精品解析：陕西省西安市西光中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

西安市西光中学 2025—2026学年度第一学期期末考试 高一年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分150分） 一､单选题（共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用交集的概念及运算即可求解. 【详解】已知集合，所以. 故选： 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则或， 若，则， 所以“”是“”的必要不充分条件； 故选：B 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上单调递增，则， 由在上递增，则， 所以. 故选：D 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性，指数函数的单调性，以及当时函数的符号判断即可； 【详解】定义域为关于原点对称，， 所以函数为奇函数，关于原点对称，故A、C错误； 当时，，所以，故B错误， 故选：D. 5. 已知都是锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，结合同角三角关系以及两角和差公式运算求解. 【详解】因为都是锐角，则， 则， 所以 . 故选：B. 6. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 7. 已知函数，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果. 【详解】因为，所以等价于， 在同一直角坐标系中作出和的图象如图： 两函数图象的交点坐标为， 不等式的解为或. 所以不等式的解集为：. 故选：D. 【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题. 8. 函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解. 【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下， 考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为. 故选：C. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论不正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 已知，且，则一定成立 C. 设，则的最小值是6 D. 若是方程的根，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用赋值法，均值不等式，韦达定理以及指数运算法则求解即可. 【详解】对于A，由题意可得，得， 所以函数的定义域为，A错误； 对于B，因为，且，取，则， 但此时，B错误. 对于C，函数， 当且仅当时取等号.∴函数的最小值是，C正确. 对于D，设方程的另一根为， 由韦达定理可得，即，同时， 所以，D正确. 故选：AB 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若幂函数过点，则 B. 任意 C. D. 任意，函数的值域是 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用函数性质运算求解即可. 【详解】对于，将点代入中，得，解得，故正确； 对于，当时，，显然对任意都成立，故正确； 对于，取时，，此时，不满足，故错误； 对于，整理得，因，故，故正确, 故选： 11 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 直线是函数的图象的一条对称轴 C. 若时，恒成立，则实数m的取值范围为 D. 将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数t的取值范围为． 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式对进行化简，再求最小正周期可判断A，代入检验法可判断B，利用三角函数的性质可判断C，利用三角函数的图象变换和性质可判断D. 【详解】因为， 所以的最小正周期为，故A正确； 又由，故B错误； 当时，可得， 当，即时，取得最小值， 因为，恒成立，所以， 即实数的取值范围为，故C正确； 由题意得函数，因为， 所以，又因为函数有且仅有5个零点， 则满足，解得， 所以实数的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题（共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是偶函数，当时，，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】运用偶函数性质，结合对数运算性质计算即可. 【详解】是偶函数，. 故答案为：2. 13. 在半径为的圆上，一扇形的弧所对的圆心角为，则该扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形面积公式计算即可. 【详解】由题设，，则扇形的面积为. 故答案为： 14. 已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数单调性求解. 【详解】由题知，即； 在上单调递增， 所以，解得， 综上，实数的取值范围是 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记全集，集合或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用并集的结果，列式求解即可. （2）利用交集的结果，结合包含关系列式求解即得. 【小问1详解】 全集，集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为． 【小问2详解】 由，得， 当，即时，，满足，因此； 当，即时，，而，则或， 解得或，因此或，从而或， 所以的取值范围为或． 16. 已知函数 （1）若，且，求的值； （2）若在上单调递增，且，求的解析式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数的解析式，结合关系列方程求； （2）根据题意可知函数的最大值和最小值，结合函数的单调性及取最值的条件可求函数的周期，利用周期公式求，结合关系求，由此可得结论． 【小问1详解】 因为函数， 所以， 又因为，所以； 【小问2详解】 因为； 因为在上单调递增，且， 所以在时取得最小值时取得最大值， 所以的最小正周期为， 所以，所以， 又因为，所以 解得；又因为，所以； . 17. （1）化简 （2）解关于的不等式； （3）已知的解集是函数的定义域，求函数的值域. 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）利用指数，对数的运算法则化简求解即可； （2）对不等式进行因式分解，分类讨论参数范围，求解不等式； （3）先求解函数的定义域，再根据函数的单调性求值域. 【详解】（1）原式可得 . （2）原不等式化为 对应的一元二次方程的根为， ①时，，不等式的解集为； ②时，原不等式化为，解集为； ③时，，不等式的解集为. 综上，当时，不等式解集为； 当时，解集为； 当时，不等式的解集为. （3）由解得，即， 所以，故的定义域是， 又因为是增函数，是减函数，所以在定义域上单调递增， 所以， 所以函数的值域为. 18. 已知函数，且最小正周期 （1）求的最大值及此时的值. （2）求的单调减区间和对称轴. （3）若函数在是否存在实数，使得的最小值为，最大值为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由. 【答案】（1）， （2）单调减区间是， （3）存在实数 【解析】 【分析】（1）运用三角函数基本关系式和二倍角公式化简整理，求出解析式再求解； （2）利用正弦函数的单调性和对称性求解； （3）结合题意求函数值域判断是否存在参数即可. 【小问1详解】 ， 因，所以， 当时，，令 此时 【小问2详解】 由，得. 所以的单调减区间是. 由得， 所以的对称轴方程是. 【小问3详解】 存在实数符合题意. 易知， ，所以， 则， 令，解得， 所以存在实数符合题意. 19. 已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”. （1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由： （2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围； （3）若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值. 【答案】（1）不是，理由见解析； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】(1)假定函数是 “自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答. (2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答. (3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答. 【小问1详解】 假定函数是 “自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有， 即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域， 而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R， 所以函数不 “自均值函数”. 【小问2详解】 依题意，存在，对于，存在，有，即， 当时，的值域是，因此在的值域包含， 当时，而，则， 若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意， 于是得，，要在的值域包含， 则在的最小值小于等于0，又时，递减，且， 从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在的值域， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 依题意，存在，对于，存在，有，即， 当时，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的a值， 当时，在单调递增，在的值域是， 由得，解得，此时a的值不唯一，不符合要求， 当时，函数的对称轴为， 当，即时，在单调递增，在值域是， 由得，解得，要a的值唯一，当且仅当，即，则， 当，即时，，，，， 由且得：，此时a的值不唯一，不符合要求， 由且得，，要a的值唯一，当且仅当，解得，此时； 综上得：或， 所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是或. 【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市西光中学 2025—2026学年度第一学期期末考试 高一年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分150分） 一､单选题（共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A B. C. D. 5. 已知都是锐角，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数在区间上单调递减，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 8. 函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论不正确的是（ ） A. 函数定义域是 B. 已知，且，则一定成立 C. 设，则的最小值是6 D. 若是方程的根，则 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若幂函数过点，则 B. 任意 C. D. 任意，函数的值域是 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 直线是函数的图象的一条对称轴 C. 若时，恒成立，则实数m的取值范围为 D. 将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数t的取值范围为． 三､填空题（共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是偶函数，当时，，则______. 13. 在半径为的圆上，一扇形的弧所对的圆心角为，则该扇形的面积为__________. 14. 已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记全集，集合或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 16. 已知函数 （1）若，且，求的值； （2）若在上单调递增，且，求解析式. 17. （1）化简 （2）解关于不等式； （3）已知的解集是函数的定义域，求函数的值域. 18. 已知函数，且最小正周期 （1）求的最大值及此时的值. （2）求的单调减区间和对称轴. （3）若函数在是否存在实数，使得的最小值为，最大值为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由. 19. 已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”. （1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由： （2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围； （3）若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $