精品解析：湖南长沙市雨花区2025-2026学年上学期期末质量监测九年级数学试卷

2025年下学期期末质量监测试卷 九年级数学 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分。 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项。本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知和关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为 C. 其最大值为 D. 当时，随的增大而减小 3. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图、左视图、俯视图都相同的是（　　） A. B. C. D. 4. 若，则关于x的方程必有一根是（ ） A. B. C. D. 5. 一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ） A. 至少有1个球是黑球 B. 至少有1个球是白球 C. 至少有2个球是黑球 D. 至少有2个球是白球 6. 如图，线段是的直径，弦，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 在反比例函数的图象上有三点：．若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，点E在上，与对角线交于点F．若，，则为（　　） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的顶点坐标为_______． 12. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 13. 在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=______． 14. 从3、5、6、9中随机取一个数作为十位数字，再从余下的数中随机取一个数作为个位数字组成两位数，这个两位数是奇数的概率是_______． 15. 如图，小东用长2米的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆的高度AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，OD＝3米，DB＝9米，则旗杆AB的高为_____米． 16. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则______． 三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，在中，，，，求的长． 20. 某商场以每件210元的价格购进一批商品，当每件商品售价为270元时，每天可售出30件，为了迎接“双十一购物节”，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件． （1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P在x轴上，且的面积为5，求点P的坐标． 22. 如图，中，，点D为上一点，过D作射线交于点E，且满足． （1）求证：； （2）设，写出y关于x的函数表达式，当x取何值时y值最大，最大值是多少？ 23. 无人机在实际生活中应用广泛，如图，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为，已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A，B，C，D，P在同一平面内）． （1）填空：_______，_______； （2）求楼的高度；（精确到0.1米） （3）求此时无人机距离地面的高度．（参考数据：，） 24. 已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）设OP=AC，求∠CPO的正弦值； （3）设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围． 25. 如图①，已知的图象经过点、，其对称轴为直线，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）若P在直线下方，连接、，当m为何值时四边形面积最大，并求出其最大值； （3）如图②，以P为旋转中心，将顺时针旋转得到，点F恰好落在直线l上，求出符合条件的点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期末质量监测试卷 九年级数学 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分。 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项。本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知和关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的特点，有理数的乘方运算，根据点关于原点对称，则横坐标、纵坐标均为相反数，根据关于原点对称的点坐标关系，求出a和b的值，再计算即可． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴（横纵坐标均互为相反数）， ∴． 故选：A． 2. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为 C. 其最大值为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式进行逐项判断即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 函数有最小值，当时，随的增大而减小， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 3. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图、左视图、俯视图都相同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从正面、左面、上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】解：A、主视图、左视图、俯视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项符合题意； B、主视图与左视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；而俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意； C、主视图是“L”型，俯视图是一行三个小正方形，而左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意． D、主视图为底层两个小正方形，上层的右边是一个小正方形；左视图为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，熟记常见几何体的三视图及简单组合体的三视图是解决问题的关键． 4. 若，则关于x的方程必有一根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根，由题目中所给条件代入方程可以求出方程的两个根，其中有一个准确的根． 【详解】解：∵，代入方程中， ， ， ∴，． 故选：C． 5. 一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ） A. 至少有1个球是黑球 B. 至少有1个球是白球 C. 至少有2个球是黑球 D. 至少有2个球是白球 【答案】A 【解析】 【详解】解：一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件． 故选A． 6. 如图，线段是的直径，弦，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理、邻补角的定义，理解并掌握相关性质定理是解决问题的关键； 根据垂径定理可得，进而可得，则可求. 【详解】解：∵是直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 7. 在反比例函数的图象上有三点：．若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用反比例函数的增减性判断即可． 【详解】解：在反比例函数的图象上有三点：，且， ∴反比例函数图象位于第二、四象限，（x1，y1），（x2，y2）分别在第四象限，（x3，y3）在第二象限，且在每个象限y随x的增大而增大， 则y3＞y1＞y2， 故选：A． 【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的增减性是解本题的关键． 8. 如图，在菱形中，点E在上，与对角线交于点F．若，，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的性质证明，可得，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵菱形，， ∴，， ∴，而， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键． 9. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定、、的正负，再利用代入解析式，得到的正负即可判定两个函数的图象所在的象限，即可得出正确选项． 【详解】解：由图象可知：图象开口向下，对称轴位于轴左侧，与轴正半轴交于一点， 可得： 又由于当时， 因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于一、三象限； 故选：A． 10. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的顶点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式的顶点坐标直接求解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 12. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；由题意易得，然后代值求解即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴，即， ∴； 故答案为3． 13. 在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】如图所示： ∵∠C=90°，tanA=， ∴设BC=x，则AC=2x，故AB=x， 则sinB=. 故答案为 ． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题的关键． 14. 从3、5、6、9中随机取一个数作为十位数字，再从余下的数中随机取一个数作为个位数字组成两位数，这个两位数是奇数的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：列表可得： 十位数 个位数 3 5 6 9 3 53 63 93 5 35 95 6 36 56 96 9 39 59 69 由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中这个两位数是奇数的情况有种， 故这个两位数是奇数的概率为， 故答案为：． 15. 如图，小东用长2米的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆的高度AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，OD＝3米，DB＝9米，则旗杆AB的高为_____米． 【答案】8 【解析】 【分析】图中正好构成两个相似三角形，△OCD∽△OAB，即=，代入数据求解即可. 【详解】∵△OCD∽△OAB，∴=，∵OD=3，DB=9，CD=2，∴AB===8.故答案为8. 【点睛】掌握相似三角形的相关性质是解题的关键. 16. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则______． 【答案】108 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：108 三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，代入特殊角的三角函数值，计算即可得出结果，熟练掌握特殊角的三角函数值是解此题的关键． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】，，， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，由题意可得，从而得出或，再分别求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解可得，， 解可得，， ∴原方程的解为，，，． 19. 如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，作于点，由正弦和正切的定义可得，，结合，得出，，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于点， ， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 20. 某商场以每件210元的价格购进一批商品，当每件商品售价为270元时，每天可售出30件，为了迎接“双十一购物节”，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件． （1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 【答案】（1）降价前商场每天销售该商品的利润是1800元 （2）每件商品应降价30元 【解析】 【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售数量解答； （2）根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【小问1详解】 （270﹣210）×30＝1800 （元）． ∴降价前商场每天销售该商品的利润是1800元． 【小问2详解】 设每件商品应降价x元， 由题意，得 （270﹣x﹣210）（30+3x）＝3600， 解得 x1＝20，x2＝30． ∵要更有利于减少库存， ∴x＝30． 答：每件商品应降价30元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P在x轴上，且的面积为5，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用点A在上求a，进而代入反比例函数求k即可； （2）设，求得C点的坐标，则，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可． 【详解】（1）把点代入，得， ∴ 把代入反比例函数， ∴； ∴反比例函数的表达式为； （2）∵一次函数的图象与x轴交于点C， ∴， 设， ∴， ∴， ∴或， ∴P的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键． 22. 如图，中，，点D为上一点，过D作射线交于点E，且满足． （1）求证：； （2）设，写出y关于x的函数表达式，当x取何值时y值最大，最大值是多少？ 【答案】（1）证明过程见解析 （2），当时，y值最大，最大值是 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理得出，即可得出结论； （2）由（1）可得，即，从而可得，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）可得，， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，y值最大，最大值是． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 无人机在实际生活中应用广泛，如图，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为，已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A，B，C，D，P在同一平面内）． （1）填空：_______，_______； （2）求楼的高度；（精确到0.1米） （3）求此时无人机距离地面的高度．（参考数据：，） 【答案】（1）， （2）楼的高度为米 （3）此时无人机距离地面的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作于点，则，由题意可得，，，再结合，，计算即可得出结果； （2）作于点，则，从而可得四边形为矩形，由矩形的性质可得米，米，解直角三角形得出米，即可得出结果； （3）作于点，交于点，则，从而可得四边形为矩形，米，证明，得出米，即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，作于点，则，                                                 由题意可得：，，， ∴，； 【小问2详解】 解：如图，作于点，则，                                                ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， 故楼的高度为米； 【小问3详解】 解：如图：作于点，交于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴米， 由题意可得， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∴此时无人机距离地面的高度为米． 24. 已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）设OP=AC，求∠CPO的正弦值； （3）设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围． 【答案】（1）连接OC， ∵OA=OC，∴∠A=∠OCA， ∵AC∥OP，∴∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP， ∴∠COP=∠BOP， ∵PB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴∠OBP=90°，在△POC与△POB中，∵OC=OB，∠COP=∠BOP，OP=OP， ∴△COP≌△BOP， ∴∠OCP=∠OBP=90°， ∴PC是⊙O的切线； （2）； （3）9≤d+f≤15． 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠OCA，由平行线的性质得到∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP，等量代换得到∠COP=∠BOP，由切线的性质得到∠OBP=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）过O作OD⊥AC于D，根据相似三角形的性质得到CD•OP=OC2，根据已知条件得到=，由三角函数的定义即可得到结论； （3）连接BC，根据勾股定理得到BC的值，当M与A重合时，得到d+f=12，当M与B重合时，得到d+f=9，于是得到结论． 【详解】解：（1）略 （2）过O作OD⊥AC于D， ∴∠ODC=∠OCP=90°，CD=AC， ∵∠DCO=∠COP，∴△ODC∽△PCO， ∴，∴CD•OP=OC2， ∵OP=AC，∴AC=OP，∴CD=OP， ∴OP•OP=OC2， ∴=， ∴sin∠CPO==； （3）连接BC，∵AB是⊙O的直径， ∴AC⊥BC，∵AC=9，AB=15， ∴BC= =12， 当M与A重合时，d=0，f=BC=12，∴d+f=12 当CM⊥AB时，d=AM，f=BM，d+f=AB=15 当M与B重合时，d=AC=9，f=0，d+f=9 ∴d+f的取值范围是：9≤d+f≤15． 【点睛】本题是圆的综合题，正确的作出辅助线是解题的关键． 25. 如图①，已知的图象经过点、，其对称轴为直线，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）若P在直线下方，连接、，当m为何值时四边形面积最大，并求出其最大值； （3）如图②，以P为旋转中心，将顺时针旋转得到，点F恰好落在直线l上，求出符合条件的点P的坐标． 【答案】（1） （2）当时，四边形的面积最大，为 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由角平分线的定义可得，证明为等腰直角三角形，得出，从而可得，求出直线的解析式为，再由，且为定值，得出最大时，最大，过点作轴交于点，设，则，求出，表示出，再由二次函数的性质计算即可得出结果； （3）当时，过点作轴于，交直线于点，证明，得出；当时，作直线轴，交轴于点，作直线于点，证明，得出；分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵的图象经过点、，其对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∵过点A作轴交抛物线于点C， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，且为定值， ∴最大时，最大， 如图，过点作轴交于点， ， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，为； 【小问3详解】 解：如图，当时，过点作轴于，交直线于点， ， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由题意可得：， ∴，， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或， 当时，， ∴； 如图，当时，作直线轴，交轴于点，作直线于点， ， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由题意可得：， ∴，， ∴， 解得：或（不符合题意）， 当时， ∴； 综上所述，点P的坐标为或 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数的图象与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $