6.4.1 平面几何中的向量方法、6.4.2 向量在物理中的应用举例 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 一、必备知识基础练 1.(探究点一(角度4))在 ABC中,若=-5,则 ABC的形状一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 2.(探究点一(角度1))已知O是 ABC内一点,且满足),则S ABC∶S OBC=( ) A.3∶1 B.1∶3 C.2∶1 D.1∶2 3.(探究点一(角度2) 2025河南开封高一期中)在 ABC中,若=0,则 ABC的形状一定是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 4.(探究点二(角度2) 2025黑龙江鸡西高一期中)如图所示,一条河两岸平行,河的宽度为400 m,一艘船从河岸的A地出发,向河对岸航行.已知船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|=6 km/h,水流速度v2的大小为|v2|=2 km/h,船的速度与水流速度的合速度为v,那么当航程最短时,下列说法正确的是( ) A.船头方向与水流方向垂直 B.cos<v1,v2>=- C.|v|=4 km/h D.该船到达对岸所需时间为3 min 5.(探究点一(角度3))已知点G是 ABC的重心,= + ( , ∈R),若A=120 ,=-2,则||的最小值是( ) A. B. C. D. 6.(探究点二(角度2))一条河宽为800 m,一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速为2 m/s,水速为1.2 m/s,则船到达B处所需时间为 s. 7.(探究点二(角度1))用两条成120 角的等长的无弹性的绳子悬挂一个灯具,如图所示,已知灯具受到的重力为10 N,则每根绳子的拉力大小为 N. 8.(探究点一(角度3))如图,E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点,AB=1,CD=2,∠ABC=75 ,∠BCD=45 ,则线段EF的长是 . 9.(探究点二(角度1) 2025福建漳州高一期中)一质点在力F1=(-1,-2),F2=(3,4)的共同作用下,由点A(4,-5)移动到点B(2,0),则F1,F2的合力F对该质点所做的功为 . 10.(探究点一(角度3))在 ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos( -C)=,若CD为AB边上的中线,CD=,a=5,则b=  . 11.(探究点一(角度2))如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90 ,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE. 12.(探究点二(角度2))某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶,感觉到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h时,他又感觉到风从西南方向吹来,求实际风速的大小和方向. 二、关键能力提升练 13.O是平面ABC内的一定点,P是平面ABC内的一动点.若() ()=() ()=0,则O为 ABC的( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 14.(多选题)已知 ABC所在平面内有三点O,N,P,则下列说法正确的是( ) A.若||=||=||,则点O是 ABC的外心 B.若=0,则点N是 ABC的重心 C.若,则点P是 ABC的垂心 D.若() =0,且,则 ABC为直角三角形 15.在四边形ABCD中,若=(1,2),=(-4,2),则向量的夹角为 ,四边形ABCD的面积为 . 16.(2025江苏连云港高一期中)如图,在等腰三角形ABC中,已知||=||=4,A=120 ,E,F分别是边AB,AC上的点(不包括所在线段的端点),且= = ,其中 , ∈R,且 +2 =1,若线段EF,BC的中点分别为M,N,则||的最小值是 . 17.已知 ABC是等腰直角三角形,∠B=90 ,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC. 18.(北师大版教材例题)如图,已知 ABCD的两条对角线相交于点M.求证:AC,BD互相平分. 三、学科素养创新练 19.(北师大版教材例题)已知AD,BE,CF是 ABC的三条高.求证:AD,BE,CF相交于一点. 参考答案 1.D 因为=-5<0,所以A为钝角,所以 ABC一定是钝角三角形.故选D. 2.A 设D为BC的中点,则)=)=)= 2,则, 所以S ABC∶S OBC=3∶1.故选A. 3.A 由题设 ()==0,得CA⊥CB,即C=90 ,而AC,BC的数量关系无法确定,所以 ABC一定是直角三角形.故选A. 4.C 当航程最短时,船的实际航线应垂直于河岸,此时船在静水中的速度v1应斜向上游,船头方向与水流方向不垂直,A错误.设船在静水中的速度v1与水流速度v2的夹角为 ,因为船的实际航线垂直河岸,根据三角函数关系可得|v2|=|v1|cos(180 - ).已知|v1|=6 km/h,|v2|=2 km/h,则2=6cos(180 - ),即cos(180 - )=,根据诱导公式,可得-cos =,所以cos =-,即cos<v1,v2>=-≠-,B错误.|v|=,将|v1|=6 km/h,|v2|=2 km/h代入,可得|v|==4(km/h),C正确.河宽d=400 m=0.4 km,|v|=4 km/h,可得t=(h).所以t= 60=3 min≠3 min,D错误.故选C. 5.C ∵点G是 ABC的重心,∴).∵A=120 ,=-2,∴=||||cos 120 =-2.设||=x,||=y,∴||||=4,即xy=4.||=|=.∵x2+y2≥2xy=8(当且仅当x=y时取等号),∴||≥,即||的最小值为.故选C. 6.500 根据题意,设船速为v1,水速为v2,作出如图所示的示意图,则|v1|=2 m/s,|v2|=1.2 m/s,因为v实际=v1+v2,且v实际⊥v2,所以|v实际|=(m/s), 所以所需时间t==500(s). 7.10 设重力为G,每根绳的拉力分别为F1,F2,则由题意得F1,F2与-G都成60 角,且|F1|=|F2|.∴|F1|=|F2|=|G|=10 N,∴每根绳子的拉力都为10 N. 8. 如图,. ∵E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点, ∴2=()+()+()=. ∵∠ABC=75 ,∠BCD=45 ,∴<>=60 , ∴||= = =. ∴EF的长为. 9.6 由题意得F=F1+F2=(-1,-2)+(3,4)=(2,2),=(-2,5),则合力F对该质点所做的功为F =(2,2) (-2,5)=-4+10=6. 10.13 因为cos( -C)=,所以cos C=-.因为0<C< ,所以C=.因为CD为AB边上的中线,所以),所以4||2=||2+||2+2,所以4||2=||2+||2+2|| || cos<>, 所以129=b2+25+2b 5 cos, 化简得b2-5b-104=0, 解得b=13或b=-8(舍去). 11.证明 =() () = = = =-|2+|2. 因为CA=CB,所以-|2+|2=0,故AD⊥CE. 12.解设v1表示20 km/h的速度,在无风时,此人感觉到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感觉到的风速为v+(-v1)=v-v1. 如图,令=-v1, =-2v1,实际风速为v. ∵, ∴=v-v1. 这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度. ∵,∴=v-2v1. 这就是当车的速度为40 km/h时,骑车人感觉到的风速. 由题意,得∠DCA=45 ,DB⊥AB,AB=BC, ∴ DCA为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45 , ∴DA=DC=BC.∴|v|=20 km/h. ∴实际风速的大小是20 km/h,为东南风. 13.B 因为() ()=0,则() ()=0,所以=0,所以||=||.同理可得||=||,即||=||=||,所以O为 ABC的外心. 14.ABC 对于A,因为||=||=||,所以点O到 ABC的三个顶点的距离相等,所以O为 ABC的外心,故A正确; 对于B,设D为BC的中点,由=0,得2=-,即=2,所以点N在中线AD上. 同理可知点N在 ABC的另外两条中线上,所以N是 ABC的重心,故B正确; 对于C,由,得() =0,即=0,所以,即CA⊥PB.同理,AB⊥PC,所以点P是 ABC的垂心,故C正确; 对于D,由() =0,得角A的平分线垂直于BC,所以AB=AC,由,得cos∠BAC=,所以∠BAC=,所以 ABC为等边三角形,故D错误.故选ABC. 15. 5 由=1 (-4)+2 2=0知,故向量的夹角为. 又∵||=,||==2, ∴四边形ABCD的面积S=|||= 2=5. 16. 在等腰三角形ABC中,由||=||=4,A=120 ,可得=||||cos A=4 4 (-)=-8.∵M,N分别是线段EF,BC的中点,∴)=( + ),), ∴[(1- )+(1- )], ∴[(1- )2+(1- )2+2(1- )(1- )]=4[(1- )2+(1- )2-(1- )(1- )].∵ +2 =1,∴1- =2 ,∴=4[(2 )2+(1- )2-2 (1- )]=4(7 2-4 +1)=4[7( -)2+].其中 , ∈(0,1),所以 ∈(0,),所以当 =时,为最小值,即||的最小值为. 17.证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系, 设A(0,2),C(2,0), 则D(1,0),=(2,-2). 设= ,则=(0,2)+(2 ,-2 )=(2 ,2-2 ).又=(-1,2),由题设,所以=0,所以-2 +2(2-2 )=0,所以 =.所以.所以. 又=(1,0),所以cos∠ADB=,cos∠FDC=, 又∠ADB,∠FDC∈(0, ),所以∠ADB=∠FDC. 18.证明设=x=y,则=x=x+x+y+y()=(1-y)+y. 于是得到关于基底{}的两个分解式. 因为分解是唯一的,所以解方程组,得 所以点M是AC和BD的中点,即对角线AC和BD在交点M处互相平分. 19.证明如图,设AD与BE交于点H,以下只需证明点H在CF上. 因为AD⊥BC,BE⊥CA, 所以=0,=0. 也就是() =0, ① () =0. ② ①-②,得 ()=0,即=0, 所以CH⊥AB. 又CF⊥AB,所以C,H,F三点共线,点H在CF上. 11 学科网(北京)股份有限公司 $