精品解析：河北邯郸市丛台区2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

初三上数学期末测试题 （时间100分钟，满分120分，共8页） 试卷分卷I卷II两部分：卷I为选择题，卷II为非选择题 温馨提示：亲爱的同学，这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光．请认真审题，看清要求，仔细答题，祝你成功！ 卷I（选择题，36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 若两个相似三角形对应边上的高的比为，则这两个三角形的周长的比为（ ） A. B. C. D. 不能确定 3. 已知反比例函数的图象的两支分别在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是电线杆的一根拉线，米，，则的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比，堤高，则坡面的长为（ ） A. B. C. D. 6. 某几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的俯视图和主视图，那么组成该几何体的小正方体的个数最少为（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 7. 如图，点A，B，C在半径为5的上，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知三点，，都在反比例函数的图像上，若，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B、C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接，若的面积是6，则k的值为（　　） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 12. 如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题，84分） 二、填空题（本大题共4个，每题3分，共12分．） 13. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为___________． 14. 在中，，，则的度数是___________． 15. 如图是一个底面为正方形的长方体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个长方体的体积为__________． 16. 如图，一张等腰三角形纸片，底边，高．若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，点M、N均落在腰上，则正方体的棱长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出向下平移4个单位长度得到的， （2）点的坐标是___________； （3）以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，位似比为1 （4）点的坐标是___________． 19. 已知、两点是一次函数和反比例函数的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式： （2）求的面积． （3）观察图象，直接写出不等式的解集． 20. 如图，在中，点D，E分别是边，上的点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21. 如图，是的中线， 求： （1）的长； （2）的正弦值． 22. 泡茶需要将电热水壶中的水先烧到，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温（）与时间（）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度（）与时间（）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于． （1）分别求出图中、所对应的函数关系式； （2）从水壶中的水烧开（）降到就可以泡茶，问从水烧开到泡茶至少需要等待多长时间？ 23. 小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线与底板的边缘线所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点、、在同一直线上，，，． （1）求的长； （2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持120°，求点到的距离．（结果保留根号） 24. 如图，中，，，．动点从点出发，在边上以的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点运动，运动时间为，连接． （1）___________；___________．（用含的式子表示） （2）若与相似，求的值． （3）连接，，如图1所示，若，求的值． （4）请直接写出为何值时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三上数学期末测试题 （时间100分钟，满分120分，共8页） 试卷分卷I卷II两部分：卷I为选择题，卷II为非选择题 温馨提示：亲爱的同学，这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光．请认真审题，看清要求，仔细答题，祝你成功！ 卷I（选择题，36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，解题的关键是掌握俯视图即为从上面看所得到的图形．注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 根据俯视图的定义观察图形即可求解． 【详解】解：这个组合体的俯视图为： 故选：D． 2. 若两个相似三角形对应边上的高的比为，则这两个三角形的周长的比为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形对应边上的高的比为， ∴这两个相似三角形的相似比为， ∴这两个三角形的周长的比为， 故选B． 3. 已知反比例函数的图象的两支分别在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行解题． 根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 4. 如图，是电线杆的一根拉线，米，，则的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦函数的定义得，由此可得出答案． 【详解】解：在中，米，， ， （米）． 故选：B． 5. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比，堤高，则坡面的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，利用坡比求出的长度，再根据勾股定理即可求解，掌握坡比的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，坡比， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 某几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的俯视图和主视图，那么组成该几何体的小正方体的个数最少为（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的知识，易得这个几何体共有3层，2行，2列，先看右边一列正方体的个数，再看左边一列正方体的可能的最少个数，相加即可． 【详解】解：解：综合主视图和俯视图，这个几何体的左边一列有2个正方体，左边一列最少有4个正方体， 所以组成这个几何体的小正方块最少有6块． 故选：C． 【点睛】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案． 7. 如图，点A，B，C在半径为5的上，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作直径，连接，勾股定理求得，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：如图所示， 作直径，连接， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了求余弦，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8. 已知三点，，都在反比例函数的图像上，若，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 先求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为， ∵点都在反比例函数的图象上，， ∴， 故选：D． 9. 函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数解析式可得与轴交点在正半轴，进而排除B，C选项，继而结合图象判断一次函数与反比例函数的符号，即可求解． 【详解】解：∵，令，则， ∴与轴交点在正半轴，故B，C选项错误， A选项中，一次函数，反比例函数比例系数，故A选项正确， D选项中，一次函数，反比例函数比例系数，故D选项正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例数图象综合运用，掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键． 10. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 11. 如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B、C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接，若的面积是6，则k的值为（　　） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】先设，得出，，，再根据的面积是6，得出，最后证明，得出，即，求得的值即可． 【详解】解：设，则，． ∵矩形的顶点A在反比例函数的图象上， ∴． ∵的面积是6， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，能很好地考核学生分析问题，解决问题的能力．解题的关键是将的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法． 12. 如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求角的正切值，相似三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的性质，根据题意，设，，则：，三线合一，得到，进而得到，证明，得到，进而求出的数量关系，再根据正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴设，，则：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得或（不合题意，舍去）； 在中，； 故选A． 卷Ⅱ（非选择题，84分） 二、填空题（本大题共4个，每题3分，共12分．） 13. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质．把代入，即可求解． 【详解】解：把代入， ∴， 解得，， 经检验符合， 故答案为：． 14. 在中，，，则的度数是___________． 【答案】 ##75度 【解析】 【分析】本题考查了由特殊角的三角函数值求角度，以及三角形内角和定理，解决本题的关键是先求解出和的度数． 根据特殊角的三角函数值确定和的度数，再应用三角形内角和定理求解的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图是一个底面为正方形的长方体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个长方体的体积为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查三视图，由三视图可得该长方体的底面正方形的对角线长为，高为，根据长方体的体积公式计算即可． 【详解】解：该长方体的底面正方形的面积为， 长方体的体积为． 故答案为：4． 16. 如图，一张等腰三角形纸片，底边，高．若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，点M、N均落在腰上，则正方体的棱长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 设正方形边长为，根据平行线的性质得到，证明，根据相似三角形的性质得到结论． 【详解】解：如图，设正方体的棱长为，与交于点P， 为的高， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊三角函数的混合运算，二次根式的混合运算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先代入特殊角的三角函数值，并化简绝对值，化简二次根式，化为二次根式的四则混合运算； （2）先代入特殊角的三角函数值，化为二次根式的四则混合运算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出向下平移4个单位长度得到的， （2）点的坐标是___________； （3）以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，位似比为1 （4）点的坐标是___________． 【答案】（1） 如图所示，是所求作三角形； （2） （3） 如图所示，是所求作三角形； （4） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，画位似图形． （1）根据平移的性质画图即可； （2）根据点的位置写出坐标即可； （3）根据位似的性质画图即可， （4）根据点的位置写出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知； 故答案为： 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由图可知； 故答案为：． 19. 已知、两点是一次函数和反比例函数的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式： （2）求的面积． （3）观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象及性质： （1）采用待定系数法求解即可； （2）； （3）根据函数图象即可求得答案． 【小问1详解】 解：因为反比例函数的图象过点， 所以．解得． 反比例函数的解析式为． 因为反比例函数的图象过点， 所以．解得． 点的坐标为． 因为一次函数的图象过点，， 所以，解得， 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， 所以点的坐标为． ． 【小问3详解】 解：将不等式变形，得， 根据函数图象可知或． 20. 如图，在中，点D，E分别是边，上的点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ． （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，通过两组角对应相等证明两三角形相似，进而根据相似三角形对应边成比例进行求解是解题的关键． （1）由，，得出，再根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据，得到，进而得到的长，最终得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，，， ， ， ． 21. 如图，是的中线， 求： （1）的长； （2）的正弦值． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，作于． 在中，，， ，， 在中，， ， ． 【小问2详解】 ， ，，， 在中，． 的正弦值为． 22. 泡茶需要将电热水壶中的水先烧到，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温（）与时间（）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度（）与时间（）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于． （1）分别求出图中、所对应的函数关系式； （2）从水壶中的水烧开（）降到就可以泡茶，问从水烧开到泡茶至少需要等待多长时间？ 【答案】（1）； （2）分钟 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的应用； （1）将点的坐标代入反比例函数的一般形式，利用待定系数法确定反比例函数的解析式；再求得点和点的坐标，继而用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）将代入反比例函数的解析式，从而求得答案． 【小问1详解】 解：停止加热时，设， 由题意得： ， 解得：， ， 当时，解得：， 点坐标为， ∵停止加热了1分钟， 点坐标为， 当加热烧水时，设， 由题意得：， 解得：， 函数关系式为； 函数关系式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， 因此从水烧开到泡茶需要等待分钟． 23. 小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线与底板的边缘线所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点、、在同一直线上，，，． （1）求的长； （2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持120°，求点到的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）12cm；（2）点到的距离为（12+12）cm． 【解析】 【分析】（1）在Rt△AOC中，由30度角所对的直角边长度是斜边的一半求解即可； （2）过点O作OM∥AC，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，交OM于点D，B′E即为点到的距离，根据题意求出∠OB′D=30°，四边形OCED为矩形，根据B′E=B′D+DE求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴． 即OC的长度为12cm． （2）如图，过点O作OM∥AC，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，交OM于点D，B′E即为点到的距离， ∵OM∥AC，B′E⊥AC， ∴B′E⊥OD， ∵MN∥AC， ∴∠NOA=∠OAC=30°， ∵∠AOB=120°， ∴∠NOB=90°， ∵∠NOB′=120°， ∴∠BOB′=120°-90°=30°， ∵BC⊥AC，B′E⊥AE，MN∥AE， ∴BC∥B′E，四边形OCED为矩形， ∴∠OB′D=∠BOB′=30°，DE=OC=12cm， 在Rt△B′OD中，∵∠OB′D=30°，B′O=BO=24cm， ∴ B′D= ， B′E=B′D+DE= ， 答：点到的距离为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定和性质和直角三角形中30度角所对的直角边长度是斜边的一半，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 24. 如图，中，，，．动点从点出发，在边上以的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点运动，运动时间为，连接． （1）___________；___________．（用含的式子表示） （2）若与相似，求的值． （3）连接，，如图1所示，若，求的值． （4）请直接写出为何值时，是等腰三角形． 【答案】（1） （2）或 （3） （4）或或 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质： （1）根据代数式的定义即可求得； （2）分两种情况：当时，当时； （3）过点作的垂线，交于点，证得，求得，，证明，得到； （4）分三种情况讨论：当时，当时，当时，后两种情况结合相似三角形的性质即可求得答案． 【小问1详解】 解：根据题意可知，． 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意可知． （Ⅰ）当时，可得 ． 解得 ． （Ⅱ）当时，可得 ． 解得 ． 综上所述，或． 【小问3详解】 解： 如图所示，过点作的垂线，交于点． ∵，， ∴． ∴，． ∴，． ∴，． ∴． ∵． ∴． 又∵． ∴． ∴． ∴． ∴． 【小问4详解】 解：（Ⅰ）当时，可得 ． 解得 ． （Ⅱ） 如图所示，当时，过点作的垂线，交于点． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． （Ⅲ） 如图所示，当时，过点作的垂线，交于点． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 综上所述，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $