江苏省海安高级中学2026届高考数学一轮复习——圆锥曲线专题训练（一）

江苏省海安高级中学2026届高考数学一轮复习校本资料 圆锥曲线专题训练（一） 【圆锥曲线专题训练（一） 第 1 页 （共 36 页）】 学科网（北京）股份有限公司 一、解答题：本题共30小题，共500分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 1.本小题15分 已知椭圆C：的焦距为2，离心率为 Ⅰ求椭圆C的标准方程； Ⅱ经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求线段AB的长． 2.本小题15分 已知椭圆的离心率为，上顶点为 求E的方程 过点斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两M、N，且，求k的值． 3.本小题15分 已知点、分别是椭圆C：的左、右焦点，点为椭圆C的上顶点，点B是直线与椭圆C另一个交点， 求椭圆的离心率； 若的面积为，求点B的坐标． 4.本小题15分 已知为椭圆的一个焦点，且C经过点，设直线与C交于P，Q两点，记直线OP，OQ的斜率分别为，，其中O为坐标原点. 求C的方程; 用m表示的值. 5.本小题15分 已知点，，动点M使直线MA，MB的斜率之积为，其轨迹为曲线 求曲线C的方程; 已知点，点P在曲线C上，直线PF与y轴交于点Q，满足，求直线PF的方程. 6.本小题17分 设椭圆经过点，其离心率 求椭圆M的方程； 直线与椭圆M交于A、B两点，且的面积为，求m的值． 7.本小题17分 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D， 求E的方程; 证明：直线CD过定点. 8.本小题17分 已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点 求双曲线C的方程； 已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值. 9.本小题17分 设椭圆的左焦点为F，上顶点为已知椭圆的短轴长为4，离心率为 Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若为原点，且，求直线PB的斜率． 10.本小题17分 已知椭圆的离心率为，且过点 求C的方程; 点M，N在C上，且，，D为垂足.证明：存在定点Q，使得为定值. 11.本小题17分 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的焦点为，过作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆：交于点A，与椭圆C交于点连结并延长交圆于点B，连结交椭圆C于点E，连结已知 求椭圆C的标准方程； 求点E的坐标． 12.本小题17分 已知椭圆的左右焦点是，且的离心率为抛物线的焦点为，过的中点Q垂直于x轴的直线截所得的弦长为    求椭圆的标准方程；    设椭圆上一动点T满足：，其中是椭圆上的点，且直线的斜率之积为若为一动点，点P满足 试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由. 13.本小题17分 已知M，N为椭圆：和双曲线：的公共顶点，，分别为和的离心率． 若 求的渐近线方程； ⅱ过点的直线l交的右支于A，B两点，MA，MB与直线交于，两点，记A，B，，坐标分别为，，，，求证：； 从上的动点引的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，说明理由． 14.本小题17分 如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于P、Q两点，且   若，，求椭圆的标准方程；   若，求椭圆的离心率 15.本小题17分 如图，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，，圆C方程为   求椭圆及圆C的标准方程； 过原点O作直线l与圆C交于M､两点，若，求直线l的方程. 16.本小题17分 已知椭圆的一个顶点为，右焦点为F，且，其中O为原点． Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ已知点C满足，点B在椭圆上异于椭圆的顶点，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程． 17.本小题17分 已知椭圆C：过点，且 Ⅰ求椭圆C的方程； Ⅱ过点的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，求的值． 18.本小题17分 设椭圆的左焦点为F，上顶点为已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且 Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点若为原点，求k的值． 19.本小题17分 已知抛物线C：的焦点为F，点到F的距离为 求抛物线C的方程． 过焦点F的直线l与C交于A，B两点，以为圆心的圆与直线AB相切于点M，点M为线段AB中点．点在C的准线上运动． ①若，且点A，B关于x轴对称，求四边形DAEB的面积． ②求四边形DAEB面积的取值范围． 20.本小题17分 如图，椭圆E：经过点，且离心率为 Ⅰ求椭圆E的方程； Ⅱ经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，均异于点，证明：直线AP与AQ斜率之和为 21.本小题17分 已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为， Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ若直线l：与椭圆交于A、B两点，与以为直径的圆交于C、D两点，且满足，求直线l的方程． 22.本小题17分 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的短轴长为，离心率为 求C的方程; 如图，过点O的直线异于y轴与C交于点P，Q，过左焦点F作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为 ①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，，证明：为定值； ②记，的面积分别为，，求的取值范围. 23.本小题17分 阅读材料： 极点与极线，是法国数学家吉拉德笛沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线C的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换另一变量y也是如此，即可得到点对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为对于双曲线，与点对应的极线方程为即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中，极点与极线有以下基本性质和定理 ①当P在圆锥曲线C上时，其极线l是曲线C在点P处的切线; ②当P在C外时，其极线l是曲线C从点P所引两条切线的切点所确定的直线即切点弦所在直线 ③当P在C内时，其极线l是曲线C过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹. 根据上述材料回答下面问题： 已知双曲线，右顶点到C的一条渐近线的距离为， 已知点G是直线上的一个动点，点G对应的极线与双曲线交于点A，B， 若，证明：极线AB恒过定点. 在的条件下，若该定点为极线AB的中点，求出此时的极线方程 若，，，极线AB交C的右支于A，B两点，点A在x轴上方，点P是双曲线C的左顶点，直线AE，直线BP分别交y轴于M，N两点，点O为坐标原点，求的值 24.本小题17分 已知椭圆E：的右顶点为A，上顶点为B，，离心率为 求E的方程； 直线l平行于直线AB，且与E交于M，N两点， ①P，Q是直线AB上的两点，满足四边形MNPQ为矩形，且该矩形的面积等于，求l的方程； ②当直线AM，BN斜率存在时，分别将其记为，，证明：为定值． 25.本小题17分 已知双曲线，点，经过点M的直线l交双曲线C于不同的两点A、B，过点A、B分别作双曲线C的切线，两切线交于点二次曲线在曲线上某点处的切线方程为 Ⅰ求证：点E恒在一条定直线L上; Ⅱ若两直线l与L交于点N，，，求的值; Ⅲ若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别做直线L的垂线，垂足分别为 P、Q，记，，的面积分别为，，，问：是否存在常数m，使得若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由. 26.