格点上）． (1)请画出将绕点逆时针旋转后得到的，其中点对应点，点对应点． (2)请画出与关于原点对称的． (3)在轴上求作一点，使的值最小，并直接写出P点的坐标为______． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3) 【详解】（1）解：如图所示， （2）如图， （3）如图， 先过x轴作的对称点，连接，与x轴相交于点P，连接， 根据图形可知此时三点共线，的值最小，点P坐标为． 例7．综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 例8．问题探究 （1）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的动点．当取得最小值时，的值是 ； （2）如图，在中，，，，点为边的中点，过点作于点，求的长； 问题解决 （3）如图，四边形的四边是某市产业新区的外环路，已知，，，，是其中的一条贯穿路，点、分别是线段、上的动点，且满足，分别过点、作，，垂足分别为、，连接、，现计划将区域修建成一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能的小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）的周长存在最小值，其最小值为． 【详解】解：（1）取点关于轴的对称点点，连接交轴于点， 由对称性质可得，，， 则取得最小值即取最小值， 且当点是与轴的交点时，取得最小值， 设直线的解析式为， 将，代入解得， 当时，， 即， ． 故答案为：． （2）在中，，，点为边的中点， ，， ， ， 是公共角， ， ， 即， 解得． （3），， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即， ， ， 即为定值，故只需求出的最小值即可， 如图，过作，作点关于的对称点，连接，则， ， 故为的最小值， 过作于点， 由等面积法知， ，， ， ， ， 周长的最小值为． 故的周长存在最小值，其最小值为． 一、单选题 1．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作E点关于的对称点，连接、 、，当、P、F三点共线，时，此时的值最小，由题意可得，则，根据勾股定理即可求出 的值，即的最小值． 【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P， 连接，则， ∴， 当、P、F三点共线，且时，的值最小， ∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了将军饮马问题，垂线段最短，等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质以及勾股定理．熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．如图，正方形的边长是5，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据可得，则，．延长至G，使，则G点与A点关于直线对称，连接交于， 此时的长就是的最小值．求出的长即可得解． 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，以及将军饮马．正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴, ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长至G，使，则G点与A点关于直线对称， 连接交于，连接， 则， 此时，的值最小，最小值为的长， ∵,， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 3．如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值是的长，再证明出是等边三角形，即可求出的长，从而解决问题． 【详解】解：在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时是的垂直平分线， ，， 此时取最小值，最小值为， 等边中，， ， ，， 等边中，，， 又， ， 是等边三角形， ， 即的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称性质、将军饮马模型、垂直平分线性质、等边三角形的判定与性质，解题关键是能将两线段的和的最小值用一条线段长表示． 4．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长． 【详解】解：如图， ∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF， ∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG， ∴△BFG是等边三角形． ∴BF=BG=FG，． ∴AG+BG+CG=FE+GF+CG． 根据“两点之间线段最短”， ∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长， 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBH=180°-120°=60°， ∴∠BEH=30°， ∵BC=4， ∴BE=4， ∴BH=2，EH=2，在Rt△EHC中， ∵EH2+HC2=EC2， ∴EC=4． ∵∠CBE=120°， ∴∠BEF=30°， ∵∠EBF=∠ABG=30°， ∴EF=BF=FG， ∴EF=CE=， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键． 5．如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】连接AM、AC，AM交BD于P，此时PM+PC最小，连接CP，由菱形的性质可知C和A关于BD对称，AP=CP，由条件易证△ABC是等边三角形，根据三线合一可知AM⊥BC，再根据勾股定理可求AM的值，即可求解． 【详解】解：连接AM、AC，AM交BD于P， 此时PM+PC最小，连接CP， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，AC⊥BD， ∴C和A关于BD对称， ∴AP=PC， ∵∠A=120°， ∴∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=2， ∵M是BC的中点， ∴AM⊥BC， ∴∠BAM=30°， ∴BM=1， ∴AM=， ∴PM+PC=AM=． 故选B． 【点睛】本题考查了将军饮马类型的求最小值问题，涉及菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确找到P的位置． 二、填空题 6．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝ ． 【答案】 【分析】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．首先证明当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，想办法求出AC的长即可解决问题. 【详解】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM． ∵AB=AC，AH⊥BC， ∴∠BAP=∠CAP， ∵PA=PA， ∴△BAP≌△CAP（SAS）， ∴PC=PB， ∵MG=PB，AG=AP，∠GAP=60°， ∴△GAP是等边三角形， ∴PA=PG， ∴PA+PB+PC=CP+PG+GM， ∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长， ∵AP+BP+CP的最小值为2， ∴CM=2， ∵∠BAM=60°，∠BAC=30°， ∴∠MAC=90°， ∴AM=AC=2， 作BN⊥AC于N．则BN=AB=1，AN=，CN=2-， ∴BC=． 故答案为． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决问题 7．如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为 ．    【答案】 【分析】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，如图，则△BCM≌△BEN，由全等三角形的对应边相等得到CM=NE，进而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．根据等腰三角形“三线合一”的性质得到BH⊥AE，AH=EH，根据30°直角三角形三边的关系即可得出结论． 【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE． ∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=． 故答案为．    【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．难度比较大．作出恰当的辅助线是解答本题的关键． 8．如图，在中，，的面积为12，的垂直平分线交于点F，若D为边的中点，M为线段上的一动点，则周长的最小值为 ．    【答案】8 【分析】连接，根据，的面积为12，D为边的中点，得到，，直线是的垂直平分线，结合的垂直平分线交于点F，设与交于点N，则，；延长到点G，使得，连接交于点H，则，根据等腰三角形三线合一性质，得到直线是线段的垂直平分线，故直线是线段的垂直平分线，故点D与点G关于直线对称，从而得到当点M与定N重合时，，从而得到的周长最小值为． 【详解】如图，连接，因为，的面积为12，D为边的中点， 所以，，直线是的垂直平分线， 因为的垂直平分线交于点F， 设与交于点N，则，； 延长到点G，使得， 连接交于点H，则， 根据等腰三角形三线合一性质，得到直线是线段的垂直平分线， 故直线是线段的垂直平分线， 故点D与点G关于直线对称， 所以当点M与定N重合时，， 所以的周长最小值为： ．    故答案为：8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，线段的垂直平分线性质，线段最短原理，熟练掌握等腰三角形三线合一性质，线段最短原理是解题的关键． 9．如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接，当点M、N在上时，的周长最小． 【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接． ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ∴； ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． ∴的周长的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定． 作点P关于OA、OB的对称点C、D是解题的关键所在． 10．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH，则OM+ON= NH+ON= NH+ NK≥HK，当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长．根据矩形性质及图形的对称性，易知，在中，运用勾股定理求得HK的长即可． 【详解】解：过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH， ∵OH∥BC，OH=MN=2， ∴四边形OMNH是平行四边形， ∴OM=NH， ∴OM+ON= NH+ON． ∵O点关于BC的对称点是点K， ∴ON=NK， ∴OM+ON= NH+ON= NH+ NK， ∵， ∴当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长． ∵OH∥BC，O点关于BC的对称点是点K， ∴．   ∵O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，O点关于BC的对称点是点K， ∴OK=AB=8． ∵OH= 2，， ∴， ∴OM+ON的最小值是． 【点睛】本题考查了最短路径问题，矩形性质，勾股定理求直角三角形的边长，其中熟练画出OM+ON取最小值时所对应的线段，是解题的关键． 三、解答题 11．如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)在平面直角坐标系中画出，并求的面积； (2)画出关于轴对称的； (3)在轴找一点，使最小．（保留作图痕迹，在图中标出点） 【答案】(1)作图见详解，4 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）先根据、、，描出个点，再依次连接，即可运用割补法即可求出面积； （2）先描出、、关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （3）作A点关于x轴的对称点D，连接，交x轴于点P，问题得解． 【详解】（1）作图如下： 即为所作， 的面积为：； （2）按要求作图如下： 即为所求； （3）作A点关于x轴的对称点D，连接，交x轴于点P，如图， P点即为所求． 证明：根据对称性可知：，即，根据两点之间线段最短可知，当D、P、C三点共线时，，此时值最小． 【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，两点之间线段最短等知识，掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 12．教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容． (1)问题解决：请结合图①，写出例1的完整解答过程． (2)问题探究：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，∠BAD＝2∠ABC．过点D作DE//AC交BC的延长线于点E．如图②，连结OE，则OE的长为____． (3)如图③，若点P是对角线BD上的一个动点，连结PC、PE，则PC＋PE的最小值为_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据菱形的性质先得出，进而证明是等边三角形． （2）先证明四边形ACED是菱形，再求出，用勾股定理即可求出OE的长． （3）先找出点A的对称点，根据对称性得到PC＋PE的最小值为AE的长，利用勾股定理求出AE的长即可． 【详解】（1）四边形ABCD是菱形， ∴AD//BC， ． ， ． 四边形ABCD是菱形， ． 是等边三角形． （2）四边形ABCD是菱形， ∴AD//BC， 又∵DE//AC， 四边形ACED是平行四边形， 由（1）可得， 故四边形ACED是菱形； 则，，∠BDC=30°，OA=2， 则． （3）如图所示，过A作BE的垂线交BE于点F，连接AE， A点关于BD的对称点为点C， 则PC＋PE的最小值为AE； 为等边三角形， ， ，， 则PC＋PE的最小值为． 【点睛】本题考查菱形的性质和判定、等边三角形的性质、最值问题的求解，解决本题的关键是熟练掌握菱形的性质及最值问题的解决方法． 13．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2 (1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE； (2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长； (3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)7 【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE； （2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度； （3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=4，BC=AD=8， ∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点， ∴BQ=CQ=4，CE=2， ∴AB=CQ， ∵PQ=2， ∴BP=2， ∴BP=CE， 又∵∠B=∠C=90°， ∴△ABP≌△QCE（SAS）， ∴AP=QE； （2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点． ∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°， ∴∠GEH=45°， ∴∠CEQ=45°， 设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x， 在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°， ∴CQ=EC， ∴6-x=2， 解得x=4， ∴BP=4； （3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T， ∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH， ∴PF=8，PH=8， ∴PF=PH， 又∵∠FPH=90°， ∴∠F=∠H=45°， ∵PF⊥AD，CD⊥QH， ∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°， ∴FT=TM=4，CN=CH=3， ∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键． 14．背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． (2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点． (3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值． (4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值． 【答案】(1)150°； (2)见详解； (3)； (4)． 【详解】（1）解：连结PP′， ∵≌， ∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60° ∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°， ∴△APP′为等边三角形， ,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°， 在△P′PC中，PC=5， ， ∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°， ∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°， ∴∠APB=∠AP′C=150°， 故答案为150°； （2）证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′， ∵△APB≌△AB′P′， ∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′， ∵∠PAP′=∠BAB′=60°， ∴△APP′和△ABB′均为等边三角形， ∴PP′=AP， ∵， ∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′， ∴点P在CB′上， ∴过的费马点． （3）解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′， ∴△APB≌△AP′B′， ∴AP′=AP，AB′=AB， ∵∠PAP′=∠BAB′=60°， ∴△APP′和△ABB′均为等边三角形， ∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°， ∵ ∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′， ∵，，， ∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC= ∴BB′=AB=2， ∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°， ∴在Rt△CBB′中，B′C= ∴最小=CB′=； （4）解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F， ∴△BCE≌△CE′B′， ∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′， ∵∠ECE′=∠BCB′=60°， ∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形， ∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°， ∵， ∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=2，∠ABC=90°， ∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°， ∵B′F⊥AF， ∴BF=，BF=， ∴AF=AB+BF=2+， ∴AB′=， ∴最小=AB′=． 15．【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】 （3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）． 【详解】（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下; 由旋转知，BN=BM，∠MBN=60° ∴△BMN为等边三角形 故答案为：等边三角形； （2）解：设AB=a， ∵AB+AC=10， ∴AC=10-AB=， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得， ， ∵， ∴，即， ∴， 即BC的最小值为； （3）解：如图3， 将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'， ∴△ABE≌△A'BE'， ∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°， ∴△EBE'为等边三角形， ∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE， ∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE， 要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C， 过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F， 在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°， 设BF=x，则A'B=2x， 根据勾股定理得，A'F=， ∵AB=A'B， ∴AB=2x， ∵AB+BC=6， ∴BC=6-AB=6-2x， ∴CF=BF+BC=6-x， 在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，， ∴当x=，即AB=2x=3时，最小， 此时，BC=6-3=3，A'F=， ∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $