江苏省海安高级中学2026届高考数学一轮复习——数列专题训练（一）

江苏省海安高级中学2026届高考数学一轮复习校本资料 数列专题训练（一） 【数列专题训练（一） 第 1 页 （共 36 页）】 学科网（北京）股份有限公司 （难度分布：易/中/难 = 5/15/10） 一、解答题：本题共30小题，共500分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 1.本小题15分 已知数列满足：，设， 求数列的通项公式； 设数列其前n项和为，如果对任意的恒成立，求实数m的取值范围. 2.本小题15分 已知数列的前n项和为，点在直线上， 求数列的前n项和以及数列的通项公式； 若数列满足，设数列的前n项和为，求的最小值. 3.本小题15分 已知等差数列满足：，，其前n项和为 Ⅰ求数列的通项公式及； Ⅱ若，求数列的前n项和 4.本小题15分 已知等差数列和等比数列满足，， 求的通项公式; 求和： 5.本小题15分 已知等差数列的前n项和为，且， 求数列的通项公式； 若，令，求数列的前n项和 6.本小题17分 已知数列的前n项和为，， 证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； 求数列的前n项和； 若对任意恒成立.求实数的取值范围. 7.本小题17分 记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列． 求的通项公式； 证明：… 8.本小题17分 已知等比数列的前n项和为，且 求数列的通项公式. 在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，其中m，k，p成等差数列成等比数列?若存在，求出这样的3项;若不存在，请说明理由. 9.本小题17分 已知公比大于1的等比数列满足 求的通项公式； 记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和 10.本小题17分 已知数列的前n项和为，且 证明：是等比数列，并求的通项公式; 记，记数列的前n项和为 ①求 ②若存在，使得，求的取值范围. 11.本小题17分 已知等差数列中，，前8项和为 求的通项公式； 从中依次取出第3，9，27，…，，…项，按原来的顺序排列成一个新的数列，若，求数列的前n项和 12.本小题17分 设，有以下三个条件： ①是2与的等差中项；②，；③为正项等比数列，，在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分 若数列的前n项和为，且        . 求数列的通项公式； 若是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列的前n项和 13.本小题17分 设数列的前n项和为，已知， 证明：数列是等比数列； 设，求数列的前n项和为 14.本小题17分 已知等差数列满足：，且 求数列的通项公式； 记为数列的前n项和，求 15.本小题17分 已知数列的前n项积，等差数列中，， 求数列、的通项公式； 令，求数列的前n项和 16.本小题17分 已知数列是公比为3的等比数列，成等差数列． 求数列的通项公式； 若，设数列的前n项和为，求证： 17.本小题17分 已知数列的前n项和为，，， 求的通项公式； 若，且，求数列的通项公式； 在的条件下，若，求的前n项和 18.本小题17分 已知首项为1的正项数列满足 求； 求的通项公式； 求数列的前n项和 19.本小题17分 记为数列的前n项和，且， 设，求数列的通项公式； 探究数列的单调性； 证明： 20.本小题17分 已知数列是等差数列，且，，数列是公比大于0的等比数列，， 求数列，的通项公式； 设，求数列的前n项和； 设，求数列的前n项和 21.本小题17分 已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为数列是公比大于0的等比数列， 求数列和的通项公式； 记， 证明：是等比数列； 证明： 22.本小题17分 设是等差数列，是等比数列．已知，，， Ⅰ求和的通项公式； Ⅱ设数列满足，其中 求数列的通项公式； 求 23.本小题17分 已知数列的首项，前n项和为设和k为常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“”数列． 若等差数列是“”数列，求的值； 若数列是“”数列，且，求数列的通项公式； 对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 24.本小题17分 已知数列，，满足，， 若为等比数列，公比，且，求q的值及数列的通项公式； 若为等差数列，公差，证明：…， 25.本小题17分 已知数列的前n项和为，，且 求数列的通项公式； 设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 26.本小题17分 已知是无穷数列．给出两个性质： ①对于中任意两项，，在中都存在一项，使得； ②对于中任意一项，在中都存在两项，，使得 Ⅰ若…，判断数列是否满足性质①，说明理由； Ⅱ若…，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由； Ⅲ若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列． 27.本小题17分 等差数列的前n项和为已知，为整数，且 求的通项公式； 设，求数列的前n项和 28.本小题17分 数列的前n项和记为， 求数列的通项公式； 设，求数列的前n项和； 对于中的数列，问是否存在正整数k，使得，，成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数k；若不存在，请说明理由. 29.本小题17分 已知数列、，其中，将数列中与数列相同的项去掉，剩下的项按照原来的顺序排列构成新数列，称数列为数列与数列的差数列.设，用表示不超过x的最大整数，例如，，函数被称为高斯函数. 若，求的值; 若，请写出数列的一个通项公式并说明理由请用高斯函数表示 已知，，求的值. 30.本小题17分 给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”． 设是首项为1，公比为的等比数列，，，判断数列是否与接近，并说明理由； 设数列的前四项为：，，，，是一个与接近的数列，记集合，求M中元素的个数m； 已知是公差为d的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在，，…，中至少有100个为正数，求d的取值范围． 数列专题训练（一） 参考答案与解析 1.【答案】解：当时，，解得， 当时，①，②， 由①-②得， 即， 可得， 即， 所以， 易知时也满足上式，所以，， 所以，； 由知， 所以， 由对任意的恒成立， 所以  【解析】本题考查数列与不等式，等比数列的前n项和公式，数列的前n项和及与的关系，属于较易题． 由数列的递推式：当时，；当时，，推得，再由等比数列的定义和通项公式，可得所求； 求得，运用等比数列的求和公式和不等式的性质，以及不等式恒成立思想，可得所求范围． 2.【答案】解：由题意可得，，即， 当时，， 两式相减可得，， 当时，，满足上式， 故，； ， 则， 函数的对称轴为， 可知，当时，， 当时，， 故的最小值为  3.【答案】解：设等差数列的公差为d，则， 解得：，， ， ， 数列的前n项和为…   【解析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 利用“裂项求和”方法即可得出． 4.【答案】解：设等差数列的公差为d， 由，， 可得：， 解得， 所以的通项公式 设等比数列的公比为q，则奇数项构成公比为的等比数列， 由Ⅰ可得，等比数列满足， 由于，可得舍去，等比数列奇数项符号相同， 所以， 则是公比为3，首项为1的等比数列，    【解析】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力. 利用已知条件求出等差数列的公差，然后求的通项公式； 利用已知条件求出，然后求得，进而求得数列的和即可. 5.【答案】解：由题意知：，，设等差数列的公差为d， 即：，化简得 所以数列的通项公式； 因为， 所以①， ①得②， ①-②， ， 化简得： 【解析】本题考查了等差数列的通项公式，错位相减法求和，是中档题. 利用等差数列的前n项和公式与通项公式，即可解出、，则可写出其通项公式； 利用错位相减，化简可得出答案. 6.【答案】解：证明： 数列的前n项和为， ，， 由，两边同时除以， 可得， 又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列， 由等差数列的通项公式可得， 所以； 由， 可得， 所以 ， 所以； 若对任意恒成立， 即有， 整理得恒成立， 令， 则， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 即的最小值为， 综上，， 即实数的取值范围是  【解析】本题考查等差数列的判定或证明，错位相减法求和，数列与不等式等，属于中档题． 根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式； 应用错位相减法及等比数列前n项和公式求； 将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围． 7.【答案】解：已知，是公差为的等差数列， 所以，整理得，①， 故当时，，②， ①-②得：， 故， 化简得：，，，，， 所以， 故，且首项符合通项， 所以的通项公式为：； 证明：由于， 所以， 所以 8.【答案】解：由 ，得，两式相减，得数 列是等比数列，又时，代入可得，， 由题意得， 即，故 假设在数列中存在三项，，其中m，k，p成等差数列成等比数列， 则，即， 、k、p成等差数列，， 则式可化为，故 这与题设矛盾，在数列中不存在三项，，其中m，k，p成等差数列成等比数列.  【解析】本题考查了根据求通项公式，等比数列、等差数列的性质，属于中档题． 根据题意，时，得到并化简，然后讨论 时的情况，进而得到，间的关系，最后根据等比数列的定义得到答案； 假设存在，则必然有，进而得到k，m，p间的关系，然后判断答案． 9.【答案】解：设等比数列的公比为q，且， ，， ， 解得舍或， 数列的通项公式为 由知，，，，，，， 则当时，，当时，， 以此类推，，， ，， ，，   【解析】本题考查了数列求和及等比数列通项公式，属中档题． 根据等比数列通项公式列出方程，求出首项和公比，即可求出通项公式; 根据等比数列通项公式，归纳数列的规律，从而求出其前100项和． 10.【答案】解：因为 当时，，解得 当时，由，得， 所以，所以， 所以，又， 所以，所以是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，所以 ①由知， 所以 ②当n为偶数时，， 因为是单调递减的，所以 当n为奇数时， ， 又是单调递增的， 因为，所以， 要使存在，使得，只需，即， 故的取值范围是  11.【答案】解：由题意得，解得，所以； 由题知，， 则， 设，前n项和为， 则， ， ， 所以 ， 所以， 所以  12.【答案】解：若选择①：因为是2与的等差中项，所以， 当时，解得 当时，由，， 两式相减得，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为 若选择②，由，，则，， 两式相减得， 又因为，，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为 若选择③，设正项等比数列的公比为， 则， 解得或舍去 所以数列的通项公式为 因为是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以 由知，所以 所以① 在①的等式两边同乘以，得 ② 由①②等式两边相减，得 ， 所以数列的前n项和 13.【答案】解：因为，所以，整理得，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列． 由可得，则， 所以，故， 当时，，则， 则， 所以 14.【答案】解：设等差数列的公差为d，依题意可化为， ， 化简得：， 解得：或 当时，； 当时，， 从而得数列的通项公式为或 当时，，； 当时，， 综上：或 15.【答案】解：因为数列的前n项积， 所以，， 所以当， 当，所以； 因为等差数列中，，， 设公差为d，所以， 所以； 因为， 所以数列的前n项和 16.【答案】解：因为，，成等差数列，所以， 又因为数列是公比为3的等比数列， 所以，解得， 所以， 所以数列的通项公式为； 证明：由知，则， 可得，则， 两式相减，可得， 所以， 因为， 所以数列是递增数列，则， 又因为， 可得， 综上可得：  17.【答案】解：由，得， 以上两式相减，得，即， 因为，所以， 所以，，，，，是公差为1的等差数列， 从而， 由，解得， 所以，，，，，是公差为1的等差数列，从而， 所以； 由得， 所以， 所以， 因为，所以， 所以数列为常数列，且， 所以； 由知， 所以， 所以 18.【答案】解：，， ，即， 解得 由得， 所以是首项为1，公差为1的等差数列， ，则 ， 故数列的前n项和   19.【答案】解：因为，所以，故 又， 所以数列是以为首项，9为公比的等比数列， 故，所以 因为，所以， 因为， 所以数列单调递增. 因为，由可得， ， 因为，所以 综上， 20.【答案】解：设等差数列的公差为d， 由题意可得，，解得， ， 设等比数列的公比为， 由题意可得，，解得， ， 由可得， ，① ，② ①-②，得， 21.【答案】证明：由数列是公差d为2的等差数列，其前8项的和为64， 可得， 解得， 所以； 由数列是公比q大于0的等比数列，， 可得， 解得舍去， 所以 证明：因为， 所以， 则， 所以， 又， 所以数列是以8为首项，4为公比的等比数列； 证明：设， 考虑，则， 所以， 则， 两式相减可得，， 所以， 则， 故  【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和、不等式的证明，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于拔高题． 由等差数列的求和公式，解方程可得首项，进而得到；由等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到； 利用已知数列的通项公式，表示出，然后利用等比数列的定义证明即可； 设，然后利用放缩法得到，再利用错位相减法求解数列的和，即可判断以，从而证明不等式． 22.【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 依题意有：， 解得， ， Ⅱ数列满足， 其中 ， 数列的通项公式为：   【解析】本题考查等差数列、等比数列通项公式及前n项和，考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力，属于较难题. Ⅰ设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，利用等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，能求出和的通项公式． Ⅱ由，能求出数列的通项公式． ，由此能求出结果． 23.【答案】解：时，， 由n为任意正整数，且，，可得； ，代入可得： ① 则 ， 因此② 由可得： 即， 即， 从而，又， 可得， ，， 综上可得，； 若数列为“”数列， 则 所以， 即 ， 两边同时除以得： ③， 令， 因为，， 所以，即， 所以③式可化为： ， 即， 当时，， 解得舍去， 即。 此时只有一个数列，不满足题意。 当时，原方程为 令，则方程可化为， 即， 若，由上述讨论可知不满足题意， 所以只考虑， 所以有， 即，所以或。 当时，，所以， 所以，不满足题意， 时，原方程为，可得， 由上述讨论知，不符合题意，所以， 所以，解得。 此时有两个解， 分别为，，所以，， 所以， 此时共有三个解，其中， 则对任意的n，有或 或， 即或或， 此时或或， 所以或 或， 所以，此时共有三个解，其中， 则对任意的n，有或或， 即或或。 此时或或。 所以或 或，此时满足题意， 综上所述，的取值范围是  【解析】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，以及数列的递推式的运用，考查分类讨论思想，以及运算能力和推理论证能力，属于难题． 由“”数列可得，结合数列的递推式，以及等差数列的定义，可得的值； 运用“”数列的定义，结合数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求通项公式； 若存在三个不同的数列为“”数列，则，由两边立方，结合数列的递推式，以及t的讨论，二次方程的实根分布和韦达定理，即可判断是否存在，并可得取值范围． 24.【答案】解：由题意，，， ，， 整理，得， 解得舍去，或， ， 数列是以1为首项，4为公比的等比数列， ， ， 则，，，…… ，， 各项相加，可得，时， …， 当时代入适合， 证明：依题意，由，可得 ， 两边同时乘以，可得 ， ， 数列是一个常数列，且此常数为， ， ， … … ， …，故得证．  【解析】本题主要考查数列求通项公式，等差数列和等比数列的基本量的运算，以及和式不等式的证明问题．考查了转化与化归思想，整体思想，方程思想，累加法求通项公式，裂项相消法求和，放缩法证明不等式，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属于综合题． 先根据等比数列的通项公式将，代入，计算出公比q的值，然后根据等比数列的定义化简可得，则可发现数列是以1为首项，4为公比的等比数列，从而可得数列的通项公式，然后将通项公式代入，可得，再根据此递推公式的特点运用累加法可计算出数列的通项公式； 通过将已知关系式不断进行转化可构造出数列，且可得到数列是一个常数列，且此常数为，从而可得，再计算得到，根据等差数列的特点进行转化进行裂项，在求和时相消，最后运用放缩法即可证明不等式成立． 25.【答案】 ① 当时，② ①-②， 在①式中，令，则， 满足， 对一切恒成立， 为等比数列，且首项为，公比为， 故； 由，   ①   ② 由①-②   ， 由， 当时，则， 此时， 当时，不等式显然成立， 当时，则，  ， 又 关于n单调递增，且当时，， 综上：  【解析】本题考查数列的递推关系、等比数列的证明和通项公式、错位相减法和数列中的恒成立问题. 根据题意可得是首项为，公比为的等比数列，代入通项公式可得； 化简，利用错位相减法可得，代入化简可得恒成立，对n分类讨论可得的范围. 26.【答案】解：Ⅰ不满足，理由：，不存在一项使得 Ⅱ数列同时满足性质①和性质②， 理由：对于任意的i和j，满足， 因为，且， 所以，则必存在，此时，且满足，性质①成立， 对于任意的n，欲满足，满足即可，因为，，且， 所以可表示所有正整数，所以必有一组k，l使，即满足，性质②成立． Ⅲ首先，先证明数列恒正或恒负， 反证法：假设这个递增数列先负后正， 那么必有一项绝对值最小或者有与同时取得绝对值最小， 如仅有一项绝对值最小，此时必有一项，此时 与前提矛盾， 如有两项与 同时取得绝对值最小值，那么必有， 此时，与前提条件矛盾， 所以数列必然恒正或恒负， 在数列恒正的情况下，由②知，存在k，l使得， 因为是递增数列，， 即，所以，此时，，成等比数列， 数学归纳法： 已证时，满足是等比数列，公比， 假设时，也满足是等比数列，公比， 那么由①知等于数列的某一项，证明这一项为即可， 反证法： 假设这一项不是，因为是递增数列，所以该项， 那么，由等比数列得， 由性质②得，同时，所以， 所以，分别是等比数列中两项，即，， 原式变为， 所以，又因为，，，不存在这组解，所以矛盾， 所以知，前为等比数列， 由数学归纳法知，是等比数列得证， 同理，数列恒负，也是等比数列．  【解析】本题属于新定义题，考查等比数列的性质，数学归纳法等，考查逻辑思维能力，属于困难题． Ⅰ由，即可知道不满足性质． Ⅱ对于任意的i和j，满足，，必存在，可得满足性质①；对于任意的n，欲满足，即可，必存在有一组k，l使使得它成立，故满足性质②． Ⅲ先用反证法证明数列必然恒正或恒负，再用数学归纳法证明也是等比数列，即可． 27.【答案】解：设等差数列的公差为d， 由，为整数，且得，， 即，， ，，即，， 解得， 由为整数，得d为整数， ， 的通项公式为 ， ……   【解析】本题主要考查数列通项公式及前n项和的求法，考查学生对裂项相消求和的能力及运算能力，属中档题． 由题意得，，解得公差d，即可写出通项公式； 利用裂项相消法求数列前n项和即可． 28.【答案】解：由，得，① 当时，有，求得， 当时，，② ①-②得：， 整理得：，即， 可知数列是首项为3，公比为3的等比数列， 故； 由知， 代入， 得， 则，③ 得，④ ③-④得： ， 所以； 由知， 假设存在正整数k，使得，，成等差数列， 得，即，则， 设，则， 当时，，数列为递减数列， 又，， 所以对所有正整数k，都有 故不存在正整数k，使得、、成等差数列．  【解析】本题考查数列递推式，考查错位相减法求和，考查数列的函数特性，属于较难题. 由已知得出，令可求出的值，令，由可得出，两式作差可推出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； 求出，利用错位相减法可求得； 由可得，令，分析数列的单调性，即可得出结论． 29.【答案】解：由数列的定义可知， 在数列的前29项中去掉与数列相同的项1，2，4，8，16， 可得， 因为， 所以的值为4； 当，时，数列为1，2，3，4，6，7，8，9，11，12，13，14，， 当时，， 由，得，故为常数，且， 其中为常数，且， 因此为常数，且， 所以数列的通项公式为为常数，且； 因为对任意且，都有， 则 ， 所以，即数列单调递减，则， 又因为， ， 所以对任意的，都有， 由数列单调递减，且，可得，， 则当时，，即， 当时，，即， 故  30.【答案】解：数列与接近． 证明如下： 因为是首项为1，公比为的等比数列， 可得，， 则，， 对任意恒成立， 数列与接近. 是一个与接近的数列， 对任意恒成立， ，，，， ，，， ①当时，， ②当时，， 除①②情况外， 综上，或 是公差为d的等差数列， ①当时，取， 则，对任意恒成立， 且， 此时数列与接近， 且，，，都是正数， 即有200个正数，符合题意; ②当时，取，， 此时对任意恒成立， ， 此时数列与接近，且，，， 都是正数，即有200个正数，符合题意; ③当时，取，， 此时，对任意恒成立; 且， ， ，，，， ，，，， ，，，中恰有100个为正数， 符合题意; ④当时，假设存在与接近， 则， 即，， ， ， 此时，，，中没有正数， 假设不成立，即不符合题意. 综上所述，d的取值范围为  【解析】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题． 运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断； 由新定义可得，求得，，2，3，4的范围，即可得到所求个数； 运用等差数列的通项公式可得，讨论公差，，，，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围． $