本小题17分 如图，已知抛物线，点，，抛物线上的点，过点B作直线AP的垂线，垂足为 求直线AP斜率的取值范围； 求的最大值． 27.本小题17分 已知椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为B，离心率为，，过点作不与x轴重合的直线l与C交于D，在D的左侧两点，，交于点 求C的方程; 求证：为定值分别为，的斜率； 求的取值范围. 28.本小题17分 设常数在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线l：，曲线：与x轴交于点A、与交于点、Q分别是曲线与线段AB上的动点． 用t表示点B到点F的距离； 设，，线段OQ的中点在直线FP上，求的面积； 设，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 29.本小题17分 已知过点的椭圆的离心率为 求椭圆C的方程; 已知点A是椭圆C的左顶点，直线与椭圆C相交于P，Q两点，且P，Q两点均不与点A重合; ⅰ若直线l与圆相切，证明：以 PQ为直径的圆经过坐标原点; ⅱ若直线AP， AQ的斜率之积为，证明：直线 l过定点，并求出定点的坐标. 30.本小题17分 如图，已知椭圆的离心率为，与y轴正半轴交于点，过原点O不与x轴垂直的动直线l与C交于A，B两点. 求椭圆C的标准方程； 设直线PA、PB的斜率分别为、，证明：为定值，并求出该定值； 以点为圆心，为半径的圆与直线PA、PB分别交于异于点P的点M和点N，求与面积之比的取值范围. 圆锥曲线专题训练（一） 参考答案与解析 1.【答案】解：Ⅰ设椭圆的半焦距为c， 由题意可得，，解得， ， 则椭圆的方程为； Ⅱ过椭圆的左焦点，倾斜角为的直线l的方程为， 与椭圆方程联立，可得， 设A，B的横坐标分别为，，可得，， 则  【解析】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题． Ⅰ设椭圆的半焦距为c，由题意可得c，运用离心率公式可得a，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程； Ⅱ求得直线AB的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值． 2.【答案】解：因为椭圆  的离心率为，上顶点为， 所以，，即， 因为，解得， 所以椭圆E的方程为； 根据题意，设直线，设，， 则，整理得， ，即， ，， ， 即，解得：或舍去，   【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系. 根据题意求出a，b的值，即可求出结果； 根据题意，设直线，设，，与椭圆方程联立，得出，利用弦长公式，即可求出结果. 3.【答案】解：由题意可知，为等边三角形， 则， 又，则， 所以 由知，，， 则椭圆的方程， 直线AB的倾斜角为，则其斜率为， 故直线AB的方程为， 将其代入椭圆的方程，可得点B的坐标为， 所以， 故，即点B的坐标为  【解析】本题考查椭圆中三角形的面积、求椭圆的离心率，属于较易题． 利用，为等边三角形，求椭圆C的离心率． 分别求出直线AB与椭圆的方程，将直线AB的方程代入椭圆的方程，从而可用c表示出点B的坐标，利用三角形的面积公式求出c的值，即可得到点B的坐标． 4.【答案】解：依题意可得，解得， 从而可得； 由题意，联立，得， 又，所以方程有两个不同的实根， 设，所以 ， 所以， 所以   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 5.【答案】解：设，则， 整理得C， 由题意可知直线PF斜率存在，设，， 令得， 由，得， ， 代入， 得，，， 直线  【解析】本题主要考查了双曲线的方程，以及直线方程，属于基础题. 利用已知得，解得即可； 首先解得，再利用，解得，代入中，解得k，即可求出直线方程. 6.【答案】解：由已知，解得，， 椭圆M的方程为 由得：， 由，得：， 设，， 则，， ， 又P到的距离为， ， 即， 解得：符合， 故  【解析】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，属于中档题. 由经过点P，得，由离心率为，得，再根据联立解方程组即可； 联立直线方程与椭圆方程消y，得，易知判别式，设，，弦长公式及点到直线的距离公式可表示出的面积，令其为，即可解出m值，验证是否满足 7.【答案】解：由题意 ， 椭圆E的方程为 由知， 则直线PA的方程为， 联立， 由韦达定理，代入直线PA的方程得，，即， 直线PB的方程为， 联立， 由韦达定理，代入直线PA的方程得，，即， 直线CD的斜率， 直线CD的方程为：， 整理得 ， 直线CD过定点 【解析】本题考查直线于椭圆的位置关系，定点问题，属于较难题； 求出各点坐标，表示出向量； 求出C，D两点坐标，进而求出直线CD，即可证明. 8.【答案】解：根据题意，设双曲线C的方程为， 代入，得，解得， 所以双曲线的方程为 由， 消去y得， 恒成立， 设，， 由根与系数的关系可得， 所以， 所以线段AB的中点坐标为，即， 因为点在圆上， 所以，解得 所以实数m的值为  【解析】本题考查双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系及其应用，属于中档题． 设有公共渐近线的双曲线系方程，然后代入点计算，即可得出答案； 联立直线与双曲线的方程，得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系表示出线段AB的中点坐标，代入圆的方程，计算即可得出答案． 9.【答案】解：Ⅰ由题意可得，即， 则，， 解得，， 故椭圆方程为； Ⅱ，设PB的方程为， 代入椭圆方程， 可得， 解得或， 即有， ，令，可得， 又，， 可得，解得， 可得PB的斜率为  【解析】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查化简运算能力，属于中档题． Ⅰ由题意可得，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，c，进而得到所求椭圆方程； Ⅱ，设PB的方程为，联立椭圆方程，求得P的坐标，M的坐标，由，运用斜率之积为，解方程即可得到所求值． 10.【答案】解：由题意可知，，， 解得，， 所以椭圆方程为 证明：设点，， 因为，所以， 所以，① 当k存在的情况下，设， 联立得， 由，得， 由根与系数的关系得，， 所以， ， 代入①式化简可得， 即， 所以或， 所以直线方程为或， 所以直线过定点或， 又因为和A点重合，故舍去， 所以直线过定点， 所以AE为定值，又因为为直角三角形，AE为斜边， 所以AE中点Q满足为定值，此时   【解析】本题考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于较难题. 根据条件列方程求解即可. 联立直线与椭圆的方程，根据根与系数的关系结合两直线的斜率之积为化简即可证明. 11.【答案】解：，， ，，则， ，则， ，，则椭圆方程为， 取，得，则 又，，解得或舍去即 椭圆C的标准方程为； 由知，，， ，则：， 联立，得 解得或舍 即点E的坐标为  【解析】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明是解答该题的关键，是中档题． 由题意得到，然后求AD，再由求得a，则椭圆方程可求； 求出D的坐标，得到，写出的方程，与椭圆方程联立即可求得点E的坐标． 12.【答案】解：抛物线的焦点为，  过Q垂直于x轴的直线截所得的弦长为， 所以，解得， 所以， 又椭圆的离心率为， ， 椭圆的方程为； 设，，， 则由， 得 ， ，                   点在椭圆上， 所以， ， ，      故 ， 设分别为直线的斜率， 由题意知， ， 因此，                                所以， 所以N点是椭圆上的点，  由知，又 ， ， 恰为椭圆的左、右焦点， 由椭圆的定义，为定值.  【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程，考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆锥曲线相交弦长问题，圆锥曲线中的定值问题，涉及向量的几何应用和坐标运算，属于难题. 根据题意得到，再由直线截所得的弦长为，进而得到，即，结合椭圆的离心率为，求出，即可得到椭圆的方程； 设，，，由，得 ，，再根据点在椭圆上，结合直线的斜率之积为，得到，进而知N点是椭圆上上的点，利用求出，再根据由椭圆的定义，可知为定值. 13.【答案】解：由题意得，，所以， 解得，又，所以 故双曲线的渐近线方程为； 证明：设直线AB的方程为， 则消元得：， 且， 所以 故， 又直线的方程为， 所以，同理， 所以 ， 故 设两个切点为，，由题意知，斜率存在， 直线方程为， 联立由得，所以， 同理直线方程为， 由，过P点可得可得直线的方程为， 不妨设直线与双曲线两渐近线交于两点， ， 则围成三角形的面积 因P在双曲线上，，则为定值.  【解析】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查直线与椭圆、双曲线的位置关系，考查圆锥曲线中的定点、定值问题，属于难题. ⅰ由，求出a，即可写出双曲线的渐近线方程； ⅱ设直线AB的方程为，由根据韦达定理可得：；这时直线的方程为，所以，同理，下面验证即可. 设两个切点为，，由题意知，斜率存在，直线方程为 ，联立由得，所以，同理直线方程为，根据”设而不求法“知：直线的方程为 ，然后求出直线与两渐近线的交点坐标即可求出直线与双曲线两渐近线围成三角形的面积，最后化简即可. 14.【答案】解：由椭圆的定义，， 故， 设椭圆的半焦距为c，由已知， 因此，即， 从而， 故所求椭圆的标准方程为 连接， 由椭圆的定义，，，从而， 又，且，所以，所以， 又因为， 所以， 在中，， 即，解得  【解析】本题考查了椭圆的定义，椭圆的性质，勾股定理，属于中档题． 由椭圆的定义，，求出a，再根据，求出c，进而求出椭圆的标准方程； 由椭圆的定义和勾股定理，可求出离心率． 15.【答案】解：由题意， 由，可得，即，故， 由，代入解得，，， 则椭圆方程为，圆的方程为   ①当直线l的斜率不存时，直线方程为，与圆C相切，不符合题意； ②如图，当直线l的斜率存在时，设直线方程为 由可得， 依题意，需使，即， 设，则， ， 而圆心C的坐标为，则， 所以， 即， 代入得：， 解得或， 故得直线l的方程为或   【解析】本题考查直线与圆的位置关系的判断及求参、求圆的标准方程、椭圆的标准方程，属于中档题. 由可得，由可得，联立求出即得； 设直线l的方程代入圆的方程，将其化成一元二次方程，计算，设，分别求出，将条件代入坐标化简计算，即可求得直线斜率，从而得到直线方程. 16.【答案】解：由已知可得记半焦距为c，由可得 又由，可得 所以，椭圆的方程为 因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以 依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在．设直线AB的方程为 由方程组，消去y，可得， 解得或 依题意，可得点B的坐标为 因为P为线段AB的中点，点A的坐标为，所以点P的坐标为 由，得点C的坐标为，故直线CP的斜率为， 即 又因为，所以 整理得，解得或 所以，直线AB的方程为或   【解析】本题中考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力 Ⅰ根据题意可得，由，可得，即可求出椭圆方程； Ⅱ根据题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为，联立方程组，求出点B的坐标，再根据中点坐标公式可得点P的坐标，根据向量的知识求出点C的坐标，即可求出CP的斜率，根据直线垂直即可求出k的值，可得直线AB的方程． 17.【答案】解：Ⅰ椭圆C：过点，且， 则，解得，， 椭圆方程为 Ⅱ由题意可得直线l的斜率存在，设直线方程为， 由，消去y整理可得， ，解得， 设，， ，， 则直线AM的方程为，直线AN的方程为， 分别令， 可得， ， 将和代入上式整理可得， ， 故  【解析】本题考查了直线和椭圆的位置关系的综合应用，考查了运算求解能力，属于较难题． Ⅰ由题意可得，解得，，即可求出椭圆方程； Ⅱ由题意可得直线l的斜率存在，设直线方程为，设，，与椭圆方程联立，根据韦达定理得出和，再求得直线AM的方程为，直线AN的方程为，分别令，求出和，代入化简整理即可得出结论． 18.【答案】解：Ⅰ设椭圆的焦距为2c， 由椭圆的离心率为，； 又， ， 由，，且； 可得， 从而解得，， 椭圆的方程为； Ⅱ设点P的坐标为，点Q的坐标为，由已知； ； 又，且， ， 由，可得； 由方程组，消去x，可得， 由Ⅰ易知直线AB的方程为； 由方程组，消去x，可得； 由，可得， 两边平方，整理得， 解得或； 的值为或  【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，属于拔高题． Ⅰ设椭圆的焦距为2c，根据椭圆的几何性质与已知条件，求出a、b的值，再写出椭圆的方程； Ⅱ设出点P、Q的坐标，由题意利用方程思想，求得直线AB的方程以及k的值． 19.【答案】解：易知点T在抛物线C上，且抛物线C的准线方程为， 由抛物线的定义可得，解得， 因此，抛物线C的方程为 设点、，易知抛物线C的焦点为，准线为 ①若，且点A、B关于x轴对称，则，，点， 四边形DABE的面积为 ②如下图所示： 若直线AB与x轴重合，则直线AB与抛物线C只有一个交点，不合乎题意. 若直线轴，由①可知，四边形DAEB的面积为 若直线AB不与坐标轴垂直时，设直线AB的方程为， 联立，消去x并整理得，， 由根与系数的关系可得，， 设点，则，，即点， ，且，，，解得 不妨设，则直线AB的方程为，， ，， 点到直线的距离， ，则， ， 因此，四边形DAEB的面积 综上所述，四边形DAEB面积的取值范围是 【解析】本题主要考查了抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质，属于较难题. 利用抛物线的定义可求出p的值，即可得出抛物线C的方程; ①求出、，利用四边形的面积公式可求得四边形DAEB的面积; ②当直线轴，求出四边形DAEB的面积为3，当直线l不与x轴垂直，设直线l的方程为，求出的面积以及的面积的取值范围，由此可得出四边形DAEB的面积的取值范围. 20.【答案】解：Ⅰ由题设知，，， 结合，解得， 所以； Ⅱ证明：由题意设直线PQ的方程为， 代入椭圆方程， 可得， 由已知得在椭圆外， 设，，， 则，， 且，解得或 则有直线AP，AQ的斜率之和为 即有直线AP与AQ斜率之和为  【解析】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式． Ⅰ运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程； Ⅱ由题意设直线PQ的方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论． 21.【答案】解：Ⅰ由题意可得， 解得，， 椭圆的方程为； Ⅱ由题意可得以为直径的圆的方程为 圆心到直线l的距离， 由，可得， ， 设，， 联立， 化为， ， 可得， ， 由，得， 解得满足题意． 因此直线l的方程为  【解析】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于较难题． Ⅰ由题意可得，解出即可； Ⅱ由题意可得以为直径的圆的方程为，利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线l的距离d及，可得m的取值范围．利用弦长公式可得设，把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长由，即可解得m，从而求解． 22.【答案】解：设椭圆的焦距为2c， 由题意知，，解得， 所以C的方程为； ①证明： 设直线MN的方程为，，， 联立方程组，消去x得， 得，即， 所以 ， ②由题得，， 又，所以， 由椭圆的对称性知， 所以， 因为直线MN的方程为，所以， 因为，所以直线PQ的方程为， 将它代入，解得，， 所以， 所以， 令，，则， 所以， 易知函数在区间上单调递增， 所以， 当且仅当即时取得等号， 所以，即， 综上所述，的取值范围为  【解析】本题考查直线与椭圆的综合应用，直线与圆的位置关系，定值问题和面积问题，属于难题. 由题意知，，求出a，b，即可得椭圆方程; ①设直线MN的方程为，，，联立直线与椭圆方程，利用根与系数关系式即可求证; ②求出，求得，联立直线PQ和椭圆方程，求出，得，换元，利用函数的单调性和基本不等式即可求解. 23.【答案】解：右顶点为，，由，， 双曲线的标准方程为 点G在直线上， 设，根据阅读材料可得极线AB为：， 则由，定点为 若定点为AB的中点，设，， 则，由点差法可得， 所以极线方程为：经检验符合题意 由题意，设则极线AB为：即， 由 设，，由韦达定理可得，， 直线，得， 直线，得，   【解析】本题考查解析几何中的新定义问题，双曲线的方程，属于较难题. 先求得双曲线方程为，再根据题意求证； 利用点差法求解； 求得极线方程为，再与双曲线联立，结合韦达定理，求解. 24.【答案】解：因为，所以， 又因为离心率为，所以， 则， 又， 故，， 所以E的方程为 ①易知，，则AB方程为 因为，设直线 l： 设1，y1，2，y2， 联立直线l与E方程： 消去y得：2x2， 则，解得，且且， 所以， 因为，所以，即 化简得，解得或 所以直线l方程为或 ②证明：，， 则 定值  【解析】本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题. 由已知构造关于a、b、c的方程组，求解即可得到方程； ①易知，，则AB方程为，联立方程组，由弦长公式求出，由平行线距离求出，结合已知条件求出m的值，进而可得结果； ②，结合韦达定理，作变形，可得定值 25.【答案】解：Ⅰ证明：设，，， 由题意得，切线EA的方程为：， 将点E代入得：， 同理可得：， 易知点A，B都在直线上， 所以直线l的方程为：， 因为直线l过点，所以， 所以点E恒在定直线L：上； Ⅱ设，因为， 所以，整理得， 因为点在双曲线上， 所以， 整理得， 同理可得， 所以，，是关于x的方程的两个实根，所以； Ⅲ设l：，与C：联立得： ， ，， 因为直线L的方程为， 所以，， 所以 ， 同理，， 所以 ， 故存在，使得   【解析】本题考查双曲线中定直线问题，双曲线与向量的综合问题，双曲线中的面积问题，属于较难题. Ⅰ结合二次曲线的切线方程可得； Ⅱ设点N的坐标，结合向量运算与韦达定理即得； Ⅲ将直线l与双曲线C的方程联立，使用韦达定理，并分别表示三个三角形的面积代入运算即得. 26.【答案】解：由题可知，， 所以， 故直线AP斜率的取值范围是：； 由Ⅰ知，， 所以， 设直线AP的斜率为k，则，即， 则AP：，BQ：， 联立直线AP、BQ方程可知， 故， 又因为， 故 ， 所以， 令，， 则 ， 由于当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故， 即的最大值为  【解析】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，属于较难题． 通过点P在抛物线上可设，利用斜率公式结合可得结论； 由Ⅰ知，，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BQ方程可知Q点坐标，进而可用k表示出、，计算可知，通过令，，求导结合单调性可得结论． 27.【答案】解：椭圆的左、右顶点为、，上顶点为， 离心率，故， 结合得，即， ， 代入得， 解得，则， 故椭圆C的方程为 设过点的直线l方程为， 消去x得：， ，， 设、，由韦达定理得，， ， 因此为定值； 过点D，M，E作x轴的垂线，垂足分别为P，N，Q， 则，，，， ， 设直线的斜率为k，由知，的斜率为，直线的方程为，① 直线的方程为，② ①②联立，解得，点M的横坐标为 ， ， 设，则，易知在上单调递增，， 的取值范围为  28.【答案】解：由题意可设， 由抛物线的性质可知：，； ，，，则，， 不妨设，设OQ的中点D，， ，则直线PF方程：， 联立，整理得：， 解得：，舍去，的面积； 存在，设，则，， 直线QF方程为， ，， ，， 设，则， 根据，解得，，则， ，解得：， 存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上，且  【解析】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于拔高题． 根据抛物线的定义，即可求得； 根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得的面积； 设P点坐标，根据直线，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据，求得E点坐标，则，即可求得P点坐标． 29.【答案】解：由题意得，解得， 所以椭圆C的方程为 由得，将直线l的方程与椭圆C的方程联立， 并消去y整理得， 因为直线l与椭圆C有两个交点，  ， 设，，则，， ， 证明：因为直线l与圆相切， 所以圆心到直线l的距离为，即， 于是， 因为， 所以，即， 所以以PQ为直径的圆经过坐标原点. 证明：椭圆C的左顶点A的坐标为， 所以， ， 化简得，所以或， 当时，直线l的方程为，即，直线l过定点，不合题意; 当时，直线l的方程为，即，直线l过定点， 此时，满足题意， 综上即证直线l过定点，点的坐标为  30.【答案】解：因为椭圆与y轴正半轴交于点， 所以， 所以因为椭圆的离心率为， 所以， 故， 故椭圆方程为： 设，则， 故， 而，故 故为定值且定值为 由题设， 圆E：，直线PA：， 由可得， 即，故， 由可得， 即，同理， 而， ， 而， 故， 令， 故，其中， 故 ， 而，故，故， 即与面积之比的取值范围是  【解析】本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，椭圆中的定点、定值、定直线问题，椭圆中三角形面积问题，属于难题． 根据离心率可得a，b的关系，再根据P可求b，故可求标准方程． 设，则可得，根据A在椭圆上可得定值． 求出E的方程，分别联立直线方程和椭圆方程、直线方程和圆的方程后可得A，B，M，N的横坐标，从而可得面积之比，结合换元法可得范围． $